Questões TRIGONOMETRIA I

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TRIGONOMETRIA 
 
Exemplos DE QUESTÕES DISCURSIVAS em que muitos alunos tem 
dificuldade : estudem e comentem no Forum de Discussão 
 
 1) Uma rampa de 10m tem inclinação de 30graus em relação ao solo. 
Qual a altura h que alcança? 
 
Solução : desenhe um triângulo retângulo ABC onde: 
 a hipotenusa AB é a rampa; 
 a altura h alcançada é o cateto BC ,oposto ao ângulo  de inclinação 30º 
a distância no solo é o cateto AC , adjacente ao ângulo 30º. 
 
Por definição seno 30º = cateto oposto / hipotenusa e seno 30º = ½ . 
Então: ½ = h / 10 donde 2h = 10 e h= 10/2 = 5 metros 
 
 
 
2) Considere um ângulo A pertencente ao 4º quadrante. 
Se senA= - 4/5, determine os valores das razões trigonométricas cosseno, 
tangente, cotangente, secante e cossecante de A. 
 
Solução : Nesses casos, dado apenas o seno ou o cossseno , deve sempre 
usar a relação fundamental: sen² A + cos² A = 1 
 
16/25 + cos² A =1 
cosA = ± 3/5 ( raiz quadrada pode ser + ou - ) 
Mas como A pertence ao 4º quadrante, cos A é positivo = +3/5 
cos A=+3/5 
tg A= senA / cosA = - 4/3 
cotg A = 1/tgA = -3/4 
sec A= 1/cos A = 5/3 
cossec A = 1/senA = -5/4 
 
 
3 )Uma pessoa está deitada a uma distância x de uma torre de altura h e 
vê o seu topo sob um ângulo de 60 graus. 
Deitada 20m mais distante ve a altura h sob angulo 30º. 
Determinar a altura h do torre. 
 
Solução : Deve sempre fazer um desenho resumindo os dados . Trata-se de 2 
triângulos retângulos. 
 
 
 
 
A pessoa está deitada a uma distância x e vê altura h sob 60graus ; 
tg 60º = h/x então = h/tg 60º = h / raiz 3 ... (1) 
Deitada 20 mais distante = 20 + x , ve a altura h sob angulo 30º. 
Portanto tg 30º = h / (20+x) então 20 + x = h/tg 30º = raiz3.h ...(2) 
Substituindo x da equação (1) na equação (2) fica :20 + (h / raiz3)=(raiz3 ) h. 
Eliminando o denominador raiz3 fica : 
20raiz3 + h = 3 h então 2h = 20 raiz 3 daí h = 20raiz3 / 2 = 10 raiz3 = 
17m . 
 
 
3 A) mesmo caso /desenho anterior . 
Uma pessoa está deitada a uma distância x de uma torre de altura h e 
vê o seu topo sob um ângulo de 60 graus. 
Deitada 15 m mais distante ve a altura h sob angulo 45º. 
Determinar a altura h do torre. 
 
Solução : Deve sempre fazer um desenho resumindo os dados . Trata-se de 
2 triângulos retângulos. 
A pessoa está deitada a uma distância x e vê altura h sob 60graus ; 
(triângulo menor) : tg 60º = h/x então = h/tg 60º = h / raiz 3 ... (1) 
Deitada 15m mais distante = 15 + x , ve a altura h sob angulo 45º. ( triâng 
maior) 
Portanto tg 45º = h / (15+x) e como tg 45º =1 então 15+ x = h ou x = h -
15 ...(2) 
Substituindo x da equação (1) na equação (2) fica : h / raiz3 = h - 15. 
Eliminando o denominador raiz3 = 1,7 . fica : 
 h = 1,7h - 1,7.15 … 1,7 h - h =1,7 .15 … 0,7h = 25,5 ... h = 25,5/ 
0,7= 36,42 m. 
 
4) Determine se os arcos 7π/3 e 19π/3 são côngruos e calcule o cosseno 
de 19π/3 
Solução : 
Como π radianos = 180º , 7π/3 corresponde a 7 x 180/3 = 7 x60 = 420º 
Analisando as voltas desse arco temos que 420º = 1x360º + 60º 
Assim, a sua primeira determinação é 60º. 
 
19π/3 corresponde a 19 x 180 /3 = 19 x60 = 1140º 
1140º = 3x 360º + 60º 
Assim, a sua primeira determinação será 60º 
Então os arcos são côngruos pois eles tem a mesma primeira 
determinação 60º . 
 
Então o cosseno de 19π/3 = cos 7π/3 = cos 60º = 1/2 . 
 
5) Qual a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos 
minutos que tem 10m de comprimento , em um relógio, entre as 12 h e 
12h e 20min. 
Solução : 
Entre 12h e 12:20 , há 20 minutos . 
Em 1 hora o ponteiro percorre 60 min e a circunferência = 360º = 2pi 
radianos. 
Então em 20 minutos o ponteiro percorre um arco de abertura ( ângulo ) : 
 20/60 = 1/3 da circunferência = 360/3 = 120º = 2pi /3 radianos . ( pi 
=3,14...) 
O comprimento ou percurso na linha do arco é : C = radianos x Raio . 
Então o percurso da ponta do ponteiro de raio 10 é : 
 2pi/3 x 10 = (2 x 3,14 /3) x 10 = ( 6,28/3) x10 = 20,93 m 
aproximadamente. 
 
Poderia fazer também como sendo ⅓ da circunferência total do relógio : 
1/3 x 2pi R = 1/3 x 2 x 3,14 x10 = 1/3 x 62,8 = 20,93m 
 
6) Calcule secx . cotgx , sendo x do segundo quadrante e cos x = -V3/ 2 . 
Solução : 
secx . cotgx = 1/cosx . cosx/senx = 1/senx 
cos x = -V3 / 2 ( negativo ) = - cos 30º e x é do 2º quadrante : 
Então x = 180 - 30 = 150º 
sen x = sen150º = sen 30º = 1/2 
Então secx . cotgx = 1/senx = 2 
 
7) Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a 
função y = 200 cos 2x. Qual o valor de x , de 0 a pi rad , que resulta 
no valor mínimo de y ? 
Solução : 
O valor mínimo de y será quando o cos 2x for mínimo . 
O valor de cosseno mínimo é -1 , que ocorre para o arco = 180º ou pi rad. 
Então cos 2x é mínimo se 2x = 180º = pi rad então x = pi/2 rad 
 
8) Calcular a diferença de área entre dois retângulos cujas medidas do 
maior são cos a e cos b e as medidas de menor são sen a e sen b 
Solução : 
Áreas dos retângulos = produto das dimensões = cosa. cosb e sena.senb . 
Então a diferença de área é dada por A = cosa.cosb - sena.senb que é a 
expressão de cos(a+b) . Então a diferença de área = cos(a+b). 
Foi dado que a+b =60º, então essa área é cos 60º =1/2 unidade de área. 
 
9) Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois 
ângulos notáveis e calcule cos15°. 
Solução : 
15º = 45º - 30º . 
Então cos 15º = cos (45º - 30º) 
Sabemos que cos (a - b ) = cosa.cosb + senasenb , 
Então cos 15º = cos 45º.cos30º - sen 45º.sen 30º = 
= V2/2 . V3/2 - V2/2 . 1 /2 = 
= V6/4 - V2/4 = (V6 -V2) /4 
 
10) A quantidade P de um determinado vegetal varia com o tempo t 
expresso em número de meses conforme a função P(t) = 400 - 50 cos [ 
(t+2) π/3 ] 
Sendo t = 1 no final de janeiro ,qual a quantidade disponível no final de 
junho? 
 
Solução: 
No final de junho t= 6 . 
Então substituindo t por 6 resulta : 
cos (t+2)π/3 = cos 8π/3 = cos 8 x 60 = cos 480º 
 
480º = 360º + 120º então cos480º = cos120º = cos(180 - 60) = - cos 60 = - 
1/ 2 
 
Na função fica então: 
P(6) = 400 - 50(-1/2) = 400 + 25 = 425