AVA2 - Cál Vet e Geo Ana

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
 
 
Jhonas da Silva Egger Porto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVA2 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Gonçalo - RJ 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVA2 
 
 
Atividade apresentada à Universidade Veiga de Almeida 
com o objetivo de obtenção de nota para a aprovação na 
disciplina de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica do 
curso de Engenharia de Produção. Professor: Rogerio 
Bailly. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Gonçalo - RJ 
2020 
QUESTÃO: 
Reta 
 
A reta é o suporte geométrico de várias construções, como as trajetórias lineares, por 
exemplo, que podem então ser representadas por equações de retas. Reconhecendo 
estas aplicações, podemos utilizá-las para resolver um tipo de problema recorrente 
que trata do instante em que dois móveis se encontram. 
Um caminhão parte às 6 horas da manhã, da cidade A para a cidade B, viajando a 
uma velocidade média de 50km/h e ao meio dia chega à cidade B. Um automóvel 
parte da cidade B às 8 horas da manhã desse dia e, viajando com velocidade 
constante pela mesma estrada, chega à cidade A também ao meio dia. Em que 
momento o caminhão e o automóvel cruzaram-se na estrada? 
Represente no plano cartesiano, as trajetórias dos veículos, por meio de retas, 
posicionando a cidade A na origem dos eixos; e represente as retas por meio de algum 
dos tipos de equações estudadas, nesta unidade. Você pode usar um papel 
quadriculado para representar no eixo cartesiano, e os cálculos devem ser digitados. 
1. Determine algebricamente o ponto onde os veículos se encontram. 
2. Elabore a representação da resolução no GeoGebra, explicitando as trajetórias do 
carro e do caminhão, por meio de retas, seus vetores diretores e pelo ponto de 
encontro. Salve o arquivo. 
3. Copie uma imagem da sua tela de solução no GeoGebra, e cole no arquivo em 
que constam os cálculos necessários às questões 1 e 2, contendo as informações 
solicitadas, nesta questão. 
4. Faça todos os cálculos necessários para responder em que instante os veículos 
se encontram e redija a resposta final. 
 
RESPOSTA: 
1) Dados do caminhão: 
 𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 50 𝑘𝑚/ℎ 
∆𝑡𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 6ℎ 
∆𝑠𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 . ∆𝑡𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 
∆𝑠𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 50 . 6 = 300𝑘𝑚 (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐴 𝑒 𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐵) 
Dados do carro: 
∆𝑡𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = 4ℎ 
∆𝑠𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = ∆𝑠𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 300𝑘𝑚 
𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = 
∆𝑠
∆𝑡
= 
300
4
= 75𝑘𝑚/ℎ 
 
Devido à saída de o caminhão ter sido 2 horas antes da saída do carro, será 
necessário determinar a posição do caminhão no tempo igual 2 horas. 
𝑆𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 𝑥 𝑡𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 
𝑆𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 50 . 2 = 100 𝑘𝑚 
 
Então, o ponto inicial para o caminhão passará a ser 100 km e o do carro permanece 
sendo 300 km por estar fazendo o sentido oposto. Logo, podemos igualar a distância 
para encontrar o momento em que eles se cruzam na estrada: 
∆𝑠 = 𝑉 . 𝑡 
𝑆 − 𝑆𝑜 = 𝑉 . 𝑡 
𝑆 = 𝑆𝑜 + 𝑉 . 𝑡 → 𝑆1 = 𝑆2 
𝑆𝑜𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 + 𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 . 𝑡𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 𝑆𝑜𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 − 𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 . 𝑡𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 
 
100 + 50𝑡 = 300 − 75𝑡 
50𝑡 + 75𝑡 = 300 − 100 
𝑡 =
200
125
= 1,6ℎ → 1,6ℎ = 01: 36 ℎ𝑟𝑠 
 
Hora saída + Horas percorridas = Momento que se cruzam: 
 08:00 + 01:36 = 09:36 hrs 
 
Distância percorrida pelo caminhão até o momento da intercessão: 
𝑆𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 𝑆𝑜𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 + 𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 . 𝑡𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 
𝑆𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 100 + 50 . 1,6 
𝑆𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 180𝑘𝑚 
 
Distância percorrida pelo carro até o momento da intercessão: 
𝑆𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = 𝑆𝑜𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 + 𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 . 𝑡𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 
𝑆𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = 0 + 75 . 1,6 
𝑆𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = 120𝑘𝑚 → 300𝑘𝑚 − 120𝑘𝑚 = 180𝑘𝑚 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então, o momento em que o caminhão e o carro se cruzam no trajeto 
entre as cidades será no tempo de 1,6h em relação à saída do carro na cidade 
B, pois o caminhão já teria percorrido um total de 100km por ter iniciado seu 
percurso 2 horas mais cedo. Logo, o encontro entre os veículos acontecerá às 
09:36 da manhã aos 180km da estrada em relação a cidade A, que é o ponto 
inicial.