metodologia e pratica no ensino de matematica ativ 3

Prévia do material em texto

- -1
METODOLOGIA E PRÁTICA DE ENSINO 
DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO 
ENSINO FUNDAMENTAL
CAPÍTULO 3 – COMO ENSINAR, ARTICULAR 
E UTILIZAR AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 
E OS MATERIAIS DIDÁTICOS 
MANIPULATIVOS?
Jonatha Daniel dos Santos
- -2
Introdução
O conceito de Estatística, amplamente difundido nas universidades e utilizado por grandes empresas de
pesquisa, sempre colaborou para a tomada de decisões ou até mesmo para mudanças que se fizeram necessárias
conforme a demanda dos mercados financeiros e até mesmo sociais. Assim, seu estudo torna-se obrigatório para
qualquer sujeito, uma vez que ler e interpretar informações nunca foi tão importante como nos tempos atuais.
Dessa forma, é possível questionar: como esse campo científico pode ser pensando para a educação básica?
Como ele pode colaborar para a construção do conhecimento?
Assim, este capítulo tem como proposta inicial compreender a organização e a sistematização de informações
que possibilitem analisar os dados, entender os dados estatísticos em publicações nos meios de comunicação e
analisar a concepção pedagógica dos livros didáticos sobre o eixo do tratamento da informação. O entendimento
desses argumentos corrobora a necessidade de estarmos alinhados aos documentos públicos que regem a
educação brasileira e indicam a necessidade de termos estudantes competentes na área da Estatística.
Por outro lado, outro tema que também carece de discussões trata da inclusão e do modo como ela pode ser
pensada por meio da educação matemática. Para tanto, nosso objetivo é refletir sobre a inclusão do
conhecimento matemático com a experimentação psicopedagógica proposto por Fávero (2003) bem como
comparar e avaliar as competências matemáticas. Além disso, este capítulo vai apresentar alguns materiais
didáticos manipulativos para o ensino do Sistema de Numeração Decimal e apresentar atividades para as
operações básicas. Vamos lá?
3.1 Construção de gráficos e tabelas
Compreender informações estatísticas para a educação básica compõe o itinerário da educação estatística e sua
validade na sociedade da informação é muito importante para ler, compreender e inferir opinião por meio de
tais informações. Outro fato que deve ser levado em consideração é a possibilidade de que os estudantes dos
anos iniciais possam construir gráficos e tabelas. Tais atividades podem estar ligadas ao contexto social no qual
vivem, colaborando para práticas pedagógicas reais, ao mesmo tempo em que possam fazer sentido ao serem
exploradas no ensino de matemática. 
3.1.1 Primeiros diálogos
Saber ler, interpretar e fazer inferências de informações expostas em gráficos e, principalmente, manipular a
construção de gráficos e tabelas por meio de informações coletadas, cada vez mais se torna importante para
todos que vivem em tempos contemporâneos, sobretudo, pela vasta possibilidade de acesso às mais diversas
informações.
Temos, atualmente, vários meios que disponibilizam informações, como a TV, o rádio, de notícias na sites internet
, redes sociais, entre outras. Nem sempre é possível confiar no que é apresentado e, por isso, cabe a cada um
analisar e interpretar o que está sendo exposto e inferir sua validade bem como sua importância para o contexto
que vive. Ou seja, a Estatística exerce um papel essencial na educação para a cidadania.
Pensando para a escola básica, ou melhor, para os anos iniciais do ensino fundamental, consideramos o campo
da educação estatística como uma área de conhecimento a qual auxilia nessa discussão, principalmente, por sua
validade imprescindível no mundo contemporâneo.
- -3
A Educação Estatística preocupa-se com questões, por exemplo, relacionadas com leitura, interpretação e
compreensão de gráficos e tabelas, já que “[...] estão crescendo significativamente, uma vez que as pessoas se
confrontam com inúmeras situações que exigem essas habilidades, conhecimentos e saberes” (FERNANDES;
SANTOS JUNIOR, 2014, p. 41).
Quando pensamos em Estatística, quase sempre pensamos em números, cálculos numéricos, gráficos, tabelas,
entre outras descrições numéricas, o que se justifica pela especificidade da ciência. No entanto, é preciso
perceber o caminho para que a Estatística se formata nessa estrutura numérica, ou seja, é preciso visualizar o
que está por detrás dos números. Nesse sentido, vamos nos aprofundar em alguns conceitos do campo da
estatística, sobretudo, quando temos a tarefa de trabalhar com essas questões em sala de aula.
A Estatística é dividida em dois ramos, a descritiva e a inferencial. A Estatística Descritiva é “[...] o ramo da
Estatística que envolve a organização, o resumo e a apresentação dos dados” (LARSON; FARBER, 2010, p. 6), já a
Estatística Inferencial “[...] é o ramo da estatística que envolve o uso de uma amostra para chegar a conclusões
sobre uma população. Uma ferramenta básica no estudo da estatística inferencial é a probabilidade” (LARSON;
FARBER, 2010, p. 6). Neste sentido, observe o gráfico abaixo:
Figura 1 - Número médio de filhos por mulher.
VOCÊ SABIA?
De acordo com a professora e pesquisadora Clayde Regina Mendes (1999) é possível adaptar
os conceitos de Estatística para os anos iniciais do ensino fundamental, seguindo a seguinte
ordem: definição do tema, leitura e registro, objetivos, público-alvo, instrumentos de pesquisa,
história, coleta de dados, organização dos dados, conteúdos, tabelas e gráficos, análise dos
dados, relatório, avaliação, divulgação.
- -4
Figura 1 - Número médio de filhos por mulher.
Fonte: GUIMARÃES et al., 2013, p.116.
O gráfico acima, que representa o número médio de filhos por mulher, é produzido por meio da Estatística
Descritiva, ou seja, os dados estão organizados e sintetizados e, por isso, é possível apresentá-los de forma mais
agradável para quem visualiza. A ideia da estatística descritiva é justamente isso, de uma forma resumida, a de
facilitar a compreensão das pessoas que veem ou leem os gráficos ou tabelas. A estatística descritiva pode ser
retratada por meio dos gráficos, tabelas, cartogramas, diagramas e pictogramas e dois desses modelos serão
tratados com mais ênfase, tabelas e gráficos. Contudo, antes de seguirmos apresentado sobre tabelas e gráficos,
você precisa compreender o que são , , e .dados variáveis população amostra
Conforme Cazorla et al. (2017, p. 32), “[...] a fonte de dados é composta pelos sujeitos da pesquisa ou elementos
da população que fornecem os dados, que pode ser uma pessoa, como no caso da pesquisa sobre o medo; a
semente, no caso da pesquisa da germinação, etc.” As autoras ainda salientam que, dependendo da pesquisa,
podemos utilizar como fonte de dados os alunos, seus colegas, os professores, sementes, os livros da biblioteca,
as pedras do pátio, a conta de água etc.
De acordo com Larson e Farber (2010, p. 3), “[...] dados consistem em informações provenientes de observações,
contagens, medidas ou respostas”. Quanto às variáveis, de acordo com Crespo (2002, p. 17), “é
convencionalmente o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno”, podendo ser categorizados como
qualitativas e quantitativas. Para Carzola et al. (2017, p. 38), por sua vez, “[...] variável, em Estatística, é uma
característica da população que assume diferentes valores ou categorias”.
Segundo Crespo (2002), uma variável é dita qualitativa quando seus valores são expressos por atributos (sexo
masculino ou sexo feminino); cor de pele (branca, parda etc.) e quantitativa quando seus valores são expressos
por números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Atrelado ao conceito de dados e
variáveis, dois outros conceitos são importantes para a Estatística, sendo eles denominados população e
amostra.
Crespo (2002, p. 19) afirma que “[...] ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum
denominamos população estatística ou universo”. O autor também define, por outro lado, uma amostra como
sendo “um subconjuntofinito de uma população”.
Figura 2 - Representação de Universo e População.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em BARBETTA, 2006.
A figura acima retrata o que Crespo (2002) e Larson e Farber (2010) estabelecem sobre o conceito de população
- -5
A figura acima retrata o que Crespo (2002) e Larson e Farber (2010) estabelecem sobre o conceito de população
e amostra. É possível perceber que população trata-se de um contexto maior no universo, possuindo
características comuns e como exemplo podemos citar os estudantes de uma escola, os trabalhadores de uma
empresa ou a população de um país. Ou seja, todos têm uma característica em comum, são estudantes, são
trabalhadores ou são habitantes de um país.
Pense na seguinte situação: em uma escola municipal há 500 estudantes entre o 1º e 5º ano do ensino
fundamental e deseja-se realizar uma pesquisa com os estudantes do 1º ano. Nesse exemplo, é possível inferir
que o total de alunos da escola é a população, enquanto que os alunos do 1º ano são a amostra. Para ser
identificado como amostra é preciso apresentar características iguais às da população, nesse caso, o fato de que
são estudantes da mesma escola.
3.1.2 Gráfico e tabela
De acordo com as normas do IBGE (BRASIL, 1993, p. 9), tabela “[...] é uma forma não discursiva de apresentar
informações das quais o dado numérico se destaca como informação central. Na sua forma identificam-se
espaços e elementos”. Neste sentido, a tabela é composta pela seguinte estrutura:
a) Título–indica os termos indicadores do conteúdo das colunas, respondendo as perguntas: O quê? Quando?
Onde?;
b) Cabeçalho– conjunto de termos indicadores do conteúdo das colunas indicadoras e numéricas;
c) Coluna Indicadora– parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas.
Corpo da tabela:
a) Linhas– retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus
cruzamentos com as colunas, destinado aos dados numéricos;
b) Casa ou Célula – espaço destinado ao dado numérico;
c) Rodapé –espaço inferior de uma tabela destinado à fonte, nota geral e nota específica.
Figura 3 - Modelo de tabela.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em CRESPO, 2002.
Nesse sentido, Crespo (2002) afirma que os gráficos têm a necessidade de ser de fácil compreensão ao público
- -6
Nesse sentido, Crespo (2002) afirma que os gráficos têm a necessidade de ser de fácil compreensão ao público
em geral, produzindo, assim, uma leitura mais rápida e objetiva do que se comparado a uma tabela. Um gráfico
para ser bem apresentado deve obedecer a alguns princípios e requisitos em sua constituição, sendo eles:
simplicidade, clareza e veracidade. Os principais tipos de gráficos são os diagramas, os cartogramas e os
pictogramas.
Ainda de acordo com Crespo (2002, p. 38), “[...] os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas
dimensões, e para a sua construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano”. Esses diagramas podem ser
em forma de linha ou de curva. Veja na figura abaixo o exemplo de um gráfico de linha à esquerda e um de coluna
/barras à direita, muitas vezes, sendo apresentado no formato vertical:
Figura 4 - Número de municípios existentes nos Censos Demográficos no Brasil entre os anos 1950 a 2010.
Fonte: BRASIL, 2010.
Outro gráfico recorrente no campo da Estatística é o gráfico em setores ou . Esse gráfico concebe umapizza
circunferência completa, ou seja, o seu total corresponde a 360º e suas informações são apresentadas em
setores, sendo que cada setor representa uma porcentagem referente ao valor total. Para exemplificar essa ideia,
o gráfico a seguir refere-se à taxa de escolarização de alunos de 15 a 17 anos de idade no ano de 2007 por
regiões brasileiras:
- -7
Figura 5 - Gráfico de pizza ou setor referente à taxa de escolarização de alunos de 15 a 17 anos de idade (%) no 
ano de 2007.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em BRASIL, 2010.
De acordo com a pesquisa de Guimarães et al. (2006) sobre os livros didáticos, é possível notar ainda que nas
atividades com representações em gráficos as etapas de coleta têm sido pouco exploradas pelos livros didáticos
que foram analisadas. Para Guimarães (2013, p. 122), “[...] o livro didático de matemática dos anos iniciais ainda
precisa procurar articular representações gráficas às práticas e necessidades sociais, incentivando os alunos a
pesquisar e a confrontar ideias, propondo atividades em pequenos grupos”.
Assim, o docente pode desenvolver uma atividade sem o livro didático e por ser uma atividade ativamente
desenvolvida pelos alunos, possivelmente, será mais atraente do que algumas atividades padrões sugeridas pelo
livro. Os anos iniciais do ensino fundamental colaboraram com as primeiras aprendizagens escolares e, por isso,
o ambiente escolar deve estar adequado aos diferentes modos de aprendizagem. Sendo assim, no próximo tópico
discutiremos sobre a inclusão e educação matemática para essa faixa etária escolar. 
3.2 Inclusão e educação matemática
O acesso das pessoas que se enquadram na educação especial nos últimos anos vem sendo respaldado por várias
políticas públicas, as quais entendem que essas pessoas possuem os mesmos direitos de aprendizagem, veem na
escola um local de socialização bem como um espaço para construir sua autonomia. Nesse acesso à escola,
contudo, os alunos com necessidades educacionais especiais se deparam com os conteúdos escolares
sistematizados para outro público escolar.
Nesse sentido, os profissionais da educação precisam estar atentos e preparados para oferecer um ensino de
- -8
Nesse sentido, os profissionais da educação precisam estar atentos e preparados para oferecer um ensino de
qualidade alinhado às suas particularidades. A matemática, então, como um componente curricular, pode ser
trabalhado sempre pensando na construção do senso lógico-matemático e sempre por meio da contextualização.
3.2.1 Inclusão do conhecimento matemático
A palavra inclusão remete a algo amplo, por exemplo, inclusão de idosos, de jovens, de adultos, de crianças,
enfim, de vários segmentos que compõem a sociedade brasileira. Mas, principalmente, para direcionar nosso
olhar para a educação básica, inclusão “[...] significa assegurar a todos os estudantes, sem exceção,
independentemente da sua origem sociocultural e da sua evolução psicobiológica, a igualdade de oportunidades
educativas” (FONSECA, 2003, p. 41).
Por meio da Lei de Diretrizes e Bases (LDB), a Lei n. 9394/1996, é possível entender inclusão a partir da ótica
“educação especial”. De acordo com o art. 58, “[...] entende-se por educação especial, para os efeitos desta Lei, a
modalidade de educação escolar oferecida preferencialmente na rede regular de ensino, para educandos com
deficiência, transtornos globais do desenvolvimento e altas habilidades ou superdotação” (BRASIL, 1996).
Importante ressaltar que o trabalho com tal conceito não engloba o conjunto de alunos com dificuldades de
aprendizagem específicas, ou seja, aqueles alunos que apresentam cotidianamente dificuldades em algumas
questões, mas que não são diagnosticadas como alunos que não se enquadram no campo da educação especial.
Utilizamos o conceito de Aluno com Necessidades Educacionais Especiais (ANEE), segundo descrição no
Relatório ou Informe , de 1978, e segundo Correa (2008, p. 45), alunos com NEE são aqueles “[...] comWarnock
problemas sensoriais, físicos e de saúde, intelectuais e emocionais e, também, com dificuldades de aprendizagem
específicas, derivadas de fatores orgânicos ou ambientais”.
Conforme a resolução nº 4, que institui as Diretrizes Operacionais para o Atendimento Educacional
Especializado na Educação Básica, modalidade Educação Especial, em seu art.4º, considera-se público-alvo do
AEE:
I – Alunos com deficiência: aqueles que têm impedimentos de longo prazo de natureza física,
intelectual, mental ou sensorial.
II – Alunos com transtornos globais dodesenvolvimento: aqueles que apresentam um quadro de
alterações no desenvolvimento neuropsicomotor, comprometimento nas relações sociais, na
comunicação ou estereotipias motoras. Incluem-se nessa definição alunos com autismo clássico,
síndrome de Asperger, síndrome de Rett, transtorno desintegrativo da infância (psicoses) e
transtornos invasivos sem outra especificação.
III – Alunos com altas habilidades/superdotação: aqueles que apresentam um potencial elevado e
grande envolvimento com as áreas do conhecimento humano, isoladas ou combinadas: intelectual,
liderança, psicomotora, artes e criatividade (BRASIL, 2009).
Para trabalhar com Educação Especial, antes de tudo, é necessário ter em mente que os tempos de
VOCÊ QUER VER?
O programa apresenta um debate intitulado “Educação inclusiva eSalto para o futuro
alfabetização matemática no ciclo de alfabetização”, em um de seus episódios, e nele se
apresentam possibilidades de trabalho com a matemática no contexto da educação inclusiva.
Acesse em: < >.https://goo.gl/pPeZWV
- -9
Para trabalhar com Educação Especial, antes de tudo, é necessário ter em mente que os tempos de
aprendizagens são outros e a relação desses alunos com os objetos de conhecimento difere-se das outras
crianças que estão na escola. Há aqueles que apresentam dificuldades e esbarram em processos locais da
aprendizagem, aliado a outras situações didáticas, por isso é preciso ter isso em mente para que se possa
melhorar a compreensão desses alunos sobre os conteúdos curriculares.
Há, ainda, crianças, em sua grande maioria, diagnosticadas pela equipe escolar competente para isso, então, é
preciso creditar a elas uma educação como um direito necessário e fundamental, sempre no intuito de condenar
o preconceito, a discriminação e a intolerância, na perspectiva da sua emancipação social.
Bonfim (2013, p. 136) escreve que os alunos com necessidades educacionais especiais:
[...] apresentam grandes dificuldades na estruturação do Sistema de Numeração Decimal, pois lidam
com a matemática por meio de regras [...] Os alunos especiais acabam por reproduzir regras sem
compreender o significado e o raciocínio envolvidos em situações-problema. Esse procedimento não
contribui para a construção de competências matemáticas, uma vez que o sujeito não compreende a
lógica do sistema numérico e da sua notação.
Pela exposição de Bonfim (2013) é possível identificar que os estudantes nesse perfil operam com valores
visuais, ou seja, com os que aparecem no enunciado da situação-problema e não conseguem traduzir a
representação da situação proposta pelo problema em notação matemática. Ainda segundo Bonfim (2013, p.
138), “[...] os ANEE têm dificuldades no reconhecimento da notação convencional, como também em perceber
essa notação como forma de registrar situações que podem ser quantificadas”. Para o autor, outra dificuldade
vista em sua pesquisa é sobre a relação que os alunos especiais fazem quando comparam dois conjuntos, ou seja,
eles não diferem o que é o conjunto maior e seus subconjuntos.
Grande parte dessas questões e dificuldades em matemática acontece também com as crianças que não são
diagnosticadas com deficiência ou transtornos globais do desenvolvimento. Logo, é preciso rever algumas
questões no espaço escolar e também sobre o currículo que consta como obrigatório a essas crianças das salas
Schliemann, Carraher e Carraher (1988) ressaltam que a grande dificuldadede aula regulares e sala de recursos. 
da escola tem sido associar a matemática do jeito como o pensamento é conduzido e estruturado.
Fávero (2003) apresenta uma proposta, defendendo um trabalho sistematizado de articulação entre intervenção
psicopedagógica e pesquisa. Essa proposta requer três tarefas distintas e articuladas:
1) avaliação das competências do sujeito e de suas dificuldades; 2) sistematização de cada uma das
sessões de trabalho, em termos de objetivos e descrição das atividades propostas; 3) análise
minuciosa do desenvolvimento das atividades para cada sessão, evidenciando: a) a sequência de
ações do sujeito; b) o significado dessas ações em relação às suas aquisições conceituais; e c) o tipo
de mediação estabelecida entre o adulto e o sujeito.
Bonfim (2013), para a efetivação de sua pesquisa, utiliza as indicações de Fávero (2003) bem como esboça várias
reflexões sobre possibilidades frente à inclusão e matemática. Dessa pesquisa participaram oito sujeitos, quatro
do sexo feminino e quatro do sexo masculino, entre 14 e 19 anos, que cursavam o 5º ano do ensino fundamental
de uma escola pública do Distrito Federal e que tinham diagnóstico de deficiência mental, segundo a avaliação da
Equipe de Apoio à Aprendizagem da Secretaria de Estado de Educação – SEDF. Eles foram divididos em dois
grupos, o grupo controle e o grupo experimental.
Para o primeiro item indicado por Fávero (2003), a avaliação das competências do sujeito e de suas dificuldades
foram utilizadas a Prova Conceitual de Resolução de Problemas Numéricos – ECPN ( CIMETE, 1995) e aGroupe
Prova de Sequência Numérica, além de uma prova em grupo, a Prova de Medidas. Bonfim (2013, p. 141) salienta
que:
A Prova Conceitual de Resolução de Problemas Numéricos – ECPN foi proposta por pesquisadores
- -10
A Prova Conceitual de Resolução de Problemas Numéricos – ECPN foi proposta por pesquisadores
franceses que constituíam o Groupe CIMETE, do qual faziam parte, entre outros, Vergnaud,
Brousseau e Meljac. Destina-se a sujeitos afetados por dificuldades de aprendizagem no domínio da
matemática, procurando explorar a conceituação de número, fornecendo, ao mesmo tempo,
indicações sobre como um sujeito constitui e utiliza as suas propriedades particulares. Trata-se de
um instrumento no qual pequenas quantidades estão em jogo e o recurso à escrita, assim como o
apelo explícito à memorização dos fatos numéricos, são evitados, sendo que a aplicação exige no
máximo 40 minutos.
As etapas para aplicação dos teste, ou sessões de intervenção, trouxeram implicações diretas para a aquisição do
conhecimento numérico dos sujeitos da pesquisa e para o seu próprio desenvolvimento. Ao tratar e trabalhar
com alunos com necessidades educacionais especiais, no primeiro momento, os professores do ensino regular
têm problemas em compreender que o tempo de aprendizagem desses sujeitos é diferente. Muitas vezes, isso
causa certos conflitos no espaço escolar, principalmente, para os sujeitos que precisam de ações didáticas que
valorizem o que sabem, propondo outras possibilidades de ação frente à aprendizagem.
Nesse sentido, não se trata de fazer contas, de não saber tabuada, ou seja, de não saber matemática. Assim,
Bonfim (2013, p. 164) indica que:
[...] podemos afirmar que o aluno com necessidades educacionais especiais possui um
desenvolvimento cognitivo singular e que, para utilizar o raciocínio lógico matemático, ele deve
construir esquemas, adaptando os mecanismos de assimilação e acomodação à sua forma diferente
de ser, mantendo uma sequência de evolução harmoniosa.
Para que uma escola inclusiva tenha êxito é necessário haver condições de igualdade no que compete às
oportunidades na escola bem como na sociedade e, por isso, exige-se participação e esforço comuns, não apenas
dos profissionais da educação, mas de maneira abrangente, de todos que compõem a sociedade brasileira.
Um dos maiores desafios que os docentes encontram quando é preciso trabalhar com alunos da educação
especial está relacionado aos modelos de ensino e estratégias, ou seja, como trabalhar com esses estudantes de
forma que se possa colaborar com uma compreensão dos conteúdos curriculares. Os materiais didáticos
manipulativos podem colaborar com essa situação, principalmente, quando relacionados com o contexto da
matemática. A seguir veremos sobre essa questão.
3.3 Materiaisdidáticos manipulativos para o ensino do 
Sistema de Numeração Decimal
Compreender o uso de materiais didáticos manipulativos para o ensino do Sistema de Numeração Decimal e
propor atividades de Sistema de Numeração Decimal com materiais didáticos manipulativos cada vez se faz
importante para trabalhar com os estudantes dos anos iniciais do ensino fundamental. Dessa forma, o objetivo
desse tópico é expor alguns materiais didáticos manipuláveis e verificar sua aplicação ao ensino de matemática,
especificamente, quanto ao sistema de numeração decimal.
3.3.1 Materiais didáticos manipulativos
Os materiais manipulativos se constituem como uma excelente opção para representar ideias e conceitos em
matemática e também são conhecidos como materiais concretos. A validade de trabalhar com esses materiais
reside em possibilitar aos docentes variadas estratégias pedagógicas e, consequentemente, potencializar o
processo de ensino-aprendizagem.
Como qualquer atividade pedagógica, trabalhar com materiais manipulativos ou concretos exige dos docentes
- -11
Como qualquer atividade pedagógica, trabalhar com materiais manipulativos ou concretos exige dos docentes
objetivos a serem alcançados, como colaborar com os estudantes sobre o processo de numeração decimal;
compreender sobre as funções dos números em nosso contexto; facilitar a aprendizagem no campo da
geometria, entre outros objetivos.
De acordo com Carvalho (1990, p. 107), as ações pedagógicas não devem estar centradas no objeto, mas nas
operações que se realizam sobre ele. Assim:
[...] na manipulação do material didático a ênfase não está sobre os objetos e sim sobre as operações
que com eles se realizam. Discordo das propostas pedagógicas em que o material didático tem a
mera função ilustrativa. O aluno permanece passivo, recebendo a ilustração proposta pelo professor
respondendo sim ou não a perguntas feitas por ele.
O material, então, não pode ser utilizado apenas como um brinquedo para as crianças, até porque existem
momentos próprios para isso. Outro ponto importante que Carvalho (1990) esboça é sobre o conceito de
passividade, ou seja, se os materiais manipulativos/concretos têm a intenção de colaborar com o ensino e
aprendizagem e se os alunos não interagem com esses materiais, possivelmente, o processo será transformado
em momentos de brincadeiras, colaborando também com a passividades dos estudantes.
Sobre essa discussão, Aragão e Vidigal (2016) expõem alguns argumentos do passado, que deram origem aos
materiais manipulativos na escola, com sua significação para o ensino de hoje. O primeiro argumento dos
autores está alinhado à ideia que vimos anteriormente, ou seja, a criança aprende o que faz sentido para ela. Se
os materiais didáticos não tiverem relação com o contexto, descontextualizados do contexto dessas crianças, há
um grande risco deles ficarem restrito ao manuseio.
Sabendo dessas questões, para que a aprendizagem se efetive e se torne- significativa, Aragão e Vidigal (2016, p.
11), baseadas em Coll (1995), apresentam alguns pressupostos, dos quais podemos destacar os seguintes:
- o aluno é o verdadeiro agente e responsável último por seu próprio processo de aprendizagem;
- a aprendizagem dá-se por descobrimento ou reinvenção;
- a atividade exploratória é um poderoso instrumento para a aquisição de novos conhecimentos
porque a motivação para explorar, descobrir e aprender está presente em todas as pessoas de modo
natural.
O segundo argumento apresentado pelos autores é que os materiais são concretos para o aluno. O concreto para
a criança não significa, necessariamente, materiais manipulativos. Machado (1990, p. 46) faz a seguinte
observação sobre o termo “concreto”:
Em seu uso mais frequente, ele se refere a algo material manipulável, visível ou palpável. Quando,
VOCÊ QUER LER?
O livro “Materiais manipulativos para o ensino do sistema de numeração decimal” (2016),
escrito por Heliete Meira C. A. Aragão e Sonia Maria Pereira Vidigal, compõe uma coleção
organizada por Katia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz intitulada “Coleção Mathemoteca”.
Trata-se de um texto interessante para quem é docente dos anos inicias e precisa de ideias
para sua prática pedagógica bem como tem interesse em melhorar o processo de ensino em
matemática.
- -12
Em seu uso mais frequente, ele se refere a algo material manipulável, visível ou palpável. Quando,
por exemplo, recomenda-se a utilização do material concreto nas aulas de matemática, é quase
sempre este o sentido atribuído ao termo concreto. Sem dúvida, a dimensão material é uma
importante componente da noção de concreto, embora não esgote o seu sentido. Há uma outra
dimensão do concreto igualmente importante, apesar de bem menos ressaltada: trata-se de seu
conteúdo de significações.
A afirmação esboçada por Machado (1900) retrata que referir-se a materiais concretos não significa ser um
processo automático de melhor aprendizagem. É um pouco do que já estamos vendo nesse tópico, em outras
palavras, de que trabalhar com materiais concretos sem significação desconecta-se da possibilidade de
aprofundamento sobre o conteúdo apresentado.
O terceiro argumento apresentado por Aragão e Vidigal (2016) atrela-se à ideia na qual osmateriais
manipulativos são representações de ideias matemáticas. Nesse sentido, é importante destacar que o resultado
esperado no ensino em matemática pelo caráter dinâmico dos materiais manipulativos não aparece
repentinamente, pelo contrário, ele é construído e modificado no decorrer das atividades de aprendizagem. Para
Aragão e Vidigal (2016, p. 12), “[...] além disso, toda a complexa rede comunicativa que se estabelece entre os
participantes, alunos e professor, intervém no sentido que os alunos conseguem atribuir à tarefa proposta com
um material didático”.
O quarto argumento sobre os materiais manipulativos que permitem aprender matemática, trata da linguagem
matemática utilizado em ações didáticas que usam os materiais. Segundo Aragão e Vidigal (2016, p. 113), “[...] é
pela linguagem que o aluno faz a transposição entre as representações implícitas no material e as ideias
matemáticas, permitindo que ele possa elaborar raciocínios mais complexos do que aqueles presentes na ação
com os objetos do material manipulativo”.
CASO
Joaquim, professor do 3º ano do ensino fundamental de uma escola municipal, vem tendo
algumas dificuldades para explicar aos alunos as regras da numeração decimal,
principalmente, sobre unidades, dezenas e centenas. Em virtude dessa situação, Joaquim pediu
ajuda a seu amigo Paulo, outro professor dos anos iniciais.
Paulo, nos últimos anos, vem entendendo a importância dos materiais manipulativos para o
ensino de matemática e, por isso, sempre trabalha com objetos manipuláveis com as crianças.
Assim, Paulo apresenta a Joaquim o Ábaco, um objeto milenar e que colabora muito para suas
dificuldades enquanto docente. Joaquim percebe que não tem todos os ábacos possíveis para a
quantidade dos alunos, mas Paulo logo alerta que o mesmo pode ser produzido com materiais
reciclados, o que foi uma ótima ideia.
Joaquim, munido da quantidade necessária de ábacos, começa a trabalhar com adição e com as
trocas entre unidades e dezenas. Para a subtração, começa a trabalhar com recursos e sem
recursos. As atividades nesse sentido colaboram para as questões lúdicas, bem como
possibilita uma compreensão melhor sobre o sistema de numeração decimal e, ainda por cima,
o ensino de matemática se faz baseado na ação e na reflexão.
- -13
3.3.2 Sistema de Numeração Decimal com materiais didáticos 
manipulativos
O Sistema de Numeração Decimal (SND) é de extrema importância para a compreensão das quatro operações
básicas. As noções básicas já devem ser apresentadas na educação infantil e nos anos iniciais é necessário que
seja dada ênfase nisso, principalmente, porque essemomento escolar traz consigo alguns aprofundamentos no
campo da matemática. As pesquisadoras Lerner e Sadovsky (2008, p. 74) afirmam que “[...] as crianças parecem
não entender que os algoritmos convencionais estão baseados na organização de nosso sistema de numeração” e
isso demonstra que essa dificuldade não é particular dos alunos brasileiros ou apenas para algumas situações
específicas, pois isso foi verificado por diversos pesquisadores de diferentes países.
Como modelos de materiais manipulativos ou concretos podemos citar alguns exemplos como Ábaco de pinos,
Fichas sobrepostas, calculadora, Tangran, Painel Multiplicativo, além de outros possíveis de serem comprados ou
elaborados com os alunos em sala de aula. Vamos agora, por meio do ábaco de pinos, pensar algumas
possibilidades para trabalhar com o sistema de numeração decimal.
De acordo com Aragão e Vidigal (2016, p. 31), “[...] o ábaco é a mais antiga máquina de calcular construída pelo
ser humano. Conhecido desde a Antiguidade pelos egípcios, chineses e etruscos, era formado por estacas fixas
verticalmente no solo ou em uma base de madeira”.
Conforme indicação dos autores, existem ábacos feitos de madeira e com argolas de plástico. Por outro lado, eles
também podem ser produzidos pelos alunos com recursos simples, como com uma caixa de ovos e palitos para
churrasco. As argolas podem ser botões grandes, ganchos de cortina, macarrão em argola, tampinhas furadas,
entre outros. A imaginação e a criatividade contam muito aqui.
- -14
Figura 6 - Ábaco feito com caixa de ovo e palito para churrasco.
Fonte: ARAGÃO; VIDIGAL, 2016, p. 34.
Para que as atividades ocorram de maneira mais agradável e intuitiva é interessante que cada estudante tenha o
seu ábaco. A imagem anterior, da esquerda para a direita, está na seguinte ordem: Dezena de Milhar (Dm),
Unidade de Milhar (Um), Centena (C), Dezena (D) e Unidade (U).
Utilizar o ábaco de pinos tende a favorecer a compreensão da estrutura de agrupamentos e trocas e sua
utilização acontece de acordo com o valor posicional. Por exemplo, inserir uma argola no primeiro pino da
direita, vale uma unidade. Cada bolinha colocada no segundo pino da direita para a esquerda vale uma dezena;
no terceiro pino vale uma centena; no quarto pino vale uma unidade de milhar. O máximo de argolas em cada um
dos pinos é nove e quando há́ mais do que nove é necessário fazer a troca.
Veremos agora uma atividade realizada por Aragão e Vidigal (2016). Na 1ª etapa deve ser entregue um ábaco
VOCÊ SABIA?
Os blocos lógicos foram criados na década de 1950 pelo matemático Zoltán Pál Dienes. Ele teve
como intenção possibilitar o desenvolvimento de relações lógicas pelas crianças. Esses blocos
são compostos por 48 peças diferentes e distribuídas em quatro atributos principais:
grandeza, espessura, cor e forma.
- -15
Veremos agora uma atividade realizada por Aragão e Vidigal (2016). Na 1ª etapa deve ser entregue um ábaco
para cada aluno e, nesse primeiro momento, eles devem explorá-lo livremente. É interessante expor aos
estudantes que, por meio desse material, é possível representar os números.
Em um segundo momento é interessante mostrar às crianças como é possível representar um número utilizando
as argolas. Discuta com eles o que significa cada argola e o valor de cada uma. Pergunte a eles se acham que as
argolas têm o mesmo valor quando colocadas em pinos diferentes. Insira 9 argolas em um mesmo pino e explore
essa situação dizendo que ali não se pode mais colocar pinos, questionando os alunos sobre, então, o que fazer.
Dê sequência à atividade até identificar que eles estão começando a compreender a regularidade do material.
Essa é uma das possibilidades que pode ser trabalhada com as crianças. Ainda com o ábaco há diversas
possibilidades de uso atendendo às necessidades dos estudantes. Enquanto docente, verifique onde os
estudantes estão com dificuldades e use os materiais manipulativos ou concretos como uma ferramenta lúdica e
capaz de colaborar com o processo de construção do conhecimento.
Como visto, o uso de materiais didáticos pode colaborar intensamente com o ensino e aprendizagem em
matemática, sobretudo, quando se alinha seu uso ao contexto lúdico e motivacional das crianças. Assim, além do
sistema de numeração decimal, é possível lançar mão dessa estratégica pedagógica para outros temas vinculados
ao ensino de matemática, a exemplo das operações básicas. Aprofundaremos essa situação no próximo tópico.
3.4 Atividades de Operações Básicas com materiais 
didáticos manipulativos
Utilizar o recurso dos materiais manipulativos para promover a comunicação e a proposição de situações-
problema é interessante para os professores e, em consequência, aos estudantes. A comunicação entre docente e
alunos, bem com entre alunos e alunos constitui uma boa estratégia para o ensino de matemática. Atrelado a
isso, é interessante explorar o ábaco e outros recursos manipulativos base 10, para realizar adições e subtrações,
identificando quando é necessário realizar trocas nas adições. Outra coisa importante é compreender as
subtrações com recursos e sem recursos.
3.4.1 Materiais didáticos manipulativos
Trabalhar com recursos baseados em materiais didáticos nas aulas de matemática não é uma atividade tão
recente como se pensa. Comenius (1592-1670), quando publicou sua obra “Didactica Magna” (1649), já
recomendava a utilização de recursos para desenvolver uma melhor e maior aprendizagem. Mais tarde,
educadores como Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827) e Friedrich Froëbel (1782-1852) salientaram que a
atividade dos jovens seria o principal passo para uma educação ativa.
Nesse sentido, temos a chamada variável , que pode ser dividida em grande e pequeno. Por outro lado,grandeza
a variável pode ser dividida em grosso e fino. A variável divide-se da seguinte forma: vermelho,espessura cor
azul e amarelo e, por fim, na variável temos: quadrado, retângulo, triângulo e círculo (DIENES; GOLDING,forma
1969).
- -16
Dienes e Golding (1969, p. XIII) expõem que no momento de um jogo:
[...] se uma criança põe uma peça no lugar errado, é consideravelmente mais proveitoso que o erro
seja denunciado por um colega do que pelo mestre. Os dois alunos poderão discutir em pé de
igualdade e geralmente o menino, que julga que a peça foi colocada erradamente, discutirá com
muito mais energia, ao passo que o outro não deixará de replicar com ardor.
Frente ao comentário de Dienes e Golding (1969) é importante que o docente promova discussões sobre o jogo
bem como sobre o que estão fazendo por meio de suas descobertas. Essas descobertas são produzidas por um
ensino baseado na pesquisa, ou seja, o docente pode instigar, problematizar e mediar diálogos sobre o conteúdo
entre os estudantes. Dessa forma, os estudantes não só aprendem, mas também estabelecem compreensões
sobre o objeto.
Kammi e Declark (1992, p. 172) afirmam que:
As crianças são mais ativas mentalmente enquanto jogam o que escolheram e que lhes interessa, do
que quando preenchem folhas de exercícios. Muitas crianças gostam de fazê-lo, mas o que elas
aprendem com isso é o que vem da professora, e que Matemática é um conjunto misterioso de regras
que vêm de fontes externas ao seu pensamento.
Dessa forma, os materiais manipulativos contribuem para que as crianças aprendam de forma mais coerente e
alinhada com o que as teorias da aprendizagem pregam, ou seja, os sujeitos podem aprender construindo em seu
cotidiano escolar ligações com o mundo que os cerca, bem como por atividades que promovam desequilíbrios
mentais e expansão do processo de produção do conhecimento. Algumas atividades podem ser exploradas com
os Blocos Lógicos e podemos destacar o jogo Empilhando Peças.
Na atividade as peças dos Blocos Lógicos ficam espalhadas pela mesa de cada grupo. AEmpilhando Peças,
proposta dessa atividade reside em testar as habilidades das criançasem montar uma torre com as peças
disponibilizadas. Eles trabalham com tentativas e erros bem como auxilia o raciocínio lógico, uma vez que devem
verificar as peças que devem ficar na base, outras no meio e as que ficam na parte superior.
Nesse sentido é possível trabalhar com tarefas investigativas, pois permite o “[...] contato das crianças com uma
matemática que não seja baseada apenas na reprodução de procedimentos, que incentive a autonomia e a
criatividade dos estudantes, pode ter uma maior potencialidade nos anos iniciais, pois as crianças ainda não
apresentam resistência em relação a ela” (BERTINI, 2015, p. 20).
VOCÊ O CONHECE?
Zoltán Pál Dienes sempre se preocupou com a possibilidade de que os jogos e materiais
manipuláveis pudessem colaborar para a abstração e o raciocínio lógico. O autor defendia o
uso de trabalho em grupo e materiais concretos, bem como as metas como o acesso
democrático para o processo do pensamento matemático. Foi um dos grandes autores e
pensadores que contribuíram para a educação matemática.
- -17
Todas essas atividades, além do caráter lúdico, se mostram como alternativas no processo de aprender e ensinar
matemática no espaço escolar. Também estão vinculadas ao Sistema de Numeração Decimal (SND), que é
apontado nas diretrizes oficiais para o ensino brasileiro, os PCN (BRASIL, 1997), como uma questão importante
para a compreensão das quatro operações básicas e, principalmente, para a compreensão sobre o entendimento
das regras que regem esse sistema.
De fato, Lerner e Sadovsky (2008, p. 148) defendem que:
Refletir a respeito da vinculação entre as operações aritméticas e o sistema de numeração conduz a
formular “leis” cujo conhecimento permitirá elaborar procedimentos mais econômicos, além de
indagar-se pelas razões destas regularidades, buscar respostas na organização do sistema, começar a
desvendar aquilo que está mais oculto na numeração escrita.
Muitos recursos podem ser explorados pelos docentes para instigar os estudantes no campo da matemática,
principalmente, na vinculação das operações básicas com o sistema de numeração decimal.
Shih et al. (2016) defendem dois pontos de vista metodológicos que formam a base do projeto dos materiais
manipulativos para aprender matemática: a utilização dos recursos de comunicação e a proposição de situações-
problema. Quando os autores discorrem sobre comunicação, mencionam que os alunos devem ser estimulados a
falarem, escreverem ou desenharem para, nessas ações, concretizarem a reflexão almejada nas atividades. Ou
seja, deve ser criado um ambiente no sentido de favorecer o diálogo entre os estudantes sobre suas atividades,
bem como que possibilite comunicações no sentido de compreensão das atividades realizadas.
Já para as situações-problema, elas são interessantes porque geram problematizações “[...] ou por meio de boas
perguntas que o aluno compreende relações, estabelece sentidos e conhecimentos a partir da ação com algum
material que representa de forma concreta uma noção, um conceito, uma propriedade ou um procedimento
matemático” (SHIH et al., 2016, p. 45).
Sabemos que o ábaco é uma boa ferramenta manipulativa para trabalhar com matemática, principalmente, com
o conceito de Centena (C), Dezena (D), Unidade (U) e outros e com o ábaco é possível fazer adições e subtrações.
Na adição é possível trabalhar com o conceito de trocas, ou seja, de unidades para dezenas, dezenas para
centenas e assim por diante. Essas trocas validam o sistema de numeração decimal bem como possibilitam
outras compreensões sobre o número para as crianças. Trabalhar apenas com contas e problemas visando
apenas a manipulação de contas armadas e suas resoluções fragiliza o ensino e possibilita a geração de
dificuldades de aprendizagem em matemática.
Com o ábaco é possível representar os números em suas casas decimais e explorar o conceito erroneamente
apresentado na escola como “vai um”. Na verdade, essa técnica de “vai um” é nada mais do que as trocas de casas
decimais, ou seja, com 9 unidades formo uma dezena. Dessa forma, o professor pode solicitar que as crianças
façam uma adição simples como 9+7, por exemplo. No ábaco, lembrando que em cada casa decimal o máximo
permitido são 9 argolas, logo, quando finalizado com a décima argola na casa da unidade, será atribuída uma
VOCÊ QUER LER?
O livro “Materiais manipulativos para o ensino das quatro operações Básicas”, escrito por Ayni
Shih, Carla Cristina Crispim, Heliete Meira C. A. Aragão e Sonia Maria Pereira Vidigal, compõe
uma coleção organizada por Katia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz intitulada “Coleção
Mathemoteca”. Trata-se de um texto interessante para quem é docente dos anos inicias e
precisa de ideias para sua prática pedagógica, bem como para quem tem interesse em
melhorar o processo de ensino em matemática.
- -18
permitido são 9 argolas, logo, quando finalizado com a décima argola na casa da unidade, será atribuída uma
argola à casa das dezenas, sobrando, então, apenas 6 argolas nas unidades.
O trabalho com a subtração será pensado por meio de um processo inverso à adição. Baseado em Shih et al.
(2016) podemos trabalhar com subtração sem recurso e com recurso. Observe a imagem a seguir:
Figura 7 - Subtração sem recurso utilizando o ábaco.
Fonte: SHIH et al., 2016, p. 40.
Observe que nesse ábaco temos quatro argolas em cada pino e da esquerda para a direita temos unidade de
milhar, centena, dezena e unidade. O número representado é 4444. O docente pode questionar os alunos sobre
qual número foi formado. Agora, e se precisássemos subtrair 3212 desses 4444? Na imagem acima foi retirado
exatamente essa quantidade, sendo representado pelos riscos. O resultado, então, é 1232. Não é fácil? Veja que o
total de argolas restantes totaliza o resultado dessa subtração.
Vamos para outra situação, agora realizando subtração com recurso:
- -19
Figura 8 - Subtração com recurso utilizando o ábaco.
Fonte: SHIH et al., 2016, p. 43.
Nessa situação, vamos fazer 43-5. Como podemos fazer para subtrair 5 desse número usando o ábaco? Converse
com os alunos sobre a troca a ser feita e peça que sigam a orientação: “[...] retire uma argola da casa das dezenas
(relembre que ela vale 10 unidades). Coloque 10 argolas na casa das unidades. Os alunos visualizam que a casa
das unidades ficou com 13 argolas. Deixe-os perceber que agora é possível retirar 5 argolas da casa das
unidades” (SHIH et al., 2016, p. 43).
Ainda conforme Shih et al. (2016, p. 43), “[...] alguns alunos terão dificuldade em perceber a troca efetuada;
outros colocarão apenas duas argolas, que é o que falta para completar as cinco unidades que precisam retirar;
outros ainda completarão o pino com dez argolas sem adicionar as três que já estão no pino das unidades”.
Nesse sentido, os blocos lógicos bem como outros objetos manipuláveis, desde que trabalhados com um objetivo,
por exemplo, como o de colaborar para a construção do raciocínio lógico matemático, trata-se de uma excelente
ferramenta pedagógica. Colabora também com a produção de diálogos entre as crianças, onde brincam e
decidem situações conjuntamente bem como possibilita para sua autonomia e capacidade de resolver situações
escolares.
Síntese
Neste capítulo foi possível ver sobre as possibilidades de se trabalhar com gráficos e tabelas nos anos inicias e
também sobre a importância dos materiais manipulativos nos anos inicias, sobretudo, para o ensino de
matemática.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• entender a importância de saber ler, interpretar e fazer inferências de informações expostos em gráficos 
e tabelas;
• perceber que a estatística é dividida em dois ramos, sendo a descritiva e a outra a inferencial;
• aprender sobre as Diretrizes Operacionais para o Atendimento Educacional Especializado na Educação 
Básica, modalidade Educação Especial;
• compreender que trabalharcom materiais manipulativos ou concretos exige dos docentes objetivos a 
serem alcançados;
• identificar o ábaco com um instrumento importante para a compreensão do sistema de numeração 
•
•
•
•
•
- -20
• identificar o ábaco com um instrumento importante para a compreensão do sistema de numeração 
decimal e para as operações básicas.
Bibliografia
ARAGÃO, H. M. C. A.; VIDIGAL, S. M. P. Materiais manipulativos para o ensino do sistema de numeração
l. Porto Alegre: Penso, 2016. (Coleção Mathemoteca, v. 1).decima
BARBETTA, A. . 6. ed. Florianópolis: EDUFSC, 2006.Estatística aplicada às Ciências Sociais 
BONFIM, R. A. F. Inclusão e Educação Matemática. In: SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. :A matemática em sala de aula
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Penso Editora, 2013. p. 115-136.
BERTINI, L. F. Ensino de Matemática nos anos iniciais: aprendizagens de uma professora no contexto de tarefas
investigativas. Bolema, Rio Claro (SP), v. 29, n. 53, p. 1201-1223, 2015.
BRASIL. IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Centro de documentação e disseminação de
informações. . Rio de Janeiro: IBGE, 1993.Normas de apresentação tabular
______. . Brasília, DF, 20 dez. 1996. Disponível em: <Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996 https://goo.gl
/3YQoF>. Acesso em: 26/07/2018.
______. Ministério da Educação. . Institui Diretrizes Operacionais paraResolução nº4, de 02 de outubro de 2009
o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica, modalidade Educação Especial. Brasília, DF: MEC,
2009. Disponível em: <https://goo.gl/957Ee>. Acesso em: 25/07/2018.
______. IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. . Brasília, DF: IBGE, 2010. Disponível em:Censo 2010
<https://goo.gl/8yBdLq>. Acesso em: 25/07/2018.
______. TV ESCOLA. Educação inclusiva e alfabetização matemática no ciclo de alfabetização. Salto Para o Futuro
. Produção: TV Escola. Brasil, 2014. 1 filme (47min.). Disponível em: <- Acervo – Debate https://goo.gl/pPeZWV
>. Acesso em: 26/07/2018.
CARVALHO, D. L. . São Paulo: Cortez, 1990.Metodologia do ensino da matemática
COLL, C. (Org.). Porto Alegre: Artmed, 1995. v. 1.Desenvolvimento psicológico e educação.
CRESPO, A. A. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.Estatística fácil. 
CAZORLA, I. et al. Estatística para os anos iniciais do ensino fundamental. Brasília: Sociedade Brasileira de
Educação Matemática - SBEM, 2017. (Biblioteca do Educador - Coleção SBEM).
CORREA, L. M. s: contributos para uma definição portuguesa. Porto:Dificuldades de aprendizagem específica
Porto Editora, 2008.
DIENES, Z. P.; GOLDING, E. W. . São Paulo: Editora Herder, 1969.Conjuntos, números e potências
FÁVERO, M. H. : articulação entre pesquisa e intervençãoAquisição conceitual em condições especiais
psicopedagógica. In: REUNIÃO ANUAL DE PSICOLOGIA, 33., 2003, Belo Horizonte. Resumos de Comunicações
. Belo Horizonte: SBP, 2003. p. 83-84.Científicas
FERNANDES, G. J. R.; SANTOS JUNIOR, G. A Estatística e a Probabilidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental. 
Revista Iberoamericana de Educação Matemática - , n. 39, p. 35-56, 2014.Unión
FONSECA, V. Tendências futuras da Educação Inclusiva. In: STOBÄUS, C. D.; MOSQUERA, J. J. M. (Orgs.). Educação
Especial: em direção à Educação Inclusiva. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2003.
GUIMARÃES, G. Estatística nos anos iniciais de escolarização. In: SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em
: reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Penso Editora, 2013. p. 115-sala de aula
136.
GUIMARÃES, G. et al. Atividades que exploram gráficos e tabelas em livros didáticos de matemática nas
. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – SIPEM, 3., 2006,séries iniciais
Águas de Lindóia. Águas de Lindóia: SIPEM, 2006.Anais...
LARSON, R.; FARBER, B. . 4. ed. São Paulo: Pearson, 2010.Estatística aplicada
LERNER, D.; SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da
•
- -21
LERNER, D.; SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da
: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2008.matemática
MACHADO, N. J. a análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez, 1990.Matemática e língua materna:
MENDES, C. R. Uma análise sobre a prática em sala de aula em relação aos conteúdos de estatística na disciplina
de matemática. , Campinas, v. 3, n. 6, p. 33-44, 1999.Revista de Educação
SCHLIEMANN, A.; CARRAHER, T.; CARRAHER, D. Mathematics in the streets and in schools. British Journal of
Development Psychology, v. 3, p. 21-29, 1988.
SIMONS, U; M. 150 exercícios para flexibilizar o raciocínio. Petrópolis, RJ: Vozes, 2007. Blocos Lógicos:
SHIH, A. et al. . Materiais manipulativos para o ensino das quatro operações básicas Porto Alegre: Penso,
2016. (Coleção Mathemoteca, v. 2).
WARNOCK, M. . Londres: Her Majesty’s Stationary Office, GovernmentMeeting special education needs
Bookshops, 1981.
KAMII, C.; DECLARK, G. : implicações da teoria de Piaget. São Paulo, Campinas:Reinventando a aritmética
Papirus, 1992.
	Introdução
	3.1 Construção de gráficos e tabelas
	3.1.1 Primeiros diálogos
	3.1.2 Gráfico e tabela
	3.2 Inclusão e educação matemática
	3.2.1 Inclusão do conhecimento matemático
	3.3 Materiais didáticos manipulativos para o ensino do Sistema de Numeração Decimal
	3.3.1 Materiais didáticos manipulativos
	3.3.2 Sistema de Numeração Decimal com materiais didáticos manipulativos
	3.4 Atividades de Operações Básicas com materiais didáticos manipulativos
	3.4.1 Materiais didáticos manipulativos
	Síntese
	Bibliografia