Teoremas sobre Divisão de Polinômios

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Números Complexos
Aula 6– Polinômios e Equações Algébricas
Prof: Mário Alves
Conteúdo Programático desta aula
Teoremas sobre divisão de polinômios
Divisão
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio pelo binômio x-a é igual ao valor numérico do polinômio para x=a.
Exemplos:
1)Determine o resto da divisão do polinômio
Solução: Devemos determinar a raiz do divisor:
x+1=0=>x =-1
Substituindo x=-1 no polinômio , temos:
Determine o valor de m para que o polinômio (2m-6)x+ 2 seja divisível por 
(x-1).
Solução: Devemos determinar a raiz do divisor:
 x-1=0 => x= 1
Substituindo x =1 no polinômio ,temos:
R=(2m-6).1+2=2m-4
Como queremos que o polinômio seja divisível por x-1, o resto deve ser zero,daí:
2m-4=0
2m=4
m=2
Teorema de D`Alembert
Um polinômio f é divisível por x-a se , e somente se , a e´raiz de f.
Exemplos:
Verificar que f =
é divisível por x-1.
Solução: Devemos verificar que x = 1 é raiz do polinômio.Realmente:
f(1)=1-2(1)+1=0
2)Determinar o valor de m de modo que f(x) = (2m-3)x -1 seja divisível por x-1.
Solução: Se o polinômio dado é divisível por x-1 , então x = 1 é raiz do polinômio.Portanto:
(2m-3).1-1=0
2m-3-1=0
2m-4=0
2m=4
m=2
Teorema
Se um polinômio f é divisível separadamente por (x-a) e (x-b) , com a diferente de b , então f é divisível por (x-a)(x-b).
Exemplo: Se um polinômio P(x) é divisível por (x-2) e por (x-3), então
P(x) é divisível por (x-2)(x-3)
Exercício: Dividindo-se P(x) por (3x-2) encontramos para quociente x+1 e resto m. Determine m sabendo que p(1)=3.
Solução:
P(x) =(3x-2)(x+1)+ m
P(1)=(3.1-2)(1+1)+m=3
1.2+m=3 
m= 3-2
m= 1
Exercício: Determine o valor de m para que o polinômio (2x-3)(x-2m) seja divisível por x-2.
Solução: Vamos determinar a raiz do divisor, x-2=0 e x=2.Logo:
(2.2-3)(2-2m)=0
2-2m=0
-2m=-2
m=1
1
por x
 
1
3
2
+
+
-
x
x
5
1
3
1
1
)
1
(
3
)
1
(
2
=
+
+
=
+
-
-
-
R
1
2
2
+
-
x
x