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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4
a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
1 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 21 - A TEORIA CINÉTICA DOS GASES 
 
03. Se as moléculas de água em 1,00 g de água fossem distribuídas uniformemente pela superfície 
da Terra, quantas moléculas haveriam em 1,00 cm
2
 dessa superfície? 
 (Pág. 226) 
Solução. 
A solução consiste em obter a razão N/A, em que N é o número de moléculas de água na amostra e 
A é a área da superfície da Terra, em cm
2
. No desenvolvimento abaixo, n é o número de moles de 
água na amostra, ma é a massa da amostra de água, NA é o número de Avogadro, M é a massa molar 
da água e RT é o raio da Terra. 
 
23 1
2
22 2 8
1,00 g 6,02 10 mol
6.558,96 moléculas/cm
4 4 18 g/mol 4 6,37 10 cm
a AA
T T
m NnNN
A R M R
 
 
26.560 moléculas/cm
N
A
 
 
08. O melhor vácuo que pode ser obtido em um laboratório corresponde à pressão de cerca de 1,00 
 10
18
 atm ou 1,01 10
13
 Pa. Quantas moléculas existem por centímetro cúbico em tal vácuo, 
a 293 K? 
 (Pág. 227) 
Solução. 
A solução consiste em obter a razão N/V, em que N é o número de moléculas de gás e V é o volume 
do recipiente. No desenvolvimento abaixo, p é a pressão exercida pelo gás, V é o volume do 
recipiente, n é o número de moles de gás na amostra, R é a constante dos gases ideais, T é a 
temperatura da amostra e NA é o número de Avogadro. 
 
A
N
pV nRT RT
N
 
 
13 23 1
3
1,01 10 Pa 6,02 10 mol
2,4959 moléculas/m
8,314 J/K.mol 293 K
ApNN
V RT
 
 
32,50 moléculas/m
N
V
 
 
09. Uma quantidade de um gás ideal a 10,0
o
C e à pressão de 100 kPa ocupa um volume de 2,50 m
3
. 
(a) Quantos moles de gás estão presentes? (b) Se a pressão for elevada para 300 kPa e a 
temperatura para 30,0
o
C, qual o volume que o gás ocupará? Suponha que não haja perdas. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
(a) A solução requer a aplicação da equação de estado do gás ideal: 
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0 0 0p V nRT 
 
3 3
0 0
0
100 10 Pa 2,50 m
106,1785 moles
8,314 J/K.mol 283,2 K
p V
n
RT
 
 106 molesn 
(b) Como a quantidade de gás não foi modificada, o produto nR permanece constante antes e após a 
transformação das condições do sistema: 
 0 0
0
p V pV
nR
T T
 
 
3
30 0
0
100 kPa 2,50 m 303,2 K
0,892184 m
300 kPa 283,2 K
p V T
V
pT
 
 
30,892 mV 
 
11. Um pneu de automóvel tem um volume de 1.000 pol
3
 e contém ar à pressão manométrica de 
24,0 lb/pol
2
, quando a temperatura é de 0,00
o
C. Qual a pressão manométrica do ar no pneu, 
quando sua temperatura sobe para 27
o
C e seu volume para 1.020 pol
3
? (Sugestão: Não é 
necessário converter unidades inglesas para unidades internacionais; por quê? Use patm = 14,7 
lb/pol
2
.) 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Assumindo-se comportamento ideal para o gás no interior do pneu, podemos usar a equação de 
estado do gás ideal: 
 0 0 0p V nRT 
Sabendo-se que o número de moles de gás (n) permanece constante, temos que a quantidade nR não 
se altera ao longo do processo: 
 0 0
0
p V pV
nR
T T
 
 
' '
0 atm 0 atm
0
p p V p p V
T T
 
Na expressão acima, '0p e 
'p são as pressões manométricas inicial e final do gás. 
 
'
0 atm 0'
atm
0
p p V T
p p
VT
 
 
2 2 3
' 2
3
24,0 lb/pol 14,7 lb/pol 1.000 pol 300 K
14,7 lb/pol
1.020 pol 273 K
p 
 ' 226,9936 lb/polp 
 
' 227,0 lb/polp 
 
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3 
14. A pressão p, o volume V e a temperatura T para um certo material são relacionados por 
 
2AT BT
p
V
 
Encontre uma expressão para o trabalho realizado pelo material, se a temperatura mudar de T1 
para T2, enquanto a pressão permanece constante. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Como a pressão depende da temperatura e do volume, se houve variação na temperatura, mas a 
pressão permaneceu constante, o volume deve ter variado de V1 para V2, onde: 
 
2
1 1
1
AT BT
V
p
 
 
2
2 2
2
AT BT
V
p
 
O trabalho realizado pela expansão de um gás é dado por: 
 
0
( )
V
V
V
W p dV 
Como no presente caso a pressão permaneceu constante, podemos retirá-la da integral: 
 
0
2 1
V
V
W p dV p V p V V 
Logo: 
 
2 2
2 22 2 1 1
2 2 1 1
1
AT BT AT BT
W p AT BT AT BT
p p
 
 
2 2
2 2 1W A T T B T T 
 
15. Uma amostra de ar, que ocupa 0,14 m
3
 à pressão manométrica de 1,03 10
5
 Pa, se expande 
isotermicamente até atingir a pressão atmosférica e é então resfriada, à pressão constante, até 
que retorne ao seu volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
O processo termodinâmico descrito no enunciado pode ser representado no seguinte gráfico: 
 
O trabalho total W corresponde à soma dos trabalhos executados nos caminhos 1 (W1) e 2 (W2): 
 1 2W W W (1) 
O trabalho realizado no caminho 1 é dado por: 
 
0 0 0
1 ( )
V V V
V
V V V
nRT nRT
W p dV dV dV
V V
 
p
patm
VVV0
p0
1
2
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Como o caminho 1 é uma isoterma, ou seja, todos os estados (pontos) sobre o caminho 1 estão à 
mesma temperatura, temos: 
 
0
1
V
V
dV
W nRT
V
 (2) 
Além disso, podemos relacionar os estados inicial e final do caminho 1, para determinar o volume 
final do caminho 1: 
 
0 0 atmp V p V 
 0 0
atm
p V
V
p
 
Substituindo o valor de V na integral (2) e reconhecendo que nRT = P0V0: 
 
0 0
atm
0
0 0
atm
1 0 0 0 0
0
ln
p V
p
V
p V
pdV
W p V p V
V V
 
 0
1 0 0
atm
ln
p
W p V
p
 (3) 
O trabalho no caminho 2 é realizado à pressão constante. Logo: 
 
0 0 0
2 0 0
atm
V
V
p V
W p dV p V p V V p V
p
 
 2 atm 0 0W p p V (4) 
Substituindo-se (3) e (4) em (1): 
 0 00 0 atm 0 0 0 atm 0 0
atm atm
ln ln
p p
W p V p p V p p p V
p p
 
É preciso lembrar que p0 (pressão absoluta) é a soma da pressão manométrica 
'
0p (dada no 
enunciado) e a pressão atmosférica patm, ou seja, 2,04 10
5
 Pa. 
 
5
5 5 5 3
5
2,04 10 Pa
2,04 10 Pa ln 1,01 10 Pa 2,04 10 Pa 0,14 m
1,01 10 Pa
W 
 5.657,665 JW 
 5.700 JW 
 
19. Uma bolha de ar de 20 cm
3
 está no fundo de um lago, a 40 m de profundidade, onde a 
temperatura é 4,0
o
C. Ela se solta e vai para a superfície, onde a temperatura é 20
o
C. Considere a 
temperatura da bolha como sendo a mesma da água à sua volta e encontre seu volume no exato 
momento em que alcança a superfície - ainda na água. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
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Como a quantidade de ar no interior da bolha é constante, vale a relação: 
 0 0
0
p V pV
T T
 
 atm 0
0
p gh V pV
T T
 
Logo: 
 atm 0
0
p gh V T
VVT
 
 
5 3 3 2 6 3
5
1,01 10 Pa 1,0 10 kg/m 9,81 m/s 40 m 20 10 m 293,15 K
1,01 10 Pa 277,15 K
V 
 3103,3434 mV 
 
3100 mV 
 
22. Um tanque de aço contém 300 g de amônia (NH3) no estado gasoso, a uma pressão absoluta de 
1,35 10
6
 Pa e temperatura de 77
o
C. (a) Qual o volume do tanque? (b) O tanque é inspecionado 
mais tarde, quando a temperatura cai para 22
o
C e a pressão absoluta para 8,7 10
5
 Pa. Quantos 
gramas de gás escaparam do tanque? 
 (Pág. 227) 
Solução. 
(a) Considerando-se que a amônia tenha comportamento ideal, podemos utilizar a equação de 
estado do gás ideal: 
 
0 0 0 0 0
amp V n RT RT
M
 
Na expressão acima, ma0 é a massa inicial da amostra de amônia e M é a massa molar da amônia. 
Logo: 
 30 00 6
0
300 g 8,314 J/K.mol 350 K
0,0380379 m
17 g/mol 1,35 10 Pa
am RTV
Mp
 
 
3
0 0,0380 mV 
(b) A situação final do sistema pode ser descrita pela seguinte equação de estado, em que ma é a 
massa final de amônia e m’ é a massa de amônia que escapou: 
 
'
0aa
m mm
pV nRT RT RT
M M
 
p , V T0 0 0, 
p p V T = , , atm
h
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O volume final do recipiente pode ser determinado por meio da análise da dilatação térmica sofrida: 
 
0 aço 01 3V V T T 
Logo: 
 
'
0
0 aço 01 3
am m
pV T T RT
M
 
 ' 0
0 aço 01 3a
pV M
m m T T
RT
 
 
5 3
'
5o 1
8,7 10 Pa 0,0380379 m 17 g/mol
300 g
8,314 J/K.mol 295 K
 1 3 1,1 10 K 295 K 350 K 71,0378 g
m
 
 
' 71 gm 
 
23. O recipiente A, na Fig. 21-17, contém um gás ideal à pressão de 5,0 10
5
 Pa e à temperatura de 
300 K. Ele está conectado por um fino tubo ao recipiente B, que tem quatro vezes o volume de 
A. O B contém o mesmo gás ideal, à pressão de 1,0 10
5
 Pa e à temperatura de 400 K. A 
válvula de conexão é aberta e o equilíbrio é atingido a uma pressão comum, enquanto a 
temperatura de cada recipiente é mantida constante, em seu valor inicial. Qual a pressão final do 
sistema? 
 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Este problema pode ser resolvido levando-se em conta que o número total de moles do gás 
permanece constante durante o processo. 
 , , , ,A i B i A f B fn n n n 
 A A B B A B
A B A B
p V p V pV pV
RT RT RT RT
 
No segundo membro da expressão acima, vemos que a pressão final nos dois compartimentos é 
igual (p), uma vez que eles estão conectados, e que suas temperaturas são diferentes, iguais às da 
situação inicial. Lembrando que VB = 4 VA: 
 
4 4A A B A A A
A B A B
p V p V pV p V
T T T T
 
 
4 4A B
A B A B
p p p p
T T T T
 
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7 
 
5 55,0 10 Pa 400 K 4 1,0 10 Pa 300 K4
300 K 400 K
A B B A
A B
p T p T
p
T T
 
 
52,0 10 Pap 
 
27. Considere o Sol como uma gigantesca bola de gás ideal à alta temperatura. A pressão e a 
temperatura na atmosfera solar são 0,0300 Pa e 2,00 10
6
 K, respectivamente. Calcule a 
velocidade rms dos elétrons livres (massa = 9,11 10
-31
 kg) na atmosfera solar. 
 (Pág. 228) 
Solução. 
Considerando-se a atmosfera solar composta de gás ideal, teremos: 
 
6
6
rms 31 23 1
3 8,314 J/K.mol 2,00 10 K3 3
9,5372 10 m/s
9,11 10 kg 6,02 10 molA
RT RT
v
M mN
 
 rms 9.540 km/sv 
 
29. A que temperatura os átomos de hélio têm a mesma velocidade rms que os do hidrogênio a 
20
o
C? 
 (Pág. 228) 
Solução. 
Para resolver, basta igualar as velocidades quadráticas médias do hidrogênio e do hélio e resolver 
para a temperatura. 
 
2rms,He rms,H
v v 
 2
2
HHe
He H
33 RTRT
M M
 
 2
2
HHe
He H
TT
M M
 
 2
2
o
He H o
He
H
4,003 g/mol 20 C
308,933 C
2,016 g/mol
M T
T
M
 
 
o
He 310 CT 
 
30. A densidade de um gás a 273 K e 1,00 10
2
 atm é de 1,24 10
5
 g/cm
3
. (a) Encontre a 
velocidade vrms para as moléculas do gás. (b) Ache a massa molar do gás e identifique-o. 
 (Pág. 228) 
Solução. 
(a) A velocidade média quadrática é dada por: 
 rms
3RT
v
M
 
Como pV = nRT, podemos substituir RT na expressão acima: 
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8 
 
rms
3pV
v
nM
 (1) 
A densidade do gás é a razão entre a massa da amostra ma e o seu volume V: 
 a
m nM
V V
 
 nM V (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
3
rms 2 3
3 1,01 10 Pa3
494,3226 m/s
1,24 10 kg/m
p
v 
 
rms 494 m/sv 
(b) O gás pode ser identificado por meio de sua massa molar: 
 
22
rms
3 8,314 J/K.mol 273 K3
0,027865 kg/mol
494,3226 m/s
RT
M
v
 
 27,9 g/molM 
Esta massa molar corresponde ao nitrogênio (N2). 
 
31. A massa da molécula de hidrogênio é de 3,3 10
24
 g. Se 10
23
 moléculas de hidrogênio por 
segundo atingissem 2,0 centímetros quadrados de uma parede, a um ângulo de 55
o
 com a 
normal à parede, com velocidade 1,0 10
5
 cm/s, que pressão elas exerceriam sobre a parede? 
 (Pág. 228) 
Solução. 
A pressão exercida pelo gás corresponde à razão entre a força total exercida ortogonalmente à 
parede pelos choques das moléculas (N.Fx, onde N é o número de moléculas e Fx é a força que cada 
molécula transmite à parede) e a área da parede: 
 x
NF
p
A
 (1) 
A força transmitida ortogonalmente à parede (v cos ) por cada choque corresponde à razão entre 
variação do momento linear da molécula e o tempo entre os choques: 
 x
x
m v
F
t
 
Sendo vx a velocidade antes do choque, após o choque a velocidade será vx (choque elástico), o que 
implica numa variação do momento linear em termos absolutos de 2vx. 
 
2 2 cosx
x
m v m v
F
t t
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
2 cos 2 cosN mv mv N
p
A t A t
 
 
24 5 o
23 1 2
2
2 3,3 10 g 1,0 10 cm/s cos55
10 s 18.928,0 dinas/cm
2,0 cm
p 
 
4 21.9 10 dinas/cmp 
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34. A que temperatura a energia cinética de translação de uma molécula é igual a 1,00 eV? 
 (Pág. 228) 
Solução. 
A energia cinética média de translação K de cada molécula vale: 
 
3
2
K kT 
Logo: 
 
19
23
2 1,00 eV 1,602 10 J/eV2
7.739,13 K
3 3 1,38 10 J/K
K
T
k
 
 7.740 KT 
 
61. 20,9 J de calor são adicionados a um certo gás ideal. Como resultado, seu volume aumenta de 
50,0 para 100 centímetros cúbicos, enquanto a pressão permanece constante (1,00 atm). (a) 
Qual a variação na energia interna do gás? (b) Se a quantidade de gás presente for de 2,00 
10
3
 mol, calcule o calor específico molar à pressão constante. (c) Calcule o calor específico 
molar a volume constante. 
 (Pág. 229) 
Solução. 
O processo termodinâmico pode ser representado pelo seguinte gráfico pV: 
 
(a) A variação da energia interna do gás pode ser calculada diretamente da primeira lei da 
termodinâmica: 
 5 6 3int 0 20,9 J 1,01 10 Pa 50 10 m 15,85 JpE Q W Q p V 
 int 16 JE 
(b) Sejam as seguintes relações: 
 p pQ nC T 
 p V nR T 
A razão entre estas equações resulta em: 
 
p pQ C
p V R
 
 
5 6 3
20,9 J 8,314 J/K.mol
34,4084 J/K.mol
1,01 10 Pa 50 10 m
p
p
Q R
C
p V
 
 34 J/K.molpC(c) A relação entre os calores específicos à pressão e a volume constantes é: 
p
p0
VVV0
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10 
 34,4084 J/K.mol 8,314 J/K.mol 26,0944 J/K.molV pC C R 
 26 J/K.molVC 
 
62. Uma certa quantidade de um gás ideal monoatômico (n moles) está inicialmente à temperatura 
T1. A pressão e o volume são então lentamente duplicados, de tal maneira que o processo é 
descrito por uma reta no gráfico p-V. Quais são, em termos de n, R e T1, (a) W, (b) Eint e (c) Q? 
(d) Se quisermos definir um calor específico molar para este processo, qual seria o seu valor? 
 (Pág. 230) 
Solução. 
O processo termodinâmico pode ser representado pelo seguinte gráfico pV: 
 
(a) O trabalho pode ser calculado somando-se as áreas AA e AB sob a reta 1-2: 
 
1 1 1 1 1 1 1 1
A B 1 1 1 1 1
2 2 3
2
2 2 2
V V p p p V p V
W A A p V V p V 
 1
3
2
W nRT 
(b) A variação da energia interna é dada por: 
 int VE nC T (1) 
A temperatura do estado 2, T2, pode ser calculada por comparação dos estados 1 e 2: 
 1 1 2 2
1 2
p V p V
T T
 
 1 1 1 1
1 2
2 2pV p V
T T
 
 2 14T T (2) 
Considerando-se que, para um gás ideal monoatômico, CV = 3/2 R, e substituindo-se (2) em (1): 
 
int 1 1
3
4
2
E n R T T 
 int 1
9
2
E nRT 
(c) O calor pode ser calculado a partir do enunciado da primeira lei da termodinâmica: 
 intE Q W 
 
int 1 1
9 3
2 2
Q E W nRT nRT 
 16Q nRT 
(d) A definição do calor específico de um processo X, CX, é dada simplesmente por: 
p
p1
VV1 2V1
2p1
1
2
A
B
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11 
 
X XQ nC T 
onde QX é o calor envolvido no processo que, neste caso, é 6nRT1: 
 
16 XnRT nC T 
 2XC R 
 
65. Um gás diatômico cujas moléculas apresentam rotação, mas não oscilam, perde 90 J de calor. A 
perda de energia interna do gás será maior se o processo for à pressão constante ou a volume 
constante? 
 (Pág. 230) 
Solução. 
No processo a volume constante, o trabalho executado pelo gás é nulo. Logo: 
 int, 0VE Q W Q Q 
 int, 90 JVE (1) 
No processo à pressão constante, teremos: 
 int, pE Q W Q p V Q nR T (2) 
Em qualquer processo envolvendo gás ideal vale a seguinte relação: 
 
int int,
2
p V
f
E E nC T n R T 
Na equação acima, f corresponde ao número de graus de liberdade associado ao gás. No presente 
caso, o gás diatômico apresenta 3 graus de liberdade translacional e 2 rotacionais, ou seja, f =5. 
Logo: 
 
int,
5
2
pE nR T 
 
int,
2
5
pnR T E (3) 
Substituindo-se (3) em (2): 
 
int, int,
2
5
p pE Q E 
 
int,
5 5
90 J 64,28 J
7 7
pE Q 
 int, 64 JpE (4) 
Comparando-se (1) e (4), vemos que a maior perda de energia interna se dará no processo a volume 
constante. Isto não deveria surpreender o aluno. No processo a volume constante nenhuma energia é 
gasta com trabalho de expansão. Logo toda a variação de energia aparece na forma de variação da 
energia interna do gás. Nos processos que ocorrem a volume constante, tanto expansão como 
contração, trabalho e calor têm sempre sinais opostos e, portanto, tendem a tornar menor o valor 
absoluto da variação da energia interna do processo. 
 
67. Suponha que 12,0 g de oxigênio (diatômico) sejam aquecidos, à pressão atmosférica constante, 
de 25,0 a 125
o
C. (a) Quantos moles de oxigênio estão presentes? (Veja Tabela 21-1.) (b) Quanto 
calor é transferido para o oxigênio? (As moléculas giram, mas não oscilam.) (c) Que fração do 
calor é usada para aumentar a energia interna do oxigênio? 
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12 
 
 (Pág. 230) 
Solução. 
O processo termodinâmico pode ser representado pelo seguinte gráfico pV: 
 
(a) Sendo ma a massa da amostra de gás e M a sua massa molar, o número de moles n será: 
 
12 g
0,375 mol
32 g/mol
amn
M
 
 0,38 moln 
(b) Lembrando que para um gás ideal diatômico incapaz de oscilar Cp = 7/2 R, teremos: 
 o o
0
7 7
0,375 mol 8,314 J/K.mol 125 C 25,0 C
2 2
p pQ nC T n R T T 
 1.091,2125 JpQ 
 1,1 kJpQ 
(c) A fração f do calor utilizada para aumentar a energia interna do gás vale: 
 int
7 7
1
52 2 0,7142
7 7 7
2 2
nR T nR T
E Q W
f
Q Q
nR T
 
 0,71f 
 
68. Suponha que 4,00 moles de um gás ideal diatômico, cujas moléculas estejam em rotação sem 
oscilar, sofrem um aumento de temperatura de 60,0 K à pressão constante. (a) Quanto calor foi 
transferido para o gás? (b) Em quanto aumentou a energia interna do gás? (c) Quanto trabalho 
foi realizado pelo gás? (d) Qual foi o aumento na energia interna translacional nas moléculas do 
p
p0
V
T0
T1
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13 
gás? 
 (Pág. 230) 
Solução. 
O processo termodinâmico pode ser representado pelo seguinte gráfico pV: 
 
(a) O calor transferido á pressão constante é Qp, sendo que um gás ideal diatômico incapaz de 
oscilar possui Cp = 7/2 R. Logo: 
 
0
7 7
4,00 moles 8,314 J/K.mol 60,0 K 6.983,76 J
2 2
p pQ nC T n R T T 
 6,98 kJpQ 
(b) 
 
int
7 5
2 2
p p pE Q W Q p V Q nR T nR T nR T nR T 
 
int
5
4,00 moles 8,314 J/K.mol 60,0 K 4.988,4 J
2
E 
 int 4,99 kJE 
(c) 
 4,00 moles 8,314 J/K.mol 60,0 K 1.995,36 JW p V nR T 
 2,00 kJW 
(d) A variação da energia interna de um gás ideal diatômico incapaz de oscilar é a soma das 
variações das energias interna translacional e rotacional Eint, transl e rotacional Eint, rot. 
 int int, transl int, rotE E E 
 
int
3 2
2 2
E nR T nR T 
A parcela associada à variação da energia cinética translacional é 3/2 nR T. 
 
int, transl
3 3
4,00 moles 8,314 J/K.mol 60,0 K 2.993,04 J
2 2
E nR T 
 int, transl 2,99 kJE 
 
73. Sabemos que pV = uma constante para um processo adiabático. Faça uma estimativa do valor 
desta "constante" para um processo adiabático envolvendo exatamente 2,0 mol de um gás ideal 
que passa, durante o processo, por um estado onde p = 1,0 atm e T = 300 K. Considere um gás 
diatômico cujas moléculas apresentem rotação, mas não oscilem. 
 (Pág. 230) 
Solução. 
p
p0
V
T0
T1
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14 
Um gás ideal diatômico que apresenta rotação sem oscilação possui : 
 
7
72
5 5
2
p
V
RC
C
R
 
A constante pV valerá: 
 1
nRT
pV p p nRT
p
 
 
1
51,01 10 Pa 2,0 moles 8,314 J/K.mol 300 KpV 
 
7/5
3 11/51.497,67 Pa m 1.497,67 N.mpV 
 
2,21.500 N.mpV 
 
81. Uma certa quantidade de um gás ideal ocupa um volume inicial V0 à pressão p0 e temperatura 
T0. O gás se expande até o volume V1 (a) à pressão constante, (b) à temperatura constante e (c) 
adiabaticamente. Construa o gráfico p-V para cada caso. Em qual deles Q é maior? E menor? 
Em qual caso W é maior? E menor? Em qual caso Eint é maior?E menor? 
 (Pág. 230) 
Solução. 
Os processos termodinâmicos podem ser representados pelo seguinte gráfico pV: 
 
Como o trabalho executado pelos gases corresponde à área sob as curvas do gráfico pV, temos: 
 a b cW W W 
Como a variação da energia interna é proporcional à variação da temperatura e o gráfico mostra que 
Ta Tb Tc, temos: 
 int,a int,b int,cE E E 
Como Q = Eint + W, temos: 
 a b cQ Q Q 
 
83. Certa máquina térmica processa 1,00 mol de um gás ideal monoatômico através do ciclo 
mostrado na Fig. 21-21. O processo 1 2 acontece a volume constante, o 2 3 é adiabático e 
o 3 1 acontece à pressão constante. (a) Calcule o calor Q, a variação na energia interna Eint 
e o trabalho realizado W, para cada um dos três processos e para o ciclo como um todo. (b) Se a 
pressão inicial no ponto 1 for 1,00 atm, encontre a pressão e o volume nos pontos 2 e 3. Use 
1,00 atm = 1,013 10
5
 Pa e R = 8,314 J/mol.K. 
p
VV0 V1
T0
p0
a
b
c
a = isobárico
b = isotérmico
c = adiabático
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15 
 
 (Pág. 231) 
Solução. 
(a) Variação da energia interna. Passo 1 2: 
 
12 12
3
1,00 mol 8,314 J/K.mol 300 K 3.741,3 J
2
VE nC T 
 12 3,74 kJE 
Variação da energia interna. Passo 2 3: 
 
23 23
3
1,00 mol 8,314 J/K.mol 145 K 1.808,295 J
2
VE nC T 
 23 1,81 kJE 
Variação da energia interna. Passo 3 1: 
 
31 31
3
1,00 mol 8,314 J/K.mol 155 K 1.933,005 J
2
VE nC T 
 31 1,93 kJE 
Variação da energia interna. Ciclo: 
 12 23 31 0E E E E 
Calor. Passo 1 2: 
 12 12 3.741,3 JVQ nC T 
 12 3,74 kJQ 
Calor. Passo 2 3: 
 23 0Q (etapa adiabática) 
Calor. Passo 3 1: 
 
31 31
5
1,00 mol 8,314 J/K.mol 155 K 3.221,675 J
2
pQ nC T 
 31 3,22 kJQ 
Calor. Ciclo: 
 12 23 31 519,625 JQ Q Q Q 
 520 JQ 
Trabalho. Passo 1 2: 
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 12 0W (etapa isométrica) 
Trabalho. Passo 2 3: 
 23 23 23 0 1.808,295 J 1.808,295 JW Q E 
 23 1,81 kJW 
Trabalho. Passo 3 1: 
 31 31 31 3.221,675 J 1.933,005 J 1.288,67 JW Q E 
 31 1,29 kJW 
Trabalho. Ciclo: 
 
12 23 31 519,625 JW W W W 
 520 JW 
(b) Cálculo de V2: 
 31
1 5
1
(1,00 mol)(8,314 J/K.mol)(300 K)
0,024621 m
(1,013 10 Pa)
nRT
V
p
 
 32 1 0,0246 mV V 
Cálculo de V3: 
 31
1 3
VV
T T
 
 
3
31 3
3
1
(0,024621 m )(455 K)
0,037343 m
(300 K)
VT
V
T
 
 33 0,0373 mV 
O gráfico mostra que p3 = p1. Logo: 
 5 5
3
Pa
1,00 atm 1,013 10 1,013 10 Pa
atm
p 
 
5
3 1,01 10 Pap 
Na etapa 1 2 (isocórica), temos: 
 1 2
1 2
p p
T T
 
 
5
51 2
2
1
Pa
1,00 atm 1,013 10 600 K
atm
2,026 10 Pa
300 K
p T
p
T
 
 
5
2 2,03 10 Pap 
 
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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 23 - A TEORIA CINÉTICA E O GÁS IDEAL 
 
12. Um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta, de comprimento L = 25,0 m, contém ar 
sob pressão atmosférica. Ele é introduzido verticalmente em um lago de água doce até que a 
água no seu interior atinja a metade da sua altura, como indica a Fig. 16. Qual a profundidade h 
da extremidade inferior do tubo? Suponha que a temperatura seja a mesma em todo o sistema e 
que não varie. 
 
 (Pág. 196) 
Solução. 
Na interface água/ar, no interior do tubo, a pressão do ar (p) é igual à pressão na água à 
profundidade h L/2: 
 )2/(0 Lhgpp (1) 
onde p0 é a pressão atmosférica, é a densidade da água e g é a aceleração local da gravidade. A 
única incógnita em (1), além de h é p. 
O valor de p é facilmente calculado através de: 
 
0
00
T
Vp
T
pV
 
Como foi dito que T = T0: 
 00VppV 
O esquema inicial indica que o volume final é a metade do volume inicial. Logo, 
 00
0
2
Vp
V
p 
Portanto, 
 02pp (2) 
Substituindo-se (2) em (1), e resolvendo em função de h: 
 
2
0 L
g
p
h (3) 
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18 
Substituindo-se os valores numéricos em (3): 
 m 8,22m 7956,22h 
 
14. Dois recipientes de volume 1,22 L e 3,18 L contém o gás criptônio e são ligados por um tubo 
fino. Inicialmente, eles estão à mesma temperatura, 16,0
o
C, e à mesma pressão, 1,44 atm. O 
recipiente maior é, então, aquecido até 108
o
C enquanto o menor permanece a 16,0
o
C. Calcule a 
pressão final. 
 (Pág. 196) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
Durante o processo termodinâmico descrito no enunciado a quantidade de gás no recipiente 
permaneceu constante. Seja n01 e n02 o número de moles de gás na condição inicial e n1 e n2 o 
número de moles de gás na condição final. Pode-se afirmar que: 
 210201 nnnn (1) 
Utilizando-se a equação de estado do gás ideal, resolvida para o número de moles, n: 
 
RT
pV
n (2) 
Pode-se substituir (2) em (1), utilizando-se as variáveis de estado apropriadas, de acordo com o 
esquema inicial. 
 
RT
pV
RT
pV
RT
Vp
RT
Vp 2
0
1
0
20
0
10 
 
T
V
T
V
pVV
T
p 2
0
1
21
0
0 )( (3) 
Resolvendo-se (3) para a pressão final, p: 
 
T
V
T
V
VV
T
p
p
2
0
1
21
0
0 
Substituindo-se pelos valores numéricos apropriados, não se esquecendo de converter todas as 
temperaturas T0 e T para Kelvin: 
 K 74,1K 74443,1p 
 
15. Considere uma amostra de gás argônio a 35,0
o
C e sob pressão de 1,22 atm. Suponha que o raio 
de um átomo (esférico) de argônio seja 0,710 10
10
 m. Calcule a fração do volume do 
 
T0
T0
p0
V1
V2
p0
n01 n02
T0
T
p
V1
V2
p
n1 n2
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19 
recipiente que é realmente ocupada pelos átomos. 
 (Pág. 196) 
Solução. 
A fração pedida (f) corresponde à razão entre o volume dos N átomos presentes (Vat) e o volume da 
amostra de gás (V). 
 
3
33
4
.
443
3
3
at A
A
N r
V r pNNr p
f
nRT NV RT
RT
p N
 
Na equação acima, utilizamos a equação de estado do gás ideal pV = nRT e a relação n = N/NA, em 
que n é o número de moles da amostra e NA é o número de Avogadro. 
 
3
10 5 23 1
5
4 0,710 10 m 1, 2322 10 Pa 6,02 10 mol
4,3407 10
3 8,314 J/K.mol 308,15 K
f 
 
54,34 10f 
 
35. O envoltório e a cesta de um balão de ar quente têm massa total de 249 kg, e o envoltório tem 
capacidade de 2.180 m
3
. Quando inflado completamente, qual deverá ser a temperatura do ar no 
interior do balão para que ele seja capaz de erguer 272 kg (além de sua própria massa)? 
Suponha que o ar circundante, a 18
o
C, tenha densidade igual a 1,22 kg/m
3
. 
 (Pág. 197) 
Solução. 
Na situação de equilíbrio, o peso do balão (P) é igual ao empuxo exercido pelo ar (E): 
 EP 
 Be gVmg (1) 
onde m é a massa total do balão, e éa densidade do ar externo, g é a aceleração local da gravidade 
e VB é o volume do balão. A massa total do balão é a soma da massa do balão (mB), da massa da 
carga (mC) e da massa do ar interno (mi). 
 iCB mmmm (2) 
A massa do ar interno (mi) pode ser calculada considerando-se o ar como um gás ideal: 
 i
A
i
iiii RT
M
m
RTnVp 
 
i
ABe
i
Aii
i
RT
MVp
RT
MVp
m (3) 
Na equação (3), reconheceu-se que a pressão do ar interno é igual à pressão do ar externo e que o 
volume do ar interno é o próprio volume do balão. MA é a massa molar média do ar. A pressão do ar 
externo é calculada da seguinte maneira: 
 e
A
e
eeee RT
M
m
RTnVp 
 e
A
e
e
Ae
e
e RT
M
RT
MV
m
p (4) 
Substituindo-se (2) em (1): 
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20 
 BeiCB gVgmmm )( (5) 
Substituindo-se (3) em (5): 
 
Be
i
ABe
CB V
RT
MVp
mm (6) 
Substituindo-se (4) em (6): 
 Be
i
ABe
A
e
CB V
RT
MVRT
M
mm 
 
CBBe
Bee
Ai
mmV
VT
T 
Substituindo-se pelos valores numéricos fornecidos: 
 C88,9K 89264,361
o
AiT 
 
43. Um gás ocupa um volume de 4,33 L sob pressão de 1,17 atm e à temperatura de 310 K. Ele é 
comprimido adiabaticamente até um volume de 1,06 L. Determine (a) a pressão final e (b) a 
temperatura final, supondo tratar-se de um gás ideal para o qual = 1,40. (c) Qual foi o trabalho 
realizado sobre o gás? 
 (Pág. 198) 
Solução. 
O processo termodinâmico pode ser representado pelo seguinte gráfico pV: 
 
(a) Num processo adiabático, vale a seguinte relação: 
 0 0p V pV 
 
1,4
0 0 0
0
4,33 L
1,17 atm 8,3915 atm
1,06 L
p V V
p p
V V
 
 8,4 atmp 
(b) Num processo adiabático, também vale a seguinte relação: 
 1 10 0T V TV 
 
1,4 111
0 0 0
01
4,33 L
310 K 544,2952 K
1,06 L
T V V
T T
V V
 
 540 KT 
(c) 
p
VV V0
p
T0
T
p0
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a
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21 
 0 0
1
1
W pV p V 
 
5 3 3
1
8,3915 atm 1,06 L 1,17 atm 4,33 L
1,4 1
 1,01 10 Pa/atm 10 m /L 966,79 J
W
 
 970 JW 
 
44. (a) Um litro de gás com = 1,32 encontra-se a 273 K e sob pressão de 1,00 atm. Ele é 
comprimido adiabaticamente até a metade de seu volume inicial. Determine a pressão final e a 
temperatura final. (b) O gás agora é resfriado, a pressão constante, até voltar a 273 K. 
Determine o volume final. (c) Determine o trabalho total realizado sobre o gás. 
 (Pág. 198) 
Solução. 
Considere o seguinte diagrama pV da situação: 
 
(a) Num processo termodinâmico adiabático envolvendo um gás ideal, os produtos pV e TV
-1
 são 
constantes ao longo de todo o caminho. Considerando-se os estados A e B, pode-se dizer que: 
 BBAA VpVp (1) 
 
A
A
AA
B
AA
B p
V
Vp
V
Vp
p 2
2
 
 atm 2,49666atm 00,12 32,1Bp 
 atm 2,50Bp 
Tomando-se (1) e usando a equação de estado do gás ideal (pV = nRT): 
 11 BBAA VTVT (2) 
Substituindo-se VB = VA/2 em (2) e resolvendo-se para TB: 
 AB TT
12 
 K 7942,340K) 273(2 32,0BT 
 K 341BT 
(b) Como o volume e a quantidade de gás permanece constante no caminho BC: 
 BBCC VpVp 
 
C
BB
C
p
Vp
V 
p
p0
VV0V1V2
p1=p2
A
BC
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a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 23 – A Teoria Cinética e o Gás Ideal 
22 
 L 0,20026L) 0,5(
atm) (2,49666
atm) 00,1(
CV 
 L 0,2CV 
(c) O trabalho total é a soma dos trabalhos executados nas etapas AB e BC: 
 )()(
1
1
BCBAABBBCAB VpVpVpWWW 
 )
2
()
2
(
1
A
CBA
BA VVpp
pV
W 
 J 96239,153W 
 kJ 2,0W 
 
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a
 Ed. - LTC - 2003. Cap. 22 – Propriedades Moleculares dos Gases 
23 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 22 - PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES 
 
11. A que freqüência o comprimento de onda do som é da mesma ordem de grandeza da trajetória 
livre média no nitrogênio à pressão de 1,02 atm e temperatura de 18,0
o
C? Considere o diâmetro 
da molécula de nitrogênio como sendo de 315 pm. 
 (Pág. 243) 
Solução. 
A freqüência f da onda de som é dada pela seguinte relação, em que v é a velocidade do som e é o 
comprimento de onda do som: 
 
v
f 
Se corresponde ao caminho livre médio da molécula de N2, que é o componente mais abundante 
no ar, temos: 
 
23
8
22 12 5
1,38 10 J/K 291,15 K
8,8468 10 m
2 2 315 10 m 1,0302 10 Pa
kT
d p
 
Logo: 
 9
8
343 m/s
3,8770 10 Hz
8,8468 10 m
f 
 
93,87 10 Hzf 
 
01. Na temperatura de 0
o
C e pressão de 1000 atm as massas específicas do ar, do oxigênio e 
nitrogênio valem, respectivamente, 1,293 kg/m
3
, 1,429 kg/m
3
 e 1,250 kg/m
3
. Calcule a 
percentagem, em massa, de nitrogênio no ar, a partir desses dados, supondo que apenas esses 
dois gases estejam presentes. 
 (Pág. 245) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema, onde os gases encontram-se à temperatura de 0
o
C e pressão de 1000 
atm e ocupam um volume V: 
 
Para que o nitrogênio e oxigênio formem um volume V de ar, nas mesmas condições de temperatura 
e pressão, uma fração f da massa de nitrogênio e uma fração (1 f) da massa do oxigênio devem ser 
retiradas dos recipientes acima para se misturarem num recipiente vazio, de volume V. 
V m, N2 V m, O2
Nitrogênio Oxigênio
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5
a
 Ed. - LTC - 2003. Cap. 22 – Propriedades Moleculares dos Gases 
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Logo, vale a seguinte identidade: 
 
2 2Ar N O
1m fm f m 
Dividindo-se ambos os membros desta equação por V, teremos: 
 
2 2Ar N O
1f f 
 2
2 2
3 3
Ar O
3 3
N O
1.293 kg/m 1.429 kg/m
0,75977
1.250 kg/m 1.429 kg/m
f 
 0,760 76,0%f 
 
04. Calcule a trajetória livre média de 35 pequenas esferas em uma jarra que é sacudida 
vigorosamente. O volume da jarra é de 1,0 litro e o diâmetro de cada uma das esferas é de 1,0 
cm. 
 (Pág. 245) 
Solução. 
O caminho livre médio é dado pela seguinte expressão, em que V é o volume do recipiente, N é o 
número de partículas e d é o diâmetro das partículas: 
 
3 3
22
1,0 10 cm
6,4308 cm
2 2 35 1,0 cm
V
Nd
 
 6,4 cm 
 
07. Dois recipientes estão à mesma temperatura. O primeiro contém gás à pressão p1, cujas 
moléculas têm massa m1, sendo vrms,1 a sua velocidade média quadrática. O segundo recipiente 
contém moléculas de massa m2, à pressão igual a 2p1, sendo sua velocidade média vmed,2 = 2 
vrms,1. Calcule a razão m1/m2 entre suas moléculas. 
 (Pág. 245) 
Solução. 
Vamos usar as expressões referentes às velocidades média e média quadrática de um gás: 
 med,2 rms,12v v 
 
2 1
8 3
2
RT RT
M M
 
 
2 1
8 12
M M
 
 1 1 1
2 2 2
. 3
4,7123
. 2
A
A
M m N m
M m N m
 
V f m, N2 V f m, (1- ) O2
Nitrogênio Oxigênio
V m, Ar
Ar
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25 
 1
2
4,71
m
m
 
 
17. Conforme sugerido na Fig. 22-11, se as forças intermoleculares forem grandes o suficiente, a 
pressão medida p de um gás que obedece a equação de estado de van der Waals poderia ser 
nula. (a) Para que valor do volume por mol isto deveria ocorrer? (Sugestão: Existem duas 
soluções; encontre-as e interprete-as.) (b) Mostre que existe uma temperatura máxima para a 
pressão nula ocorrer e obtenha essa temperatura máxima em função dos parâmetros a e b da 
equação de van der Waals. (c) Admitindo-se que o oxigênio obedeça a equação de van der 
Waals com a = 0,138 J.mol
3
/mol
2
 e b = 3,18 10
5
 m
3
/mol, obtenha a temperatura máxima para 
a qual p = 0 para o oxigênio e compare esse valor com o ponto de ebulição normal do oxigênio. 
 
 (Pág. 245) 
Solução. 
(a) Vamos começar com a equação de estado de van der Waals para os gases: 
 
2
2
an
p V nb nRT
V
 
Fazendo p = 0, teremos: 
 
2
2
an
V nb nRT
V
 (1) 
 
2
0
RTV
V nb
an
 
Multiplicando-se ambos os membros da equação acima por a/n, teremos: 
 
2
0
V V
RT a ab
n n
 
Esta é uma equação do segundo grau, cuja incógnita é a razão V/n. As raízes são: 
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2 4
2
V a a abRT
n RT
 (2) 
A Fig. 22-11 mostra que a densidade de partículas n/V na região hemiesférica de raio R contribui de 
duas maneiras para alterar a pressão p do gás. Em primeiro lugar, quando maior a densidade de 
partículas localizadas ao redor de uma partícula que colide com a parede do recipiente, maior a 
força de atração que elas exercem sobre essa partícula, atraindo-a no sentido oposto ao da parede. 
Isto faz com que a pressão do gás seja reduzida e essa redução é proporcional a n/V. A segunda é 
que este fenômeno pode ocorrer com todas as outras partículas existentes na região R. Isto faz com 
que a redução de pressão seja proporcional à freqüência das colisões nessa região, que por sua vez 
também é proporcional à densidade das partículas. Esses dois fatores fazem com que a redução da 
pressão do gás seja proporcional a (n/V)
2
. Como a Eq. (2) expressa V/n, o efeito descrito acima é 
representado pela menor raiz de (2) (sinal negativo). A outra raiz (sinal positivo) se refere ao outro 
fenômeno capaz de reduzir a pressão do gás a zero, que é a condensação do gás. 
(b) A expressão abaixo mostra T em função de V, sendo p = 0, e foi derivada da Eq. (1): 
 
2 2
2 2
an an abn
T V nb
RV RV RV
 (3) 
Para demonstrar que há uma temperatura máxima associada a esta situação, vamos resolver dT/dV = 
0 para V: 
 
2
2 3
2 0
dT an abn
dV RV RV
 
 
2
2 3
2an abn
RV RV
 
 2V nb 
Portanto, em V = 2nb, o valor da temperatura é máximo (verifique a concavidade da curva por meio 
do sinal de d
2
T/dV
2
). 
(c) Vamos calcular o valor Tmax, que corresponde a T(V = 2nb), para p = 0, por meio da equação (3): 
 
2
max 2
1 1
2 2 4 2 2 42
an abn a a a a
T
R nb bR bR b R R bRR nb
 
 
3 2
max 5 3
0,138 J.m /mol
130,4914 K
4 3,18 10 m /mol 8,314 J/K.mol
T 
 max 130 KT 
O ponto de ebulição do oxigênio é cerca de 90 K.