Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS DERIVADAS PARCIAIS Prof. Ms. Márcia Vieira Prof. Dr. Bruno Honda Tópicos Derivadas parciais; Regra da Cadeia; Regra do produto; Regra do Quociente; Exemplos e exercícios. Derivadas simples (tabela) Derivadas diretas: Propriedades: onde ‘f’ e ‘g’ são funções de x, e ‘c’ é um número real Derivadas Parciais - Lembrando yy z x x z yxzI 1 4 ln) 3 4 = = += y x y z yx x z yxzII 1 . ln.4 ln.) 4 3 4 = = = Regra da cadeia Regra da cadeia: função composta u=u(x); Tabela: Onde u=u(x) é uma função de x: Regra da Cadeia - Exemplos I) Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑧 = sen(2𝑥𝑦) Para calcular a derivada parcial em relação à x, vamos considerar que y é uma constante. Ou seja, usando a regra da cadeia: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢 Substituindo na relação temos portanto: y x u u xyu 2' 2 = = = )2cos(.2 xyy x z = Regra da Cadeia - Exemplos Para calcular a derivada parcial em relação à y, vamos considerar que x é uma constante. Ou seja, usando a regra da cadeia: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢 Substituindo na relação temos portanto: x2= xyu 2= )2cos(.2 xyx y z = Regra da Cadeia - Exemplos II) Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 𝑦2 Vamos calcular a derivada parcial em relação à x, lembrando da regra da cadeia: 𝑢𝑛 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′ Ou seja, Substituindo na relação obtemos portanto: 𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑛 2 1 ²)4(²4),( yxyxyxf +=+= 4' ²4 = = += x u u yxu ²4 2 4.²)4.( 2 1 2 1 yx yxf x + =+= − Regra da Cadeia - Exemplos Vamos calcular a derivada parcial em relação à y, lembrando da regra da cadeia: 𝑢𝑛 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′ Ou seja, Substituindo na relação obtemos portanto: 2 1 ²)4(²4),( yxyxyxf +=+= y y u u yxu 2' ²4 = = += ²4 2.²)4.( 2 1 2 1 yx y yyxf y + =+= − Regra da Cadeia - Exemplos III) Considere a função: Para calcular a derivada parcial de f em relação à x, o termo ‘ y²’ será considerado constante, e a derivada será feita somente em relação à x. Observe: ².3 yez x= ².3 yez x= ².3 3 ye x z x= uu eue .)'( = Regra da Cadeia - Exemplos Para calcular a derivada parcial de f em relação à y, o termo será considerado constante, e a derivada será feita somente em relação à y. Observe: yeye y z xx .22. 33 == xe3 ².3 yez x= Exercício 1 – Regra da Cadeia Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 7𝑦) A derivada parcial em relação à variável x: 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 7𝑦) A derivada parcial em relação à variável y: 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 7𝑦) Lembrete: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢 u=2.x+7y ux=2 uy=7 Exercício 2 Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦 A derivada parcial em relação à variável x: 𝑓𝑥 = 𝑦𝑒 𝑥𝑦 A derivada parcial em relação à variável y: 𝑓𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 Lembrete: 𝑒𝑢 ′ = 𝑢′𝑒𝑢 u=x.y ux=y uy=x Regra do Produto - Exemplo I) Encontre as derivadas parciais da função: Vamos calcular a derivada parcial em relação à x: neste exemplo temos uma função de x multiplicando outra função de x, logo usaremos a regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a x. Substituindo: Regra do Produto - Exemplo Ainda neste exemplo temos uma função de y multiplicando outra função de y, logo usaremos a regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a y. Substituindo: Regra do Quociente - Exemplo I) Calcule as derivadas parciais da função: Vamos calcular a derivada parcial em relação à x: neste exemplo temos uma função de x dividindo outra função de x, logo usaremos a regra do quociente: Substituindo: Regra do Quociente - Exemplo Substituindo: Ainda neste exemplo temos uma função de y multiplicando outra função de y, logo usaremos a regra do quociente para a derivada parcial em relação a y. Regra do Produto - Exercício 1) Encontre as derivadas parciais da função: 𝑧 = 2𝑥2𝑦. ln(𝑥2 + 𝑦2) Neste exemplo temos uma função de x multiplicando outra função de x, logo usaremos a regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a x. Substituindo na relação, temos: yxu ²2= ²² 2 .²2²)²ln(.4 yx x yxyxxy x z + ++= xy x u u 4= = ²)²ln( yxv += ² 2 2 yx x x v v + = = ²² ³4 ²)²ln(.4 yx yx yxxy x z + ++= Lembrete: 𝑙𝑛𝑢 ′ = 𝑢′ 𝑢 Regra do Produto - Exercício 𝑧 = 2𝑥2𝑦. ln(𝑥2 + 𝑦2) Ainda neste exemplo temos uma função de y multiplicando outra função de y, logo usaremos a regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a y. Substituindo na relação, temos: yxu ²2= ²² 2 .²2²)²ln(².2 yx y yxyxx y z + ++= ²2x y u u = = ²)²ln( yxv += ² 2 2 yx y y v v + = = ²² ²²4 ²)²ln(².2 yx yx yxx y z + ++= Lembrete: 𝑙𝑛𝑢 ′ = 𝑢′ 𝑢 Derivadas Parciais de Funções de Três Variáveis Suponha que a temperatura T em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por T(x, y, z)= 4x³+2y²+6z, sendo T medida em graus Celsius e as variáveis x, y, e z medidas em metros. A variação da temperatura em relação ao eixo x é: A variação da temperatura em relação ao eixo y é: A variação da temperatura em relação ao eixo z é: )/(²12 mCx x T = )/(4 mCy y T = )/(6 mC z T = Derivadas Parciais – Três Variáveis - Exercício 1) Encontrar as derivadas parciais da função: Resposta: 4223 234),,( zzyxzyxf −+= 212x x f = 26yz y f = 32 86 zzy z f −= Não se esqueça de repetir os exemplos e exercícios sozinho (os slides serão disponibilizados em www.unip.br – Conteúdo on line); Aproveito o tempo ocioso para ler e se atualizar; Seja responsável e siga os protocolos de saúde! Até a próxima!! http://www.unip.br/
Compartilhar