Gabarito da atividade para avaliação - Semana 5_ MODELAGEM E SIMULAÇÃO - EEM501

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MODELAGEM E SIMULAÇÃO
Teoria de filas com problemas reais: reparo de
máquinas e sistemas de filas5
A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
(1 pontos)
Avalie as seguintes sentenças: 
É correto o que se afirma em
JUSTIFICATIVA 
- Primeira sentença (incorreta): No modelo M/M/s, um dos casos é aquele em que o número
de clientes (j) é inferior ou igual ao número de servidores (s), isto é, j ≤ s, acarretando a
desocupação de uma ou mais servidores. Nesse caso, contudo, a taxa de atendimento será
calculada via o produto jμ, em que é a taxa de atendimento individual de cada servidor (por
exemplo, se s=3 e j=2, então a taxa de atendimento corresponde a jμ=2);
- Segunda sentença (correta): No modelo de reparo de máquinas, cuja representação na
notação de Lee-Kendall pode ser M/M/R/GD/K/K, “R” é o número de servidores atendendo
em paralelo, enquanto “K” designa tanto o número máximo de clientes permitido no sistema
como o número de clientes que frequentam o sistema (tamanho da população), que são
iguais entre si;
1.
No modelo M/M/s, para o caso de o número de clientes (j) ser inferior ou igual ao
número de servidores (s) (isto é, ), o que resultará em desocupação de um ou
mais servidores, a taxa de atendimento do sistema será computada pelo produto sμ,
em que μ  é a taxa de atendimento individual de cada servidor. 
I.
No modelo de reparo de máquinas, cuja representação na notação de Lee-Kendall
pode ser M/M/R/GD/K/K, o número de servidores atendendo em paralelo é “R”,
enquanto o número máximo de clientes permitido no sistema e o número de clientes
que frequentam o sistema (tamanho da população) são ambos iguais a “K”.
II.
A intensidade de tráfego deverá ser inferior a 1,0 para assegurar que as equações do
modelo de reparo de máquinas (M/M/R/GD/K/K) possam ser aplicadas, haja vista
que, nesse caso, é necessário obedecer à condição de estado estacionário, a qual se
reflete em um crescimento estável da fila ao longo do tempo.
III.
Em um sistema regido pelo modelo M/M/R/GD/K/K, para calcular os tempos médios
gastos por um elemento no sistema, na fila e no atendimento, em lugar da taxa de
chegadas simples (λ), considera-se a taxa de chegadas média ( ), cuja definição é 
, em que L é o número médio de elementos no sistema. 
IV.
todas as sentenças.a.
II, III e IV, apenas.b.
I, III e IV, apenas.c.
II e III, apenas.d.
I e II, apenas.e.
- Terceira sentença (correta): Para que as equações do modelo de reparo de máquinas
(M/M/R/GD/K/K) sejam aplicáveis, é obrigatório que a intensidade de tráfego seja inferior a
1,0, o que vai assegurar um crescimento estável da fila ao longo do tempo, característico da
condição de estado estacionário;
- Quarta sentença (correta): Em um sistema regido pelo modelo M/M/R/GD/K/K, visa
calcular os tempos médios gastos por um elemento no sistema.(seja no sistema como um
todo, somente na fila ou somente no atendimento), em vez da taxa de chegadas simples (λ),
considera-se a taxa de chegadas média ( ), cuja definição é , em que L é o
número médio de elementos no sistema e K, o tamanho da população (ou a capacidade
máxima).
(1 pontos)
Um sistema regido pelo modelo de reparo de máquinas (M/M/R/GD/K/K) tem capacidade
máxima para 6 clientes e opera com 4 atendentes em postos paralelos (todos idênticos
entre si, não havendo, portanto, preferência dos clientes por nenhum deles em específico). A
taxa de chegadas de clientes é de 8,0 clientes/hora, ao passo que a taxa de atendimento em
um posto é de 10 clientes/hora.    
Com base nas informações dadas, analise as sentenças a seguir e marque V para verdadeiro
e F para falso. 
(   ) A fração de tempo na qual o sistema se encontra vazio (p , em %) é p ≅13,9%.
(   ) A probabilidade de haver apenas 1 ou nenhum cliente no sistema (p ) é p ≅0,168.
(   ) A probabilidade de existirem 2 clientes ocupando o sistema (p ) vale p ≅0,278.
(   ) A fração de tempo em que o sistema se encontra lotado (p , em %) vale p ≅1,4%.
(   ) A fração de tempo em que existem 4 clientes no sistema (p , em %) é p ≅29,7%.
Agora, entre as alternativas abaixo, escolha aquela que apresenta a sequência correta
(respectivamente).
JUSTIFICATIVA 
Capacidade máxima de clientes no sistema: K=6 clientes; Número de servidores trabalhando
em paralelo: R=4 servidores; Taxas de chegadas e atendimento: 
, respectivamente. Como resultado, obtém-se o
seguinte índice de congestionamento:  
As probabilidades P (ou frações de tempo, calculadas por meio de p =K j) p  p ) associadas às
situações com j=1,...........,R clientes são:
p = (6 1) 0,80 p =4,800p
p = (6 2) 0,80 =9,600p
2.
0 0
≤1 ≤1
2 2
L L
4 4
V – V – F – V – F.a.
V – F – F – F – F.b.
F – V – V – V – F.c.
F – F – V – F – V.d.
F – V – V – V – V.e.
j j
j 
0
1 
1 
0 0
2 
2 p0 0
p = (6 3) 0,80 =10,240p
p = (6 4) 0,80 =6,144p
Adicionalmente, as probabilidades p (calculadas, dessas vez, via a equação 
) associadas aos casos com j=R+1,..........,K clientes são as seguintes: 
- Primeira sentença (F): A fração de tempo na qual o sistema se encontra vazio (p ) é
determinada pelo seguinte somatório:
Como resultado, obtém-se p =0,029 ou p =2,9%;
- Segunda sentença (V): A probabilidade de haver apenas 1 ou nenhum cliente no sistema
(p ) corresponde à soma das probabilidades p e p , isto é,
p≤1=p +p =p +4,800p =5,800p =0,168;
- Terceira sentença (V): A probabilidade de existirem 2 clientes ocupando o sistema (p ) é
p =9,600p =0,278;
- Quarta sentença (V): Dado que o número máximo de clientes permitido no sistema é K = 6
clientes, a fração de tempo em que o sistema se encontra lotado (p ) é p = p = 0,491p =
0,014 ou p = p = 1,4%;
- Quinta sentença (F): A fração de tempo em que existem 4 clientes no sistema (p ) é p =
6,144p = 0,178 ou p = 17,8%.
3 
3 p0 0
4 
4 p0 0
j
0
0 0
≤1 0 1
0 1 0 0 0
2
2 0
L L  6  0 
L  6 
4 4 
0  4 
(1 pontos)
Uma pequena oficina é contratada por uma empresa para prestar reparos em 7 motos de
uso constante. A oficina possui 2 mecânicos que desempenham seus serviços
paralelamente nas motocicletas recebidas. Devido ao uso intensivo, sabe-se que 1 moto
perde temporariamente suas condições de utilização a cada 8 dias, sendo levada, portanto, à
oficina, e que cada mecânico finaliza um conserto em 2 dias. Se o modelo M/M/R/GD/K/K
(reparo de máquinas) for apropriado para descrever a situação, então o número esperado de
motocicletas em condições adequadas para utilização (designado por N ) corresponde a
3.
m
N ≅1,1 motos.a. m
N ≅3,2 motos.b. m
N ≅4,6 motos.c. m
N ≅5,3 motos.d. m
N ≅6,8 motos.e. m
JUSTIFICATIVA 
(1 pontos)
No trecho a seguir, preencha as lacunas.
Em uma empresa de manutenção de eletrodomésticos, o número de aparelhos para ajuste
em um determinado período equivale a 8. O número de técnicos de manutenção trabalhando
em paralelo nessa empresa é 4. Adicionalmente, a taxa de entrada na empresa é de 2
aparelhos/dia, enquanto a taxa de entrega (após a devida manutenção prestada por um dos
técnicos) é de 4 aparelhos/dia. Desse modo, dado que o modelo M/M/R/GD/K/K (reparo de
máquinas) é válido no período em questão, o número de eletrodomésticos esperado na
empresa (L) é __________, sendo cada um entregue após decorrido um tempo médio (W)
__________ de permanência na empresa, o qual inclui os tempos de espera na fila de
aparelhos e de serviço (manutenção) propriamente dito, em que o tempo de serviço médio
(W ) é __________.  
Agora, escolha a alternativa que apresenta a sequência correta.
JUSTIFICATIVA 
4.
s
L≅2,7 aparelhos, W≅6,1 h e W ≅5,7 h.a. s
L≅3,5 aparelhos, W≅5,7 h e W ≅0,4 h.b. s
L≅2,7 aparelhos, W≅6,1 h e W ≅0,4 h.c. s
L≅3,5 aparelhos, W≅6,1 h e W ≅5,7 h.d. s
L≅0,2 aparelhos, W≅11,7 h e W ≅6,1 h.e. s
(1 pontos)
Um sistema regido pelo modelo de reparo de máquinas (M/M/R/GD/K/K) funciona sob
intensidade (índice) de tráfego de 0,20, número máximo de clientes igual a 6 e número de
atendentes atuando em paralelo equivalente a 4. Nesse caso, a fração de tempo em que umatendente em particular fica ocioso (também conhecida como probabilidade de um único
atendente estar sem cliente para ocupá-lo, P ) será
JUSTIFICATIVA 
5.
o
P =30%.a. o
P =40%.b. o
P =65%.c. o
P =75%.d. o
P =90%.e. o
(1 pontos)
Avalie as seguintes sentenças: 
É correto o que se afirma em:
6.
Em um sistema de filas em série com k estágios, um cliente que deixa o estágio j
deve aguardar para ser atendido no estágio j+1 e assim até o estágio k, de modo que
ele deverá enfrentar diversos tempos de espera em fila ao longo de sua passagem
pelos estágios do sistema.
I.
O teorema de Jackson se baseia na ideia de que a distribuição dos tempos entre
duas chegadas consecutivas de clientes ao estágio 1 de um sistema de filas em
série é determinística, ao passo que os tempos de serviço em cada estágio devem
ter distribuição exponencial. 
II.
Para que o teorema de Jackson possa ser usado, o número máximo de clientes
permitido e o tamanho da população em um estágio j devem ser ilimitados; como
consequência, a capacidade de espera de cada estágio j que compõem um sistema
de filas em série será infinita.
III.
Visando à aplicação do teorema de Jackson a um sistema de filas em série, é
necessário que λ<sjj, sendo a taxa de entrada do primeiro estágio, o que implica que
a fila em cada estágio j com sj servidores em paralelo e sob taxa de saída j não
aumentará indefinidamente. 
IV.
III, apenas.a.
I e II, apenas.b.
JUSTIFICATIVA 
II e III, apenas.c.
I, II e III, apenas.d.
I, III e IV, apenas.e.
(1 pontos)
Tenha em consideração dois estágios de uma linha de montagem automatizada em uma
indústria de bicicletas: no primeiro são instalados os pneus e no segundo, situado logo em
sequência, os freios. No primeiro estágio, uma única máquina de instalação de pneus opera
a uma taxa de recebimento de bicicletas inacabadas de 72 peças/h e provê bicicletas com
pneus a uma taxa de saída de 96 peças/h. Já no segundo estágio, 4 máquinas para
colocação dos freios trabalham paralelamente e cada uma delas fornece bicicletas prontas
(com pneus e freios) a uma taxa de saída de 80 peças/h.    
Tendo em vista o caso em questão pode ser descrito pelo teorema de Jackson, preencha as
lacunas no trecho a seguir.
O número médio de bicicletas no primeiro estágio da linha de montagem (L , número médio
de bicicletas inacabadas dispostas em fila + número médio de bicicletas em processamento
na máquina instaladora de pneus) é __________. No segundo estágio, a métrica equivalente
(L , o número médio de bicicletas no segundo estágio da linha de montagem) vale
__________. Ademais, o tempo total W que uma peça leva para passar pelos dois estágios e
consequentemente deixar a linha de montagem como bicicleta pronta é __________.
Agora, escolha a alternativa que apresenta a sequência correta.
7.
1
2
L =2,2 peças, L ≅0,9 peças e W=2,40 min.a. 1 2
L =0,9 peças, L ≅3,0 peças e W=3,25 min.b. 1 2
L =3,0 peças, L ≅1,2 peças e W=2,40 min.c. 1 2
JUSTIFICATIVA 
L =2,2 peças, L ≅1,2 peças e W=0,72 min.d. 1 2
(1 pontos)
Considere dois estágios, j e j+1, de um sistema de filas em série (linha de produção) com k
(j=1, 2,…, k) estágios. A taxa de entrada no primeiro estágio (j=1) é de 12 elementos a cada
60 s. No estágio j, um único servidor processa 1 elemento a cada 4 s. Já no estágio j+1
imediatamente seguinte, a tarefa é mais complexa e dois servidores em paralelo processam
cada um 1 elemento em um tempo de 12 s. 
Nesse caso, analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
Nas condições estipuladas, o sistema de filas em série invariavelmente experimentará um
colapso do tráfego PORQUE apenas um servidor atuando no estágio j é insuficiente para
garantir a estabilidade do processamento.  
Logo, conclui-se que
8.
JUSTIFICATIVA 
as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.a.
as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.b.
a primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.c.
a primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.d.
as duas afirmações são falsas.e.
(1 pontos)
Um sistema de rede de filas com retrabalho possui dois estágios em série com somente um
servidor trabalhando em cada estágio. No estágio 1, a taxa de chegadas de elementos
oriundos de fora do sistema é de 8 elementos/h e o servidor 1 opera a uma taxa de
processamento de 25 elementos/h. 60% dos elementos trabalhados no estágio 1 são tidos
como prontos e os 40% restantes seguem para processamento adicional no estágio 2. No
estágio 2, por sua vez, a taxa de chegadas de elementos externos ao sistema é 16
elementos/h, enquanto o servidor 2 opera a uma taxa de processamento de 32 elementos/h.
50% do elementos que deixam o estágio 2 são considerados prontos e os outros 50% voltam
ao estágio 1 para serem novamente processados. Ademais, cada estágio do sistema é
descrito apropriadamente pelo modelo M/M/1. 
Tendo em conta as informações fornecidas, analise as sentenças a seguir e marque V para
verdadeiro e F para falso. 
(   ) A taxa de chegadas que caracteriza o estágio 1 ( ) é =24 elementosh.
(   ) A intensidade de tráfego que caracteriza o estágio 2 (p ) é p =0,75.
(   ) A fração de tempo em que o servidor 1 fica ocioso (P , em %) é P =20%.
(   ) A média de elementos no estágio 1 (L é menor que no estágio 2 (L ) (L <L ).
(   ) A média de elementos no sistema como um todo (L) é L=7 elementos.
 
9.
2 2
o,1 o,1
1) 2 1 2
Agora, entre as alternativas abaixo, escolha aquela que apresenta a sequência correta
(respectivamente).
JUSTIFICATIVA 
F – V – V – F – V.a.
V – F – F – F – V.b.
F – V – V – V – F.c.
V – V – V – F – F.d.
F – F – F – V – V.e.
(1 pontos)
A representação de um sistema de rede de filas com retrabalho e de 3 estágios (contendo as
variáveis importantes para o cálculo de métricas, incluindo as probabilidade p ) está
mostrada na figura abaixo. Note que cada estágio contém somente 1 servidor e que não há
transferência de elementos processados no servidor 1 diretamente para o servidor 3. As
distribuições dos tempos de chegada entre dois elementos consecutivos e dos tempos de
atendimento são ambas exponenciais.
10.
ij
No sistema em questão, o tempo médio que um elemento requer para passar por todos os
servidores (W) é
JUSTIFICATIVA 
W≅18,8 min.a.
W≅24,7 min.b.
W≅38,6 min.c.
W≅54,4 min.d.
W≅80,7 min.e.