EM406_cap06 3_1S2020

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Resistência dos Materiais 
Capítulo 6 – Flexão – Parte 3 
UNICAMP-FEM-DMC 
Prof. José Maria Santos 
EM406-Resistência dos Materiais I 
 
Textos de R.Craig Jr, E.P. Popov, J. 
Labaki e R.C. Hibbeler 
2 
Vigas Estaticamente Indeterminadas 
Um elemento é estaticamente indeterminado se o número de reações incógnitas 
excede o número de equações de equilíbrio disponíveis. 
Reações de apoio adicionais em uma viga que não são necessárias para mantê-la 
em equilíbrio estável são chamadas de redundantes e o número destas é referido 
como o grau de indeterminação. 
Por exemplo, a viga da Fig. 12-31a tem um DCL como na Fig. 12-31b, o qual 
contém 4 reações de apoio incógnitas e temos apenas 3 equações de equilíbrio, 
logo a viga é classificada como uma indeterminação do primeiro grau. 
 
 
 
 
 
Independentemente, Ay , By ou MA podem sem classificados como redundantes, 
pois se qualquer um deles for removido, a viga permanece estável e em 
equilíbrio (já Ax não pode ser classificado assim, se for removida Fx = 0 não 
será satisfeita). 
3 
Vigas Estaticamente Indeterminadas 
A viga contínua na Fig. 12–33a é uma indeterminação do segundo grau, pois 
existem 5 reações incógnitas e apenas 3 equações de equilíbrio disponíveis 
(Fig. 12–33b). Neste caso as duas reações redundantes podem ser escolhidas 
entre Ay , By , Cy e Dy . 
 
 
 
 
 
 
Para determinar as reações de uma viga estaticamente indeterminada, é necessário 
primeiro especificar as reações redundantes, as quais podem ser determinadas a 
partir das condições geométricas conhecidas como condições de 
compatibilidade. 
Em seguida, estas são aplicadas na viga e as reações remanescentes são 
determinadas a partir das equações de equilíbrio. 
A seguir ilustramos este procedimento para a solução de uma viga usando o método 
de integração da EDE. 
Solução: 
1. Equação do carregamento. 
 
2. Condições de contorno e de restrição. 
 
3. Integração das Eq. Dif. 
4 
Exemplo 12.17 – A viga esta sujeita ao carregamento 
mostrado na figura. Determine a reação em A. EI é 
constante. 
  x
L
w
x
L
w
xw 0
10 0 
  0)(e;0)( ;00 ;0)0(  LLvvM 
  x
L
w
xw
dx
vd
EI 0
4
4

  1
20
3
3
2
Cx
L
w
xV
dx
vd
EI 
  21
30
2
2
6
CxCx
L
w
xM
dx
vd
EI 
  32
2
1
40
2
1
24
CxCxCx
L
w
xEI
dx
dv
EI  
  43
2
2
3
1
50
2
1
6
1
120
CxCxCxCx
L
w
xEIv 
Solução: 
4. Constantes de Integração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) e (2) teremos: 
5 
Exemplo 12.17 – A viga esta sujeita ao carregamento 
mostrado na figura. Determine a reação em A. EI é 
constante. 
  0)(e;0)( ;00 ;0)0(  LLvvM 
  0000
6
0 221
30  CCC
L
w
M
  (1) 
2
1
24
00
2
1
24
2
1
30
33
2
1
40 LCL
w
CCLLCL
L
w
LEI 
  0000
2
1
0
6
1
0
120
0 443
2
2
3
1
50  CCCCC
L
w
EIv
  (2) 
6
1
120
000
2
1
6
1
120
2
1
30
33
23
1
50 LCL
w
CLCLLCL
L
w
LEIv 
L
w
CL
w
LCL
w
L
w
LCLC
1030
 
3
1
12024
 
6
1
2
1 0
1
302
1
30302
1
2
1 
302030
3
120102
1
24
L
w
LL
w
L
w
C 






Solução: 
4. Reação em A. Será dada pelo cortante V, 
 
6 
Exemplo 12.17 – A viga esta sujeita ao carregamento 
mostrado na figura. Determine a reação em A. EI é 
constante. 
  L
w
x
L
w
Cx
L
w
xV
1022
020
1
20 
  L
w
L
w
L
w
VAy
1010
0
2
0 0020 
7 
Flexão Assimétrica 
A fórmula da flexão foi desenvolvida para uma área 
seção transversal simétrica em relação ao eixo 
perpendicular ao eixo neutro (eixo de simetria) e o 
momento resultante M atua em torno do eixo 
neutro. Este é o caso das seções “T” e “canal” 
mostradas na Fig. 6–29. 
Nesta seção mostraremos como aplicar a formula da 
flexão para uma viga com área da seção 
transversal de forma qualquer ou sob um 
momento que atua em qualquer direção. 
 
Momento aplicado em torno do eixo principal. 
Considere que a viga tem área da seção 
transversal assimétrica como mostrado na Fig. 6-
30a. 
A origem do sistema de coordenadas está no 
centróide C e o momento interno M é em torno de 
z. 
 
 
8 
Flexão Assimétrica 
São requeridos: 
1. Força resultante zero devido a distribuição de 
tensão na área da seção transversal . 
2. Momento zero em torno do eixo y e momento M 
em torno do eixo z devido a distribuição de 
tensão. 
Expressando estas condições matematicamente, 
teremos (Fig. 6-30a): 
 
 
 
 
 
 
A Eq.(6-14) é satisfeita devido o eixo z passar pelo 
centróide da área. 
 
 
9 
Flexão Assimétrica 
Como o eixo z é o eixo neutro da seção transversal a 
tensão varia linearmente dele até o máximo em |y| 
= c (Fig. 6-30b). Logo, 
 
 
Substituindo na Eq.(6-16) e integrando leva a formula 
da flexão 
 
Substituindo na Eq.(6-15) teremos, 
 
 
a qual requer que 
 
 
 
 
 
 
 
a qual é o produto de inércia da área da seção transversal, e que será zero se 
os eixos y e z forem escolhidos como eixos principais de inércia da área. 
10 
Flexão Assimétrica 
Para uma área de forma arbitrária, a orientação dos eixos principais pode sempre ser 
determinada usando as equações de transformação de inércia e círculo de Mohr 
(Apêndices A.4 e A.5) . As equações da transformação são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a área tem um eixo de simetria, os eixos principais podem ser estabelecidos 
facilmente, pois estarão sempre orientados ao longo dos eixos de simetria e 
perpendicular a ele. 
 
 
11 
Flexão Assimétrica 
Por exemplo, considere os elemento mostrados na Fig. 6-31. Em cada um destes 
casos, y e z representam os eixos principais de inércia da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na Fig. 6-31a os eixos principais são orientados pela simetria, enquanto nas Figs. 6-
31b e c sua orientação é determinada pelos métodos do Apêndice A.4 e A.5. 
Como M é aplicado somente em torno do eixo principal (eixo z), a distribuição de 
tensão tem variação linear e é determinada pela formula de flexão 
como mostrado nas figuras para cada caso. 
12 
Flexão Assimétrica 
Momento aplicado arbitrariamente. 
• Algumas vezes um elemento pode ser carregado de um modo tal 
que M não atua em torno de um dos eixos principais da seção 
transversal. 
• Nestes casos, o momento deve ser decomposto em 
componentes ao longo dos eixos principais, em seguida a 
formula de flexão pode ser usada para determinar as tensões 
normais gerada por cada momento componente. 
• Finalmente, usando o princípio da superposição, a tensão 
normal resultante em um ponto pode ser determinada. 
• Considere a viga de seção transversal retangular e sujeita ao 
momento M como mostrado na Fig. 6-32a, onde M faz um 
ângulo  com o eixo principal máximo z (eixo do momento de 
inércia máximo da seção transversal). 
• Decompomos M na componente em z , na Fig. 
6-32b, 
• e na componente em y , , Fig. 6-32c. 
13 
Flexão Assimétrica 
Momento aplicado arbitrariamente. 
• As distribuições de tensões que produzem M e suas 
componentes Mx e My estão mostradas na Fig. 6-32d a f 
, onde é assumido que 
• Por inspeção, as tensões máximas de tração e 
compressão ocorrem em dois 
cantos opostos da seção transversal (Fig. 6-32d). 
• Aplicando a fórmula da flexão para cada componente 
do momento nas Figs. 6-32b e c e adicionando os 
resultados, a tensão normal resultante em qualquer 
ponto da seção transversal (Figs. 6-32d) é obtida como: 
14 
Flexão Assimétrica 
Orientação do eixo neutro. 
• A equação que define o eixo neutro e sua inclinação , 
Fig. 6-32d, pode ser determinada da Eq.(6-17) para um 
ponto (y,z) onde  = 0, logo 
 
 
 mas, logo 
 
 
Como a inclinação desta reta é tg  = y/z, 
Solução: 
Componentes do momento interno. Por inspeção, os 
eixos y e z são os principais devido a simetria. O eixo 
z é principal máximo. O momento é decomposto em: 
 
 
 
 
 
Propriedades da seção. Os momentos de inércia são: 
 
 
 
15 
Exemplo 6.15 – A seção transversal retangular da Fig. 
6-33a esta sujeita a um momento de flexão de M = 12 
kN  m. Determine a tensão normal desenvolvida em 
cada canto da seção e especifique a orientação do eixo 
neutro. 
Solução: 
Tensão de flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Fig. 6-33b mostra o resultado da distribuição das 
tensões na seção. 
16 
Exemplo 6.15 – A seção transversal retangular da Fig. 
6-33a esta sujeita a um momento de flexão de M = 12 
kN  m. Determine a tensão normal desenvolvida em 
cada canto da seção e especifique a orientação do eixo 
neutro. 
• Solução: 
Orientação do eixo neutro. 
A localização z do eixo neutro (NA), Fig. 6-33b, pode ser 
determinada por proporção. Ao longo da borda BC , 
teremos 
 
 
Da mesma forma é a distancia de D ao eixo neutro. 
A orientação de NA é obtida da Eq.(6-19). Da Fig. 6-33c 
17 
Exemplo 6.15 – A seção transversal retangular da Fig. 
6-33a esta sujeita a um momento de flexão de M = 12 
kN  m. Determine a tensão normal desenvolvida em 
cada canto da seção e especifique a orientação do eixo 
neutro. 
• Solução: Componentes do momento. Da Fig. 6-34a, 
 
 
Tensão de flexão. Coordenadas (y,z) do ponto P são 
obtidas das coordenadas (y’,z’) que são (-0,2, 0.35). 
Da Fig 6-34b teremos 
 
 
Da Eq. (6-17), 
18 
Exemplo 6.16 – A seção-Z mostrada na Fig. 6-34a esta 
sujeita a um momento de flexão de M = 20 kN  m. Os 
eixos principais y e z estão orientados como mostrado, tal 
que eles representam os momentos principais de inércia 
máximo e mínimo, respectivamente 
, Determine a 
tensão normal no ponto P e a orientação do eixo neutro. 
• Solução: Orientação do eixo neutro. 
Usando o ângulo entre M e o eixo z, 
 
 
 
 
O eixo neutro esta orientado como na Fig. 6-34b. 
19 
Exemplo 6.16 – A seção-Z mostrada na Fig. 6-34a esta 
sujeita a um momento de flexão de M = 20 kN  m. Os 
eixos principais y e z estão orientados como mostrado, tal 
que eles representam os momentos principais de inércia 
máximo e mínimo, respectivamente 
, Determine a 
tensão normal no ponto P e a orientação do eixo neutro. 
20 
Concentração de Tensões 
A fórmula da flexão não pode ser usada para 
determinara a distribuição de tensões dentro das 
regiões de um elemento onde a área da seção 
transversal varia repentinamente, visto que as 
distribuições de tensão e deformação na seção 
tornam-se não linear. 
Os resultados podem ser obtidos apenas através de 
experimentos ou em alguns casos, usando-se a teoria 
da elasticidade. 
Descontinuidades comuns incluem elementos tendo 
entalhes em suas superfícies, Fig. 6–42a, furos de 
passagem de fixadores ou outros itens, Fig. 6–42b, 
ou variação abrupta na área da seção transversal, 
Fig. 6–42c. 
A tensão normal maxima em cada uma destas 
descontinuidades ocorre na seção tomada na menor 
área na seção transversal. 
21 
Concentração de Tensões 
Para o projeto, é importante conhecer apenas a tensão normal máxima desenvolvida 
nestas seções. Como nos casos anteriores de barras carregadas axialmente e exos 
carregados torsionalmente, obtém-se a tensão normal máxima devido a flexão 
usando o fator de concentração de tensão K. 
Por exemplo, a Fig. 6–43 fornece os valores de K para uma viga plana com variações 
na seção transversal usando filetes nos ombros. Para usar o gráfico simplesmente 
determina-se as razões w/h e r/h e obtém-se o valor correspondente de K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, obtém-se a tensão máxima (Fig. 6-45) por: 
Solução: O momento gera as maiores tensões na viga na 
base do filete, onde a área da seção transversal e 
menor. 
O fator de concentração de tensão pode ser determinado 
da Fig. 6–43. Da geometria da viga teremos r = 16 
mm, h = 80 mm e w = 120 mm. Logo, 
 
 
Estes valores dão um K = 1,45 , assim teremos 
 
 
O material permanece no regime elástico pois a tensão é 
menor que a de escoamento (500 MPa). 
Fig. 6-46 tensão não-linear, a 80 mm (Fig. 6-47) S.Venan 
Exemplo 6.20 – A transição na área da seção transversal 
da viga de aço é obtida usando filetes nos ombros como 
mostrado na Fig. 6–46a. Se a barra esta sujeita a um 
momento de flexão de 5 kN.m determine a tensão 
normal máxima desenvolvida na viga. A tensão de 
escoamento é E = 500 MPa.