ANÁLISENARETA-3ªLISTADEEXERCÍCIOS

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INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL NA RETA
Profo. Me. Wendhel Raffa Coimbra
http://sites.google.com/site/wraffa
3a LISTA DE EXERCÍCIOS
01. Provar que os números reais x ∈ R que satisfazem a condição |x− a| < ϵ estão no intervalo
(a− ϵ, a+ ϵ).
02. Mostrar que dados x, y ∈ R com 0 < x < y então x2 < y2. Nas mesmas condições, prove
que
√
x <
√
y.
03. Se
x1
y1
=
x2
y2
= · · · = xn
yn
em R, prove que, dados a1, ..., ak ∈ R tais que a1y1 + a2y2 + · · ·+
+anyn ̸= 0 tem-se
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn
a1y1 + a2y2 + · · ·+ anyn
=
x1
y1
.
04. Dados x ̸= 0 em R e n ∈ N∗ qualquer, então (1 + x)2n > 1 + 2nx.
05. Se n ∈ N e x < 1, então (1− x)n ≥ 1− nx.
06. Se a e a+ x são positivos, prove que (a+ x)n ≥ an + nan−1x.
07. Provar:
i)
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , ∀ a, b ∈ R com b ̸= 0.
ii)|a+ b+ c| ≤ |a|+ |b|+ |c| ,∀ a, b, c ∈ R.
08. Mostrar que para quaisquer x, y, z ∈ R:
i)|x− y| ≤ |x|+ |y|.
ii)||x| − |y|| ≤ |x− y|.
iii)|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.
09. Sejam x e y tais que |x− y| < |y|
2
. Mostre que |x| > |y|
2
.
(Sugestão: |x| = |y − (y − x)| e usar a desigualdade ?? da página??).
10. Suponha que a, b ∈ R satisfazem a2 + b2 = 0. Mostrar que a = b = 0.
11. i) Suponha que a, b ∈ R satisfazem 0 < a < 1 e b > 0. Mostre que ab < b.
ii) Usando i) e indução, provar que, se 0 < a < 1, então an < 1, para qualquer n ∈ N∗.
1
iii) Utilizando os mesmos artif́ıcios de i) e também as observações da página ??, mostrar que
an+1 < an, para qualquer n ≥ 1.
12. Supondo a > 1, mostre que as desigualdades do problema anterior tornam-se >.
13. Seja n ∈ N∗ fixado, mostrar que a função f : R+ → R+ tal que f (x) = xn é estritamente
crescente, isto é, se 0 < x < y então xn < yn.
(Dica: xn < yn ⇔ x
n
yn
< 1).
14. Concluir a partir do problema 13 que as funções fn : R+ → R+, definidas por fn (x) =
x
1
n = n
√
x são estritamente crescentes.
15. Sejam x, y ∈ R com x > y > 0. Mostrar que
√
x− y >
√
x−√y.
16. Prove: se para todo r > 0, r real, |a− b| < r, então a = b.
17. Determine, pela definição, o supremo e o ı́nfimo do conjunto: X =
{
n+ 1
n
, n ∈ N∗
}
.
18. Determine supremo, ı́nfimo, máximo e mı́nimo (caso existam) dos conjuntos:
a) X = {x ∈ Q | x2 ≤ 2}.
b) X =
{
x ∈ R | x− 3
x− 2
≤ 0
}
.
c) X =
{
n
n+ 1
, n ∈ N
}
.
d) X =
{
x ∈ R | x = 2n+ 1
n
+
1
2n+ 1
, n ∈ N∗
}
.
e) X = {x ∈ R | |5x− 2| ≥ 3}.
19. Seja X = {a1, a2, ..., an} um conjunto finito. Mostre que X é limitado e que admite
máximo e mı́nimo.
20. Verificar quais funções abaixo são limitadas superiormente/inferiormente e quando couber,
checar supf , maxf , inff e minf .
a) f : R → R tal que f (x) = x
1 + x2
.
b) f : R∗ → R tal que f (x) = sin1
x
.
c) f : R → R tal que f(x) =
 0, se x ∈ Q;1, se x /∈ Q.
d) f : (−∞, 0) → R tal que f (x) = ex.
21. Mostre que M =max X ⇔ M =sup X e M ∈ X.
2
22. Para A,B, subconjuntos não vazios de R e α ∈ R provar que:
a) inf(A+B) = inf A + inf B.
b) inf(αA) = α· inf A, se α > 0(admitindo A e B limitados).
c) inf(αA) = α· sup A, se α < 0.
23. Sejam A e B, limitados tais que A ⊆ B. Provar que inf B ≤ inf A e sup A ≤ sup B.
24. a) Prove que a soma das funções limitadas f, g : X → R é uma função limitada
(f + g) : X → R.
b) Mostre que (f + g) (X) ⊆ f (X)+g (X) e conclua da proposição da página ?? e o exerćıcio
anterior que inf(f + g) ≥ inf(f) + inf(g) e sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g).
c) Considerando as funções f, g : [−1, 1] → R definidas por f (x) = x e g (x) = −x, mostre
que se pode ter sup(f + g) < sup(f) + sup(g) e inf(f + g) > inf (f) + inf (g).
25. Todas funções constantes são limitadas.
26. A função f : [0, 1] → R tal que f(x) = x é limitada, visto que f([0, 1]) = .......... é um
conjunto limitado.
27. Seja a função f : R → R definida por f(x) = x. Mostre que não f não é limitada.
28. Mostre que a função sin e cos são limitadas, mas a função tan não o é.
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