02 - Métodos Numéricos - Unidade 2

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MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIDADE 2
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 Elementos Finitos no Brasil
O estudo e aplicação prática da teoria do M.E.F. no Brasil iniciaram-se ainda na década de 60, mais especificamente com os trabalhos do professor Fernando Venâncio Filho, que foi o primeiro a publicar um artigo científico sobre o tema no país. 
A crescente demanda por tecnologia pela qual o Brasil passava nesta década, com a instalação das indústrias automobilísticas e aeronáutica.
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A construção de Brasília alavancou ainda mais o interesse por métodos computacionais de análise estrutural.
Como se pode verificar em Las Casas, (2002), “O primeiro computador dedicado ao cálculo científico foi instalado em 1960 na PUC-Rio, um Datatron B205 da Burroughs. 
O segundo computador foi instalado dois anos mais tarde, em São Paulo, desta vez um IBM 1620”.
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Unidade 2: Fundamentos do método dos elementos finitos
2.1 O conceito de um elemento
2.2 Tipos de elementos
2.3 Modelagem - Discretização do meio
Bibliografia Básica:
FISH,Jacob; Belytschko,Ted. Um primeiro curso em elementos finitos, LTC, 2009
VAZ, L. E., Método dos elementos finitos em análises de estruturas. Rio de Janeiro: Campus, 2011
KIM, Nam-Ho; SANKAR, Bhavani V. Introdução a Análise e ao Projeto em Elementos finitos. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011
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2.1 O conceito de um elemento
O que é um elemento finito?
É um pequeno elemento, resultado de uma fragmentação de um meio contínuo, sem que haja alteração nas propriedades do meio original.
Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos, para que sejam obtidos os resultados desejados. 
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A aplicação método de elementos finitos na engenharia consiste em discretizar o contínuo, que por sua vez se resume em dividir uma geometria complexa em muitas outras geometrias menores de menor complexidade.
E estas pequenas geometrias somadas representarão uma forma aproximada da geometria original.
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A história do Método dos Elementos Finitos tem início na mesopotâmia antiga, com os egípcios e aproximadamente 2.000 anos antes de Cristo.
Neste período a matemática já era avançada e eles já possuem recursos como cálculo de perímetro e área de algumas formas geométricas, porém não do círculo.
Quadrados, retângulos, triângulos e muitas outras geometrias eram facilmente calculadas por matemáticos da época e isso apenas utilizando as linhas retas de suas extremidades.
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Círculos não possuem lado e assim não era possível de serem calculados.
Os faraós queriam saber quanto de material seria utilizado nas construções, e muitas das construções possuíam formas circulares.
Eles notaram que, apesar de não conseguir calcular o perímetro do círculo, eles podiam descobrir este valor utilizando uma corda.
A corda era inserida sobre o círculo e depois de estica-la, era só medir o seu comprimento.
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A partir dai o próximo passo foi acrescentar outras geometrias com uma quantidade maior de lados, como na figura abaixo.
Desta forma foi possível ter uma boa aproximação do valor do perímetro do círculo real.
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O que o número Pi representa?
Esse número representa o resultado da divisão do perímetro da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro.
π = 3,14159265358979323846…
Fonte : https://www.estudopratico.com.br/numero-pi-%CF%80/
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Avançando na história, Arquimedes no ano de 240 antes de Cristo, utilizando um hexágono de 96 lados inscritos e circunscritos em um círculo unitário chegou a conclusão de que o valor de Pi estava entre 3,1408 e 3,1428.
Valores muito precisos, mas nada comparado ao recorde mundial de 8 quatrilhões de dígitos batidos por uma equipe da Universidade de Santa Clara nos Estados Unidos que utilizaram GPUs Nvidia para este feito.
Perceba que mesmo com toda esta precisão nas casas decimais o valor de Pi ainda é uma aproximação. 
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E Tomando por base uma circunferência de diâmetro unitário, os Egípcios chegaram ao valor de 3 para Pi, mesmo que até então ele não era chamado assim.
Alguns estudiosos afirmam que por volta de 1600 A.C. os Egípcios já utilizavam o Pi com um valor de 3,12, uma precisão já muito próxima a atualmente utilizada.
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O que de fato o Pi tem a ver com Método dos Elementos Finitos?
É neste ponto que a descoberta do número Pi se entrelaça com o Método dos elementos Finitos pois, quanto maior for o número de arestas utilizadas no hexágono para achar o número Pi maior será a precisão do resultado.
E da mesma forma que aumentar o número de elementos para discretizar uma geometria para gerar a malha, maior será a precisão dos resultados finais.
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Os matemáticos tiveram a ideia de inserir uma geometria conhecida dentro da circunferência,
 por exemplo, um quadrado, e posteriormente calcular a sua geometria e comparar com o comprimento da corda gerada pela circunferência.
E ao compararem os valores foi possível notar que apesar do perímetro do quadrado ser menor, os valores estavam próximos.
Mesmo assim, ainda será uma aproximação.
Caso fossem utilizados infinitos elementos para representar uma geometria nós estaríamos na verdade retornando a física regida pela mecânica do contínuo.
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Sistemas Discretos
Segundo Alves Filho (2012), em contraponto aos sistemas contínuos utilizados nos métodos analíticos, baseados no comportamento diferencial de um elemento infinitesimal da estrutura, de onde é possível entender o comportamento da peça como um todo, pode-se tomar mão de soluções aproximadas, que simulam o comportamento da estrutura através da montagem de elementos que tem uma dimensão finita.
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Discretização
É realizada uma subdivisão do sistema em um número finito de elementos, de maneira que a estrutura seja entendida como um agregado de elementos e conexões entre eles, denominados nós, formando o que é chamado de malha. 
Julga-se que o número de pontos discretos escolhidos (nós), seja suficiente determinar, embora de maneira aproximada, o comportamento estrutural do conjunto inteiro. 
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Na figura abaixo, verifica-se um exemplo de discretização de uma estrutura de um reservatório.
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Um detalhe importante a se observar é referente à quantidade de elementos e consequentemente de nós a ser escolhida. 
Já se viu que, aumentando o refinamento da malha, ou seja, aumentando a quantidade de elementos a serem calculados, ganha-se consideravelmente na aproximação da solução exata, no entanto, isto demanda mais tempo de cálculo computacional, que pode crescer de maneira exponencial à medida que se aumenta o refinamento da malha.
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Cabe ao engenheiro, dependendo obviamente das propriedades do elemento, chegar a um equilíbrio nesta equação, obtendo uma solução aproximada satisfatória com o menor número possível de elementos discretizados, a fim de se economizar recursos computacionais. 
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Verifica-se que à medida que se aumenta o número de nós, mais se aproxima da solução exata do problema.
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Sistemas Contínuos e Discretos
Um sistema discreto é descrito por uma série de equações algébricas. 
Um sistema contínuo é governado por uma série de equações diferenciais, equações diferenciais parciais e/ou equações íntegro-diferenciais, acompanhada pelas apropriadas condições de contorno espaciais e temporais.
Sistemas algébricos podem ser resolvidos diretamente por métodos numéricos.
 
Por outro lado, sistemas contínuos primeiro são discretizados, isto é, substituídos por sistemas aproximadamente equivalentes às equações algébricas. 
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Análise Linear 
Um ponto crucial no entendimento de elementos finitos é perceber que a relação entre módulo de elasticidade e deslocamento variam de forma linear, ou seja, se dobrarmos o deslocamento e o módulo de elasticidade for mantido a tensão resultante será dobrada. Se utilizarmos um material com 30% menos elasticidade a tensão resultante será igualmente menor.
Esta linearidade não é por menos e possui uma área específica nas simulações por elementos finitos, esta área é denominada Análise Linear.
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A análiselinear só é válida enquanto a deformação estiver dentro do campo da região elástica do material, ao entrarmos na região plástica o material não se comportará de forma linear quanto ao seu deslocamento e a utilização de análise linear não será válida pois apresentará valores de tensão muito superiores ao real. Este erro é muito comum entre profissionais iniciantes.
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Simulações que estão dentro da zona plástica do material são denominadas análises não lineares e são empregadas onde se deseja analisar o comportamento permanente do componente como, por exemplo, dobra, repuxo, colisão de um veículo, etc.
A análise não linear, basicamente, realiza inúmeras análises lineares sequenciais, onde o módulo de elasticidade é alterado a cada deslocamento gerado, seguindo as características do material conforme o seu gráfico de tensão/deformação.
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