PC_2020-1_APX2_GABARITO

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APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 1 de 11 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
GABARITO DA APX2 
 
Questão 1 [2,5 pontos] Faça o que se pede em cada item. 
(1.a) [1,3 ponto] Resolva 2 cos(3𝑥) + 3 tan(3𝑥) = 0 para −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
. 
(1.b) [0,4 ponto] Resolva 2 cos(3𝑥) + 3 tan(3𝑥) = 0 para os possíveis valores reais de 𝑥. 
(1.c) [0,8 pontos] Encontre todos os intervalos de variação de 𝑥 que satisfazem: 
 2 sen2(3𝑥) − 3 sen(3𝑥) − 2 > 0 e 0 ≤ 𝑥 ≤
2𝜋
3
. 
RESOLUÇÃO 
(1.a) Como tan(3𝑥) =
sen(3𝑥)
cos(3𝑥)
, substituindo na equação dada, obtemos 
2 cos(3𝑥) +
3 sen(3𝑥)
cos(3𝑥)
= 0. Resolvendo essa equação, 
2 cos(3𝑥) +
3 sen(3𝑥)
cos(3𝑥)
= 0 ⟺ (2 cos(3𝑥) +
3 sen(3𝑥)
cos(3𝑥)
) ∙ cos(3𝑥) = 0 ∙ cos(3𝑥) ⟺ 
2 cos2(3𝑥) + 3 sen(3𝑥) = 0 (*). Da identidade trigonométrica fundamental, 
sen2(3𝑥) + cos2(3𝑥) = 1 e cos2(3𝑥) = 1 − sen2(3𝑥). 
Substituindo cos2(3𝑥) = 1 − sen2(3𝑥) em (*), 
 2(1 − sen2(3𝑥)) + 3 sen(3𝑥) = 0 ⟺ 2 − 2 sen2(3𝑥) + 3sen(3𝑥) = 0 ⟺ 
2 sen2(3𝑥) − 3sen(3𝑥) − 2 = 0. 
Fazendo sen(3𝑥) = 𝑦, obtemos 2𝑦2 − 3𝑦 − 2 = 0. Resolvendo em 𝑦, 
𝑦 =
−(−3)±√(−3)2−4∙2∙(−2)
2∙2
=
3±√9+16
4
=
3±5
4
 ⟺ 𝑦 =
8
4
 𝑜𝑢 𝑦 =
−2
4
 ⟺ 𝑦 = 2 𝑜𝑢 𝑦 = −
1
2
. 
Voltando em 𝑦 = sen(3𝑥), obtemos sen(3𝑥) = 2 ou sen(3𝑥) = −
1
2
. 
Resolvendo cada equação trigonométrica, considerando −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 ⟺ −𝜋 ≤ 3𝑥 ≤ 𝜋, 
• sen(3𝑥) = 2 não tem solução pois −1 ≤ sen(3𝑥) ≤ 1 qualquer que seja o valor de 𝑥. 
• sen(3𝑥) = −
1
2
 , −𝜋 ≤ 3𝑥 ≤ 𝜋. 
Mudando de variável. 3𝑥 = 𝑡 e −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
Observando o círculo trigonométrico para o ângulo 𝑡, temos que 
𝑡 = −
5𝜋
6
 ou 𝑡 = −
𝜋
6
. Voltando à variável 𝑥, obtemos 
3𝑥 = −
5𝜋
6
 ou 3𝑥 = −
𝜋
6
 ⟺ 𝑥 = −
5𝜋
3∙6
 ou 𝑥 = −
𝜋
3∙6
 . 
Portanto a solução da equação dada é 𝑥 = −
5𝜋
18
 ou 𝑥 = −
𝜋
18
 
 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 2 de 11 
(1.b) Na equação 2 cos(3𝑥) + 3 tan(3𝑥) = 0, os valores possíveis para 𝑥 são: 
3𝑥 ∈ ℝ e pela restrição de tan (3𝑥), temos que 3𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Do item (1.a), para a equação 2 cos(3𝑥) + 3 tan(3𝑥) = 0, depois de simplificar já encontramos : 
sen(3𝑥) = 2 ou sen(3𝑥) = −
1
2
. 
Precisamos resolver agora cada equação trigonométrica, considerando 3𝑥 ∈ ℝ e 3𝑥 ≠
𝜋
2
+
𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
• sen(3𝑥) = 2 não tem solução pois −1 ≤ sen(3𝑥) ≤ 1 qualquer que seja o valor de 𝑥. 
• sen(3𝑥) = −
1
2
 , 3𝑥 ∈ ℝ e 3𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Mudando de variável, 3𝑥 = 𝑡 e 𝑡 ∈ ℝ e 𝑡 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Observando o círculo trigonométrico para o ângulo 𝑡, temos que 
𝑡 = −
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑡 = −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ , 
esses ângulos satisfazem a restrição 𝑡 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Outra forma de solução para 𝑡 é considerar ângulos congruentes com −
5𝜋
6
 
e com −
𝜋
6
, por exemplo, outra forma é: 
𝑡 =
7𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑡 =
11𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Voltando à variável 𝑥, obtemos 
3𝑥 = −
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 3𝑥 = −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 
𝑥 = −
5𝜋
3∙6
+
2𝑘𝜋
3
 ou 𝑥 = −
𝜋
3∙6
+
2𝑘𝜋
3
 , 𝑘 ∈ ℤ . 
Portanto a solução da equação, para os possíveis valores de 𝑥, é: 
𝑥 = −
5𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
 ou 𝑥 = −
𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
 , 𝑘 ∈ ℤ. 
Ou em outra forma de solução, por exemplo, 
𝑥 =
7𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
 ou 𝑥 =
11𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
 , 𝑘 ∈ ℤ. 
 
(1.c) 2 sen2(3𝑥) − 3sen(3𝑥) − 2 > 0 
Fazendo sen(3𝑥) = 𝑦, obtemos 2𝑦2 − 3𝑦 − 2 > 0. 
Resolvendo 2𝑦2 − 3𝑦 − 2 = 0, 
𝑦 =
−(−3)±√(−3)2−4∙2∙(−2)
2∙2
=
3±√9+16
4
=
3±5
4
 ⟺ 𝑦 =
8
4
 𝑜𝑢 𝑦 =
−2
4
 ⟺ 𝑦 = 2 𝑜𝑢 𝑦 = −
1
2
. 
Como no trinômio 2𝑦2 − 3𝑦 − 2 o seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima, e as 
raízes são 𝑦 = 2 𝑜𝑢 𝑦 = −
1
2
, a solução em 𝑦 da inequação 2𝑦2 − 3𝑦 − 2 > 0 
 é: 𝑦 < −
1
2
 ou 𝑦 > 2. 
Como y = sen(3𝑥), a solução em sen(3𝑥), da inequação 2 sen2(3𝑥) − 3sen(3𝑥) − 2 > 0 é: 
sen(3𝑥) < −
1
2
 ou sen(3𝑥) > 2. 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 3 de 11 
Resolvendo cada inequação para 0 ≤ 𝑥 ≤
2𝜋
3
 ⟺ 0 ≤ 3𝑥 ≤ 2𝜋 . 
• sen(3𝑥) > 2 não tem solução pois −1 ≤ sen(3𝑥) ≤ 1 qualquer que seja o valor de 𝑥. 
• sen(3𝑥) < −
1
2
 𝑒 0 ≤ 3𝑥 ≤ 2𝜋 
Mudando de variável. 3𝑥 = 𝑡 e 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
Observando o círculo trigonométrico para o ângulo 𝑡, temos que 
sen(𝑡) < −
1
2
 𝑒 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 ⟺ 
7𝜋
6
< 𝑡 <
11𝜋
6
 
Voltando à variável 𝑥, obtemos 
sen(3𝑥) < −
1
2
 𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤
2𝜋
3
 ⟺ 
7𝜋
6
< 3𝑥 <
11𝜋
6
 
⟺ 
7𝜋
18
< 𝑥 <
11𝜋
18
 
Portanto o intervalo de variação de 𝑥 é 
7𝜋
18
< 𝑥 <
11𝜋
18
. 
 
Questão 2 [1,4 ponto] Considere 𝑓(𝑥) = arccos(2𝑥 − 1) e 𝑔(𝑥) = 𝜋 − arcsen(3 − 𝑥) . 
Responda cada pergunta, justificando com cálculos a sua resposta. 
(2.a) [0,4 ponto] Qual é o domínio da função 𝑓? Qual é o domínio da função 𝑔? 
(2.b) [0,5 ponto] Se 𝑓(𝑥) = 3𝜋 − 𝑎, quais são todos os valores possíveis para 𝑎? Responda na 
forma de intervalo. Se 𝑥 =
1
4
, qual é o valor de 𝑎? 
(2.c) [0,5 ponto] Se 𝑔(𝑥) = 𝑏𝜋 , quais são todos os valores possíveis para 𝑏? Responda na forma 
de intervalo. Se 𝑥 =
7
2
, qual é o valor de 𝑏? 
RESOLUÇÃO 
(2.a) Domínio de 𝑓 
Como o domínio da função arco cosseno é o intervalo [−1, 1], temos a seguinte restrição para o 
domínio de 𝑓: −1 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 1. Resolvendo essa inequação. 
−1 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 1 ⟺ 0 ≤ 2𝑥 ≤ 2 ⟺ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0, 1]. 
Domínio de 𝑔 
Como o domínio da função arco seno é o intervalo [−1, 1], temos a seguinte restrição para o 
domínio de g: −1 ≤ 3 − 𝑥 ≤ 1. Resolvendo essa inequação. 
−1 ≤ 3 − 𝑥 ≤ 1 ⟺ −4 ≤ −𝑥 ≤ −2 ⟺ 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [2, 4] 
 
(2.b) 𝑓(𝑥) = 3𝜋 − 𝑎 ⟺ arccos(2𝑥 − 1) = 3𝜋 − 𝑎 . 
Como a imagem da função arco cosseno é o intervalo [0, 𝜋], temos que impor 0 ≤ 3𝜋 − 𝑎 ≤ 𝜋 . 
Resolvendo em 𝑎, 
0 ≤ 3𝜋 − 𝑎 ≤ 𝜋 ⟺ 0 − 3𝜋 ≤ −𝑎 ≤ 𝜋 − 3𝜋 ⟺ −3𝜋 ≤ −𝑎 ≤ −2𝜋 ⟺ 2𝜋 ≤ 𝑎 ≤ 3𝜋. 
Portanto, 𝑎 ∈ [2𝜋, 3𝜋]. 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 4 de 11 
Substituindo 𝑥 =
1
4
 em 𝑓(𝑥) = arccos(2𝑥 − 1), obtemos 
𝑓 (
1
4
) = arccos (2 ∙
1
4
− 1) = arccos (2 ∙
1
4
− 1) = arccos (
1
2
− 1) = arccos (−
1
2
) =
2𝜋
3
 
Como supomos 𝑓(𝑥) = 3𝜋 − 𝑎, obtemos 3𝜋 − 𝑎 =
2𝜋
3
 
Resolvendo em 𝑎, 3𝜋 − 𝑎 =
2𝜋
3
 ⟺ 3𝜋 −
2𝜋
3
= 𝑎 ⟺ 𝑎 =
7𝜋
3
. 
(2.c) 𝑔(𝑥) = 𝑏𝜋 ⟺ 𝜋 − arcsen( 3 − 𝑥) = 𝑏𝜋 ⟺ arcsen( 3 − 𝑥) = 𝜋 − 𝑏𝜋 
Como a imagem da função arco seno é o intervalo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
], temos que impor −
𝜋
2
≤ 𝜋 − 𝑏𝜋 ≤
𝜋
2
. 
Resolvendo em 𝑏, 
−
𝜋
2
≤ 𝜋 − 𝑏𝜋 ≤
𝜋
2
 ⟺ −
1
2
≤ 1 − 𝑏 ≤
1
2
 ⟺ −
1
2
− 1 ≤ −𝑏 ≤
1
2
− 1 
⟺ −
3
2
≤ −𝑏 ≤ −
1
2
 ⟺ 
1
2
≤ 𝑏 ≤
3
2
 
Portanto, 𝑏 ∈ [
1
2
,
3
2
]. 
Substituindo 𝑥 =
7
2
 em 𝑔(𝑥) = 𝜋 − arcsen(3 − 𝑥), obtemos 
𝑔 (
7
2
) = 𝜋 − arcsen (3 −
7
2
) = 𝜋 − arcsen (−
1
2
) = 𝜋 − (−
𝜋
6
) = 𝜋 +
𝜋
6
=
7𝜋
6
. 
Como supomos 𝑔(𝑥) = 𝑏𝜋, obtemos 𝑏𝜋 =
7𝜋
6
. 
Resolvendo em 𝑏, 𝑏𝜋 =
7𝜋
6
 ⟺ 𝑏 =
7
6
. 
 
Questão 3 [0,8 ponto] Considere as identidades trigonométricas 
sen(2𝑥) = 2 sen(𝑥) cos(𝑥) cos(2𝑥) = cos2(𝑥) − sen2(𝑥) 
sen2(𝑥) =
1−cos(2𝑥)
2
 cos2(𝑥) =
1+cos(2𝑥)
2
. 
Usando uma ou mais de uma dessas identidades, calcule: 
(3.a) [0,4 ponto] sen (
𝜋
12
) (3.b) [0,4 ponto] cos (
11𝜋
12
) 
Resolução 
(3.a)sen2 (
𝜋
12
) =
1−cos(2∙
𝜋
12
)
2
=
1−cos(
𝜋
6
)
2
=
1−
√3
2
2
=
2−√3
2
2
=
2−√3
4
 
Logo, sen (
𝜋
12
) = ±√
2−√3
4
= ±
√2−√3
2
. Como o ângulo 
𝜋
12
 é do 1º. Quadrante, sen (
𝜋
12
) > 0 
e concluímos que sen (
𝜋
12
) =
√2−√3
2
. 
(3.b) cos2 (
11𝜋
12
) =
1+cos(2∙
11𝜋
12
)
2
=
1+cos(
11𝜋
6
)
2
=
1+
√3
2
2
=
2+√3
2
2
=
2+√3
4
 
Logo, cos (
11𝜋
12
) = ±√
2+√3
4
= ±
√2+√3
2
. Como o ângulo 
11𝜋
12
 é do 2º. Quadrante, cos (
𝜋
12
) < 0 
e concluímos que cos (
11𝜋
12
) = −
√2+√3
2
. 
 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 5 de 11 
Questão 4 [2,1 pontos] 
(4.a) [0,6 ponto] Resolva em ℝ , a inequação 
𝑒𝑥−2
1−𝑥2
 < 0 . 
Quando for o caso, dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união de intervalos disjuntos 
(intervalos que não têm pontos em comum). 
(4.b) [1,5 ponto] Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥. A partir do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥 , use 
transformações em gráficos e esboce o gráfico da função ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4. . Descreva em 
palavras as transformações usadas e esboce os gráficos usados até encontrar o gráfico de 
ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4. Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) corta ou toca os 
eixos coordenados, quando existirem. Marque esses pontos nos eixos coordenados. 
Analisando o gráfico da função ℎ estude o sinal da função 𝑦 = ℎ(𝑥) , ou seja, encontre os valores 
de 𝑥 tais que h(𝑥) = 0 , ℎ(𝑥) > 0 𝑒 ℎ(𝑥) < 0. 
RESOLUÇÃO: 
(4.a) Resolvendo a inequação 
𝑒𝑥−2
1−𝑥2
 < 0 
Vamos estudar separadamente os sinais das expressões 𝑒𝑥 − 2 e 1 − 𝑥2 . 
Temos que: 
𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ ln(𝑒𝑥) = ln(2 ) ⟺ 𝑥 = ln(2 ) . 
𝑒𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑒𝑥 > 2 ⟺ ln (𝑒𝑥) > ln(2 ) ⟺ 𝑥 > ln(2 ) . 
𝑒𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑒𝑥 < 2 ⟺ ln(𝑒𝑥) < ln(2 ) ⟺ 𝑥 < ln(2 ) . 
1 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥2 = 1 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1 
1 − 𝑥2 > 0 ⟺ −1 < 𝑥 < 1 
 1 − 𝑥2 < 0 ⟺ 𝑥 < −1 ou 𝑥 > 1 
A análise do sinal de 𝑦 = 1 − 𝑥2 é baseada na figura ao lado. 
Análise de sinal 
Vamos usar a tabela abaixo para auxiliar a análise de sinal. 
 (−∞,−1) −1 (−1 , ln (2)) ln (2) (ln (2) , 1) 1 (1 ,∞) 
𝑒𝑥 − 2 − − − 0 + + + 
1 − 𝑥2 − 0 + + + 0 − 
𝑒𝑥 − 2
1 − 𝑥2
 + 𝑛𝑑 − 0 + 𝑛𝑑 − 
Concluindo: 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 6 de 11 
𝑒𝑥−2
1−𝑥2
< 0 se e só se −1 < 𝑥 < ln (2) ou 𝑥 > 1 
Em intervalos, 𝑥 ∈ (−1 , ln(2)) ∪ (1 ,∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(4.b) 
Gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥 
 
 
 
 
 
 
𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥.
𝐼𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎,
 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥>0 
𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟
𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ 𝑦 = 𝑒|𝑥| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 
𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = −𝑒|𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = −𝑒|𝑥−1| 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4 
 
 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥.
𝐼𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎,
 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥>0 
𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟
𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ 
 
 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 7 de 11 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 
𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
 
ATENÇÃO: Existem outras possíveis sequências de transformações, que vamos citar abaixo: 
• reflexão no eixo x → modulação em x → translação horizontal → translação vertical 
• reflexão no eixo x → modulação em x → translação vertical → translação horizontal 
• modulação em x → reflexão no eixo x → translação horizontal → translação vertical 
• modulação em x → reflexão no eixo x → translação vertical → translação horizontal 
• modulação em x → translação horizontal → reflexão no eixo x → translação vertical 
• reflexão no eixo x → translação vertical → modulação em x → translação horizontal 
É preciso respeitar que a translação vertical tem que vir depois da reflexão no eixo x e a translação 
horizontal tem que vir depois da modulação em x. 
Os gráficos devem seguir a ordem escolhida para as transformações. 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 8 de 11 
Interseção do gráfico da função ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4 com os eixos coordenados 
Interseção com o eixo 𝒙 Fazendo 𝑦 = 0 : 
ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4 = 0 ⟺ 𝑒|𝑥−1| = 4 ⟺ |𝑥 − 1| = ln(4) ⟺ 
𝑥 − 1 = ln(4) ou 𝑥 − 1 = − ln(4) ⟺ 𝑥 = 1 + ln(4) ou 𝑥 = 1 − ln(4) 
 Portanto, os pontos de interseção do gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) com eixo 𝑥 são 
 (1 + ln (4) , 0) e (1 − ln (4) , 0) . 
Interseção com o eixo 𝒚 Fazendo 𝑥 = 0 : 
 𝑦 = ℎ(0) = −𝑒|0−1| + 4 = −𝑒|−1| + 4 = −𝑒 + 4. 
Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) com eixo 𝑦 é o ponto 
(0 , −𝑒 + 4). 
Observando o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) , temos que: 
ℎ(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 1 + ln(4) ou 𝑥 = 1 − ln(4) 
ℎ(𝑥) > 0 ⟺ 1 − ln(4) < 𝑥 < 1 + ln(4) , ou seja, 𝑥 ∈ (1 − ln(4) , 1 + ln (4)) 
ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < 1 − ln(4) 𝑜𝑢 𝑥 > 1 + ln(4) , ou seja, 
 𝑥 ∈ (−∞ , 1 − ln(4)) ∪ (1 + ln(4) ,∞) 
_________________________________________________________________________________ 
 
Questão 5 [3,2 pontos] 
(5.a) [0,8 ponto] Use as propriedades de 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 e resolva em ℝ a equação: 
log2(𝑥 + 4) + log2(𝑥 − 3) = log2 18 
(5.b) [1,0 ponto] Considere a função 𝑟(𝑥) = ln(−3 + ln(𝑥 + 1)). Encontre o domínio da 
função 𝒓 . Resolva a equação 𝑟(𝑥) = ln(−3 + ln(𝑥 + 1)) = 0 . 
(5.c) [1,4 ponto] Esboce o gráfico de 𝑦 = ln(𝑥). A partir do gráfico de 𝑦 = ln(𝑥) , use 
transformações em gráficos e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, a reta de equação 
 𝑥 = −3 e o gráfico da função 𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2. Descreva em palavras as transformações 
usadas e esboce os gráficos usados até encontrar o gráfico de 𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2. 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 9 de 11 
Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) corta ou toca os eixos coordenados, 
quando existirem. Marque esses pontos nos eixos coordenados. Observando o gráfico da função 
 𝑠 , dê a sua imagem. 
RESOLUÇÃO: 
(5.a) Consideremos a equação log2(𝑥 + 4) + log2(𝑥 − 3) = log2 18 
Para que a equação esteja definida temos que 𝑥 + 4 > 0 𝑒 𝑥 − 3 > 0 . 
Assim, 𝑥 + 4 > 0 𝑒 𝑥 − 3 > 0 ⟺ 𝑥 > −4 e 𝑥 > 3 ⟺ 𝑥 > 3 
Usando as propriedades de log𝑎 𝑥 , vamos resolver a equação: 
log2(𝑥 + 4) + log2(𝑥 − 3) = log2 18 ⟺ log2[(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)] = log2 18 ⟺ 
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 18 ⟺ 𝑥2 + 𝑥 − 12 = 18 ⟺ 𝑥2 + 𝑥 − 30 = 0 . 
Resolvendo 𝑥2 + 𝑥 − 30 = 0 : 
 𝑥2 + 𝑥 − 30 = 0 ⟺ 
−1 ± √12 − 4.1. (−30)
2.1
 = 
−1 ± √1 + 120 
2
 = 
−1 ± √121 
2
= 
−1±11 
2
 . Portanto, 𝑥 =
−1−11
2
= −6 ou 𝑥 =
−1+11
2
= 5. 
Como temos a exigência que 𝑥 > 3 então a solução da equação 
log2(𝑥 + 4) + log2(𝑥 − 3) = log2 18 
 é o conjunto {5}. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(5.b) Consideremos a função 𝑟(𝑥) = ln(−3 + ln(𝑥 + 1)). 
Para encontrar o domínio temos duas restrições: 
𝑥 + 1 > 0 𝑒 − 3 + ln(𝑥 + 1) > 0 . 
Resolvendo as restrições:𝑥 + 1 > 0 𝑒 − 3 + ln(𝑥 + 1) > 0 ⟺ 𝑥 > −1 𝑒 ln(𝑥 + 1) > 3 ⟺ 
𝑥 > −1 e 𝑒ln(𝑥+1) > 𝑒3 ⟺ 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 + 1 > 𝑒3 ⟺ 
 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 > 𝑒3 − 1 ⟺ 𝑥 > 𝑒3 − 1 , pois 𝑒3 − 1 > 0. 
Logo, o domínio da função 𝑟 é 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = (𝑒3 − 1 , + ∞ ). 
Resolvendo a equação 𝑟(𝑥) = ln(−3 + ln(𝑥 + 1)) = 0 . 
ln(−3 + ln(𝑥 + 1)) = 0 ⟺ −3 + ln(𝑥 + 1) = 1 ⟺ ln(𝑥 + 1) = 4 ⟺ 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 10 de 11 
𝑒ln(𝑥+1) = 𝑒4 ⟺ 𝑥 + 1 = 𝑒4 ⟺ 𝑥 = 𝑒4 − 1 . 
Como 𝑒4 − 1 > 𝑒3 − 1 , então a solução da equação 
ln(−3 + ln(𝑥 + 1)) = 0 
 é o conjunto { 𝑒4 − 1 }. 
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(5.c) 
 
Gráfico da função 𝑦 = ln(𝑥) 
 
 
 
= ln(𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = ln(𝑥 + 3) 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = |ln (𝑥 +3)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 
 
 
 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
APX2-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 11 de 11 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
ATENÇÃO: Existem outras possíveis sequências de transformações, que vamos citar abaixo: 
• modulação da função 𝑦 = ln 𝑥 → translação horizontal → translação vertical 
• modulação da função 𝑦 = ln 𝑥 → translação vertical → translação horizontal 
É preciso respeitar que a translação vertical tem que vir depois da modulação da função 
Os gráficos devem seguir a ordem escolhida para as transformações. 
Interseção do gráfico da função 𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2 com os eixos coordenados 
Interseção com o eixo 𝒙 Fazendo 𝑦 = 0 : 
𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2 = 0 ⟺ |ln(x+3)| = 2 ⟺ ln(𝑥 +3) = −2 ou ln(𝑥 +3) = 2 
⟺ 𝑒ln(𝑥+3) = 𝑒−2 ou 𝑒ln(𝑥+3) = 𝑒2 ⟺ 𝑥 + 3 = 𝑒−2 ou 𝑥 + 3 = 𝑒2 ⟺ 
 𝑥 = 𝑒−2 − 3 ou 𝑥 = 𝑒2 − 3 
Portanto, os pontos de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) com eixo 𝑥 são: 
(𝑒−2 − 3 , 0) , ( 𝑒2 − 3 , 0) . 
Interseção com o eixo 𝒚 Fazendo 𝑥 = 0 
𝑠(0) = |ln (0 +3)| − 2 = |ln(3)| − 2 = −2 + ln(3) 
Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) com eixo 𝑥 é o ponto 
(0 , −2 + ln(3)). 
Observando o gráfico temos que 𝐈𝐦(𝒔) = [−𝟐 ,+∞).