matematica financeira Módulo 4 Tema 1

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MÓDULO 4 - Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo 
INTRODUÇÃO: Neste módulo, vamos aprender a comparar valores 
monetários em diferentes instantes de tempo, ou mesmo comparar diferentes 
fluxos de caixa, procedimento fundamental para uma boa gestão financeira. 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são considerados 
equivalentes se produzem o mesmo resultado final para o investidor/devedor, 
mesmo que estejam em diferentes instantes de tempo. 
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros de 
10% a.a. Assim, o montante ao final de 1 ano será de: 
M=1.000×(1+10%)=1.100 
Ou, graficamente: 
 
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje ou 
1.100 reais em um ano. Dizemos, então, que estes dois capitais são 
equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje equivalem a 1.100 reais em um ano, a 
uma taxa de juros de 10% a.a. 
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar valores 
monetários que estão expressos em datas diferentes, sob uma determinada 
taxa de juros. 
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus 
Valores Nominais. Para compará-los, precisamos avaliá-los na mesma data. 
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde 
consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma 
determinada data (Vencimento) a um outro ente (Credor). 
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e os 
Descontos para avaliá-los em datas passadas. 
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais, analisando 
os dois principais regimes de capitalização e descontos: o Regime de Juros 
Simples e o Regime de Juros Compostos. 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB JUROS SIMPLES 
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, a uma mesma taxa de 
juros e para uma mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na 
data focal, forem iguais. 
Vamos analisar o exemplo: 
 
Como verificamos se os capitais C1 e C2 acima são equivalentes? 
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os dois 
capitais. Neste exemplo, vamos considerar a data focal como sendo 2017. 
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da seguinte 
relação de capitalização em juros simples: 
𝐕𝐅=𝐕𝐏×(𝟏+𝐢×𝒏) 
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo: 
C1^2017=1.000×(1+10%×2)=1.200 
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também 
avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 
2017, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano. Da mesma forma, 
poderíamos ter descapitalizado C2 para trazê-lo à data focal de 2015: 
C2^2015= 1.200 / 1+10%×2=1.000 
Vamos a mais um exemplo: 
 
Agora, responda: os capitais C1 e C3 acima são equivalentes? 
Para verificar se os capitais C1 e C3 são equivalentes, definimos novamente 
uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos considerar, 
agora, a data focal como sendo 2016. Avaliando o valor do capital C1 em 2016, 
temos: 
C1^2016=1.000×(1+10%×1)=1.100 
Como o valor de C1, avaliado em 2016, é igual ao valor de C3, também 
avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 
2016, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano. 
Vimos, então, que 1.000 reais em 2015 equivalem, sob juros simples de 10% 
a.a., a 1.100 reais em 2016 e a 1.200 reais em 2017. 
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos C2 com C3: 
 
Avaliando o valor do capital C3 em 2017, temos: 
C32017=1.100×(1+10%×1)=1.210 
Ou seja, os capitais não são equivalentes! 
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos. 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB JUROS COMPOSTOS 
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos. Vamos 
verificar se os capitais C1 e C2 são equivalentes: 
 
Para juros compostos, temos: 
𝐕𝐅=𝐕𝐏×(𝟏+𝒊)𝒏 
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo: 
𝑪1𝟐𝟎𝟏𝟕=𝟏.𝟎𝟎𝟎×(𝟏+𝟏𝟎%)^2=𝟏.𝟐𝟏𝟎 
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também 
avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano. 
Vamos a mais um exemplo: 
 
Agora, responda: os capitais C1 e C3 acima são equivalentes? Avaliando o 
valor do capital C1 em 2016, temos: 
C12016=1.000×(1+10%×1)=𝟏.𝟏𝟎𝟎 
Como o valor de C1, avaliado em 2016, é igual ao valor de C3, também 
avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de 
juros simples de 10% ao ano. 
Se compararmos agora C3 com C2, o que teremos? 
 
Avaliando o valor do capital C3 em 2017, temos: 
C32017=1.100×(1+10%)=𝟏.𝟐𝟏𝟎 
Ou seja, os capitais são equivalentes. 
Essa é uma propriedade fundamental dos juros compostos, que os distinguem 
dos juros simples. Se dois capitais são equivalentes em uma determinada data 
focal e a uma determinada taxa de juros, eles serão equivalentes em qualquer 
data focal. Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar 
equivalência de capitais. 
EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no tempo, 
podemos comparar dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois fluxos: 
 
 
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os seguintes 
valores presentes para os dois fluxos: 
VPfC1=550 / 1+10% + 1.210 / (1+10%)^2=1.500 
VPfC2=−500+2.420 / (1+10%)^2=1.500 
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que são 
equivalentes. E isso vale para qualquer data focal escolhida. 
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte forma: 
VFFC1=550×(1+10%)+1.210=1.815 
VFFC2=−500×(1+10%)2+2.420=1.815 
 
1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano, 
equivalerá a que valor em 3 anos? 
R$ 13.310,00 
R$ 13.300,00 
R$ 13.130,00 
R$ 13.330,00 
 
Após 3 anos, o montante da dívida será dado por: 
VF=10.000×(1+10%)^3=R$ 13.310,00 
 
2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre, 
equivalerá a que valor em 3 anos? 
R$ 13.300,46 
R$ 13.400,96 
R$ 13.500,46 
R$ 13.600,46 
 
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado por: 
VF=10.000×(1+5%)^6=R$ 13.400,96 
 
3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros 
de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira prestação vence em 1 
mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da 
terceira prestação? 
R$ 466,00 
R$ 460,00 
R$ 406,00 
R$ 416,00 
 
A figura a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo: 
 
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da 
dívida para que haja equivalência. Logo: 
1.080 / 1+4% + 640 / (1+4%)^2+ P / (1+4%)^3 =2.000 
Multiplicando toda a expressão por (1+4%)3, temos: 
1.080×(1+4%)^2+640×(1+4%)+P=2.000×(1+4%)^3 
1.168,128+665,60+P=2.249,728 
P=R$ 416,00 
 
4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros 
de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira vence em 60 dias e será 
de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda prestação? 
R$ 414,73 
R$ 454,37 
R$ 474,73 
R$ 447,37 
 
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior – a diferença principal 
é que o primeiro pagamento já ocorre após o segundo mês. 
Novamente, o valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor 
inicial da dívida para que haja equivalência. Logo: 
600 / (1+3%)^2+P(1+3%)^3=1.000 
Multiplicando toda a expressão por (1+3%)^3, temos: 
600×(1+3%)+P=1.000×(1+3%)^3 
P=R$ 474,73 
 
5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros 
de 5% ao mês, em duas prestações bimestrais de R$ 1.500,00. Qual é o valor 
da segunda prestação? 
R$ 1.982,67 
R$ 1.992,77 
R$ 1.952,67 
R$ 1.962,77 
 
Usaremos novamente o raciocínio dos exercícios anteriores. Basta prestar 
atenção ao fato de que os pagamentos são feitos a cada dois meses 
(bimestrais), mas a taxa de juros ainda é dada aomês. 
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor inicial da dívida 
para que haja equivalência: 
1.500 / (1+5%)^2+P(1+5%)^4=3.000 
Multiplicando toda a expressão por (1+5%)^4, temos: 
1.500×(1+5%)^2+P=3.000×(1+5%)^4 
P=R$ 1.992,77 
 
6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos 
próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser mais 
adequado substituir essa dívida por outra equivalente, com 2 pagamentos 
iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a taxa de juros é de 5% a.a., 
qual é o valor desses dois pagamentos? 
R$ 1.547,40 
R$ 1.547,50 
R$ 1.537,40 
R$ 1.537,50 
 
A figura abaixo ilustra os dois fluxos de pagamentos do empréstimo. Em verde, 
está a situação atual, e em vermelho, a proposta de substituição da empresa: 
 
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em qualquer instante 
de tempo, devem ser os mesmos. Para facilitar as contas, vamos igualar o 
valor dos dois fluxos em t=2: 
X+X / (1+5%)^2=1.000×(1+5%)+1.000+ 1.000 / 1+5% 
X+0,907×X=1.050+1.000+952,38 
1,907×X=3.002,38 
X=3.002,38 / 1,907=1.547,40 
TEORIA NA PRÁTICA 
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um 
mês? 
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas 
tomam decisões como essa a todo momento, das mais variadas formas. 
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira: 
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um 
mês depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No resto do 
mundo, é comum que o lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”). 
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do 
mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a proposta 
não foi adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que 
em 30 dias? 
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não 
necessariamente!”. 
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que os bancos vão 
cobrar para operacionalizar a venda no cartão de crédito em “D+2” ou “D+30”. 
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas de juros 
embutidas, mesmo que isso não seja explícito. Preste sempre atenção às taxas 
de juros “escondidas” dentro de outras taxas! 
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao mês, é 
equivalente receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 em um mês. Esses 
valores são equivalentes, como vimos, pois: 
(1 + 5%) x R$ 1.000,00 = R$ 1.050,00 
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber daqui a um mês. 
Por exemplo, a uma taxa de 6% ao mês, R$ 1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 
daqui a um mês, o que é melhor do que R$ 1.050,00. 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Observe a figura a seguir: 
 
 
 
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às 
entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao período, obteremos: 
 
R$ 280,00 
 
R$ 1.000,00 
 
R$ 416,00 
 
R$ 216,00 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "C" está correta. 
 
 
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de caixa (setas 
verdes) deve ser igual ao valor futuro das saídas de caixa (seta vermelha). 
Assim, considerando t = 3, temos: 
1.080×(1+4%)2+640×(1+4%)+P=2.000×(1+4%)3 
1.833,728+P=2.249,728 
P=R$ 416,00 
2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%, ou 
parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira prestação é paga 
no ato da compra e a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros 
embutida nessa operação? 
 
25% a.m. 
 
20% a.m. 
 
15% a.m. 
 
12,5% a.m. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "A" está correta. 
 
 
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis: 
 
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os valores presentes 
dos fluxos precisam ser iguais. Logo: 
P.(1−10%)=0,5.P+0,5.P1+i 
0,90=0,50+0,501+i 
0,501+i=0,40 
1+i=0,500,40=1,25 
i=0,25=25% a.m.