multiplas restriçoes e objetivos conflitantes completo atv 3

Prévia do material em texto

Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
CAPÍTULO 7
Múltiplas restrições e objetivos conflitantes
Materials Selection in Mechanical Design. DOI: 10.1016/B978-1-85617-663-7.00007-2
 © 2011 Michael F. Ashby. Publicado por Elsevier Ltd. Todos os direitos reservados.
SUMÁRIO
 7.1 Introdução e sinopse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
 7.2 Seleção com múltiplas restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.3 Objetivos conflitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
 7.4 Resumo e conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
 7.5 Leitura adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
 7.6 Apêndice: fatores de ponderação e métodos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
 O método de fatores de ponderação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Lógica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Dureza
D
u
re
za
 0,01 0,1 1 10
10−4
10−3
10−2
10-1
1
10
100
 1.000
Metais
Polímeros
Materiais
naturais
Compósitos
Espumas
Cerâmicas
Elastômeros
MFA 07
Módulo – Densidade
M
ó
d
u
lo
 Densidade
10
Polímeross
e ros
MFA 07
nsidade
e
n
Superfície
de permuta
Custo
Métodos de permuta
M
a
s
s
a
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 7.1 INTRODUÇÃO E SINOPSE
 A maioria das decisões que tomamos na vida envolve permutas. Às vezes a permuta se depara 
 com restrições conflitantes: tenho de pagar uma conta, mas também tenho de pagar aquela 
 outra – pagamos a que for mais premente. Outras vezes a permuta deve ponderar objetivos di-
 vergentes: quero ser rico mas também quero ser feliz – e resolver isso é mais difícil, já que temos 
 de ponderar os dois, e a riqueza raramente é medida com as mesmas unidades da felicidade.
 O mesmo ocorre com a seleção de materiais e processos. A seleção deve satisfazer várias 
 restrições, muitas vezes conflitantes. No projeto de uma longarina para a asa de uma aero-
 nave, o peso deve ser minimizado, com restrições à rigidez, resistência à fadiga, tenacidade e 
 geometria. No projeto de um copo descartável para bebidas quentes, o custo é o que importa; 
 deve ser minimizado sujeito a restrições a rigidez, resistência e condutividade térmica, embora 
 a experiência dolorosa sugira que às vezes os projetistas desprezam a última. Nessa classe de 
 problema há um único objetivo de projeto (minimização de peso ou custo) com muitas restrições, 
 uma situação que vimos no Capítulo 5. Sua solução é direta: aplicar as restrições em sequência, 
 rejeitando, em cada etapa, os materiais que não as cumprem. Os sobreviventes são candidatos 
 viáveis. Classificá-los por sua capacidade de cumprir o objetivo único e então explorar a do-
 cumentação para os candidatos mais bem-classificados. Normalmente isso resolve a situação, 
 porém, às vezes, há uma virada extra, descrita no Item 7.2.
 Uma segunda classe de problema envolve mais de um objetivo, e aqui o conflito é mais 
 sério. Sendo a Natureza o que é, em geral a escolha de materiais que melhor cumprem um 
 objetivo normalmente não será a dos que melhor cumprem os outros. O projetista encarregado 
 de selecionar um material para uma longarina de asa que deve ser ao mesmo tempo leve e ba-
 rata enfrenta uma dificuldade óbvia: os materiais mais leves nem sempre são os menos caros, 
 e vice-versa. Para fazer algum progresso, o projetista precisa de um modo para permutar peso 
 em relação a custo – um problema que não tínhamos encontrado até agora.
 Há vários modos rápidos, embora subjetivos, de lidar com múltiplas restrições e objetivos 
 conflitantes: o método de fatores de ponderação e métodos que empregam lógica difusa. Serão 
 discutidos no apêndice ao final deste capítulo. Eles são um bom modo de entrar no problema, por 
 assim dizer, porém dependem muito de critério pessoal; a natureza subjetiva desses métodos deve 
 ser reconhecida. A subjetividade é eliminada mediante o emprego do método da restrição ativa 
 para resolver restrições múltiplas (Item 7.2) e da combinação de objetivos conflitantes em uma 
 única função penalidade (Item 7.3). Essas são ferramentas-padrão de otimização multicritérios. 
 Para usá-las, temos de adotar, neste capítulo, a seguinte convenção: todos os objetivos são expressos 
 como quantidades a serem minimizadas; sem isso, o método da função penalidade não funciona.
 Agora vamos ao que é importante. A Figura 7.1 é o mapa. Começamos na rota na parte su-
 perior da figura e prosseguimos para baixo.
 7.2 SELEÇÃO COM MÚLTIPLAS RESTRIÇÕES
 Quase todos os problemas de seleção de material têm excesso de restrições, o que significa 
 que há mais restrições do que variáveis livres. Vimos múltiplas restrições nos Capítulos 5 e 6. 
 CAPÍTULO 7: Múltiplas restrições e objetivos conflitantes
178
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 Recapitulando, identificamos as restrições e o objetivo impostos pelos requisitos de projeto e 
 aplicamos as seguintes etapas.
 ȡ Triar, usando cada restrição por vez.
 ȡ Classificar, usando a métrica de desempenho que descreve o objetivo (muitas vezes 
 massa, volume ou custo) ou simplesmente pelo valor do índice do material que aparece 
 na equação para a métrica.
 ȡ Procurar documentação para os candidatos mais bem-classificados e usá-la para fazer a 
escolha final.
 As etapas 1 e 2 são ilustradas na Figura 7.2, que consideramos como a metodologia central. 
 O retângulo à esquerda representa triagem por imposição de restrições a propriedades, a re-
 quisitos como resistência à corrosão, ou à capacidade de ser processado de certo modo. O da 
 direita – aqui um diagrama de barras para o custo dos candidatos sobreviventes – indica como 
 eles são classificados. Tudo muito simples.
 Mas espere aí! Há um pequeno senão que se refere ao caso especial de um único objetivo 
 que pode ser limitado por mais de uma restrição. Como exemplo, os requisitos para um tirante 
 de união de massa mínima poderiam especificar ambas, rigidez e resistência, o que resultaria 
 em duas equações independentes para a massa. Seguindo exatamente as etapas de Capítulo 5, 
 Equação (5.3), a situação é descrita pela cadeia de raciocínio mostrada na Figura 7.3.
 Se a rigidez é a restrição dominante, a massa da haste é m1; se é a resistência, a massa é m2. 
 Se o tirante deve cumprir ambos os requisitos, sua massa tem de ser a maior entre m1 e m2. 
 Escrevendo
 ~ȱƽȱmáx(m1, m2) (7.1)
Função
Muitas restrições,
um objetivo
Muitas restrições,
dois objetivos
Muitas restrições,
mais de dois
objetivos
· Triar, usando restrições
· Identificar propriedadeou índice que limita desempenhoM
· Classificar, usando propriedade ou índice
· Triar, usando restrições
· Identificar propriedades ou índices que limitam desempenhoM
· Construir gráfico de permuta para sM
· Se necessário, criar e avaliar função penalidade Z
· Triar, usando restrições
· Identificar propriedades ou índices que limitam desempenhoM
· Criar e avaliar função penalidade Z
 Situação Ações
FIGURA 7.1
Estratégias para lidar com seleção de múltiplas restrições e objetivos conflitantes.
 7.2 Seleção com múltiplas restrições
179
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 procuramos o material que oferece o menor valor de ~ m. Esse é um exemplo de um problema 
 “mín–máx”, que não é incomum no mundo da otimização. Buscamos o menor valor (mín) de 
 uma métrica que é o maior valor (máx) de duas ou mais alternativas.
 O método analíticoȳ¡ȱ·ȱȱȱȱȱÇȮ¤¡ȱ-
 do a métrica (neste caso, massa) é uma função contínua das variáveis de controle (as coisas que 
 estão do lado direito das duas equações de desempenho mostradas na Figura 7.3). Porém, aqui, 
 uma das variáveis de controle é o material, e estamos lidando com uma população de materiais, 
 cada um dos quais com seus próprios valores únicos de propriedades do material. O problema 
 é discreto, e não contínuo.
Um modo de atacar o problema é avaliar ambas, m 1 2 e m para cada membro da população, 
 designar a maior das duas a cada membro e então classificar os membros pelo valor designado, 
 procurando um mínimo. Damos um exemplo.
m2= L*F * σy
ρ
E
m1= L S*
2 *
ρ 
L*
AE
S*=
A
LρAm =
E
M1=
ρ
M2= σy
ρ
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
Substituir
Restrição à rigidez
Restrição à resistência
Equação de
desempenho
Índice de
material
Objetivo:
minimizar
 massa F *=σy
Substituir
(7.2)
(7.3)
 Os símbolos têm seus significados usuais: =área, = comprimento, = densidade, = rigidez, = móduloA L* ρ S* E
de Young, F*f = carga de colapso, σy= resistência ao escoamento ou limite elástico
f f
Estágio de triagem
GPa
MPa
°C
W/m.K
Módulo de Young
Condutividade térmica
Pode ser fundido em molde
Resistência à corrosão
Temperatura de serviço máxima
Resistência ao escoamento
> 100
> 250
> 80
> 300
Boa
Sim
Estágio de classificação
C
u
st
o
Melhor
Menos bom
 (a) (b)
 FIGURA 7.2
 Seleção com múltiplas restrições (a) e um único objetivo (b). Triar usando as restrições; classificar usando o objetivo.
FIGURA 7.3
 Um único objetivo (aqui, minimizar massa) com duas restrições resulta em duas equações de desempenho, cada uma com seu 
próprio valor de M.
 CAPÍTULO 7: Múltiplas restrições e objetivos conflitantes
180
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 Quando há 3.000 materiais e não apenas três entre os quais escolher, podemos usar simples 
 códigos de computador para ordená-los e classificá-los. Porém, falta a essa abordagem numé-
rica o imediatismo visual e o estímulo para o raciocínio criativo que um método mais gráfico 
 permite. Descrevemos isso em seguida.
 O método gráficoȳǰȱȱȱ³¨ȱȱǰȱȱÇȱȱ¤ȱ
de m1 em relação a m2 como sugerido pela Figura 7.4(a). Cada bolha representa um material. (Todas 
 as variáveis em ambas as equações para m1 e m2 são especificadas, exceto o material, de modo que 
 a única diferença entre uma bolha e outra é o material.) Queremos minimizar massa, portanto as 
 melhores escolhas encontram-se em algum lugar próximo da parte inferior esquerda. Mas onde, 
 exatamente? A escolha, se a rigidez for preeminente e a resistência desimportante, será seguramente 
 diferente da que faríamos se o oposto fosse válido. A linha m1 = m2 separa o diagrama em duas 
 regiões. Em uma, m1 > m2 e a restrição 1 (rigidez) é dominante. Na outra, m2 > m1 e a restrição 2 (re-
 sistência) domina. Na região 1 nosso objetivo é minimizar m 1 , visto que ela é a maior das duas; na 
 região 2 vale o oposto. Isso define um envelope de seleção de forma retangular cujo vértice encontra-
 -se sobre a linha m1 = m 2. Quanto mais empurrarmos o retângulo para mais perto da parte inferior 
esquerda, menor será m ~ . A melhor escolha é o último material que restar dentro do retângulo.
Isso explica a ideia, porém há um modo melhor de implementá-la. A Figura 7.4(a), cujos 
eixos são m 1 2 e m , é específica para valores únicos de L*, S* e F* f ; se essas quantidades mudarem, 
precisaremos de um novo diagrama. Suponha, ao contrário, que construímos o gráfico dos 
 índices de materiais M1 = e = Ε // E M2 Ε //ȱΗ y que estão contidos nas equações de desempenho, 
 como mostrado na Figura 7.4(b). Cada bolha ainda representa um material, mas agora sua 
 Precisa-se de um tirante leve de comprimento L, rigidez S e carga de colapso F 
f
 especificados com os 
 valores:
L * * = 1 m S = 3 × 107 N/m F* 
f
 = 10 N5
 Resposta
 Substituindo esses valores e as propriedades do material mostradas na tabela nas Equações (7.2) e (7.3) 
 na Figura 7.3 temos os valores para m 
1 2
 e m mostrados na tabela. A última coluna mostra m̃ calculada 
 pela Equação (7.1). Para esses requisitos de projeto Ti-6-4 é enfaticamente a melhor escolha: permite 
 o tirante mais leve que satisfaz ambas as restrições.
Seleção de um material para um tirante leve, rígido, forte
 Material Ε kg/m3 E GPa Η
y
 MPa m1 kg kgm2 m̃ kg
 Aço 1020 7.850 200 320 1,12 2,45 2,45
 Al 6061 2.700 70 120 1,16 2,25 2,25
 Ti-6-4 4.400 115 950 1,15 0,46 1,15
 Se agora mudarmos as restrições para
L * * * = 3 m S = 108 N/m F f = 3 × 10 N
4
 a seleção muda. Agora o aço é a melhor escolha: dá o tirante mais leve que satisfaz todas as restrições. 
 Experimente.
Um exemplo de múltiplas restrições
 7.2 Seleção com múltiplas restrições
181
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 posição depende somente das propriedades do material, e não dos valores de L*, S* e F*
f
. A con-
dição m 1 2 = m , que substituídas das Equações (7.2) e (7.3) na Figura 7.3, resulta na relação:
 M
 
2 =
L S
Ff
M1 (7.4)
 ou, em escalas logarítmicas:
 Log M( 2) = Log M( 1) + log L S
Ff
 (7.5)
 Essa expressão descreve uma linha de inclinação 1, em uma posição que depende do valor 
 de L*S*/F* 
f
. Referimo-nos a essa linha como a linha de ligação e a L* S*/F* 
f
 como a constante de 
 ligação, símbolo Cc. A estratégia de seleção continua a mesma: um retângulo, cujo vértice está 
 sobre a linha de acoplamento, é empurrado para baixo na direção da parte inferior esquerda. 
 Porém, agora, o diagrama é mais geral, abrangendo todos os valores de L*, S* * e F
f
. Mudar qual-
 quer um desses, ou a geometria do componente (aqui descrita por L* ), move a linha de ligação 
e muda as seleções.
 Damos exemplos explicados no Capítulo 8.
 7.3 OBJETIVOS CONFLITANTES
 A seleção de materiais na vida real quase sempre exige que se chegue a um compromisso entre 
 objetivos conflitantes. Três aparecem otempo todo:
 ȡ Minimizar massa – uma meta comum no projeto de coisas que se movem ou que têm de 
 ser movidas, que oscilam ou que devem responder rapidamente a uma força limitada 
 (pense nos sistemas de transportes aeroespaciais e terrestres).
Restrição 2 dominante
Linhas de
ligação 
M2 = C .Mc 1
Grande Cc
Pequena Cc
Menor
Índice M1
Maior
M
e
n
o
r
Ín
d
ic
e
 M
2
M
a
io
r
 Restrição 1 dominante Restrição 1 dominante
 Restrição 2 dominante Linhas de
ligação m2 = m1
Melhor escolha
Mais leve
Massa m1
Mais pesado
M
a
is
 l
e
v
e
M
a
ss
a
 m
2
M
a
is
 p
e
s
a
d
o
Valores
decrescentes de
m
∼
Valores
decrescentes de
m
∼
 (a) (b)
FIGURA 7.4
 A abordagem gráfica para problemas mín–máx. (a) Seleção conjugada usando métricas de desempenho (aqui, massa m). 
 (b)Uma abordagem mais geral: seleção conjugada usando índices de materiais M e uma constante de ligação C
c
.
 CAPÍTULO 7: Múltiplas restrições e objetivos conflitantes
182
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 ȡ Minimizar volume – porque é usado menos material e porque o espaço está cada vez mais 
 precioso (pense no drive para telefones celulares cada vez mais finos, computadores 
 portáteis, tocadores de MP3 etc. e na necessidade de acondicionar cada vez mais e mais 
funcionalidades em um volume fixo).
 ȡ Minimizar custo – a lucratividade depende da diferença entre custo e valor (falaremos mais 
 disso nos Capítulos 13 e 16); o modo mais óbvio de aumentar a diferença é reduzir o custo.
 A esses temos de adicionar um quarto objetivo:
 ȡ Minimizar impacto ambiental – o dano causado a nossos arredores pela produção do 
 material, fabricação do produto e utilização do produto (Capítulo 15).
Há, claro, outros objetivos específicos a determinadas aplicações. Alguns são apenas um 
 dos quatro que já citamos, mas em palavras diferentes.
 O objetivo de maximizar a razão potência/peso traduz-se na minimização da massa para 
 uma determinada produção de potência. Maximizar armazenagem de energia em uma mola, 
 bateria ou volante significa minimizar o volume para uma determinada energia armazenada. 
 Alguns objetivos podem ser quantificados em termos de engenharia, como maximizar confia-
 bilidade (embora isso possa ser traduzido para obter uma determinada resistência ao desgaste 
 ou resistência à corrosão a custo mínimo). Outros não podem, como maximizar a atração para 
 o consumidor – um amálgama de desempenho, estilo, imagem e marketing.
 Portanto, temos quatro objetivos comuns, cada um caracterizado por uma métrica de desempe-
nho Pi . Ao menos dois estarão envolvidos no projeto de quase qualquer produto. O conflito surge 
 porque a escolha que otimiza um objetivo, de modo geral, não fará o mesmo para os outros; assim, 
 a melhor escolha é um compromisso, que não otimiza nenhum deles, mas os traz tão próximos 
de seus ótimos quanto sua interdependência permitir. E isso destaca o problema central: como 
 comparar massa com custo, ou volume com impacto ambiental? Diferentemente das equações de 
 desempenho mostradas na Figura 7.3, cada um é medido em unidades diferentes; são incompatí-
 veis. Precisamos de estratégias para lidar com isso e as 
 apresentaremos em breve. Primeiro, algumas definições.
 Estratégias de permutaȳȱȱȱȱ
 material para minimizar ambos, custo (métrica de de-
 sempenho P1 ) e massa (métrica de desempenho P2 ), e ao 
 mesmo tempo cumprir um conjunto de restrições como 
 temperatura de serviço máxima exigida, ou resistência 
 à corrosão em certo ambiente. Seguindo a terminologia 
padrão da teoria das otimizações, definimos uma solu-
 ção como uma escolha viável de material, que cumpre 
 todas as restrições mas não é necessariamente ótima 
 para qualquer dos objetivos. A Figura 7.5 é um gráfico 
 de P1 em relação a P2 para soluções alternativas, e cada 
 bolha descreve uma delas. As soluções que minimizam 
 P1 não minimizam P2, e vice-versa. Algumas soluções, 
 como as em A, estão longe de ótimas – todas as solu-
 ções no retângulo ligado a A têm valores mais baixos 
A. Solução
dominada
B. Solução
não dominada
Superfície
de permuta
Barato
Métrica : custo, P1 C
Caro
Le
ve
M
é
tr
ic
a
 
: m
a
ss
a
,
P
2
 m
P
es
ad
o
FIGURA 7.5
Vários objetivos: Procuramos o material que 
 minimiza ao mesmo tempo massa e custo. Cada 
bolha é uma solução – uma escolha de material 
 que cumpre todas as restrições. Asuperfície de 
permuta liga soluções não dominadas.
 7.3 Objetivos conflitantes
183
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 de ambas, P1 e P2. Diz-se que soluções como são dominadas por outras. Soluções como as em A
 B têm a seguinte característica: não existe nenhuma outra solução com valores mais baixos de 
 ambas, P1 e P2. Diz-se que são soluções não dominadas. A linha ou superfície sobre a qual elas 
 se encontram é denominada superfície de permuta não dominada ou ótima. Os valores de P1 e 
 P2 correspondentes ao conjunto de soluções não dominadas são chamados conjunto de Pareto.
Há três estratégias para seguir em frente. As soluções próximas ou sobre a superfície de 
 permuta oferecem o melhor compromisso; o restante pode ser rejeitado. Muitas vezes isso 
 é suficiente para identificar uma lista curta de materiais, usando intuição para classificá-la. 
 Agora podemos procurar documentação para esses materiais (Estratégia 1). Alternativamente 
 (Estratégia 2), um objetivo pode ser reformulado como 
 uma restrição, como ilustrado na Figura 7.6. Aqui foi 
 estabelecido um limite para o custo; então, a solução 
 que minimiza a outra restrição pode ser lida. Mas 
 isso é trapaça: não é uma otimização verdadeira. Para 
 conseguir uma otimização verdadeira precisamos da 
Estratégia 3: funções penalidade.
 Funções penalidadeȳȱÇȱȱȱ
 identifica o subconjunto de soluções que oferece os 
 melhores compromissos entre os objetivos. Porém, 
 afinal de contas, o que queremos é uma única solução. 
 Um modo de fazer isso é agregar os vários objetivos 
 em uma única função objetivo, formulada de modo que 
seu mínimo defina a solução mais preferível. Para tal, 
 definimos uma função penalidade localmente linear1 Z:
 ȱƽȱ΅1P1 + ΅2P2 + ΅3P 3 .... (7.6)
 A melhor escolha é o material que tem o menor valor de Z. As s são denominadas cons-΅
 tantes de troca (ou, o que é equivalente, constantes de utilidade ou constantes de graduação); 
 elas convertem as unidades de desempenho em unidades de Z, que normalmente são unidades 
monetárias (moeda – $). As constantes de troca são definidas por
 i =
lj
lji Pj, jƾ i
 (7.7)
 Medem o incremento na penalidade para uma unidade de incremento em uma métrica de 
 desempenho dada, sendo todas as outras constantes. Se, por exemplo, a métrica P2 é a massa 
 m, então ΅2 é a mudança em Z associada a um aumento unitário em m.
 Frequentemente um dos objetivos a ser minimizado é o custo, C, de modo que P1 = C. Então 
 faz sentido medir Z em unidades de moeda. Com essa escolha, uma unidade de mudança em 
 C dá uma unidade de mudança em ZDzȱȱȱ·ȱȱ΅1 = 1 e a Equação (7.6) torna-se:
 ȱƽȱȱƸȱ΅2P2 + ΅3P3 ... (7.8)1ȳ·ȱȱȱfunção valor ou uma função utilidade. O método permite a determinação de um mínimo 
 ǯȱȱȱ³ȱȱȱ·ȱǰȱ·ȱ¤ȱȱȱȱàȱȱȱȱȱȱ΅
i
 
 podem depender dos valores das métricas de desempenho P
i
.
Solução
minimizando m
Superfície
de permuta
Limite
superior
para
o custo
Barato
Métrica P1: custo, C
Caro
Le
ve
M
é
tr
ic
a
 
: m
a
ss
a
, 
P
2
m
P
es
ad
o
FIGURA 7.6
O gráfico de permuta com uma restrição simples 
 imposta ao custo. Agora podemos ler a solução 
 que tem a menor massa, porém essa não é uma 
 otimização verdadeira.
 CAPÍTULO 7: Múltiplas restrições e objetivos conflitantes
184
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 Considere agora o exemplo anterior no qual = custo, e = massa, P1 C P2 m, de modo que:
 Z=C+αm (7.9)
ou:
 m = 1 C + 1 Z (7.10)
 Entãoα é a mudança em associada a uma unidade de aumento em . A Equação 7.10 Z m
 define uma relação linear entre e . O gráfico dessa relação é uma família de linhas de pena-m C
 lidade paralelas, cada uma para um determinado valor de , como mostrado na Figura 7.7(a). Z
 A inclinação das linhas é o inverso da constante de troca, −1/α. O valor de diminui na direção Z
 da parte inferior esquerda: as melhores escolhas encontram-se ali. A solução ótima é a que está 
 mais próxima do ponto no qual uma linha de penalidade é tangencial à superfície de permu-
 ta, visto que é a de menor valor de Z. Reduzir a escolha a apenas um candidato nesse estágio 
 não é sensato – ainda não sabemos o que a pesquisa da documentação revelará. Em vez disso, 
 escolhemos o subconjunto de soluções que se encontra mais próximo do ponto de tangência.
 Há uma pequena sutileza. Quase todos os diagramas de seleção de materiais usam diagra-
 mas com escalas logarítmicas, por muito boas razões (Capítulo 4). O gráfico de uma relação 
 linear em escalas logarítmicas é uma curva, como mostra a Figura 7.7(b). Porém, o procedimento 
 continua o mesmo: os melhores candidatos são os que estão mais próximos do ponto em que 
 uma dessas curvas apenas toca a superfície de permuta.
 Funções penalidade relativa Quando procuramos um material melhor para uma aplica-
 ção existente, como costuma acontecer, é mais proveitoso comparar a nova escolha de material 
 com a existente. Para tal definimos a função penalidade relativa:
Melhor
escolha
Valores
decrescentes
de Z
Superfície
de permuta
Z1
Z2
Z3 Z5Z4
–1/α
 Barato
Custo C
Caro
Le
ve
M
a
ss
a
 m
P
es
ad
o
Superfície
de permuta
Melhor
escolha
 Valo sre
decrescentes
de Z
Z1
Z2
Z3
Z5
Z4
 Barato
Log (custo )C
(b)(a)
Caro
 
Le
ve
P
es
ad
o
L
o
g
 (
m
a
ss
a
 m
)
 FIGURA 7.7
 (a) A função penalidade superposta ao gráfico de permuta. Os contornos de Z Z têm inclinação −1/α. O contorno que é 
 tangente à superfície de permuta identifica a solução ótima. (b) O mesmo, em gráfico de escalas logarítmicas; agora a relação 
linear aparece como linhas curvas.
 7.3 Objetivos conflitantes
185
Impresso por ANDERSON RICARDO DE OLIVEIRA, CPF 269.199.898-32 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 29/09/2020 08:48:20
 Z = C
Co
+ m
mo
 (7.11)
 na qual o subscrito significa propriedades do material existente e o asterisco o * em Z * e α* é 
 um lembrete de que agora ambas são adimensionais. A constante de troca relativa α* mede o 
 ganho fracionário em valor para um determinado ganho fracionário em desempenho. Assim 
 α* = 1 significa que, em Z constante:
C
Co
= m
mo
 e percebe-se que reduzir a massa à metade vale duas vezes o custo.
 A Figura 7.8 mostra o gráfico da permuta relativa, aqui em escalas lineares. Os eixos são 
C/Co e m/mo . O material usado atualmente na aplicação aparece nas coordenadas (1, 1). Soluções 
 no setor A são ao mesmo tempo mais leves e mais baratas do que o material existente, as que 
 aparecem no setor B são mais baratas, porém mais pesadas, as do setor são mais leves, porém C
 mais caras, e as do setor D são desinteressantes. Contornos de Z* podem ser representados na 
 figura. O contorno que é tangente à superfície de permuta relativa novamente identifica a área de 
 busca ótima. Como antes, quando são usadas escalas logarítmicas, os contornos de Z* tornam-se 
 curvas. Os estudos de caso do Capítulo 8 utilizam funções penalidade relativa.
 Portanto, se os valores para as constantes de troca são conhecidos, é possível fazer uma se-
 leção completamente sistemática. Mas esse é um grande “se”. Nós o discutiremos em seguida.
 Valores para as constantes de troca, α Uma constante de troca é uma medida da pe-
 nalidade referente a uma unidade de aumento em uma métrica de desempenho, ou – para ser 
 mais fácil de entender – é o valor ou “utilidade” de uma unidade de decréscimo na métrica. Sua 
 A constante de troca para economia de peso em caminhões leves é = $12/kg, o que significa que o α
 valor da redução do peso durante a vida útil do veículo é $12 para cada quilograma economizado. Um 
 fabricante desses veículos oferece três modelos. O primeiro usa painéis de aço na carroceria. O segun-
 do usa painéis de alumínio, que custam $2.500 mais, porém pesam 300kg menos. O terceiro oferece 
 painéis de fibra de carbono, que custam $8.000 mais e pesam 500kg menos. Qual é a melhor compra?
Resposta
 As funções penalidade para veículos de aço (1) e alumínio (2) são
Z
1
 = C m
1
 + α
1
e
Z
2
 = + C
2
αm
2
 O veículo de alumínio é atraente somente se sua é for mais baixa do que a do veículo de aço. Por Z Z
 extenso,
ΔZ = Z
2
 − Z
1 2 1
 = C − C + − mα (m
2 1
 ) = 2.500 − 12 x 300 = − 1.100
 O veículo com painéis de alumínio oferece economia de $1.100 – é uma boa compra. Repetindo a 
 comparação para o veículo com painéis de compósito, obtemos um valor Δ = +$2.000. Não é uma Z
 boa compra.
Usando funções penalidade
 CAPÍTULO 7: Múltiplas restrições e objetivos conflitantes
186