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Profª. Me. Engª. Celina JarlettiProfª. Me. Engª. Celina Jarletti
AulaAula11
Cálculo Diferencial 
e Integral a Várias 
Variáveis
1
10
Celina Jarletti 
� Engenheira Eletricista —
Telecomunicações e 
Eletrotécnica
� Mestre em Engenharia 
Nuclear
� Magistério (20 anos) 
Aplicações de Integrais
� Volumes de sólidos de revolução
� Comprimento de curvas
• Sistema cartesiano
• Sistema polar
• Forma paramétrica
� Área em coordenadas 
polares
Sólidos e Superfície de 
Revolução
� A superfície de revolução é 
criada pela rotação de uma curva 
(geratriz) em torno 
de uma reta (eixo)
� Geram os sólidos de 
revolução. O sólido 
possui volume
Método dos Discos Circulares
� ������ � �. 
���
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� ��ó���� � ∑ �������
�
���
� Eixo de giro horizontal
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� Eixo de giro vertical
• � � �� � �
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� Região acima do eixo x, entre as 
retas � � �		
		� � � e abaixo da 
curva � � ��, girando:
A.em torno do eixo x
B.em torno de � � �
Eixo de Giro Horizontal 
(Eixo x) � � � �� � �
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Eixo de Giro Vertical (� � �) Eixo de Giro Vertical
� � � �� � �
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��
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� 	� � ��			��		� � �� � �
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� � � �� � − �
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� �. "� − ��. �� +
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$
. �. ���
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� � � �.
��
$
Método das Arruelas ou Anéis 
Circulares
� ��
 � �. %
�&
� − 
��&
� . 
��
���
�
� ��ó���� � ∑ ��
�
�
���
Método das Arruelas Circulares
� Eixo de giro horizontal
� � � �� %� � − 
� � . ��
�
�
� Eixo de giro vertical
� � � �� %� � − 
� � . ��
�
�
� Região acima do eixo x, entre as 
retas � � �			
			� � � e 
abaixo da curva � � ��, 
girando:
A.em torno do � � −�
B.em torno do eixo y
Eixo de Giro Horizontal (� � −�)
� % � �� − −� � �� + �
� 
 � � − −� � �
Eixo de Giro Horizontal
� � � �� %� � − 
� � . ��
�
�
� � � �� �� + �
�
− � �	��
�
�
� � � �� �� + "�� + "	 − "	��
�
�
� � � �
��
�
+ "	.
�"
" �
�
� � � �	.
�"�
�
Eixo de Giro Vertical (Eixo y)
� % � �		
		
 � '
�
�
Eixo de Giro Vertical
� � � �� %� � − 
� � . ��
�
�
� � � �� � � − �
�
�
�
��
 
�
� � � �� " − �
�
���
 
�
� � � � ". � −
�
$
�
$
� �
 
� �	.
�"
$
Método das Cascas ou 
Invólucros Cilíndricos
�
�
� ������ � 2). *+,-. +./0*+. 1231220*+
Método das Cascas Cilíndricas
� Eixo de giro vertical
� 4 � 2) � 
���(6)	. 8 6 . 96
:
;
� Eixo de giro horizontal
� 4 � 2) � 
���(�)	. 8 � . 9�
:
;
� Giro em torno do eixo y
� 4 � 2) � 
���(6)	. 8 6 . 96
:
;
� 4 � 2) � 6	. 26< − 6= . 96
<
>
� 4 � 2)	 � 26= − 6?	96
<
>
� 4 � 2) 2.
@A
?
−
@B
C >
<
� 4 � 2). 8 −
=<
C
�
EF
C
)	
Áreas de Superfície
Giro em Torno do Eixo x
� Com � � �(�)
� G � ��� � � � + (�´ � )���
�
�
� Com � � I �
� G � ��� �	 � + I´ �
�
��
�
�
Áreas de Superfície
Giro em Torno do Eixo y
� Com � � �(�)
� G � ��� �		 � + (�´ � )���
�
�
� Com � � I �
� G � ��� I � � + I´ �
�
��
�
�
� � � �� em torno do eixo x para � J
� J �
� G � ��� � � � + (�´ � )���
�
�
� G � ��� ��
�
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� + ��� ���
� G � ��� ��
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� + K�"��
� G � ��� � + K�"
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� � � � + K�" 							
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� ��	��				
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� L�����		� � �	 → � � �
� L�����		� � �	 → � � �"$
� G � ��� �
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��
	
� G �
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	 .
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�
� �
�"$
≅
��"$
��
	�
� G&�&�� �
��"$
��
� + �. �
� G&�&�� ≅ ���, �"	�
Coordenadas Polares
� Mudança de coordenadas 2D
� P�
&
����� → Q���
� O ponto fixo O é o polo e 
a semirreta é o eixo polar
Coordenadas Polares
� 
� � �� + �� 						&I R �
�
�
� � � 
. ���R 						� � 
. �
�R
Coordenadas de Pontos
� Q �	; � � Q(�; �)
� 
� � �� + �� � �
�
+ ��
� 
� � "						 → 		
 � �				
� R � &IT�
�
�
� &IT�(
�
�
)
� R � ��º �
�
�
� Q �	;
�
�
� Q(
; 	R)
� Q "	;
��
�
� Q(
; 	R)
� � � 
	���R
� � � "	. ���
��
�
� ". −
�
�
� −�
� � � 
	�
�R
� � � "	. �
�
��
�
� ".
�
�
� � �
� Q −�	; � �	 � Q(�; �)
Transformações de Equações
� �� + �� � ��
� 
� � ��
� 
 � "
� �� − "� + �� � � ou
� �� + �� − "� � �
� 
� − "
	���R � �
� 
� � "
	���R ou
� 
 � "	���R
Representação Gráfica
� Construir tabela com pontos (
, R)
� Plotar na grade polar
 � � + �
�	�R
R	(I
���) R	(
�������) 
 � � + �
�	�R
0 0 2
30 )/6 3
60 )/3 2
90 )/2 1
120 2)/3 2
150 5)/6 3
180 ) 3
R	(I
���) R	(
�������) 
 � � + �
�	�R
180 )/2 2
210 7)/6 1
240 4)/3 2
270 3)/2 3
300 5)/3 2
330 11)/6 1
360 2) 2
Curvas Paramétricas
� Curvas cartesianas 
tem equações 
definidas por � �
� � 	ou � � I(�)
� Curvas paramétricas
� � � �(��
â_
&
�)
� � � I(��
â_
&
�)
� ��
â_
&
�	 → &		��	R
� P & � �(� & ; � & ) é o 
caminho descrito 
pela função ao longo 
do tempo
� Exemplo: caminho de 
� & � ���	& e 
� & � "��& − ��&�
& � & � ���& � & � "��& − ��&�
0 0 0
5 1000 1600
10 2000 2400
15 3000 2400
20 4000 1600
25 5000 0
Paramétrica para � � �(�)
� Exemplo: P & � (�& − "; � + &�)
� � � �& − "	
� & �
�`"
�
� � � � + &� � � +
�`"
�
�
� � � � +
��
"
+ "� + "
� � �
��
"
+ "� + �
Comprimento de Arcos
� Em coordenadas 
cartesianas, gráfico 
a � 8(6), acima de 
[	+; c]
� 2 � � 1 + 8´ 6
<
96
:
;
� Comprimento do arco do círculo 
�� + �� � K de �	�		�
�
(� K�º)	
� � � K − ��
�
� � �(�)
�´ � �
�
�
K − ��
T
�
� −��
�´ � � −
�
K − ��
� + �´ �
�
� � +
��
K − ��
�
�
K
K − ��
� 2 � � 1 + 8´ 6
<
96
:
;
� L��	R � �							� � �
� L��	R �
�
�
						� � �
� � � �
K
KT��
�� � ��
��
KT��
�
�
�
�
� � � �. �
�T�
�
� �
�
� � � � �
�T� � − �
�T� �
� � � �.
�
�
− � �
��
�
� Na forma 
paramétrica, 
existindo 6´ / 			1				a´(/)
e contínuas no 
intervalo + J / J c:
� 2 � � 6´ /
<
+ a´ /
<
9/
:
;
� Arco de um cicloide 
gerado por círculo de 
raio = 2
� � � � & − �
�	& 								
						� �
�(� − ���	&)
� �´ &
�
+ �´ &
�
�
� � �� � − ���& � + ���
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� � " − ���& + "(����& + �
��&)
� � − ���& � (� − ���&)
� e�
�&����
	
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� � − ���& � ��
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� ∴ 		 �´ &
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+ �´ &
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� 2 � � 6´ /
<
+ a´ /
<
9/
:
;
� � � � "�
�
&
�
�&
��
� �
� − 	���
&
� �
��
� ��
� Coordenadas polares 
com * � 8(g) e h J g J
i
� 2 � � 8 g
<
+ 8´ g
<
9g
j
k
� 
 � ��	���R � �(R)
� �´ R � −��	�
�R
� 2 � � 8 g
<
+ 8´ g
<
9g
j
k
� � � � ��	���R � + −��	�
�R �	�R
�
�
� � � � "��(����R + �
��R)�R
�
�
� � � � ��	�R
�
� � ���
Áreas em Coordenadas Polares
� Curva polar * � 8(g) entre dois 
raios g � h e g � i
� l �
E
<
� 8 g
<
9g
j
k
� Área de uma pétala de 
 � �
�(�R)
� m �
�
�
� 
�	�R �
n
o
�
�
� �
�� �R �R
�
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	�
��
&
�
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	�R �
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�
� �
�
"
R −
�
�
�
�	�R
�
�
� �� �
�
"
.
�
�
�
�
��
� Área entre curvas 
polares * � 8E(g) e		* �
8<(g) com 	8< g ≥ 8E(g) e 
raios g � h e g � i
� l �
E
<
� 8< g
�
− 8E g
<
9g
j
k
� Área externa a 
 � �	e interna a 
 � �	���R � l �
E
<
� 8< g
�
− 8E g
<
9g
j
k
� l �
E
<
� 2q-2g < − 1 <	9g
r/=
Tr/=
� l �
E
<
� 4	q-2<g + 1	9g
r/=
Tr/=
� l �
E
<
� 2	q-22g + 1	9g
r/=
Tr/=
� l � [21s	2g + g]Tr/=
r/=
� l � 2
=
<
+
r
=
≅ 3,82
Bons estudos a todos!

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