Problemas de Engenharia Mecânica

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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
MEC 1140 Estática – P2 – 2000.1 
 
1a. Questão (4 pontos) 
 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura 
abaixo. 
 2 KN/m 2 KN/m 
 
 
 2 m 3m 3 m 
 1 KN/m 2 KN 
 2 m 
 
 
2a. Questão (4 pontos) 
 
Calcular a expressão da equação do cabo sujeito ao carregamento parabólico mostrado na 
figura abaixo. Calcular também o esforço máximo e mínimo atuando no cabo. 
 
 50 ft 
 
10 ft 
 
 
 200 lb/ft 
 
 
3a. Questão (2 pontos) 
Calcular a deformação do ponto A da estrutura da figura abaixo. 
 
 
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
MEC 1140 Estática – P2 – 2000.2 
 
1a. Questão (4 pontos) 
 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura 
abaixo. 
 2KN/m 
 
 2 KN m carregamento circular 
 
2KN/m 
 4 m 
 
 3 m 
 
 
 
 
2a. Questão (2 pontos) 
 
Achar o carregamento da viga bi-apoiada, cujo Diagrama de Esforço Cortante (DEC) é 
mostrado na figura abaixo. Achar também o momento fletor máximo. 
 7 KN 
 1 KN 
 
 
 3 KN 
 6 KN equação do 2o. grau 
 
3a. Questão (4 pontos) 
 
Calcular a variação de posição dos pontos D, E e C e a variação de comprimento das duas 
molas. 
 
 A a D 
 
 K K a 
 
 a a 
 
 E C B 
 
P 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
MEC 1140 Estática – P2 – 2001.1 
 
 
1a. Questão (4 pontos) 
 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura 
abaixo. 
 
 
 2KN m 2 KN/m 
 
 
 2 m 3 m 
 1 KN/m 2 KN 
 2 m 
 
 
 
2a. Questão (2 pontos) 
 
Uma trena de 100 ft de comprimento pesa 0.624 lb. Quando segura entre dois pontos no 
mesmo nível por uma tração de 10 lb em cada extremidade, qual a flecha h no meio da 
trena? 
 
3a. Questão (4 pontos) 
 
Calcular as reações nos três apoios. Determinar os novos comprimentos das barras AB e 
BC e determinar os deslocamentos dos apoios A e B, sabendo-se que o módulo de 
elasticidade é E e a área da seção transversal é A, de ambas as barras. 
 
 P 
 
 A 
 
 
 
 
 B 60o C 
 L 
 
 
 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2001.2 
 
1a. Questão ( 3 pontos) 
 
Determine o carregamento uniforme máximo w0 para o cabo mostrado na figura, 
considerando que ele pode suportar uma força trativa máxima de 4000 lb. Determinar 
também as forças atuantes nos apoios. 
 
 
 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
MEC 1140 Estática – P2 – 2002.1 
1a. Questão ( 4.0 pontos) 
 
Desenhar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da 
figura abaixo. 
 wo sen( x / L) 
 
 M 
 qo 
 L 
 L 
 
 
 
2a. Questão ( 3.0 pontos) 
 
Calcular a equação da curva y = f(x) que define a forma AB e as forças trativas 
máxima e mínima, sabendo-se que a inclinação do cabo em A é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a. Questão ( 3.0 pontos) 
 
Calcular a deformação da extremidade livre da viga abaixo de módulo de elasticidade 
E e seção transversal circular variável, com diâmetro a à esquerda e 2a à direita. 
 
 F1 F3 
 F2 a 
 a 
 a 
 
 2a 2 a 2 a 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2002.2 
 
1a. Questão (4 pontos) 
Determinar a relação a / b para qual a força cortante seja nula no ponto médio C da figura 
abaixo. Calcular também o diagrama de esforço cortante e momento fletor ao longo da 
viga. 
2a. Questão (3 pontos) 
Um fio pesado ABCD, de comprimento total S, está disposto como representado na figura 
abaixo. O trecho CD, de comprimento b, está apoiado num plano horizontal, cujo 
coeficiente de atrito com o fio é . Calcular o máximo comprimento y, do trecho vertical 
(AB) compatível com o equilíbrio. A polia tem raio desprezível e não há atrito. Lembrar 
que a força de atrito máxima é igual a Fatmax=  N, onde N é o vetor normal à superfície 
de contato. Achar também a equação de deformação do cabo. 
 
3a. Questão (3 pontos) 
A placa triangular da figura abaixo tem peso W. Calcular o valor da constante elástica da mola, k, 
de tal forma que o ponto A desça o dobro do ponto B. A, B e C formam um triângulo retângulo, 
com o ângulo reto em A e dimensões AC = 3 e AB = 6. A placa está inicialmente na horizontal e o 
comprimento da barra BD é L, com seção transversal A e módulo de elasticidade E. A barra CE é 
indeformável. 
 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2003.2 
 
1ª. Questão ( 4.0 pontos) 
Calcular o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura abaixo. 
 4 kN/m 
 
 
 
 
 3m 
 2m 1 kN/m 
 
 
 
2ª. Questão ( 3.0 pontos) 
Calcular a expressão da equação do cabo sujeito ao carregamento parabólico mostrado na figura 
abaixo. Calcular também o esforço máximo e mínimo atuando no cabo. 
 50 m 
 
10 m 
 
 
 
 200 N/m 
 
3ª. Questão ( 3.0 pontos) 
A placa triangular da figura abaixo tem peso W. Calcular o valor da constante elástica da mola, k, de 
tal forma que o ponto A desça o mesmo que o ponto B. A, B e C formam um triângulo retângulo, com 
o ângulo reto em A e dimensões AC = 3 e AB = 6. A placa está inicialmente na horizontal e o 
comprimento da barra BD é L, com seção transversal A e módulo de elasticidade E. A barra CE é 
indeformável. 
 
 E 
 
 
 
 C 
 k 
 
 D 
 A 
 
 B 
 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2004.1 
1ª. Questão ( 4.0 pontos) 
 
Desenhar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico da figura 
abaixo. 
 
 q(x) = 1.5 + 0.25 x – 0.25 x2 
 
 
 2 kN m 
 
3m 
 1 kN/m 
2m 
 
 
 
2ª. Questão ( 2.5 pontos) 
 
Um cabo com peso específico 80 lb/ft é suspenso entre dois pontos distantes de 15 ft e 
no mesmo nível. Se a força trativa mínima no cabo é de 200 lb, determine seu peso 
total e a força trativa máxima por ele desenvolvida. 
 
 
3ª. Questão ( 3.5 pontos) 
 
Calcular a reação de apoio em A, na figura abaixo sujeita a uma força P (no ponto 
médio C), sabendo-se que a seção transversal tem espessura constante a e módulo de 
elasticidade 20 a. 
 A B 
 
 
 
4 a P 2a 
 
 C 
 
 
 
 
5 a 5 a 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2004.2 
 
1a. Questão (3.0 pontos) 
 
Determinar a distância a entre os apoios da figura simétrica abaixo de modo que o momento 
no centro da viga seja nulo. Calcular também o valor do esforço cortante neste ponto. São 
dados o comprimento total da viga L e a carga no meio da viga wo. 
 
 wo 
 
 
 
 
 a 
 
 
2a. Questão (3.5 pontos) 
 
Achar o diagramade esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura 
abaixo. 
 
 
 2kN m q(x) = 2 + x kN/m 
 
 
 2 m 3 m 
 1 kN/m 2 kN 
 2 m 
 
 
 
3a. Questão (3.5 pontos) 
 
Calcular as reações de apoio da barra de seção quadrada da figura abaixo, tendo E como 
módulo de elasticidade de seu material. 
 
 
 4 a 2 a 2 a 
 F2 
 2 a F1 6 a 
 
 A B C D 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2005.1 
 
1a. Questão ( 3 pontos) 
 
Determine o carregamento uniforme máximo w0 para o cabo mostrado na figura, 
considerando que ele pode suportar uma força trativa máxima de 4000 lb. Determinar 
também as forças atuantes nos apoios. Escrever também a equação de deformação do cabo 
para esta situação. 
 
 
0.10 mm 
 
 
 
 1.0 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a. Questão ( 3 pontos) 
 
A barra da figura acima tem seção transversal quadrada de 10 cm. Calcular o esforço na 
parede superior se houver um acréscimo de temperatura de 40oC, sabendo-se que α = 17 x 
10-6/ oC e E = 110 GPa. Qual é a máxima variação de temperatura para não haver esforço 
nesta parede? Não considerar o peso próprio da barra. 
 
3a. Questão ( 4 pontos) 
 
Achar as equações de esforço cortante e momento fletor na viga da figura abaixo. 
Calcular também onde o cortante é máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2005.2 
 
1a. Questão (3.5 pontos) 
 
O cabo da figura abaixo é suportado por uma carga uniforme de 50 lb/ft com o ponto 
mínimo B localizado 10 ft abaixo do ponto Q. 
a) Achar a localização do ponto B e a tensão mínima no cabo; 
b) Com a tensão obtida no item a) achar a posição do ponto B assumindo que o cabo 
pesa 50 lb/ft. 
 
2a. Questão (3.0 pontos) 
 
Duas barras são cortadas de uma chapa metálica de 25 mm de espessura. A barra A 
tem largura constante de 50 mm. A barra B tem 75 mm de largura no topo e 25 mm 
no fundo, ambas submetidas à mesma carga P, como mostra a figura abaixo. 
Determinar a relação LA / LB tal que ambas as barras distendam da mesma 
quantidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a. Questão (3.5 pontos) 
 
Achar os diagramas de esforço cortante e momento fletor das seções BC e CD da 
figura abaixo. As forças estão em unidades de k lb. 
 
 
 
 
 D 
 
 
 
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1ª. Questão ( 3.0 pontos) 
 
A viga uniforme mostrada na figura abaixo pesa 500 lb e é mantida na posição 
horizontal através do cabo AB, que pesa 5 lb/ft. Se a inclinação do cabo em A é de 30º 
determine a distância BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão ( 3.0 pontos) 
 
Três cabos elásticos idênticos, A, B e C suportam um bloco rígido de peso B ao qual 
se aplica uma carga 2P em um ponto que dista x do meio, como se vê na figura abaixo. 
Fazer um gráfico mostrando como a força Fb varia em função de x. Supor x sempre 
positivo, podendo ser maior que b. 
 
3ª. Questão (4.0 pontos) 
 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico da figura abaixo. 
 
 
 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2006.2 
 
1ª. Questão (3.5 pontos) 
Uma barra de alumínio de 750 mm de comprimento é colocada no interior de um tubo de 
liga de aço conforme figura abaixo. Os dois materias são soldados. Os diagramas de σ (P 
/ A) x є (ΔL / L) são dados para cada material. As áreas da seções transversais de cada 
material são iguais a 300 mm2. Pede-se: 
a) Qual a deflexão da extremidade livre para P = 40 t; 
b) Explicar o que irá acontecer para P = 60 t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3.5 pontos) 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor na viga da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (3.0 pontos) 
O dirigível da figura acima está amarrado no solo através de um cabo com 100 m de 
comprimento com massa específica de 0,51 kg/m. Um momento de 400 N m no tambor é 
necessário para iniciar o enrolamento do cabo. Calcule a altura H do dirigível sabendo-se 
que o diâmetro do tambor do guincho é de 0,5 m. 
 
M 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2007.1 
 
INDICAR A QUESTÃO QUE DEVE VALER 4.0 PONTOS. Caso não indique 
será considerada a 1ª. questão. 
 
1ª. Questão (3.0 pontos) 
 
Escrever as equações do esforço cortante e momento fletor atuando na viga bi-apoiada da 
figura abaixo. Calcular também o esforço cortante e momento fletor máximos. 
 
 q = qo + k x
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3.0 pontos) 
 
O barco mostrado na figura abaixo é ancorado através de uma corrente com massa de 18 
kg/m. A corrente faz um ângulo de 60o com a horizontal e a força trativa em A é de 7 kN. 
Determine o valor da distância d e o comprimento do cabo. Suponha que o valor do empuxo 
no cabo seja desprezível e que o cabo está preso em B com ângulo 0 o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (3.0 pontos) 
 
Uma barra de aço ABC (E = 200 GPa) tem seção transversal A1 de A até B e seção 
transversal de A2 de B até C como mostra a figura acima. A barra está sujeita a uma força 
P de 53 kN na extremidade C. Duas barras BD cuja área total de seção transversal é A3 
suportam a barra AB em B. Determinar a deflexão do ponto C, sabendo-se que L1 = 2 L2 
= 250 mm, L3 = 100 mm, A1 = 2 A3 = 1000 mm
2, A2 = 322 mm
2 e E3 = E. 
 
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1ª. Questão (4.0 pontos) 
 
Escrever as equações do esforço cortante e momento fletor atuando na viga da figura 
abaixo. 
VA = 7 kN VB = 7 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3.0 pontos) 
 
Uma corda uniforme está suspensa entre dois pontos situados no mesmo nível. Determine 
a relação (h / L) entre o deslocamento máximo (h) e o vão (L) na condição de a força 
trativa máxima na corda ser igual ao seu peso total. h / L = 0,141 
 
3ª. Questão (3.0 pontos) 
A placa triangular da figura abaixo tem peso W. Calcular o valor da constante elástica da 
mola, k, de tal forma que o ponto A desça o dobro do ponto B. A, B e C formam um 
triângulo retângulo, com o ângulo reto em A e dimensões AC = 3 e AB = 6. A placa está 
inicialmente na horizontal e o comprimento da barra BD é L, com seção transversal A e 
módulo de elasticidade E. A barra CE é indeformável. 
 
 E 
 
 
 C 
 k 
 
 D 
 A 
 B 
 
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1ª. Questão (4.0 pontos) ` 
 
A viga mostrada abaixo é constituída por dois segmentos conectados por um pino em B. 
Construa os diagramas de forças cisalhantes e de momentos fletores para a viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3.0 pontos) 
 
Um balão está preso a um tambor de guincho por meio de um cabo de 100 m de 
comprimento e massa de 0,51 kg / m, conforme mostra a figura. Para iniciar o enrolamento 
do cabo no tambor é necessário um momento de 400 Nm. Calcular a altura H do balão, 
sabendo que o diâmetro do tambor é 0,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (3.0 pontos) 
 
Calcular de deformação do ponto A da figura abaixo,sabendo-se que as barras são feitas 
de um material com módulo de elasticidade E e têm seção transversal circular. 
 
 
 
 
 
O 
O 
700 lb 
 
150 lb / ft 200 lb / ft 
800 lb ft 
A 
B C 8 ft 4 ft 12 ft 
 
P P 2P 4 a 
2 a 
2 a 
2 a 
8 a 8 a 4 a 
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1ª. Questão (4.0 pontos) 
Calcular o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura 
abaixo. q(x) = -x3 + 8,2 x + 2,4 kN / m 
 
R: HÁ = 8kN VA = 23.85 kN 
MA = 44 kN.m 
 
 3m 
 4 kN/m 2m 
 
 A 
 
2ª. Questão (3.0 pontos) 
Uma corrente pesa 2 lb / ft e está presa por um pino a uma parede rígida numa extremidade 
e passa sobre um pino sem atrito em A, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a força 
trativa mínima é aproximadamente igual a 10,74 lb e que a corrente está em equilíbrio, 
pede-se: 
 
a) a equação de deformação da corrente; 
b) o comprimento total do cabo; 
c) o comprimento L do segmento suspenso. 
 
 
a) C1 = 0;C2 = -μ/To 
b) s = 11.51 ft 
c) L = 7.87 ft 
 
 
3ª. Questão (3.0 pontos) 
 
Calcular a deformação da extremidade livre da viga abaixo de módulo de elasticidade E e 
seção transversal circular variável, com diâmetro a à esquerda e 2a à direita. 
 
 F1 F3 
 F2 a 
 a 
 a 
 
 2a 2 a 2 a 
 
 
 R: Δ = (14 F3 – 12 F2 + 8F1)/(E π a) 
 
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MEC 1140 Estática – P2 – 2009.1 
 
INDICAR QUAL QUESTÃO DEVE VALER 4,0 PONTOS. SE NÃO INDICAR 
SERÁ CONSIDERADA 
A 1ª. QUESTÃO 
 
1ª. Questão 
 
a) desenhar o diagrama de esforço cortante e momento fletor, com as respectivas 
equações, para a viga da figura abaixo, com a = 6 ft; 
b) determinar o valor de a para que o máximo valor do momento fletor seja o menor 
possível. R: a = 6 ft 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão 
 
A carga por unidade de distância horizontal suportada pelo cabo da figura acima varia 
desde wo no centro até w1 nas extremidades, de forma parabólica. Obtenha a equação para 
a deflexão do cabo, y, em função de x. 
R: y = ((wo x2 /2) +((w1-wo)x4)/(3L2)))/To To = L2(5wo + w1)/(48h) 
3ª. Questão 
 
Duas barras são cortadas de uma chapa metálica de 25 mm de espessura. A barra A tem 
largura constante de 50 mm. A barra B tem 75 mm de largura no topo e 25 mm no fundo, 
ambas submetidas à mesma carga P, como mostra a figura abaixo. Determinar a relação LA 
/ LB tal que ambas as barras distendam da mesma quantidade.R: LA/LB = 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ENG1700 - Estática – P2 – 2009.2 
 
1ª. Questão (3 pontos) 
 
a) Achar as equações de esforço cortante e momento fletor, com os respectivos 
diagramas, para a viga da figura abaixo; 
b) determinar os valores máximos do cortante e do momento fletor. 
 
 
VA = 660 N 
MA = 156 N m 
 
 
 
2ª. Questão (3 pontos) 
 
O cabo da figura acima está sujeito a uma carga q = k x3 onde k é uma constante a ser 
determinada. Sabe-se que o cabo cruza o eixo dos x em x = L / 2. Achar a equação da 
deflexão do cabo 
 
 
 
y = 16 f x (x4 – L4/16) 
 15 L4 
 
 
 
 
3ª. Questão (4 pontos) 
 
O tubo de aço de diâmetro interno 0.5 m e expessura de parede 12 mm é preenchido com 
concreto e comprimido entre duas placas rígidas, conforme figura abaixo. Se a tensão 
máxima de compressão do aço e do concreto são 110 MPa e 8 MPa, respectivamente, 
calcular a carga P máxima admissível. Considerar Eaço = 200 GPa e Econcreto = 14 GPa. 1 Pa 
= 1 N/m2. 
 
P = 3.6346 x 106 N 
 
 
 
 
 
 
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ENG1700 - Estática – P2 – 2010.1 
 
ESCOLHER A QUESTÃO QUE VALE 4 PONTOS. CASO NÃO ESCOLHA 
SERÁ A 1ª. QUESTÃO 
 
1ª. Questão 
 
A via de rodagem de uma ponte pênsil é sustentada por dois cabos AB e BC, 
conforme figura abaixo. Uma extremidade é presa por pino ao pilar B. As outras 
extremidades dos cabos são ancoradas na mesma altura em A e C, respectivamente, 
onde os cabos apresentam inclinações horizontais. A carga da via de rodagem é de 4 
lb/ft. Determinar: 
 a) as forças exercidas nos apoios em A e C; TA = 551.25lb TC = 245 lb 
 b) a força resultante atuando no pilar em B; HB = 306.17 lb e VB = 1400 lb 
 c) o esforço atuando em cada cabo a uma distância de 70 ft dos apoios A e C, 
respectivamente. TA70 = 618.28 lb e TB70 = 372.05 lb 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão 
 
Uma barra de seção transversal quadrada é construída por duas barras de materiais 
diferentes, com módulos de elasticidade E1 e E2, respectivamente, conforme figura 
acima. Assumindo que a as placas nas extremidades das barras são rígidas, determine 
uma fórmula para a excentricidade e de forma que as deformações das barras sejam 
as mesmas. e = (b/2)((E1 – E2)/E1 + E2)) 
 
3ª. Questão 
 
Calcular o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da 
figura abaixo. 
 
 VA = 10.5 kN 
 HA = 4 kN 
 MA = 28 kN.m 
 
q(x) = 2 + x kN /m 2 kN m 
1 kN / m 
3 m 
4 m 
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1ª. Questão (4,0 pontos) 
A viga da figura consiste em dois segmentos conectados a um pino em B. Construa os 
diagramas de esforço cortante e momentos fletores para a viga. 
 
 VA = 1100 lb 
 MA = 10400 lb pé 
 VB = 400 lb 
 VC = 200 lb 
 
 
 
2ª. Questão (2,5 pontos) 
 
Sabendo-se que o peso específico do cone da 
figura ao lado é μ N/m3, que o módulo de 
elasticidade do material é E N/m2 e que as medidas 
do comprimento do cone e de seu raio estão em 
metros, calcule: 
 
a) o deslocamento do ponto inferior μ L2 / 6 E 
b) o deslocamento do ponto médio μ L2 / 24 E 
 
A parte superior do cone está engastada. 
 
3ª. Questão (3,5 pontos) 
O cabo da figura abaixo tem massa por unidade de comprimento de 0,5 kg/m e 25 m de 
comprimento. Determine as componentes horizontal e vertical da força que ele exerce no 
ponto superior da torre, sabendo-se que sua inclinação neste ponto é de 60o. Estabeleça 
também a equação de deformação do cabo e a altura da torre. 
 
 
 
 
 
C1 = 0.55 
C2 = -22.5 m 
TAx = 96 N 
TAy = 166 N 
H = 16.62 m 
 
 
 
 
60o 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
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ESCOLHER A QUESTÃO QUE DEVE VALER 4 PONTOS. CASO NÃO 
ESCOLHA SERÁ CONSIDERADA A 1ª. QUESTÃO 
 
1ª. Questão (3,0 pontos) 
 
O balão da figura é mantido no lugar utilizando-se uma corda de 400 ft e que pesa 0,8 
lb/ft e forma um ângulo de 600 com a horizontal, em A. Sendo a tração na corda no ponto 
A igual a 150 lb, determine o comprimento L da corda em contato com o chão e a altura 
h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3,0 pontos) 
 
A barra da figura abaixo tem seção transversal quadrada de 10 cm e comprimento L = 60 
cm. Calcular o esforço na parede inferior se houver um acréscimo de temperatura de 30oC, 
sabendo-se que α = 20 x 10-5/ oC e E = 20.000 N/cm2 e que o material tem peso específico 
ρ = 10 N/ cm3. Considerar o espaço entre a barra e o piso (e) igual a 1 cm. Considerar o 
efeito da gravidade. R ~8525 N 
 
 
 g 
 L 
 
 
 
 e 
 
3ª. Questão (3,0 pontos) 
 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor da viga da figura acima, com suas 
respectivas equações. V = 720 N M = 1440 Nm 
A 
h 
B 
y 
x L 
60o 
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1ª. Questão (3,0 pontos) (MUITO FÁCIL !!!!!!!) 
 
Determine o deslocamento da extremidade A, em relação à extremidade D, se os 
diâmetros de cada segmento forem dAB = 20 mm, dBC = 25 mm e dCD = 12 mm. 
Considere E = 126 x 109 N/m2. (OBS: Dados mau escolhidos) 
 
AB = - 2.02 m 
BC = 0.61 m 
CD = 5.26 m 
 
 
 
 
2ª. Questão (3,0 pontos) (FÁCIL !!!!!!) 
 
O cabo da figura abaixo se romperá quando a tração máxima atingir Tmax = 10 kN. 
Determine o deslocamento mínimo h, sabendo-se que o cabo suporta uma carga uniforme 
distribuída de w = 600 N/m. 
 
To = 6.61 kN 
h = 7.09 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (4,0 pontos) 
 
A viga da figura abaixo falhará quando o máximo momento fletor for Mmax = 30 kN.m ou 
a força de cisalhamento for Vmax = 8 kN. Determine a maior carga distribuída w que a viga 
suportará e desenhe os diagramas de esforço cortante e momento fletor para esta situação. 
 
VA = 7 w 
VB = 2 w 
w = 8/7 kN/m 
 
m m 
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1ª. Questão (3,0 pontos) 
 
Uma pessoa tenta derrubar um tronco de árvore parcialmente serrado com uma força de 
200N em A com um ângulo de 12,69o. A corda tem uma massa de 0,6 kg/m de seu 
comprimento. Determine o comprimento da corda e a força trativa e o ângulo de 
inclinação em B. 
To = 195,11 C1 = 0,2233 C2 = -33,98 θB = 31,77 TB = 229,49 s = 13,06 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3,0 pontos) 
 
Duas barras são cortadas de uma chapa metálica de 25 mm de espessura. A barra A tem 
largura constante de 50 mm. A barra B tem 75 mm de largura no topo e 25 mm no fundo, 
ambas submetidas à mesma carga P, como mostra a figura acima. Determinar a relação LA 
/ LB tal que ambas as barras distendam da mesma quantidade. LA / LB = 1,1 
 
3ª. Questão (4,0 pontos) 
 
Determinar a relação a / b para qual a força cortante seja nula no ponto médio C da figura 
abaixo. Calcular também o diagrama de esforço cortante e momento fletor ao longo da 
viga. a / b = 1/4 
 
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INDICAR QUAL QUESTÃO DEVE VALER 4 PONTOS. CASO NÃO SEJA INDICADA 
SERÁ ESCOLHIDA A 1ª. QUESTÃO 
 
1ª. Questão 
Considere o cabo da figura abaixo sujeito a um carregamento uniforme de 700 lb/ft. Pede-
se: 
a) Escrever a equação de deformação do cabo, considerando a origem dos eixos 
coordenados em A, conforme a figura. Sabe-se que o ponto mínimo do cabo está 
a uma distância de 150 ft de A y(x) = (350 x2 – 105000 x) / To To = 140000 lb 
b) Os valores dos esforços no cabo em A e em B; TA = 175000 lb TB = 144308 lb 
c) A deflexão máxima do cabo y(150) = -56,25 ft 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (MUITO FÁCIL !!) 
Obtenha expressões para a força cortante e momento fletor em função de x, para a viga 
engastada da figura abaixo. 
 
V=1000 x + (1000/9) x3 – 6000 
 
M = 6000 x – 11250 – 500 x2 – (250/9) x4 
 
 
 
 
 
3ª. Questão: δ1 = 8(F3-F2+F1) / π E A δ2 = 4(F3-F2) / π E A δ3 = 2F3 / π E A 
Calcular a deformação da extremidade livre da barra abaixo que tem módulo de elasticidade 
E e seção transversal circular variável, com diâmetro a à esquerda e 2a à direita. 
 
 F1 F3 
 F2 a 
 a 
 a 
 
 2a 2 a 2 a 
6 ft 
2 
wo 
 
 
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1ª. Questão (4,0 pontos) 
A viga da figura abaixo pesa 500 lb e é mantida na horizontal pelo cabo AB, que pesa 
5 lb/ft. Determinar a equação de deformação do cabo, as trações máximas e mínimas 
e o comprimento do cabo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (3,0 pontos) 
Determinar a máxima intensidade wo, sabendo-se que a viga, com pino em A e apoio 
simples em B, pode suportar um esforço cortante máximo de 1200 lb e um momento 
fletor máximo de 600 lb ft. Desenhar os diagramas de esforço cortante e momento 
fletor, com suas respectivas equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (3,0 pontos) 
A viga BDE da figura acima, originalmente na horizontal, é suportada por duas 
barras AB e CD. A barra AB é feita de alumínio, com E = 70 GPa e seção transversal 
de 500 mm2 e a barra CD é feita de aço com E = 200 GPa e seção transversal de 600 
mm2. Se for aplicada uma força de 30 kN no ponto E determinar o deslocamento dos 
pontos B, D e E. Lembrar que 1 GPa = 109 N / m2. 
 
 
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1ª. Questão (4 pontos) 
 
Fazer os diagramas de esforço cortante e momento fletor, com suas respectivas equações, do pórtico da figura 
abaixo. 
 
VA = 9 kN 
HA = 8 kN 
MA = 30 kN.m 
 
 
 
2ª. Questão (3 pontos) 
 
A viga rígida da figura abaixo é suportada por um pino e por duas molas de constante elástica k. 
Determinar o valor de c de tal forma que a constante elástica do sistema, isto é P dividido pela 
deflexão embaixo de P, seja 20/9 de k. 
 
 
C = 1,5 a 
 
 
 
 
 
3ª. Questão (3 pontos) 
 
O cabo da figura abaixo tem massa por unidade de comprimento de 0,5 kg/m e 25 m de 
comprimento. Determine as componentes horizontal e vertical da força que ele exerce no ponto 
superior da torre, sabendo-se que sua inclinação neste ponto é de 60o. Estabeleça também a equação 
 
HA = 96,03 kN 
VA = 166,33 kN 
C1 = 0,55 
C2 = -22,5 m 
 
 
 
 
 
 
 
60o 
 
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1ª. Questão (3 pontos) 
 
O cabo de transmissão de energia da figura abaixo tem um peso por unidade de 
comprimento de 0,25 kN/m. Sabendo-se que a tração mínima no cabo é 17,61 kN, 
determinar a equação de deformação do cabo, o comprimento do cabo e a tração máxima. 
C1=0 
C2=-70.44m 
xA=62,90 m 
xB=37,10 m 
Tmax=25,11 kN 
S = 71,60 + 38,84 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (4 pontos) 
 
Achar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do pórtico engastado da figura 
abaixo. 
 2 kN m q(x) = 3 + x kN/m VA = 13,5 kN 
 HA = 4 kN 
 2 kN m MA = 34,5 kN 
 3 m Seção 1 V = x - HA 
 1 kN/m 4 m M = HÁ x – MA – x2/2 
 Seção 2 V = 3x + x2/2 - VA 
M = VAx -24,5 – 3x2/2 – x3/6 
3a. Questão (3 pontos) 
 
Calcular as reações de apoio da barra de seção circular da figura abaixo, tendo E como 
módulo de elasticidade de seu material. 
 δAB=4 RA/Eπ A 
 4 a 2 a 2 a δBC=(RA-F1)/E π ∫dx/(3x/4 +a)2 
 F2 δCD=(RA-F1+F2) / E π ∫ dx/(3x/4 +a)2 
 2 a F1 
 8 a 
 A B 
 C D 
 
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1a. Questão (4.0 pontos) (MÉDIA) 
Achar as equações de esforço cortante e momento fletor da viga em balanço da figura 
abaixo, nos trechos AB e BC, sabendo-se que wo = 1,5 kN/m. 
VB = 7.04 VC =15.46 
VAB = 3.5 x – x2/9 MAB = 50 – 3.5 x2/2 + x3/27 
VBC = 3.5 x – x2/9 – 7.04 MBC = 35.92 + 7.04 x – 1.75 x2 + x3/27 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a. Questão (3.0 pontos) (BOA) 
Calcular a reação de apoio em A, na figura abaixo sujeita a uma força P (no ponto médio 
C), sabendo-se que a seção transversal tem espessura constante a e módulo de elasticidade 
20 a. RA = P / ln 2 +1 
 A B 
 L L 
 
 
4 a P 2a 
 
 C 
 
 
 
 
3a. Questão (3.0 pontos) (BOA) 
O cabo da figura pesa 15 lb/ft e tem Tmin = 1481,40 lb. Sabendo-se que o ponto mínimo 
está distante 75,15 ft do ponto B na horizontal, determine o maior esforço atuando no cabo, 
o comprimento do cabo entre A e B, a equação de deformação do cabo e a altura das duas 
torres. 
C1 = 0 C2 = -To/µ hA = 180 hB = 120 SA = 161 SB = 83 Tmax = 2849 
 
 
 
 
 
hA hB 
200 ft 
90 ft 
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1ª. Questão (3,0 pontos) (P2 2000.1) 
 
Achar as equações e diagramas do esforço cortante e momento fletor somente da 
viga da figura abaixo: 
 
 
 
 
 2 KN/m 2 KN/m 
 
 
 2 m 3m 3 m 
 1 KN/m 2 KN 
 2 m 
 
 
 
2ª. Questão (3,0 pontos) 
 
Achar o máximo valor de wo que o cabo da figura acima pode suportar sabendo-se 
que ele resiste a no máximo 4000 lb de tração. Wo = 264,24 lb/ft 
 
3ª. Questão (4,0 pontos) 
 
Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes como mostrado na figura. AC é de aço 
com diâmetro 20 mm. BD é de alumínio com diâmetro 40 mm. Determinar a posição 
d da força de 90 kN que provoca um deslocamento vertical de A de 0,28648 mm. 
Calcular também o deslocamento do ponto F. Sabe-se que Eaço = 200 GPa, Ealuminio = 
70 GPa e 1 GPa = 109 N/m2. 
 
d = 200 mm 
Delta F = 0.2251 mm d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLVER TRÊS QUESTÕES. NOTE O VALOR DAS QUESTÕES 
 
1ª. Questão (3 pontos) (BOA) a / b = 1 / 4 
 
Determinar a relação a / b para qual a força cortante seja nula no ponto médio C da figura abaixo. 
Calcular também o diagrama de esforço cortante e momento fletor no trecho à esquerda de A. 
 
 
2ª. Questão (4 pontos) (BOA) 
 
Uma corrente de 24 ft de comprimento total, com peso por unidade de comprimento igual a 2,73 
lb/ft, está presa em A, passa por uma roldana ideal em B e termina em C. Achar a equação de 
deformação da corrente, determinar o valor de a para a corrente permanecer em equilíbrio e calcular 
o valor do esforço na corrente em A. O esforço no ponto mínimo vale 3,09 lb. 
C1 = 0 C2 = -To / μ a = 8,05 ft TA = 21,98 lb 
3ª. Questão (3 pontos) (FÁCIL / MÉDIA) 
 
Calcular o centroide da figura ao lado. x = 39 a / 50 
 y = -39 b / 175 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª. Questão (3 pontos) (MUITO FÁCIL) δ = 3,0558 + 1,1429 mm 
 
O conjunto mostrado na figura acima consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção 
transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido 
que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o 
deslocamento da extremidade C? Supor que Eaço = 200 GPa e Ealuminio = 70 GPa. 1GPa = 109 N/m2. 
 
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INDIQUE A QUESTÃO QUE DEVE VALER 4 PONTOS. 
CASO NÃO INDIQUE SERÁ CONSIDERADA A QUESTÃO 1. 
 
1ª. Questão (FÁCIL) 
 
Um cabo de uma linha de transmissão elétrica está suspenso por duas torres situadas no 
mesmo nível e distantes 200 m uma da outra. O cabo tem uma flecha de 32 m no meio do 
vão. Sabendo que gelo se acumula no cabo e que o cabo pode suportar uma tração máxima 
de 60 kN, determine a massa de gelo ρ por unidade de comprimento na horizontal que pode 
se acumular no cabo, sem ultrapassar a tração máxima. Determinar também a tensão 
mínima no cabo. Desconsidere o peso do cabo e considere a aceleração da gravidade igual 
a 9.81 m/s2. µ = 32,97 kg/m To = 50,54 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão (MUITO FÁCIL) 
 
Desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor da viga da figura acima, 
mostrando suas respectivas equações. 
 
3ª. Questão (BOA) 
A viga rígida AC da figura abaixo tem um pino em A e está simplesmente apoiada na viga 
rígida CF. A viga CF está presa a uma barra de alumínio em D e a uma barra de aço em E. 
Antes de qualquer carga ser aplicada às vigas AC e CF estão na horizontal. Uma carga P 
conhecida é aplicada em F. Calcular o valor da carga Q, em função de P, que deve ser 
aplicada em B de tal forma que a barra CF continue na horizontal. A barra de alumínio tem 
seção transversal AA = 625 mm
2 e comprimento LA = 0,67 m. A barra de aço tem seção 
transversal AS = 1250 mm
2 e comprimento LS = 1 m. Os módulos de elasticidade do 
alumínio e do aço são 69 GPa e 200 GPa, respectivamente. 1GPa = 109 N/m2. 
 Q = 2,00 P 
 
 
 
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1ª. Questão: (4,0 pontos) 
 
Para a viga da figura abaixo, desenhe os diagramas de esforço cortante e momento fletor, 
com as respectivas equações, e determine a magnitude e local em que ocorre o maior valor 
absoluto do momento fletor. Considere P = 6 kN. 
VA = 4kN VC = 14kN e Mmax = 12kNm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão: (3,0 pontos) 
 
Três barras de mesmo comprimento, igualmente espaçadas, estão presas ao teto e 
submetidas a uma carga P conforme mostra a figura. As barras externas são de alumínio, 
com diâmetro 2,5 mm, e a central de aço, com diâmetro 1,3 mm. Assuma que a viga 
horizontal é indeformável. Determine a maior força P que pode ser aplicada sabendo que a 
maior tensão admissível (Força / Área) do aço é 680 M Pa e do alumínio é 70 M Pa. Os 
módulos de elasticidade do aço e do alumínio são 200 x 106 kN / m2 e 69 x 106 kN / m2, 
respectivamente. 1 Pa = 1 N/m2. P = 3206,32N (pelo aço) P = 956,60N (pelo alumínio) 
 
 
3ª. Questão: (3,0 pontos) 
O cabo AB da figura sustenta um oleoduto cujo peso por unidade de comprimento é de 
3,2 kN/m. Se Ɵ = 20º e B é posicionado 3,05 m abaixo de A e 3,05 m acima do ponto 
mínimo, determine a tração máxima no cabo. TA = 376,55 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
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1ª. Questão: (4,0 pontos) 
 
Para a viga da figura abaixo, desenhe os diagramas de esforço cortante e momento fletor, 
com as respectivas equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão: (3,0 pontos) 
 
O cabo da figura abaixo está sujeito a um carregamento parabólico. Determine a equação 
da deformação do cabo e os esforços mínimo e máximo atuando sobre o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão: (3,0 pontos) 
 
Calcular a deformação, em milímetros, do ponto C da figura acima. Há uma carga 
concentrada de 450 kN no ponto C, além do peso próprio. Considerar os seguintes dados: 
 Trecho AB (aço) - Eaço = 210 GPa, µaço = 7800 kg / m
3, Aaço = 0.05 m
2 
 Trecho BC (latão) – Elatão = 12 GPa, µlatão = 8800 kg / m
3, Alatão = 0.20 m
2 
 
 
A 
B 
10m 
12m 
C