Matemática para Negócios

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GESTÃO DE RECURSOS HUMANOS
Faculdade Estácio de Sá 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
1° Período (Semestre)
(07/03/2019 á 05/07/2019)
Matemática para negócios
Aula 1 - Teoria dos conjuntos
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de conjuntos dos números naturais, apresentando as operações de adição; subtração; multiplicação e divisão, com as suas propriedades de fechamento; comutativa; associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais nas operações de adição; subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números reais.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Reconhecer a Teoria dos Conjuntos como importante para a matemática, tendo em vista que formar conjuntos de números é uma operação que está presente em vários aspectos de nosso cotidiano. Ela nos fornece os principais elementos para a linguagem que é aplicada em diversos ramos da matemática e também será útil nas relações com os conteúdos de outras disciplinas;
Descrever os conceitos de conjuntos, subconjuntos e operações entre conjuntos (união, interseção e complementação), juntamente com as regras fundamentais dessas operações;
Estabelecer relações, interpretar e utilizar os diferentes conjuntos numéricos (racionais, irracionais e reais) em contextos matemáticos, sociais e de outras áreas do conhecimento;
Identificar e utilizar valores aproximados para números racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da situação em estudo.
TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
VÍDEO AULA
Dessa forma, podemos classificar os conjuntos numéricos em:
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos a seguir.
Podemos citar, como exemplo, a necessidade de se atribuir números de telefones às pessoas.
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. Veja a seguir:
NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS
Agora vamos conhecer alguns aspectos importantes dos conjuntos.
Conjunto vazio
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B.
União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Atenção
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja:
A ⊂ A
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja:
Ø ⊂ A
Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A Ո B formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Podemos representar a união, interseção e diferença entre os conjuntos da seguinte forma:
VÍDEO AULA
A representação de conjuntos pode ser:
Representação de conjunto único
Números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Relação entre dois conjuntos
Para representar a relação entre dois conjuntos, vamos tomar como exemplo: A e B.
Relação entre três conjuntos
Tomando como exemplo A, B e C, temos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
N é conjunto dos números naturais:
Onde n representa o elemento genérico do conjunto.
Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.
Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N.
conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita).
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
Saiba mais
Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer suprimir o elemento zero.
N* = N – {0}
No conjunto dos números naturais, estão definidas duas operações:
Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por:
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z:
Temos também outros subconjuntos de Z:
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à divisão.
Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q).
O conjunto dos números racionas (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:
Assim, podemos construir o diagrama:
No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos:
Assim, podemos escrever:
Exemplo
A representação decimal das frações pode ser feita da seguinte forma:
Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador
Atenção
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros).
Vejamos alguns exemplos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
VÍDEO AULA
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I” temos:
Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Veja alguns exemplos:
Questão 1: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a operação: Np ∪ 𝐍𝐢
a) N*
b) { }
c) N (Resposta Correta)
d) N*-
Questão 2: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a operação: Np ∩𝐍𝐢.
a) N*
b) {0} (Resposta Correta)
c) N
d) N*-
Questão 3: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 4}, então:
a) A – B = {0}
b) A ∪B={1, 3, 4}
c) A ⊂ B
d) A ⊃ B (Resposta Correta)
Matemática para negócios
Aula 2 - Potenciação, Radiação, Intervalos Numéricos e Fatoração
INTRODUÇÃO
Nesta aula falaremos sobre a potenciação, radiciação, intervalos numéricos e fatoração.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Descrever a potenciação e a radiciação como propriedades algébricas;
Aplicar a fatoração em expressões algébricas; Definir intervalos entre conjuntos.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numeradore ao denominador, conforme o exemplo a seguir:
POTENCIAÇÃO DE RADICAIS
Observando as potências, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente, conforme o exemplo abaixo:
DIVISÃO DE RADICAIS
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Veja a seguir:
Lembre-se:
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Observe:
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Observe que a fração equivalente 	 possui um denominador racional.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Atenção
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. 
Veja alguns exemplos dos principais casos de racionalização:
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Observe as seguintes igualdades:
Igualmente, podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
Resumindo, podemos transformar um radical com expoente fracionário. Veja a seguir:
PROPRIEDADE DAS POTÊNCIAS COM EXPOENTES RACIONAIS
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Veja um exemplo:
INTERVALOS
Os intervalos podem ser:
Existem ainda os intervalos infinitos:
FATORAÇÃO
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Vejamos a aplicação desse conceito com a decomposição do número 24 num produto:
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Saiba mais
A fatoração do número 24 corresponde à decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então, a fatoração de 24 = 23 x 3 
A fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores primos. A seguir, veja as regras para a fatoração.
Regra para a fatoração
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo.
 
A figura mostra a fatoração do número 630.
DETERMINAÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º Decompomos o número em fatores primos;
2º Traçamos uma linha e escrevemos o um no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES MATEMÁTICAS
Uma expressão matemática está fatorada quando é escrita na forma de uma multiplicação.
Casos de fatoração
SIMPLIFICAÇÃO
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum. Veja alguns exemplos:
ATIVIDADES
1 – O conjunto K abaixo é representado por meio de uma propriedade característica dos seus elementos.
Dadas as opções:
Assinale a correta: LETRA C
Questão 2: Qual o conjunto solução da inequação -7 < 3𝑥 −1< 2?
Dadas as opções:
Assinale a correta: LETRA E
Matemática para negócios
Aula 3 - Equações e inequações do 1º grau
INTRODUÇÃO
Nesta aula, aprenderemos equações e inequações do 1º grau com e sem variáveis.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Reconhecer as equações por meio de sentenças matemáticas de igualdade. Já as inequações, por meio de sentenças abertas expressas por uma desigualdade.
Resolver equações, sistemas de equações e inequações de 1º grau, através de expressões algébricas.
EQUAÇÕES DE 1º GRAU (COM UMA VARIÁVEL)
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo 
equa, que em latim quer dizer "igual".
Alguns exemplos de equações (sentenças abertas):
Atenção
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta); x - 5 < 3 (Não é igualdade);
82 + 35 - 7 (não é sentença aberta, nem igualdade).
EQUAÇÃO GERAL DO PRIMEIRO GRAU
A sentença que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
VÍDEO AULA
VAMOS FAZER UM EXERCÍCIO!
Verifique quais dos elementos do conjunto A são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade!
Resposta correta:
Para x = 0 na equação x - 5 = 0 temos: 0 - 5 = 0 => -5 = 0. (falso)
Para x = 1 na equação x - 5 = 0 temos: 1 - 5 = 0 => -4 = 0. (falso)
Para x = 2 na equação x - 5 = 0 temos: 2 - 5 = 0 => -3 = 0. (falso)
Para x = 3 na equação x - 5 = 0 temos: 3 - 5 = 0 => -2 = 0. (falso)
Para x = 4 na equação x - 5 = 0 temos: 4 - 5 = 0 => -1 = 0. (falso)
Para x = 5 na equação x - 5 = 0 temos: 5 - 5 = 0 => 0 = 0. (verdadeiro)
Para x = 6 na equação x - 5 = 0 temos: 6 - 5 = 0 => 1 = 0. (falso)
Verificamos que 5 é raiz da equação x – 5 = 0, logo V = {5}
Resposta Correta
Para x = -1 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (falso)
Para x = 0 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (falso)
Para x = 1 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (falso)
Para x = 2 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (falso)
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø. Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b ≠ 0.
Saiba mais
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo:
Entendendo na prática!
Seja o sistema de duas equações:
x + 3 y = 24
x - 2 y = 23
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente ambas as equações.
Para isso, vamos utilizar o método de substituição. Veja a seguir.
Método de substituição
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação. Para entender o método, consideremos o sistema:
Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
Substituímos então o valor de x na segunda equação 3x-2y=23:
VÍDEO AULA
INEQUAÇÕES
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º:
VÍDEO AULA
Entendendo na prática!
1 - Vamos resolver a inequação 4(x + 1) – 5 ≤ 2(x + 3): (a solução será representadapor S).
2 – Vamos resolver as inequações simultâneas:
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas)
Atenção
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte.
Resolva as equações:
1 – O valor de x na equação 2x + 10 = 0 é:
a) 10
b) 5 
c) -5
d) -10
e) 8
RESPOSTA CORRETA LETRA C
2 – Se x – y = 2 (x – y), sendo x dependente de y, então y = ?
a) 2x
b) 4x
c) x/2
d) x
e) 3x
RESPOSTA CORRETA LETRA D
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
RESPOSTA CORRETA LETRA E
Matemática para negócios
Aula 4 - Razão e Proporção, Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais, Operações com Porcentagens
INTRODUÇÃO
Nesta aula falaremos sobre: Razão e proporção, Grandezas diretamente e inversamente proporcionais e Operações com porcentagens.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Identificar as propriedades fundamentais das proporções.
Demonstrar as grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Aplicar cálculos de porcentagem em situações-problema.
RAZÃO
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ou seja:
ENTENDENDO NA PRÁTICA!
VÍDEO AULA
PROPORÇÃO
Podemos concluir que o produto dos extremos é o mesmo do produto dos meios: 3 x 10 = 5 x 6 = 30
Atenção
Os números 3 e 10 são chamados extremos e 5 e 6 são chamados meios.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Observe as seguintes proporções:
De modo geral, temos que:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
ENTENDENDO NA PRÁTICA!
Antonio e Carlos passeiam com seus cachorros. Antonio pesa 120kg e, seu cão, 40kg. Carlos, por sua vez, pesa 48kg e, seu cão, 16kg.
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade:
Um médico recomenda uma dieta para um indivíduo obeso. Ele deve consumir até 5 calorias por dia para cada 20kg de excesso de peso.
Se um indivíduo apresentar 50kg de excesso de peso, qual seria o número de calorias diárias para ele?
Como o indivíduo apresenta 50kg de excesso de peso, a quantidade de calorias x é calculada da seguinte forma:
VAMOS FAZER UM EXERCÍCIO!
Determine o valor de x, dada a expressão:
Resposta Correta:
20 (x – 1) = 4 (3x + 1)
20x – 20 = 12x + 4
20x – 12x = 20 + 4
8x = 24
x = 3
ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
Dada a proporção:
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da primeira. Veja um exemplo:
Um carro percorre:
· 100 km em 1 hora
· 200 km em 2 horas
· 300 km em 3 horas
Então, o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporção.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo:
Um carro faz um percurso com velocidade de:
· 120 km em 1 hora
· 600 km em 2 horas
· 400 km em 3 horas
Neste caso, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais.
APLICAÇÕES DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
VÍDEO AULA
Determinação do termo desconhecido de uma proporção.
Veja como aplicar:
Aplicação 1
Aplicação 2
EXERCÍCIO!
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
PROPORÇÃO CONTÍNUA
Considere a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
TERCEIRA PROPORCIONAL
Dados dois números naturais a e b, não nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:
Entendendo na prática!
Vamos determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10. Observe:
PROPORÇÃO MÚLTIPLA
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
PORCENTAGEM
A razão, cujo denominador é 100, recebe o nome de razão centesimal. Tais razões centesimais estão expressas em taxas percentuais:
VÍDEO AULA
VEJA UM EXEMPLO:
Em uma determinada turma com cem alunos, 40 tiraram nota 10. Vamos determinar a porcentagem de alunos que tiraram 10.
EXERCÍCIOS
1 - Num lote de 25 parafusos, 5 apresentaram defeito. A razão entre o número de parafusos defeituosos e o total de parafusos do lote é:
R: 5/25 = 20%
Significa que se o lote contivesse 100 parafusos, deveríamos encontrar 20 parafusos com defeito.
2 - Uma empresa de telemarketing recebe em média 720 ligações de clientes interessados na compra de seus produtos. Sabe-se que a taxa efetiva de vendas é de 15%. Quantas chamadas se converteram em vendas?
RESPOSTA
3 -Um automóvel que custava R$ 42.000,00, passou a custar R$ 46.200,00. Calcule o percentual de aumento.
ATIVIDADE
1 – Indique a razão correta entre 2 e 4:
a) 2
b) ½
c) 4
d) 8
RESPOSTA CORRETA LETRA B
2 - Em uma determinada cidade, constatou-se que entre cinco crianças, duas possuem olhos azuis. A razão entre o número de crianças que não possuem olhos azuis e número total de crianças é:
a) 2/5
b) 4/5
c) 5/5
d) 3/5
RESPOSTA CORRETA LETRA D
3 - O preço de uma TV LCD é R$1.500,00. Uma loja resolve dar um desconto de 12%. Qual será então o preço à vista da TV?
a) R$1.240,00
b) R$1,320,00
c) R$1.420,00
d) R$1.380,00
RESPOSTA CORRETA LETRA B
4 – O resultado de 100% de 80 é:
a) 800
b) 120
c) 180
d) 80
RESPOSTA CORRETA LETRA D
Matemática para Negócios
Aula 5 - Função custo: custo fixo, custo variável, custo no gráfico
INTRODUÇÃO 
Nesta aula, falaremos sobre função custo, onde iremos conhecer o custo fixo, o custo variável e o custo no gráfico.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Diferenciar custo fixo e variável.
Descrever a função custo.
Representar a função custo de primeiro grau no plano cartesiano.
CUSTOS
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte. Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores determinantes de sucesso de uma empresa.
Os custos de uma empresa resultam da combinação de uma série de fatores: a capacitação tecnológica e produtiva relativa aos processos, produtos e gestão; nível de atualização da estrutura organizacional e a qualificação da mão de obra.
Uma empresa apura seus custos com vistas:
MAS O QUE É CUSTO?
Assista ao vídeo, a seguir:
VÍDEO
Portanto, custo é a soma dos valores de bens e serviços consumidos e aplicados para obter um novo produto ou serviço.
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, mercadorias, etc.), mas também custos de serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos somente ocorrem quando houver consumo ou venda.
Vejamos um exemplo:
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O desgaste da máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido na transação.
O total pago pela máquina é classificado como ativo fixo, porque esta máquina tem uma vida útil estimada de 10 (dez) anos. Pode-se dizer que, ao final de cada ano, 1/10 (um décimo) desta máquina, ou valor, gastou-se e, ao final do primeiro ano, apenas 9/10 (nove décimos) do valor da máquina permanecem contribuindo para as operações da empresa. O reconhecimento deste fato implica no reconhecimento do respectivo custo, que no caso chama-se custo de depreciação das máquinas e equipamentos ou, simplesmente, depreciação.
Os três componentes básicos do custo são:
De acordo com sua natureza, os custos classificam-se em Custos Fixos e Custos Variáveis. Vamos conhecê-los, a seguir.
CUSTOSFIXOS
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada.
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação.
Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços. O gráfico, a seguir, ilustra o custo fixo:
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário produzido, devido à economia de escala proporcionada.
Observe no gráfico a seguir que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo.
EXERCÍCIO
Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse mesmo mês, a indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos.
Qual foi o custo fixo unitário daquele produto naquele mês?
Resposta Correta
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos.
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00.
CUSTOS VARIÁVEIS
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção.
São exemplos desse comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo).
A representação gráfica do custo variável total é:
VÍDEO AULA 
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário.
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na quantidade zero não ocorrem custos variáveis.
CUSTO TOTAL
É a soma dos custos fixos mais os variáveis.
A sua representação gráfica é:
VÍDEO AULA
EXERCÍCIO
Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, supondo computados todos os fatores de produção.
Se num determinado mês o custo total da indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados?
Resposta Correta
Custo total = Custo fixo + Custo variável
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x)
sendo x a quantidade de produtos fabricados
15.500 = 3.500 + 20x
20x = 12.000
x = 12.000/20
x = 600
FUNÇÃO
Podemos classificar a função em:
Função Custo
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão:
C(x) = Cf + Cv
Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável
Função Receita
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto.
R(x) = px, onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
Função Lucro
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo.
L(x) = R(x) – C(x)
EXERCÍCIO
1 - Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro.
Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.
Resposta Correta
Função Custo total mensal:
C(x) = 950 + 41x
Função Receita
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000)
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000
L(1000) = 120.000 – 41.950
L(1000) = 78.050
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00.
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo.
R(x) > C(x)
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 950
79x > 950
x > 950 / 79
x > 12
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças.
2 - Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partir de quantos pares de sapatos haverá lucro?
Resposta Correta
Lucro = Receita – Custo
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x)
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro:
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x)
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000
ATIVIDADE
1 - Os custos de uma empresa resultam de uma combinação de uma série de fatores. Assinale aquele fator que NÃO faz parte dessa combinação:
a) A capacitação tecnológica e produtiva relativa a processos.
b) Fornecedores.
c) Produtos e gestão.
d) O nível de atualização da estrutura organizacional.
RESPOSTA CORRETA LETRA B
2 - Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$10.000,00 por mês. Se cada peça produzida no mês tem um custo de R$12,00 e a indústria produz naquele mês 1.000 peças, qual será o custo total do mês?
a) R$12.000,00
b) R$10.000,00
c) R$11.000,00
d) R$22.000,00
RESPOSTA CORRETA LETRA D
3 - Em uma indústria, o custo fixo para fabricação de um determinado produto é R$10.000,00 e o custo total do mês foi de R$90.000,00. Quantas unidades do produto foram produzidas no mês, se o custo de produção de cada produto foi de R$40,00?
a) 5.000
b) 2.000
c) 8.000
d) 10.000
RESPOSTA CORRETA LETRA B
Matemática para Negócios
Aula 6 - Função linear, gráfico no plano cartesiano, função crescente, função decrescente
INTRODUÇÃO
O conceito de função nos transporta à teoria dos conjuntos: quando existirem dois conjuntos com algum tipo de associação entre eles, ocorre uma função sempre que houver uma correspondência de qualquer elemento de um conjunto a um elemento do outro conjunto.
Falaremos mais sobre esse assunto, nesta aula.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Diferenciar coeficiente angular de coeficiente linear;
Diferenciar variável independente de variável dependente;
Conhecer a forma dos pares ordenados x e y;
Representar a função linear no plano cartesiano, demonstrando se a função é crescente ou decrescente.
FUNÇÕES
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em que o aluno está matriculado. Assim, imagine que:
Exemplo
f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3 f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7 f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5 f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
PLANO CARTESIANO
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único número real e vice-versa.
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos = -3.
 Agora vamos praticar:
Consideremos num plano 𝛼 de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a 𝛼, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r// y e s // x.
// - // Significa paralela.
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes:
Podemos então localizar os pontos A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2):
Veja a seguir o sinal das funções:
REPRESENTAÇÃOGRÁFICA DAS FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Vejamos um exemplo:
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y = 3x – 1 é crescente.
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 é decrescente.
VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DE 1° GRAU
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x)é determinar os valores de x, em que yé positivo, os valores de xem que y é zero e os valores de xem que yé negativo.
Entendendo na prática!
Consideremos uma função y = ax + b, vamos estudar seu sinal.
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis: 
ATIVIDADE
1 - Em um plano cartesiano, são dados os seguintes pontos: A(2,3), B(-3,2). Assinale a opção correta:
a) “A” está no 1º quadrante e “B” no 2º quadrante.
b) “A” está no 2º quadrante e “B” no 3º quadrante.
c) “A” está no 3º quadrante e “B” no 4º quadrante.
d) “A” está no 1º quadrante e “B” no 3º quadrante.
e) “A” está no 3º quadrante e “B” no 1° quadrante.
RESPOSTA CORRETA LETRA A
2 - Em um plano cartesiano, se uma reta corta o eixo x no ponto -1, indica que a função correspondente a essa reta é:
a) y = 4x + 1 
b) y = x – 1/4 
c) y = 4x + 1/4 
d) y = 4x - 1/4 
e) y = 4x – 1
RESPOSTA CORRETRA LETRA E
3 - A definição de Função Polinomial de 1º grau é?
a) Qualquer função R dada por f(R) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
b) Qualquer função f dada por f(x) = ay + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
c) Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
d) Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números inteiros e a ≠ 0.
e) Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números irracionais e a a ≠ 0.
RESPOSTA CORRETRA LETRA B
Matemática para negócios
Aula 7 - Função receita, função lucro e ponto de equilíbrio
INTRODUÇÃO
Nesta aula estudaremos a função receita, a determinação de preços de vendas, as funções do lucro, os gráficos e suas representações.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Descrever a função receita.
Determinar o preço de venda, incluídos os custos e a margem de lucro.
Representar no gráfico a função receita.
Descrever a função lucro.
Representar no gráfico a função lucro.
Calcular quantidade de vendas para atingir o ponto de equilíbrio.
Representar no gráfico o ponto de equilíbrio.
FUNÇÃO RECEITA E FUNÇÃO LUCRO
Vamos compreender como determinar a função receita e a função lucro, na prática. Observe os casos a seguir:
O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de João; as despesas com alimentação e transporte correspondem a dois sétimos.
Vamos determinar qual é o salário que João deve receber a fim de que, descontadas todas as despesas, sobrem a ele, no mínimo, R$ 540,00.
Aluguel = 1/5 do salário Alimentação/Transporte = 2/7 do salário
Salário = (1/5) + (2/7) + 540 -> 540 = {1 – [(1/5) + (2/7)]} do salário
Logo: 540 = (18/35) do salário -> salário = (540/18) * 35 = 1.050
Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de R$10,00 para um peso P de até 1kg. Para cada quilo adicional ou fração de quilo, o custo aumenta R$ 0,30.
Vamos determinar a função que representa o custo de uma encomenda de peso P ≥ 1kg.
Se 1 ≥ P - > C = 10
Se 2 ≥ P > 1 -> C = 10 + 1*0,30
Se 3 ≥ P > 2 -> C = 10 + 2*0,30
Se 4 ≥ P > 3 -> C = 10 + 3*0,30
O gráfico ao lado informa a quantia a ser paga pelo consumo de água em certa cidade.
Sabendo que o consumo mínimo é de 10m3, vamos determinar quanto importa no pagamento um consumo de 28m3.
(60 – 20) / (20 – 10) = 4
20 + 4 * (C – 10)
20 + 4 * (28 – 10)
20 + 4 * 18 = 20 + 72 = 92
Agora é com você!
Com base nas situações vistas anteriormente, resolva as questões abaixo.
De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é: R = C + L, onde V é a arrecadação dos produtos vendidos; C o custo total dos produtos fabricados; e L o lucro obtido na transação.
Para produzir um produto, uma indústria gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade.
Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a indústria começa a ter lucro?
Resposta:
C = 4000 + 1,20x onde x é a quantidade de produtos.
Com C = R – L, para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, vamos imaginar o L = 0.
Logo, substituindo C por 4000 + 1,20x e R por 2x, temos:
4000 + 1,20x = 2x – 0
2x – 1,2x = 4000
Logo: 0,8x = 4000
x = 5.000 produtos -> a partir daí começa a dar lucro.
Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0.
Se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
Resposta:
No caso da receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) = p.q onde R é a receita total, p é o preço por unidade do produto e q é a quantidade vendida.
Assim, a receita R será 80 x 100000 = R$ 8.000.00,00.
PONTO DE EQUILÍBRIO
O ponto de equilíbrio é o ponto onde a oferta é igual à demanda.
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores que afetam o lucro. Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis de se realizar na vida real.
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos:
MÉTODO DA EQUAÇÃO
Esse método segue a equação:
Exemplo:
Tendo como base os valores:
Preço de venda unitário: R$10,00
Custo variável unitário: R$4,00 Custo fixo: R$150.000,00
Vamos determinar quantas unidades devem ser produzidas para que seja alcançado o Ponto de Equilíbrio:
10x = 4x + 150000 + 0 x = 25.000 unidades
MÉTODO DA MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção necessária para calcular o ponto de equilíbrio.
Exemplo
Considerando os dados anteriores, vamos calcular o ponto de equilíbrio, levando em conta a margem de contribuição.
Preço de venda unitário: R$10,00
Custo variável unitário: R$4,00
Custo fixo: R$150.000,00
PVU – CVU = 10 – 4
Vamos usar o lucro zero por ser o ponto de equilíbrio, ou seja, receita = custo.
x = (150.000 + 0) / (10 – 4) x = 25.000 unidades
MÉTODO GRÁFICO
As unidades de venda são representadas no eixo horizontal e os valores monetários no eixo vertical.
DEPRECIAÇÃO LINEAR
Existem ativos (máquinas, equipamentos, veículos, prédios) que sofrem uma depreciação contábil (“desvalorização”) no seu valor de aquisição, calculado mensalmente ou anualmente, dependendo do tipo de ativo.
Exemplo
Um equipamento de informática é comprado por R$ 12.000,00. Sua depreciação normal é realizada em cinco anos. Vamos determinar:
Qual será o valor estimado desse equipamento ao fim de três anos.
Qual o valor da depreciação mensal desse equipamento.
Solução:
Valor da depreciação anual: 12000
12000/5 = 2400
Depreciação ao fim de três anos: 2400 x 3 = 7200
Valor estimado ao fim de três anos: 12000 – 7200 = R$4.800,00
Valor da depreciação mensal
2400/12 = R$ 200,00
Ou
12000/60 = R$ 200,00 porque 5 anos = 60 meses
ATIVIDADE
1 - O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$7.500,00 e que, depois de seis anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor, após quatro anos de uso é: 
a) R$ 2.100,00
b) R$ 3.150,00
c) R$ 3.300,00
d) R$ 3.750,00
RESPOSTA LETRA C
2 – Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$ 80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita? 
a) R$ 180.000.00,00
b) R$ 8.000.00,00
c) R$ 800.00,00
d) R$ 80.000.00,00
RESPOSTA LETRA B
3 – O ponto de equilíbrio é o ponto onde:
a) A oferta é maior que a demanda.
b) A oferta é menor que a demanda.
c) Há oferta, mas não há demanda.
d) A oferta é igual à demanda.
RESPOSTA LETRA D
Matemática paraNegócios
Aula 8 - Receita quadrática, função lucro quadrática, função quadrática e inequações do 2º grau
INTRODUÇÃO 
Nesta aula, estudaremos a receita quadrática, além da função lucro quadrática e as inequações do 2º grau.
Bons estudos! 
OBJETIVOS
Reconhecer a função quadrática como uma parábola.
Elaborar a representação gráfica da curva da função quadrática.
Resolver função quadrática e inequação de 2º grau.
Descrever a função lucro quadrática.
Interpretar o gráfico da função lucro quadrática.
Função quadrática
Para definirmos a função quadrática, vamos analisar a situação
a seguir.
Imagine que um clube dispõe de um campo de futebol de 100m de comprimento por 70m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca, uma pista com 3m de largura.
Vamos determinar qual é a área do terreno limitado pela cerca!
VÍDEO AULA
3 - Identifique os coeficientes a, b e c das seguintes funções quadráticas:
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau y = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
EXERCÍCIO!
Resposta Correta:
Valores máximo e mínimo de uma função de 2º grau
O gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c é sempre uma parábola de eixo vertical. Observe:
Propriedades do gráfico y = ax² + bx + c
Podemos definir as seguintes propriedades do gráfico y = ax² + bx + c:
Propriedade 1
Se a > 0, a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
Propriedade 2
Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo.
Propriedade 3
O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
xv = -b/2a
yv = -D/4a, onde D = b2 – 4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara)
Propriedade 4
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”, que são as raízes da equação ax² + bx + c = 0.
Propriedade 5
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
Propriedade 6
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = -b/2a.
Propriedade 7
ymax = - D / 4a ( a < 0).
Propriedade 8
ymin = - D / 4a (a > 0).
Propriedade 9
Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes de f(x) = ax² + bx + c; então, ela pode ser escrita na forma fatorada seguinte: y = a(x – x1) . (x - x2)
EXERCÍCIO!
1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) O seu valor máximo é 1,25
b) O seu valor mínimo é 1,25
c) O seu valor máximo é 0,25
d) O seu valor mínimo é 12,5
e) O seu valor máximo é 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.
 2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2
VÍDEO AULA
Função receita/lucro quadrática
Para definirmos a função receita/lucro quadrática, vamos analisar a situação a seguir:
Certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria em reais é calculada pela expressão R(x) = 80000x – 8000x², vamos calcular o valor que cada unidade do produto deve ser vendida para ser gerada uma receita mensal de 
R$200.000,00.
Função Lucro
Observe a situação a seguir:
Um grupo de estudantes resolveu montar uma pequena indústria de estampas em camisas. Para tornar o negócio rentável, é preciso levantar os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio de uma pesquisa de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta.
O grupo levantou os seguintes custos:
Vamos determinar o custo C para estampar x camisetas.
O custo C para estampar x camisetas é dado por:
C(x) = 1650 + 7,50x.
EXERCÍCIO!
O lucro na venda de x unidades de um produto é dado por:
L(x) = x² + 2x – 3 Determine:
a) O lucro na venda de 10 unidades do produto.
b) A quantidade vendida para um lucro zero.
c) A quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível.
d) O gráfico de L(x).
Resposta Correta:
a) Substituir x por 10: L(10) = 100 + 20 – 3 = 117, ou seja, R$117,00.
b) x² + 2x – 3 = 0
Aplicando a Bhaskara, as raízes são: 1 e -3. A segunda, por ser negativa, tem que ser desprezada. Então, x = 1, isto é, preciso vender 1 unidade para o lucro ser zero.
c) Quanto mais venda, maior o lucro (não há limite).
d)
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações.
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se as propriedades das desigualdades e o significado da solução.
Inequações de 2º grau
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações.
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se as propriedades das desigualdades e o significado da solução.
VÍDEO AULA
COMO RESOLVER A INEQUAÇÃO
Estudo do sinal da função
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coeficiente em x²).
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4. 
E o conjunto:
S = {x ∈ R | x < -1 ∨ x > 4} 
O sinal ∨ significa “ou”.
Vejamos um exemplo!
Vamos determinar o sinal da função:
Matemática para Negócios
Aula 9 - Limites de uma função
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você aprenderá a calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Calcular o limite de uma função com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x)quando x está próximo de um ponto p. Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
VÍDEO AULA
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Situação 2: Seja a função f(x)=2x+1. Vamos determinar como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1.
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x -> 1), y tende para 3 (y -> 3), ou seja:
Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x1).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x).
Quando x1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x= 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função , quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
(x-2) se aproxima de zero
(x+1) se aproxima de 3
Portanto, o limite da função 	 estará se aproximando do quociente dos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto p=2, ou seja, será igual a: 0/3 = 0.
Situação 2: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = (x+4).(x² – 2x) quando x se aproxima do ponto x=3.
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultadoé o produto dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3:
· (x+4) se aproxima de 7
· (x2 – 2x) se aproxima de 3
· 
Portanto, o limite da função y = (x + 4).(x² – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x² – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21
VÍDEO AULA
Situação 3: Vamos determinar como se comportam os valores da função quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
· (x2 - 4) se aproxima de zero
· (x - 2) se aproxima de zero
Portanto, o limite da função aproxima-se de uma fração do tipo 0/0. 
Logo, não podemos aplicar a propriedade do quociente dos limites.
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto p=2.
Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge.
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é 	 aproximam-se do valor L=4.
VÍDEO AULA
Matemática para Negócios
Aula 10 – Derivadas
INTRODUÇÃO
Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada de uma Constante, Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma Soma, Derivada do Produto e Derivada do Quociente.
Bons estudos!
DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
A derivada da função potência pode ser usada em diferentes contextos.
Derivada de uma função
Para realizar a diferenciação da derivada de uma função, deve-se seguir algumas regras. São elas:
Derivadas
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’. As regras de derivação são bem simples:
DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x)no intervalo [a, b].
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando ∆ x = b – a, os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) para y= f(b), variando ∆ y = f(b) - f(a).
A divisão da variação (∆ y de y) pela variação (∆ x de x) é a taxa média de variação (TMV) dessa função no intervalo[a, b]:
Vejamos na prática!
Vamos calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função y = x² + 1 no intervalo [1, 3].
Para a = 1 e b = 3 →∆ x = 3 – 1 = 2 
y = f(3) = 9 + 1 = 10 
y = f(1) = 1 + 1 = 2
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x. 
CÁLCULO DA DERIVADA EM UM PONTO
Para compreendermos como determinar a derivada em um ponto, vamos calcular o valor da derivada de y = 3x² + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interpretar o resultado obtido.
VAMOS PRATICAR!
DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES: Y = F(X) . G(X)
Seja a função:
Vamos calcular a derivada da função y = (x + 1).(x – 3x), x ∈𝑹
DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES
É determinada pelas funções:
Vejamos alguns exemplos:
ATIVIDADE
1 - Calcule o valor da derivada da função y = –0,25x² + 6x + 5, x ∈ R, no ponto p= –5 e interprete o resultado obtido.
Resposta Correta: y’= 8,5 ; no ponto p= –5 a tendência da função é crescer 8,5.
2 - Calcule a função derivada de cada uma das funções:
Resposta Correta: 
,
2