Modelagem e Simulação Prova 2020

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GABARITO 
DISCIPLINA 
EEM501 - Modelagem e Simulação 
APLICAÇÃO 
01/10/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P007 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
Os processos estocáticos são caracterizados pela impossibilidade de se conhecer com certeza, na 
maioria das vezes, um estado 𝑋𝑡 antes do tempo em que sua observação é propriamente realizada (ou 
seja, 𝑡); logo, 𝑋𝑡 é dito como uma variável aleatória. Nesse contexto, temos o que conhecemos como 
cadeia de Markov, o qual é definido como um processo: 
a) em que a previsão de 𝑋𝑡+1 deverá ser realizada com base em dois ou mais valores anteriores 
(isto é, pelo menos partindo de 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−1). 
b) com memória longa, ou seja, cuja projeção de 𝑋𝑡+1 dependerá de todas as observações 
realizadas em tempos passados. 
c) que não deverá ser utilizado para prever 𝑋𝑡+1, já que, por meio dele, não é possível associar 
observações passadas e futuras. 
d) na qual a previsão de 𝑋𝑡+1 será realizada unicamente a partir da observação atual 𝑋𝑡, 
independentemente das observações 𝑋𝑡−1, 𝑋𝑡−2, …. 
e) em que todo o histórico de observações é determinante da probabilidade que conecta o 
estado atual 𝑋𝑡 ao estado imediatamente seguinte 𝑋𝑡+1. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: na qual a previsão de X_(t+1) será realizada unicamente a partir da observação 
atual X_t, independentemente das observações X_(t-1),X_(t-2),… 
 
Justificativa 
A cadeia de Markov é um processo sem memória (isto é, cujas previsões não dependem do histórico 
completo de observações), não importando as observações passadas (𝑋𝑡−1, 𝑋𝑡−2, ….). Nesse sentido, 
para determinar estados futuros na cadeia de Markov (por exemplo, 𝑋𝑡+1), basta conhecer o estado 
presente (𝑋𝑡). 
 
 
Questão 1.2 
O perfil de consumo com relação a um produto oferecido por 3 fabricantes (marcas 1, 2 e 3) distintos 
foi avaliado e, como resultado, gerou-se a matriz das probabilidades de transição apresentada a 
seguir. Para fins de tomada de decisão, um dos objetivos consiste em determinar a probabilidade de 
um consumidor que inicialmente adquire o produto da marca 2 continuar adquirindo-o, mesmo após 
3 compras. 
 Marca 
 1 2 3 
M
a
rc
a
 
1 
[
0,20 0,30 0,50
0,10 0,70 0,20
0,40 0,30 0,30
] 2 
3 
Tendo em vista as informações dadas, a probabilidade que se deseja determinar [𝑃(𝑋3 = 2)|𝑋0 = 2 =
𝑃22(3), em %] vale: 
a) 𝑃22(3) = 22,0%. 
b) 𝑃22(3) = 27,6%. 
c) 𝑃22(3) = 30,4%. 
d) 𝑃22(3) = 46,8%. 
e) 𝑃22(3) = 53,2%. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 𝑃22(3) = 53,2%. 
 
Justificativa 
A matriz de transição elevada ao quadrado (isto é, multiplicada por ela mesma) dá: 
 
[
0,20 0,30 0,50
0,10 0,70 0,20
0,40 0,30 0,30
] [
0,20 0,30 0,50
0,10 0,70 0,20
0,40 0,30 0,30
] = [
0,27 0,42 0,31
0,17 0,58 0,25
0,23 0,42 0,35
] = [
𝑃11(2) 𝑃12(2) 𝑃13(2)
𝑃21(2) 𝑃22(2) 𝑃23(2)
𝑃31(2) 𝑃32(2) 𝑃33(2)
] 
 
Uma vez que o objetivo é determinar a probabilidade de um consumidor que inicialmente adquire o 
produto da marca 2 continuar adquirindo-o mesmo após 3 compras, [isto é, 𝑃(𝑋3 = 2)|𝑋0 = 2, também 
referida como 𝑃22(3)], então é necessário realizar mais uma multiplicação, dessa vez da matriz de 
transição ao quadrado pela própria matriz de transição: 
 
[
0,27 0,42 0,31
0,17 0,58 0,25
0,23 0,42 0,35
] [
0,20 0,30 0,50
0,10 0,70 0,20
0,40 0,30 0,30
] = [
0,220 0,468 0,312
0,192 0,532 0,276
0,228 0,468 0,304
] = [
𝑃11(3) 𝑃12(3) 𝑃13(3)
𝑃21(3) 𝑃22(3) 𝑃23(3)
𝑃31(3) 𝑃32(3) 𝑃33(3)
] 
 
Portanto, 𝑃22(3) = 0,532 ou 𝑃22(3) = 53,2%. 
 
Alternativamente, construindo a árvore de probabilidades (consideravelmente grande), obtém-se: 
 
 
Portanto, 𝑃22(3) = 0,10 ⋅ (0,20 ⋅ 0,30 + 0,30 ⋅ 0,70 + 0,50 ⋅ 0,30) + 0,70 ⋅ (0,10 ⋅ 0,30 + 0,70 ⋅ 0,70 + 0,20 ⋅
0,30) + 0,20 ⋅ (0,40 ⋅ 0,30 + 0,30 ⋅ 0,70 + 0,30 ⋅ 0,30) = 0,532 ou 𝑃22(3) = 53,2%. 
 
 
Questão 1.3 
Em um estabelecimento comercial de pequeno porte, há um fluxo de 15 clientes/hora e somente um 
caixa para pagamento de compras. Considere que são exponenciais as distribuições dos tempos entre 
chegadas consecutivas e dos tempos de atendimento. Ademais, o caixa único opera a uma taxa de 
atendimento de 20 clientes/h. 
 
Com base nas informações dadas, avalie as sentenças a seguir e marque V para verdadeiro e F para 
falso. 
( ) A intensidade de tráfego que caracteriza a formação da fila (𝜌) é 𝜌 = 0,75. 
( ) A probabilidade de existirem 5 clientes no estabelecimento (𝑝5) é 𝑝5 ≅ 0,06. 
( ) A probabilidade de que o caixa único se encontre ocioso (𝑝0) é 𝑝0 = 0,35. 
( ) O tempo médio que um cliente gasta na fila do caixa único (𝑊𝑞) é 𝑊𝑞 = 9 min. 
( ) O número médio de clientes no estabelecimento (fila + atendimento, 𝐿) é 𝐿 = 2,25 clientes. 
 
Agora, entre as alternativas abaixo, escolha aquela que apresenta a sequência correta, 
respectivamente. 
a) V – F – F – V – V. 
b) F – V – V – F – F. 
c) V – V – F – V – F. 
d) F – V – F – F – V. 
e) V – F – V – V – F. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: V – V – F – V – F 
 
Justificativa 
O estabelecimento possui um único caixa (atendente). O modelo M/M/1 se aplica. Taxa de chegadas: 
𝜆 = 15 
clientes
h
; taxa de atendimento: 𝜇 = 20 
clientes
h
. 
 
- Primeira sentença (V): intensidade de tráfego (índice de ocupação) que caracteriza a formação da fila: 
𝜌 =
𝜆
𝜇
=
15
20
⇒ 𝜌 = 0,75, portanto, trata-se de um sistema funcionando sob estado estacionário, inclusive 
regido pelo modelo M/M/1; 
 
- Segunda sentença (V): probabilidade de existirem 𝑗 = 5 clientes no estabelecimento: 𝑝5 = (1 − 𝜌)𝜌
𝑗 =
(1 − 0,75) ⋅ 0,755 ⇒ 𝑝5 = 0,0593 ou 𝑝5 ≅ 0,06; 
 
- Terceira sentença (F): probabilidade de que o caixa (atendente) único se encontre ocioso: 𝑝0 = 1 − 𝜌 =
1 − 0,75 ⇒ 𝑝0 = 0,25; 
 
- Quarta sentença (V): número médio de clientes na fila do caixa (atendente) único: 𝐿𝑞 =
𝜌2
1−𝜌
=
0,752
1−0,75
=
2,25 clientes. De posse dessa informação, calcula-se o tempo médio que um cliente gasta na fila do 
caixa único: 𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
=
2,25
15
= 0,15 h ou 𝑊𝑞 = 9 min; 
 
- Quinta sentença (F): número médio de clientes no estabelecimento (fila + atendimento): 𝐿 =
𝜌
1−𝜌
=
0,75
1−0,75
⇒ 𝐿 = 3,00 clientes. Alternativamente, 𝐿 =
𝜆
𝜇−𝜆
=
15
20−15
⇒ 𝐿 = 3,00 clientes. 
 
 
Questão 1.4 
Um sistema de fila funciona com um único atendente, porém, sob uma limitação quanto ao número 
de elementos que podem frequentar o sistema ao mesmo tempo. Nesse sentido, considera-se que a 
capacidade de recebimento de novos elementos no sistema está esgotada se existirem 5 elementos 
nele (4 em fila + 1 em atendimento). No caso, a taxa média de chegadas e a taxa de atendimento são 3 
elementos/min e 4 elementos/min, respectivamente. Além do mais, sabe-se que o sistema é regido 
pelo modelo M/M/1 capacitado. 
Tendo em conta os dados fornecidos, preencha as lacunas no trecho a seguir: 
 
A taxa efetiva de entrada de elementos no sistema (𝜆𝑐) é ____________. Como consequência, o tempo 
médio dispendido por um elemento no atendimento com o atendente único (𝑊𝑠) é ____________. Já o 
tempo médio gasto por um elemento no sistema (isto é, na fila e no atendimento, 𝑊) é ____________. 
 
Agora, escolha a alternativa que apresenta a sequência correta. 
a) 𝜆𝑐 = 2,78 
elementos
min
, 𝑊𝑠 ≅ 15,0 s, 𝑊 ≅ 37,0 s. 
b) 𝜆𝑐 = 2,90 
elementos
min
, 𝑊𝑠 ≅ 15,0 s, 𝑊 ≅ 22,0 s. 
c) 𝜆𝑐 = 2,78 
elementos
min
, 𝑊𝑠 ≅ 12,0 s, 𝑊 ≅ 37,0 s. 
d) 𝜆𝑐 = 2,90 
elementos
min
, 𝑊𝑠 ≅ 12,0 s, 𝑊 ≅ 22,0 s. 
e) 𝜆𝑐 = 2,67 
elementos
min
, 𝑊𝑠 ≅ 17,0 s, 𝑊 ≅ 46,0 s. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 𝜆𝑐 = 2,78 
elementos
min
, 𝑊𝑠 ≅ 15,0 s, 𝑊 ≅ 37,0 s. 
 
Justificativa 
A taxa efetiva de entrada de elementos no sistema (𝜆𝑐) é 𝝀𝒄 = 𝟐, 𝟕𝟖 
𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬
𝐦𝐢𝐧
. Como consequência, o 
tempo médio dispendido por um elemento no atendimento com o atendente único (𝑊𝑠) é 𝑾𝒔 ≅ 𝟏𝟓, 𝟎 𝐬. 
Já o tempo médio gasto por um elemento no sistema (isto é, na filae no atendimento, 𝑊) é 𝑾 ≅
𝟑𝟕, 𝟎 𝐬. 
 
Taxa média de chegadas: 𝜆 = 3 
clientes
min
; taxa de atendimento: 𝜇 = 4 
elementos
min
. Portanto, o índice de 
congestionamento é 𝜌 =
𝜆
𝜇
=
3
4
= 0,75. Capacidade máxima do sistema: 𝑐 = 5 elementos. 
 
 Probabilidade de o sistema estar desocupado: 
𝑝0 =
1−𝜌𝑗
1−𝜌𝑐+1
=
1−0,75
1−0,755+1
= 0,3041; 
 Probabilidade de o sistema estar lotado (isto é, com 𝑗 = 𝑐 = 5 elementos): 
𝑝𝑐 = 𝜌
𝑗𝑝0 = 0,75
5 ⋅ 0,3041 = 0,0722; 
 
 Taxa efetiva de entrada: 
𝜆𝑐 = 𝜆(1 − 𝑝𝑐) = 3 ⋅ (1 − 0,0722) = 2,7834 ou 𝜆𝑐 = 2,78 
elementos
min
; 
 
 Número médio de elementos no atendimento: 
𝐿𝑠 = 1 − 𝑝0 = 1 − 0,3041 = 0,696 elementos; 
 
 Tempo médio dispendido por um elemento no atendimento: 
𝑊𝑠 =
𝐿𝑠
𝜆𝑐
=
0,696
2,78
= 0,250 min ou 𝑊𝑠 ≅ 15 s. 
 
 Número médio de elementos no sistema (fila + atendimento): 
𝐿 =
𝜌[1−(𝑐+1)𝜌𝑐+𝑐𝜌𝑐+1]
(1−𝜌𝑐+1)(1−𝜌)
=
0,75⋅[1−(5+1)⋅0,755+5⋅0,755+1]
(1−0,755+1)(1−0,75)
= 1,701 elementos; 
 
 Tempo médio dispendido por um elemento no sistema: 
𝑊 =
𝐿
𝜆𝑐
=
1,701
2,78
= 0,612 min ou 𝑊 ≅ 37,0 s. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Um sistema de filas em série conta com dois estágios: no primeiro há apenas um posto cuja taxa de 
atendimento é 25 elementos/hora (vale o modelo M/M/1), ao passo que no segundo há 3 postos 
colocados em paralelo (o modelo M/M/s se aplica), cada um deles prestando atendimento a 1 
elemento a cada 5 min. A taxa de chegadas ao sistema é de 15 elementos/hora. 
A probabilidade de o segundo estágio do sistema se encontrar vazio é 𝑝0,2 = 0,1111. 
Utilizando do teorema de Jackson, responda: 
a) Em qual dos dois estágios o tempo médio de espera na fila é maior? 
b) Qual a diferença entre os tempos médios de espera na fila em ambos os estágios (em min)? 
 
RESOLUÇÃO 
Taxa de chegadas ao sistema: 𝜆 = 15 
elementos
h
. Taxa de atendimento e intensidade de tráfego no 
primeiro estágio: 𝜇1 = 25 
elementos
h
 e 𝜌1 =
𝜆
𝜇1
=
15
25
= 0,60 (logo, verifica-se estado estacionário no 
primeiro estágio). Número de postos paralelos no segundo estágio: 𝑠2 = 3 postos; taxa de atendimento 
e intensidade de tráfego no segundo estágio: 𝜇2 = (
1 elemento
5 min
) (
60 min
1 h
) = 12 
elementos
h
 e 𝜌2 =
𝜆
𝑠2𝜇2
=
15
3⋅12
=
0,42 =
5
12
 (sendo assim, também se verifica estado estacionário no segundo estágio). 
 
 Número médio de elementos na fila do primeiro estágio: 
𝐿𝑞1 =
𝜆2
𝜇1(𝜇1−𝜆)
=
152
25⋅(25−15)
= 0,900 elementos; 
 
 Tempo médio de espera na fila do primeiro estágio: 
𝑊𝑞1 =
𝜆
𝜇1(𝜇1−𝜆)
= (
15
25⋅(25−15)
) (
60 min
1 h
) ⇒ 𝑊𝑞1 = 3,60 min. 
 Probabilidade de o segundo estágio se encontrar vazio: 
𝑝0,2 = 0,1111 (dado fornecido no enunciado...); 
 
 Probabilidade de haver um número de elementos maior ou igual a 𝑠2 no segundo estágio: 
𝑃(𝑗 ≥ 𝑠2) =
(𝑠2𝜌2)
𝑠2
𝑠2! (1 − 𝜌2)
𝑝0 =
(3 ⋅
5
12
)
3
3! (1 −
5
12
)
⋅ 0,1111 = 0,0620 
 
 Número médio de elementos na fila do segundo estágio: 
𝐿𝑞2 =
𝑃(𝑗≥𝑠2)𝜌2
1−𝜌2
=
0,0620⋅
5
12
1−
5
12
= 0,0443 elementos; 
 
 Tempo médio de espera na fila do segundo estágio: 
𝑊𝑞2 =
𝐿𝑞1
𝜆
= (
0,0443
15
) (
60 min
1 h
) ⇒ 𝑊𝑞2 = 0,18 min. 
 
a) O tempo médio de espera na fila é maior no primeiro estágio (𝑊𝑞1 = 3,60 min) que no segundo 
estágio (𝑊𝑞2 = 0,18 min), ou seja, 𝑊𝑞1 > 𝑊𝑞2. 
 
b) A diferença entre os tempos médios de espera na fila em ambos os estágios (Δ𝑊𝑞) é Δ𝑊𝑞 =
𝑊𝑞1 − 𝑊𝑞2 = 3,60 − 0,18 ⇒ Δ𝑊𝑞 = 3,42 min. 
 
Rubricas | critérios de correção 
Utilizar a seguinte tabela como critério de correção: 
Pontuação Critério 
0% 
Nenhum dos dois itens foi respondido ou ambos foram respondidos 
incorretamente. 
50% Somente um dos itens foi respondido corretamente. 
100% 
Os dois itens foram respondidos corretamente. 
Se existirem erros pontuais de cálculo, verificar o efeito deles sobre o 
resultado final: se esse efeito não for excessivamente relevante (a ponto de 
não tornar a resposta muito diferente daquela do gabarito), considerar a 
pontuação de 100%. 
 
 
Questão 3 
Uma revendedora encomenda um produto a um fabricante visando satisfazer a uma demanda 
constante de 2.000 unidades por ano. Não é admitida a falta do produto na revendedora. Cada pedido 
(lote) de produtos feitos pelo fabricante tem um custo de R$ 36.000,00 para a revendedora. Ademais, 
assim que o fabricante entrega os produtos à revendedora, eles não são comercializados 
imediatamente, sendo necessário, portanto, estocá-los, o que acaba gerando um custo de R$ 25,00 
produto/ano. 
Considerando o caso de mínimo custo anual total de compra dos produtos, determine: 
a) O tamanho do lote econômico; 
b) O número de pedidos que devem ser realizados anualmente; 
c) O tempo entre duas ordens de pedido consecutivas. 
 
RESOLUÇÃO 
Demanda constante: 𝐷 = 2000 
produtos
ano
; custo de um pedido (lote): 𝐾 =
R$ 36000
lote
 ; custo de estocagem: ℎ =
R$ 25,00
produto
ano
. 
 
a) Tamanho do lote econômico (𝑞∗, associado ao mínimo do custo anual total de compra dos 
produtos): 
𝑞∗ = (
2𝐾𝐷
ℎ
)
0,5
 
𝑞∗ = (
2 ⋅ 36.000 ⋅ 2.000
25
)
0,5
 
𝑞∗ = 2400 produtos 
 
b) Número de pedidos que devem ser realizados anualmente (𝑁𝑝): 
𝑁𝑝 =
𝐷
𝑞∗
 
𝑁𝑝 =
2000
2400
 
𝑁𝑝 = 0,8333 
pedido
ano
 
 
c) Tempo entre duas ordens de pedido consecutivas: 
𝑡 =
𝑞∗
𝐷
 
𝑡 =
2400
2000
 
𝑡 = 1,2 anos 
 
Rubricas | critérios de correção 
 
Pontuação Critério 
0% Nenhum dos dois itens foi respondido ou ambos foram respondidos incorretamente. 
33,3% Somente um dos itens foi respondido corretamente. 
66,6% Dois dos itens foram respondidos corretamente. 
100% Os três itens foram respondidos corretamente.