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Profª. Me. Engª. Celina JarlettiProfª. Me. Engª. Celina Jarletti AulaAula11 Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 1 10 Celina Jarletti � Engenheira Eletricista — Telecomunicações e Eletrotécnica � Mestre em Engenharia Nuclear � Magistério (20 anos) Aplicações de Integrais � Volumes de sólidos de revolução � Comprimento de curvas • Sistema cartesiano • Sistema polar • Forma paramétrica � Área em coordenadas polares Sólidos e Superfície de Revolução � A superfície de revolução é criada pela rotação de uma curva (geratriz) em torno de uma reta (eixo) � Geram os sólidos de revolução. O sólido possui volume Método dos Discos Circulares � ������ � �. ��� � �� ��� � � ��ó���� � ∑ ������� � ��� � Eixo de giro horizontal • � � �� � � � �� � � � Eixo de giro vertical • � � �� � � � �� � � � Região acima do eixo x, entre as retas � � � � � � e abaixo da curva � � ��, girando: A.em torno do eixo x B.em torno de � � � Eixo de Giro Horizontal (Eixo x) � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � �� � � � � � �. � �� �� � � � � � � �� � � � � �. �� � � � � �� � . � Eixo de Giro Vertical (� � �) Eixo de Giro Vertical � � � �� � � � �� � � � � � �� �� � � �� � � � � � � � �� � − � � � � �� � � � � �� " − " . � � � + � � � �� � � � � �� " − " . � � � + � � � �� � � � � � "� − " . � " � " � + � $ � $ � � � � �. "� − ��. �� + � $ . �. ��� � � � � �. �� $ Método das Arruelas ou Anéis Circulares � �� � �. % �& � − ��& � . �� ��� � � ��ó���� � ∑ �� � � ��� Método das Arruelas Circulares � Eixo de giro horizontal � � � �� %� � − � � . �� � � � Eixo de giro vertical � � � �� %� � − � � . �� � � � Região acima do eixo x, entre as retas � � � � � � e abaixo da curva � � ��, girando: A.em torno do � � −� B.em torno do eixo y Eixo de Giro Horizontal (� � −�) � % � �� − −� � �� + � � � � − −� � � Eixo de Giro Horizontal � � � �� %� � − � � . �� � � � � � �� �� + � � − � � �� � � � � � �� �� + "�� + " − " �� � � � � � � �� � + " . �" " � � � � � � . �"� � Eixo de Giro Vertical (Eixo y) � % � � � ' � � Eixo de Giro Vertical � � � �� %� � − � � . �� � � � � � �� � � − � � � � �� � � � � �� " − � � ��� � � � � � ". � − � $ � $ � � � � . �" $ Método das Cascas ou Invólucros Cilíndricos � � � ������ � 2). *+,-. +./0*+. 1231220*+ Método das Cascas Cilíndricas � Eixo de giro vertical � 4 � 2) � ���(6) . 8 6 . 96 : ; � Eixo de giro horizontal � 4 � 2) � ���(�) . 8 � . 9� : ; � Giro em torno do eixo y � 4 � 2) � ���(6) . 8 6 . 96 : ; � 4 � 2) � 6 . 26< − 6= . 96 < > � 4 � 2) � 26= − 6? 96 < > � 4 � 2) 2. @A ? − @B C > < � 4 � 2). 8 − =< C � EF C ) Áreas de Superfície Giro em Torno do Eixo x � Com � � �(�) � G � ��� � � � + (�´ � )��� � � � Com � � I � � G � ��� � � + I´ � � �� � � Áreas de Superfície Giro em Torno do Eixo y � Com � � �(�) � G � ��� � � + (�´ � )��� � � � Com � � I � � G � ��� I � � + I´ � � �� � � � � � �� em torno do eixo x para � J � J � � G � ��� � � � + (�´ � )��� � � � G � ��� �� � � � + ��� ��� � G � ��� �� � � � + K�"�� � G � ��� � + K�" � � ���� � � � � � � + K�" �� �� � �� �� � �� �� � ���� � L����� � � � → � � � � L����� � � � → � � �"$ � G � ��� � � � �"$ � �� �� � G � �� �� . � � � � � � �"$ ≅ ��"$ �� � � G&�&�� � ��"$ �� � + �. � � G&�&�� ≅ ���, �" � Coordenadas Polares � Mudança de coordenadas 2D � P� & ����� → Q��� � O ponto fixo O é o polo e a semirreta é o eixo polar Coordenadas Polares � � � �� + �� &I R � � � � � � . ���R � � . � �R Coordenadas de Pontos � Q � ; � � Q(�; �) � � � �� + �� � � � + �� � � � " → � � � R � &IT� � � � &IT�( � � ) � R � ��º � � � � Q � ; � � � Q( ; R) � Q " ; �� � � Q( ; R) � � � ���R � � � " . ��� �� � � ". − � � � −� � � � � �R � � � " . � � �� � � ". � � � � � � Q −� ; � � � Q(�; �) Transformações de Equações � �� + �� � �� � � � �� � � " � �� − "� + �� � � ou � �� + �� − "� � � � � − " ���R � � � � � " ���R ou � � " ���R Representação Gráfica � Construir tabela com pontos ( , R) � Plotar na grade polar � � + � � �R R (I ���) R ( �������) � � + � � �R 0 0 2 30 )/6 3 60 )/3 2 90 )/2 1 120 2)/3 2 150 5)/6 3 180 ) 3 R (I ���) R ( �������) � � + � � �R 180 )/2 2 210 7)/6 1 240 4)/3 2 270 3)/2 3 300 5)/3 2 330 11)/6 1 360 2) 2 Curvas Paramétricas � Curvas cartesianas tem equações definidas por � � � � ou � � I(�) � Curvas paramétricas � � � �(�� â_ & �) � � � I(�� â_ & �) � �� â_ & � → & �� R � P & � �(� & ; � & ) é o caminho descrito pela função ao longo do tempo � Exemplo: caminho de � & � ��� & e � & � "��& − ��&� & � & � ���& � & � "��& − ��&� 0 0 0 5 1000 1600 10 2000 2400 15 3000 2400 20 4000 1600 25 5000 0 Paramétrica para � � �(�) � Exemplo: P & � (�& − "; � + &�) � � � �& − " � & � �`" � � � � � + &� � � + �`" � � � � � � + �� " + "� + " � � � �� " + "� + � Comprimento de Arcos � Em coordenadas cartesianas, gráfico a � 8(6), acima de [ +; c] � 2 � � 1 + 8´ 6 < 96 : ; � Comprimento do arco do círculo �� + �� � K de � � � � (� K�º) � � � K − �� � � � �(�) �´ � � � � K − �� T � � −�� �´ � � − � K − �� � + �´ � � � � + �� K − �� � � K K − �� � 2 � � 1 + 8´ 6 < 96 : ; � L�� R � � � � � � L�� R � � � � � � � � � � K KT�� �� � �� �� KT�� � � � � � � � �. � �T� � � � � � � � � � �T� � − � �T� � � � � �. � � − � � �� � � Na forma paramétrica, existindo 6´ / 1 a´(/) e contínuas no intervalo + J / J c: � 2 � � 6´ / < + a´ / < 9/ : ; � Arco de um cicloide gerado por círculo de raio = 2 � � � � & − � � & � � �(� − ��� &) � �´ & � + �´ & � � � � �� � − ���& � + ��� ��& � � " − ���& + "(����& + � ��&) � � − ���& � (� − ���&) � e� �&���� �T���& � � � �� & � � � − ���& � �� �T���& � � �� � �� & � � ∴ �´ & � + �´ & � � " � � & � � 2 � � 6´ / < + a´ / < 9/ : ; � � � � "� � & � �& �� � � � − ��� & � � �� � �� � Coordenadas polares com * � 8(g) e h J g J i � 2 � � 8 g < + 8´ g < 9g j k � � �� ���R � �(R) � �´ R � −�� � �R � 2 � � 8 g < + 8´ g < 9g j k � � � � �� ���R � + −�� � �R � �R � � � � � � "��(����R + � ��R)�R � � � � � � �� �R � � � ��� Áreas em Coordenadas Polares � Curva polar * � 8(g) entre dois raios g � h e g � i � l � E < � 8 g < 9g j k � Área de uma pétala de � � �(�R) � m � � � � � �R � n o � � � � �� �R �R � � � � e� �&���� � �� & � � �T���& � � � � � � �T��� �R � �R � � � � � � � " R − � � � � �R � � � �� � � " . � � � � �� � Área entre curvas polares * � 8E(g) e * � 8<(g) com 8< g ≥ 8E(g) e raios g � h e g � i � l � E < � 8< g � − 8E g < 9g j k � Área externa a � � e interna a � � ���R � l � E < � 8< g � − 8E g < 9g j k � l � E < � 2q-2g < − 1 < 9g r/= Tr/= � l � E < � 4 q-2<g + 1 9g r/= Tr/= � l � E < � 2 q-22g + 1 9g r/= Tr/= � l � [21s 2g + g]Tr/= r/= � l � 2 = < + r = ≅ 3,82 Bons estudos a todos!
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