AULA 3-CALCULO 3-FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS

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Cálculo III
Aula 3: Funções com valores vetoriais
Apresentação
Nesta aula, aprenderemos mais algumas aplicações de funções vetoriais de uma variável real, tais como vetor tangente
unitário e vetor normal principal. Além de apresentarmos o cálculo de curvatura. Tais conteúdos são muito utilizados em
várias disciplinas, por exemplo, na Física.
Objetivos
Identi�car mais algumas aplicações de funções vetoriais de uma variável real, tais como vetor tangente unitário e
vetor normal principal;
Reconhecer o cálculo de curvatura.
1º Vetor Tangente Unitário
Para de�nir o vetor tangente unitário devemos primeiro lembrar quem é o vetor tangente. Vimos, na aula anterior, que o vetor
velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra (de�nição das derivadas),
portanto:
Vetor Tangente será dado pela derivada do vetor posição σ (t).
Aprendemos, em cálculo vetorial, que toda vez que queremos um vetor unitário deveremos dividir o vetor por seu módulo
(cálculo do versor de σ’(t)).
Observação: Quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda
somente de direção, conforme pode ser visto na �gura abaixo.
Exemplo 1: Encontre o vetor T(t) a curva σ(t) = ( cos , sen ), t ≥ 0
Notação:
θ θ
T(t)  =     =  (−sen θ ,   cos θ)(−sen θ,  cos  θ)
(−sen θ  + (cos θ)2 )2 √
T(t) =  ,    σ' (t)    ≠ 0(σ'(t)
∥σ' (t)∥
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 Fórmulas (Fonte: Gerd Altmann por Pixabay ).
2º Vetor Normal Principal
Como vimos anteriormente, quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento
constante, muda somente de direção. A variação desta direção é medida pela derivada. Portanto podemos concluir utilizando a
teoria vista na disciplina de Cálculo e recordada na aula passada, que T(t) é perpendicular a T’(t).
Se �zermos o versor de T’(t), ou seja, calcular o vetor unitário de T’(t), encontraremos o vetor que denominamos como Normal
Principal.
Notação: 
Geometricamente o vetor Normal unitário é perpendicular a σ’(t) apontando para parte interna da curva (parte côncava da
curva), onde a curva muda de direção.
N(t) =   =   ,  σ' (t)    ≠ 0T '(t)
∥T ' (t)∥
σ'(t)
∥σ' (t)∥
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Observe:
Se || σ’ (t) || = c, onde c é uma constante, podemos por meio
da de�nição de comprimento (teoria vista em cálculo
vetorial), || σ’ (t) || = σ’(t) σ’(t) = c2. Se derivarmos tal
expressão teremos (usando a regra do produto): σ’(t) σ’’(t) +
σ’(t) σ’(t)  = 0. Então 2 σ’’(t) σ’(t)  = 0 e portanto σ’’(t) σ’(t)  = 0,
pela teoria aprendida em cálculo vetorial, podemos a�rmar
que σ’’(t) é perpendicular a σ’(t).
Teorema: Considere uma partícula em movimento que possui o vetor posição σ(t). Tomemos a velocidade da partícula como
v(t) = ǁ σ′ (t) ǁ, este diferente de zero, então o vetor aceleração A(t) pode ser dado da seguinte forma:
A (t) = v’ (t) T (t) + v (t) T’ (t)
Para demonstrar tal fato devemos tomar: 
Podemos reescrever como 
Derivando o produto encontraremos , como queríamos demonstrar.
Observação: De forma análoga podemos demonstrar que se T’(t) ≠ 0, temos:
A = componente tangencial da aceleração (T(t))
A = componente norma da aceleração (N(t))
T(t) =   ,  σ' (t)    ≠ 0σ'(t)
∥σ' (t)∥
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σ’ (t)  =  ║σ’ (t) ║ T  (t)  =  v (t) T  (t)
A (t)  =  σ’’ (t)  =  v’ (t) T  (t)  +  v (t) T ’ (t)
T
N
Exemplo
Exemplo 1: Encontre o vetor N(t) a curva σ (t) = ( cos , sen ), t ≥ 0θ θ
T(t)  =     =  (−sen θ ,   cos  θ)(−sen θ,  cos  θ)
(−sen θ  + (cos θ)2 )2 √
N(t)  =   =     =  (−sen θ ,   cos  θ)T '(t)
∥T '(t)∥
(−sen θ,  cos  θ)
(−sen θ  + (cos θ)2 )2 √
 Fórmulas (Fonte: Shutterstock).
3º Curvatura
De�nição: O arqueamento de uma curva é a taxa de variação de sua direção, ou seja, a velocidade com que a tangente muda
de direção por unidade de comprimento.
Observe: A curvatura de uma reta é nula, pois o vetor tangente é constante. Podemos então entender o cálculo da curvatura
como a medida do quando a curva C deixa de ser uma reta.
Portanto podemos desenvolver a de�nição de curvatura, utilizando a regra da cadeia e observar que...
Logo podemos de�nir a curvatura como sendo:
Vamos ver um exemplo clássico encontrado na literatura.
  =   = T ' (t)  =   =   ,  v(t)  ≠dT
ds
dT
dt
dt
ds
1
ds/dt
T '(t)
ds/dt
T '(t)
v(t)
k(t)  =     ∥T '(t)∥
v(t)
Exemplo
Determine a curvatura da circunferência de raio a e centro na origem. A parametrização de tal curva será: σ(ϴ) = ( a cos , a sen 
), 0 ≤ ≤ 2 π
Portanto σ’ ( ) = (- a sen , a cos ), v ( ) = a, T( ) = ( - sen , cos ), T ’ ( ) = ( - cos , - sen ) e ║ T ’ ( ) ║ = 1. Logo k ( )
= 1 / a
Teorema: Se uma partícula em movimento possui vetor velocidade V(t), velocidade v(t), vetor aceleração A(t) e curvatura k(t),
então:
A(t) = v ’ (t) T (t) + v (t) ║ T ’ (t) ║ N (t).
A(t) = v ’ (t) T (t) + k (t) v (t) N (t) e esta fórmula implicará que k (t) = 
θ
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
2 =  
| A(t) x V (t) |
(t) v3
| σ'(t) x σ"(t) | 
| σ'(t)|3
Lembre-se: A(t) x v(t) indica produto vetorial.
Para demonstrar tal fato basta fazer o produto vetorial de A(t) e V(t).
Tomemos A(t) = v'(t) T(t) + k(t) v (t) N(t) e V(t) = v(t) T(t). Portanto A x V = v' v T x T + k v
N x T = kv N x T. (Lembre-se T x T = 0). Como ║ N x T ║ = ║ N ║ ║ T ║ Obtemos então que 
Para curvas planas y = f (x) podemos desenvolver e concluir que 
2 3
3 = 1sen π
2 
 A x V   ∥=  k e κ (t)   = .∥∥ v
3  | A (t) x V (t) |
(t) v3 
| σ'(t) x σ"(t) |
| σ' (t) |3
K =   .
∥
∥
∥
yd2
dx2
∥
∥
∥
[1+( ]dy
dx
)
2  3/2
Raio de curvatura da trajetória em um dado ponto P
Suponha C uma trajetória lisa de�nida por uma função vetorial, não retilínea, com um ponto P da trajetória.
De�nição: Raio da curvatura será de�nido como 
O círculo que passa por P e tem raio ρ(t) e que tem centro na semirreta normal que contém N(t) é chamado de círculo de
curvatura (ou círculo osculador). É o círculo que melhor descreve o comportamento da curva C perto de P, este tem a mesma
tangente, a mesma normal e a mesma curvatura da curva C no ponto P. Esta de�nição nos mostra que pequenos círculos têm
uma grande curvatura, enquanto grandes círculos têm uma pequena curvatura.
p(t) = ,  k(t)  ≠ 01
k(t) 
Comentário
Vetor binormal, B(t) = T(t) x N(t), é perpendicular a T e N e também é unitário. O plano determinado pelo vetor normal e pelo vetor
binormal num ponto P sobre a curva C é chamado de plano normal e o plano determinado por T(t) e N(t) é chamado de plano
osculador de C em P, este é o plano que mais se aproxima de conter a parte da curva próxima a P. Para uma curva plana, o plano
osculador é o plano que contém a curva.
Veremos a seguir um exemplo clássico encontrado em todas as literaturas:
Exemplo
A curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem de�nida por σ(t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado
de [0, 2π], é constante e igual 1/a.
Demonstração:
σ(t) (a cos t, a sen t) e σ'(t) = ( - a sen t, a cos t), portanto v(t) = 
Então v (t) = a T(t) = 
Então:
Nota: O conteúdo estudado nesta aula e na anterior faz parte da demonstração das Leis de Kepler. Tais leis tratam do
movimento planetário, estudado por Johannes Kepler e você pode pesquisar mais para conhecê-las.
σ'(t)  ∥    ∥
∥
∥ (−a sen t +  (a  cos  t)2  )2 
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
= =   = (−sen t,   cos  t) e T ' (t)  = (  −   cos  t,   −  sen t).  σ'(t)
σ'(t)∥
(−a sen t, a  cos t t)
(−a sent t  , + (a  cos  t ,)2 )2√
(−a sen t, a  cos  t)
a
T ' (t)  ∥ = 1.  Logo k (t)  = 1/a∥
∥
∥ (− cos  t  ,   +  (− sen t)2 )2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Notas
vetor de�nido pela seta 1
Esse vetor também é chamado de deslocamento vetorial da partícula.Referências
AYRES JR, Frank. Teoria e Problemas de Cálculo.4ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Curso de Cálculo.5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 4.v.
GONÇALVES, Marcelo dos Anjos e Silva; FLEMING, Diva Maria.Cálculo C: funções vetoriais, integrais curvilíneas, integrais de
superfície.3ª ed. São Paulo:Makron, 2004.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nílson José.Fundamentos de Matemática Elementar, 8; limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2001.
LEITHOLD, Louis.Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2v.
PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira.Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de
Janeiro: UFRJ, 2005.
SAFIER, Fred.Teoria e Problemas de Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.
STEWART, James.Cálculo. 5ª ed. São Paulo: Pioneira, 2001-2006.
Próxima aula
Determinar a forma de algumas superfícies, a partir de suas equações.
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