PC_2021-1_AD2-Parte2_GABARITO

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AD2-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 1 de 6 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
Parte 2 da Segunda Avaliação a Distância (AD2-Parte 2) 
GABARITO 
IMPORTANTE!!! TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DAS JUSTIFICATIVAS 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional 
Questão 1 [1,4 ponto] 
Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ) 
(1.a) Calcule o domínio da função 𝑓 . 
(1.b) Encontre as interseções do gráfico da função 𝑓 com os eixos coordenados, quando existirem. 
RESOLUÇÃO: 
(1.a) Para calcular o domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ) , temos que impor duas restrições: 
• O radicando 𝟔 − 𝒙 ≥ 𝟎 
• 𝟑 − √𝟔 − 𝒙 > 𝟎 , pois 𝒚 = 𝑙𝑛(𝑥) está definida para 𝑥 > 0 . 
Resolvendo as restrições: 
6 − 𝑥 ≥ 0 ⇔ 6 ≥ 𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 6 
e 
3 − √6 − 𝑥 > 0 ⇔ √6 − 𝑥 < 3 ⇒ 6 − 𝑥 < 9 ⇔ −3 < 𝑥 ⇔ 𝑥 > −3 
Portanto, 𝑥 > −3 𝑒 𝑥 ≤ 6 . Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = (−𝟑 , 𝟔]. 
(1.b) 
Interseção com o eixo 𝒙 : 
Fazendo 𝒚 = 𝟎 : 
0 = 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ) ⇔ 3 − √6 − 𝑥 = 1 ⇔ √6 − 𝑥 = 2 ⇔ 
 6 − 𝑥 = 4 ⇔ 𝑥 = 2 . Logo, (𝟐 , 𝟎) é o ponto de interseção com o eixo 𝒙. 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝒙 = 𝟎 : 
𝑦 = 𝑓(0) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 0 ) = 𝑙𝑛(3 − √6 ) . 
Logo, (𝟎 , 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 )) é o ponto de interseção com o eixo 𝒚. 
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Questão 2 [0,9 ponto] 
Considere a função ℎ(𝑥) = ln(3 − √𝑥 ). 
(2.a) Determine o domínio da função ℎ. 
(2.b) Partindo do gráfico da função ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √𝑥 ) descreva as transformações que devem ser 
feitas para se chegar ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ). 
RESOLUÇÃO: 
(2.a) Para calcular o domínio da função ℎ(𝑥) = ln(3 − √𝑥 ) , temos que impor duas restrições: 
• O radicando 𝑥 ≥ 0 . 
• 3 − √𝑥 > 𝟎 , pois 𝒚 = 𝑙𝑛(𝑥) está definida para 𝑥 > 0 . 
Resolvendo as restrições: 
A primeira restrição diz que 𝑥 ≥ 0. 
e 
3 − √𝑥 > 0 ⇔ √𝑥 < 3 ⇒ 𝑥 < 9 
Portanto, 𝑥 ≥ 0 e 𝑥 < 9 . Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = [𝟎 , 𝟗). 
(2.b) Partindo do gráfico da função ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √𝑥 ) vamos descrever transformações que devem 
ser feitas para se chegar ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ). 
Primeira possibilidade: 
ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √𝑥 ) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
 6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
→ 𝑠(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √𝑥 + 6 ) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √−𝑥 + 6 ) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ) . 
 
Segunda possibilidade: 
Também podemos fazer a seguinte sequência de transformações: 
ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √𝑥 ) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑡(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √−𝑥 ) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
 6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
→ 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √−(𝑥 − 6) ) = 𝑙𝑛(3 − √−𝑥 + 6 ) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ). 
 
 
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Questão 3 [1,0 ponto] 
Considere a função ℎ(𝑥) = ln(3 − √𝑥), cujo gráfico está esboçado abaixo e a função 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ). 
A função ℎ é uma função decrescente e 
𝐼𝑚(ℎ) = (−∞ , ln(3)]. 
 
 
 
 
(3.a) Partindo do gráfico da função ℎ(𝑥) = ln(3 − √𝑥 ) e usando as transformações descritas na 
Questão 2, esboce os gráficos intermediários e o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ) . Descreva 
no gráfico da função 𝑓 os pontos de interseção com os eixos coordenados. 
(3.b) Conhecendo a imagem da função ℎ , responda qual é a imagem da função 𝑓 . Justifique! 
RESOLUÇÃO: 
(3.a) 
Primeira possibilidade: 
Temos a seguinte sequência de gráficos: 
 
 
𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒍𝒂çã𝒐 
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂
 𝟔 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝒓𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙ã𝒐
𝒆𝒎 𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐
𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒚
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda possibilidade: 
Temos a seguinte sequência de gráficos: 
 
 
𝒓𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙ã𝒐
𝒆𝒎 𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐
𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒚
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒍𝒂çã𝒐 
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂
 𝟔 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 
→ 
 
 
 
 
 
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(3.b) A imagem da função ℎ(𝑥) = ln(3 − √𝑥 ) é 𝐼𝑚(ℎ) = (−∞ , ln(3)]. As transformações feitas 
no gráfico da função ℎ para se chegar ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ) são: 
translação horizontal para esquerda de 6 unidades, seguida de uma reflexão em torno do eixo 𝒚 OU 
reflexão em torno do eixo 𝒚 seguida de uma translação horizontal para direita de 6 unidades. 
Essas transformações não fazem alterações na imagem da função inicial, pois não fazem modificações no 
sentido vertical. Portanto, 𝑰𝒎(𝒇) = (−∞ , 𝐥𝐧(𝟑)] . Isto também pode ser observado no gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3 − √6 − 𝑥 ) . 
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Questão 4 [1,7 ponto] 
Considere a função 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) , 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ), com domínio, imagem e 
gráfico determinados nas questões anteriores. 
(4.a) A função 𝑓 é invertível. Justifique! 
(4.b) Encontre a expressão da função 𝒚 = 𝒇−𝟏(𝒙). Responda qual é o domínio e a imagem de 𝒇−𝟏. 
Justifique suas respostas. 
(4.c) Esboce em um mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝒇 , 𝒇−𝟏 e da reta de equação 
 𝒚 = 𝒙 . Identifique nos gráficos das funções 𝑓 e 𝑓−1 os pontos de interseção desses gráficos 
com os eixos coordenados. 
RESOLUÇÃO: 
(4.a) A função 𝑓: (−3 , 6] ⟶ (−∞ , ln(3)] é crescente, logo injetora e é também sobrejetora, logo 
é inversível. 
(4.b) Sendo 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ) , vamos resolver a equação 𝒚 = 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ) 
explicitando a variável 𝒙 . 
𝒚 = 𝒍𝒏(𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ) ⇔ 𝒆𝒚 = 𝒆𝒍𝒏(𝟑−√𝟔−𝒙 ) = 𝟑 − √𝟔 − 𝒙 ⇔ 
 √𝟔 − 𝒙 = 𝟑 − 𝒆𝒚 ⇔ 𝟔 − 𝒙 = (𝟑 − 𝒆𝒚)𝟐 ⇔ 𝒙 = 𝟔 − (𝟑 − 𝒆𝒚)𝟐 
Trocando 𝒙 por 𝒚 , temos 𝒚 = 𝟔 − (𝟑 − 𝒆𝒙)𝟐. 
Logo, 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝟔 − (𝟑 − 𝒆𝒙)𝟐 
Como 𝑫𝒐𝒎(𝒇−𝟏) = 𝑰𝒎(𝒇) e 𝑰𝒎(𝒇−𝟏) = 𝑫𝒐𝒎(𝒇) então 
𝑫𝒐𝒎(𝒇−𝟏) = (−∞ , 𝐥𝐧(𝟑)] e 𝑰𝒎(𝒇−𝟏) = (−𝟑 , 𝟔] 
 
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(4.c)