EM406_cap05_2_2020

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Resistência dos Materiais I 
Capítulo 5 – Torção – Parte 2 
UNICAMP-FEM-DMC 
Prof. José Maria Santos 
EM406-Resisitência dos Materiais I 
 
Textos de 
R.C. Hibbeler, J. Labaki 
5.5 Torção - Estaticamente Indeterminado 
2-2 
• Um eixo sob torção estará estaticamente indeterminado se a 
equação de equilíbrio de momento, aplicada em torno da linha 
de centro do eixo, não for suficiente para determinar o torque 
desconhecido atuando no eixo. 
• A Fig. 5-20a mostra um exemplo desta situação. 
• Do DCL da Fig. 5-20b teremos 
 
 (1) 
Usamos o mesmo método das equações de compatibilidade, usada 
para barras no Cap. 4. Neste caso teremos, 
 
 
Para o material elástico linear podemos aplicar a relação  = T 
/JG. Da Fig. 5-20c o torque internos são +TA e TB , logo 
 
 (2) 
 
Resolvendo as Eqs. (10 e (2), 
1-3 
Exemplo 5.10 – O eixo mostrado na Fig. 5-11a é feito de um tubo 
de aço, o qual está colado a um miolo de latão. Se um torque T = 
250 lb.ft é aplicado na sua extremidade, faça um gráfico da 
distribuição tensão-deformação ao longo da linha radial na sua 
seção transversal. Considere Gst = 11,4 (10
3) ksi, Gbr = 5,2 (10
3) 
ksi. 
Solução: Equilíbrio. Um DCL do eixo é mostrado na 
Fig. 5-11b, obtendo-se 
 
Compatibilidade. O ângulo de torção da extremidade A 
deve ser o mesmo para ambos materiais, logo 
 
Carga-deslocamento. Aplicando a relação  = TL/JG, 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo as Eqs. (1) e (2), 
1-4 
Exemplo 5.10 – O eixo mostrado na Fig. 5-11a é feito de um tubo de 
aço, o qual está colado a um miolo de latão. Se um torque de T = 
250 lb.ft é aplicado na sua extremidade, faça um gráfico da 
distribuição tensão-deformação ao longo da linha radial na sua seção 
transversal. Considere Gst = 11,4 (10
3) ksi, Gbr = 5,2 (10
3) ksi. 
Solução: A tensão no núcleo de latão varia de zero até a 
interface com o tubo de aço, usando a fórmula da torção, 
 
 
 
Para o tubo de aço as tensões de cisalhamento mínima e máxima 
serão 
 
 
 
 
 
Os resultados estão mostrados na Fig. 5-22c. Observe a 
descontinuidade na interface latão-aço. Esperado devido a 
diferença dos módulos dos materiais (Gst > Gbr). 
Mas, a deformação por cisalhamento não é descontínua Fig. 5-
22d.  
 
 3
6
min 1008675,0
104.11
989 
st
st
st
G


 
 
 3
6
max 1008673,0
102.5
451 
br
br
br
G


5 
Exemplo de Integração da EDE da Torção 
SOLUÇÃO p/ esforço interno, ângulo de torção e tensão de cisalhamento do 
eixo EI da figura: 
6 
Exemplo de Integração da EDE da Torção 
SOLUÇÃO p/ esforço interno, ângulo de torção e tensão de cisalhamento do 
eixo EI da figura : 
        Ax RLtLttttM  00000
4
1
4
1
0000
8 Reações em A e D 
   
D
x
RLt
Lt
L
Lt
L
LtLtLM














0
0000
4
1
4
1
4
3
4
5.6 Eixos Sólidos Não Circulares 
2-7 
• Eixos de seção transversal não circular não são axissimétricos, logo sua seção 
transversal abaúla ou empena quando o eixo é torcido. 
• Isto pode ser visto na Fig. 5-23, na forma que a grade deforma em um eixo de 
seção transversal quadrada. 
• Devido esta deformação a análise torsional de eixos com seções não circulares é 
consideravelmente mais complexa e não será discutida neste texto. 
• Contudo, usando análise matemática e baseada na teoria da elasticidade, a 
distribuição da tensão de cisalhamento dentro de um eixo de seção transversal 
quadrada foi determinada. 
5.6 Eixos Sólidos Não Circulares 
2-8 
• Exemplos de como a tensão de cisalhamento varia ao longo de 
duas linhas radiais do eixo quadrado são mostradas na Fig. 5-24a. 
• A distribuição de tensões de cisalhamento diferentes, geram 
deformações de cisalhamento que empenarão as seções 
transversais (Fig. 5-24b). 
• Os pontos dos cantos do eixo devem ter tensões de cisalhamento 
zero e portanto deformações de cisalhamento zero. Isto pode ser 
mostrado considerando-se um elemento localizado em um destes 
cantos (Fig. 5-24c). 
• Esperar-se-ia que a face de cima deste elemento estivesse sujeita a 
tensões de cisalhamento para contribuir com o torque aplicado. Mas 
isto não pode ocorrer, devido a complementariedade das tensões de 
cisalhamento atuando na face externa do eixo,  e ’, que devem 
ser zero. 
5.6 Eixos Sólidos Não Circulares 
2-9 
• Usando a teoria da elasticidade a Tabela 5-1 
fornece os resultados das análises para seções 
transversais quadradas, triangulares e 
elípticas. 
• Em todos os casos, a tensão de cisalhamento 
máximo ocorre em um ponto da borda da 
seção transversal que está mais próximo da 
linha de centro do eixo. 
• São dadas formulas do ângulo de torção de 
cada eixo. 
• Destes resultados pode-se mostrar que o eixo 
mais eficiente tem uma seção transversal 
circular, ´pois está sujeito a menor tensão de 
cisalhamento máxima e ao menor ângulo de 
torção, do que aquele tendo a mesma área da 
seção transversal não circular e sujeito ao 
mesmo torque. 
Tabela 5-1 
1-10 
Exemplo 5.11 – O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na Fig. 5-25 
tem área da seção transversal na forma de um triângulo equilátero. 
Determine o maior torque T que pode ser aplicado na extremidade 
do eixo se a tensão de cisalhamento admissível é 8 ksi e o ângulo de 
torção em sua extremidade está restrito a 0,02 rad. Quanto de torque 
pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a 
mesma quantidade de material? 
Solução: O torque interno resultante para qualquer seção 
será T. Usando as formulas da Tabela 5-1, 
 
 
 
 
 
O torque é limitado pelo ângulo de torção! 
Para a seção circular teremos, 
 
 
Os limites da tensão de cisalhamento será, 
1-11 
Exemplo 5.11 – O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na 
Fig. 5-25 tem área da seção transversal na forma de um 
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode 
ser aplicado na extremidade do eixo se a tensão de 
cisalhamento permissível é 8 ksi e o ângulo de torção em sua 
extremidade está restrito a 0,02 rad. Quanto de torque pode 
ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com 
a mesma quantidade de material? 
Solução: 
O limite da deformação de cisalhamento será, 
 
 
 
Novamente o ângulo de torção é o limite! 
 
Comparando os resultados entre as seções observa-se que 
a seção circular pode suportar 37% mais torque (233 
lb.in) do que a seção triangular (170 lb.in). 
5.7 Tubos de Parede Fina c/ Seção Transversal Fechada 
2-12 
• Tubos de parede fina de seção transversal não circular 
são usados freqüentemente para construir estruturas leves 
como aeronaves. 
• Em algumas aplicações estas podem estar sujeitas a 
carregamento torsional, por isso nesta seção analisaremos 
os efeitos de torcer estes elementos. 
• Aqui consideraremos um tubo com seção transversal 
fechada, isto é, sem quebras ou rachaduras ao longo do 
seu comprimento (Fig. 5–26a). 
• Como as parede são finas, obteremos as tensões de 
cisalhamento média assumindo que estas as tensões estão 
uniformemente distribuídas através da espessura do tubo 
em qualquer posição. 
5.7 Tubos de Parede Fina c/ Seção Transversal Fechada 
2-13 
Fluxo de Cisalhamento. 
• A Fig. 5-26a mostra um pequeno elemento de tubo de 
comprimento finito s e largura diferencial dx. 
• Em uma extremidade o elemento tem espessura tA , e na 
outra tB (Fig. 5-26b). 
• Devido o torque T, tensões de cisalhamento são criadas 
na face frontal do elemento nas extremidades A e B (A e 
B), as quais estão relacionadas pois devem atuar sobre 
os lados longitudinais do elemento. 
• Como os lados tem largura constante dx as forças atuando 
neles serão dFA = A (tA dx) e dFB = B (tB dx), do 
equilíbriodas forças teremos, 
 
 
Mostrando que o produto da tensão de cisalhamento média 
pela espessura do tubo é o mesmo em cada posição sobre a 
seção transversal, 
 
5.7 Tubos de Parede Fina c/ Seção Transversal Fechada 
2-14 
Fluxo de Cisalhamento. 
Este produto é chamado de fluxo de cisalhamento e pode ser 
expresso como 
 
 
 
Como q é constante sobre a seção transversal, a maior tensão 
de cisalhamento média deve ocorrer na menor espessura do 
tubo. 
 
Se um elemento diferencial de espessura t, comprimento ds e 
largura dx for isolado do tubo, Fig. 5-26c, a área face frontal 
sobre a qual a tensão de cisalhamento média atua será dA = t 
ds, de modo que dF = avg (t ds) = q ds , ou q = dF/ds, ou seja, 
o fluxo de cisalhamento é uma medida da força por unidade 
de comprimento ao longo da seção transversal. 
5.7 Tubos de Parede Fina c/ Seção Transversal Fechada 
2-15 
Tensão de Cisalhamento Média. 
Considere o torque em relação um ponto selecionado O produzido pela tensão de 
cisalhamento média dentro do contorno tubo (Fig. 5-26d). 
A tensão de cisalhamento gera uma força dF = avg dA = avg (t ds) sobre um 
elemento do tubo, que é tangente a linha de centro da parede do tubo e se o braço 
do momento é h, o torque será 
 
 
Integrando sobre a seção inteira, 
 
 
Como q = cte = , teremos 
 
 
A área média mostrada em azul na Fig. 5-26d é 
 
 
Logo, 
5.7 Tubos de Parede Fina c/ Seção Transversal Fechada 
2-16 
Tensão de Cisalhamento Média. 
Resolvendo para a tensão de cisalhamento média, teremos 
 
 
 
 
Como q = avg t , o fluxo de cisalhamento através da seção 
transversal torna-se 
 
 
 
Ângulo de Torção. Pode ser determinado usando métodos 
de energia e não será mostrado aqui. Se o material é elástico 
linear, então o ângulo de torção é dado por 
1-17 
Exemplo 5.12 – Calcule a tensão de cisalhamento média em 
um tubo de parede fina de seção transversal circular de raio 
médio rm e espessura t , o qual esta sujeito a um torque T (Fig. 
5-27a). Também, qual é o ângulo de torção se o tubo tem 
comprimento L? 
Solução: Tensão de cisalhamento média. 
A área média do tubo é Am =  (rm)
2. Aplicando a Eq.(5-18) 
teremos, 
 
 
Podemos verificar a validade deste resultado usando a 
formula da torção. O momento de inércia polar será, 
 
 
 
Mas rm  ro  ri e t = ro  ri , logo 
 
 
A tensão de cisalhamento será, 
1-18 
Exemplo 5.12 – Calcule a tensão de cisalhamento média em 
um tubo de parede fina de seção transversal circular de raio 
médio rm e espessura t , o qual esta sujeito a um torque T (Fig. 
5-27a). Também, qual é o ângulo de torção se o tubo tem 
comprimento L? 
Solução: Tensão de cisalhamento média. 
A distribuição das tensões de cisalhamento média e as tensões 
de cisalhamento da formula da torção atuando na seção 
transversal do tubo estão mostradas na Fig. 5-27b. 
Ângulo de torção. 
Aplicando a Eq.(5-20) teremos 
 
 
 
O comprimento da linha de centro do contorno da seção é s = 
2 rm , logo 
 
 
Mostre como obter este mesmo resultado da Eq.(5-15), 
1-19 
Exemplo 5.13 – O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção 
transversal retangular como mostrado na Fig. 5-28a. Se ele está 
sujeito a dois torques, determine a tensão de cisalhamento 
média no tubo nos pontos A e B. Também, qual é o ângulo de 
torção na extremidade C? O tubo esta fixo em E. 
Solução: Tensão de cisalhamento média. 
Aplicando uma seção através dos pontos A e B (Fig. 5-28b), 
teremos o torque interno 
 
 
Da Fig. 5-28d temos que a área média será 
 
 
Aplicando a Eq.(5-18) no ponto A e no ponto B, t = 5 e 3 mm 
respectivamente, 
 
 mN 35 02560 ;0  ABABx TTT
1-20 
Exemplo 5.13 – O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção 
transversal retangular como mostrado na Fig. 5-28a. Se ele está 
sujeito a dois torques, determine a tensão de cisalhamento 
média no tubo nos pontos A e B. Também, qual é o ângulo de 
torção na extremidade C? O tubo esta fixo em E. 
Solução: Tensão de cisalhamento média. 
Estes resultados estão mostrados na Fig. 5-28e. 
Ângulo de torção. 
Do DCL das Figs. 5-28b e c , teremos os torques internos na 
regiões DE e CD de 35 e 60 N.m. 
Da Eq.(5-20) teremos 
 
 
5.8 Concentração de Tensão 
2-21 
• A fórmula da torção não pode ser aplicada em 
regiões de um eixo com variação brusca da seção 
transversal, pois as distribuições das tensões e 
deformações de cisalhamento tornam-se 
complexas. 
• Resultados usando métodos experimentais ou 
teoria da elasticidade podem ser obtidos. 
• Três descontinuidades comuns da seção 
transversal que ocorrem na prática são: 
acoplamentos (Fig. 5-29a), chavetas (Fig. 5-29b) e 
escalonamentos do eixo (Fig. 5-29c). 
• Em cada caso a tensão de cisalhamento máxima 
correrá no ponto indicado na seção transversal. 
5.8 Concentração de Tensão 
2-22 
• Para obter a tensão de cisalhamento 
máximo nestes casos podemos usar o 
fator de concentração de tensões 
torcional K, o qual é obtido de dados 
experimentais. 
• A Fig. 5-30 mostra um exemplo de 
escalonamento do eixo com filete. A 
partir dos diâmetros dos eixos (D e 
d) e do raio do filete (r) obtém-se o 
fator de concentração de tensão, K, 
no gráfico. 
•A tensão de cisalhamento máxima é 
determinada por 
1-23 
Exemplo 5.14 – O eixo escalonado mostrado na Fig. 5-31a é 
suportado por mancais radiais em A e B. Determine a tensão 
máxima no eixo devido aos torques aplicados. O filete do 
ombro da junção de cada eixo tem raio r = 6 mm. 
Solução: Torque interno. 
Sabe-se que a tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo 
de menor diâmetro. Assim o torque interno deve ser 
determinado nesta região, da Fig. 5-31b, teremos um torque 
de 30 N.m. 
Tensão de cisalhamento máxima. 
Da geometria dos eixos obtém-se: 
 
 
 
Aplicando no gráfico da Fig. 5-30 obtém-se K = 1,3. 
Da Eq.(5-21) teremos: 
1-24 
Exemplo 5.14 – O eixo escalonado mostrado na Fig. 5-31a é 
suportado por mancais radiais em A e B. Determine a tensão 
máxima no eixo devido aos torques aplicados. O filete do 
ombro da junção de cada eixo tem raio r = 6 mm. 
Solução: Tensão de cisalhamento máxima. 
De evidência experimental, a distribuição das tensões 
reais ao longo de uma linha radial da seção transversal 
na seção crítica é similar a mostrada na Fig. 5-31c. 
Compare com aquela obtida pela formula da torção! 
5.9 Torção Inelástica 
2-25 
• Se os carregamentos torsionais aplicados ao eixo são 
excessivos, o material pode escoar e, consequentemente, uma 
“análise plástica” deve ser usada para determinar a distribuição 
de tensão de cisalhamento e o ângulo de torção. 
• Independentemente do comportamento do material, a 
deformação por cisalhamento em um eixo circular varia 
linearmente de zero no centro do eixo a um máximo no seu 
contorno externo (Fig. 5-32a). 
• Da Fig. 5-32b a tensão de cisalhamento em um elemento de 
área dA produz uma força dF =  dA , e o torque em torno da 
linha de centro do eixo será dT =  dF =  ( dA ). 
• Para o eixo todo, 
5.9 Torção Inelástica 
2-26 
• Se a área dA for definida como um anel diferencial 
de área dA = 2 (Fig. 5-32c), a Eq.(5-22) torna-se, 
 
 
 
 
5.9 Torção Inelástica 
2-27 
Torque Elastoplástico. Considere um material do eixo com 
um comportamento elastoplástico (Fig. 5-33a). 
 
Se o torque interno produz uma deformação elástica máxima 
Y, o torque máximo TY pode ser obtido por, 
 
ou 
 
 
Se o torque aumentar acima de TY , iniciará escoamento no 
contorno do eixo ( = c), a deformação aumentará para ’ 
(Fig. 5-33a) e o contorno do escoamento progredirá para o 
centro do eixo (Fig. 5-33b), produzindo um núcleo elástico ( 
. ) e um anel plástico. 
A distribuição da tensão de cisalhamento correspondente (Fig. 
5-33c), é obtido da distribuição da deformação (Fig. 5-33b) e 
do valorda tensão no diagrama - (Fig. 5-33a). 
5.9 Torção Inelástica 
2-28 
Da Fig. 5-33c podemos expressar  em função de  e aplicar a 
Eq.(5-23) para determinar o torque 
5.9 Torção Inelástica 
2-29 
Torque Plástico. 
Aumentos adicionais do torque T encolherão o raio do núcleo 
elástico até todo o material escoar, isto é,   0 (Fig. 5-33d). 
O material do eixo se tornará completamente elastoplástico e a 
distribuição de tensões torna-se uniforme. 
A Eq.(5-23) produz o torque plástico Tp , que é o maior torque 
possível que o eixo suportará. 
 
 
 
 
Comparando com o torque elástico máximo TY (Eq. 5-24) 
vemos que 
 
 
ou seja, o torque plástico é 33% maior do que o torque elástico. 
O ângulo de torção da Fig. 5-33d , não pode ser unicamente 
determinado. Uma vez aplicado Tp o eixo continuará a 
deformar. 
Solução: Torque elástico máximo. 
 
 
 
Torque plástico. 
 
 
 
Deformação raio externo 
1-30 
Exemplo 5.15 – O eixo tubular da Fig. 5-37a é feito de uma liga de 
alumínio que é assumida ter um diagrama- elastoplástico como 
mostrado. Determine o torque máximo que pode ser aplicado ao eixo 
sem causar escoamento no material e o torque plástico que pode ser 
aplicado ao eixo. Também, qual seria a deformação por cisalhamento 
mínima na parede externa a fim de desenvolver um torque totalmente 
plástico?