AULA 1 -SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Baggio
AULA 1
Sistema Cartesiano Ortogonal
Existe uma correspondência biunívoca entre os 
pontos de um plano e o conjunto dos pares 
ordenados de números reais, isto é, a cada ponto 
corresponde um único par ordenado (x,y) e a cada 
par ordenado (x,y) está associado um único ponto 
do plano.
Para estabelecer uma dessas correspondências 
biunívocas são usados dois eixos ortogonais (x e y) 
que formam o sistema cartesiano ortogonal.
A intersecção dos eixos x e y é o ponto 0, chamado 
de origem do sistema.
Sistema Cartesiano Ortogonal
Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e 
dividem o plano em 4 regiões chamadas quadrantes.
y
xO
1º quadrante
(+,+)
2º quadrante
(-,+)
3º quadrante
(-,-)
4º quadrante
(+,-)
Sistema Cartesiano Ortogonal
Exemplo:
Localizar no S.C.O., os pontos de coordenadas:
O(0,0) A(3,2) B(-1,4) C(-2,-3) D(2,-1)
x
y
O
A(3,2)
C(-2,-3)
D(2,-1)
B(-1,4)
-3
-2
-1
4
3
2
2
-1
Sistema Cartesiano Ortogonal
Exemplos
1 – Dado as coordenadas dos pontos A,B,C,D e E, determine os 
pontos no plano cartesiano ortogonal.
x
y
O
A
D
C
-6
-4
-1
5
3
2
5
B
2
E-4
3
a) A(2,5)
d) D(-1,-6)
e) E(3,-4)
c) C(-4,3)
b) B(5,2)
Sistema Cartesiano Ortogonal
2 – Marque num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais os pontos:
a) A (1,-2)
b) D (0,3)
c) Q (3,-2)
d) B (-3,3)
e) P (-1,-5)
f) N (0,-4)
g) C (4,4)
h) M (-4,0)
i) R (3,0)
Sistema Cartesiano Ortogonal
3 – No retângulo da figura, AB = 2a e BC= a. Dê as 
coordenadas dos vértices do retângulo
D
y
A B
C
2a
a
A(0,0)
B(2a,0)
C(2a,a)
D(0,a)
x
Sistema Cartesiano Ortogonal
4 – O raio da circunferência da figura mede 2 
unidades. Quais são as coordenadas dos pontos A, 
B, C e D?
Resp. A(2,0); B(0,2); C(-2,0); D(0,-2)
x
y
2
0
A
D
C
B
Sistema Cartesiano Ortogonal
5 – Sabendo-se que P(a,b), com ab ˃ 0, em que 
quadrante se encontra o ponto P?
Resp.Quadrantes impares
6 - Localize os pontos A (-4,-2); B (-2,6); C (1,4); 
D (-2,-5); E (-3,-3); F (4,0); G (0,-6); H (2,5); I (0,3) no 
plano cartesiano.
Espaço R1
Quando um ponto qualquer do eixo x fica 
determinado por apenas um número real. Com isso 
dizemos que o eixo x forma um espaço de dimensão 
1, pois necessitamos de apenas um valor para 
determinação do ponto.
R=ሼ𝑥/𝑥 ∈ ሽ𝑅
0 P 
𝑥
Espaço R2
O R2 é representado pelo conjunto de todos os 
pares ordenados de números reais.
𝐑𝟐={ (x,y)/x ∈ 𝐑 ^ y ∈ 𝐑 }
x = abscissa do par;
y = ordenada do par;
x e y = coordenadas do par.
Espaços Vetoriais
Exemplo:
Dados os pontos A(1,3); B(-2,4); C(-3,-3); D(-4,-1);
E(2,0); F(0,2); O(0,0). Determine os pontos no plano 
cartesiano e informe qual o quadrante em que se localizam.
xO
A
C
y
-4
4
-1
1
-3
B
-2
D
-3
3
F
E
A-1ºQ; B-2ºQ;C e D-3ºQ; 
E-eixo x; F-eixo y; O-
origem
Espaço R3
O R3 é representado pelo conjunto de todos os 
termos ordenados de números reais.
𝐑𝟑={(x,y,z)/x ∈ 𝐑 ^ y ∈ 𝐑 ^ z ∈ 𝐑 }
x = abscissa do termo;
y = ordenada do termo;
z = cota do termo;
x, y e z = coordenadas do termo.
Espaço R3
Exemplo:
Dado P = (2, 4, 3), determine as coordenadas dos pontos A, 
B, C, O
B
x
z
y
C
A
O
P
3
2
4
A(2,4,0)
B(0,4,3)
C(2,0,3)
O(0,0,0)
Vetores são segmentos orientados que estão 
sempre no mesmo plano cartesiano.
Os vetores são usados para representar grandezas 
escalares (representação de massa, pressão, etc.) e 
grandezas físicas vetoriais (velocidade, força, 
deslocamento, etc.)
Dois pontos não coincidentes de uma reta 
determinam um segmento desta rea. 
VETORES
SEGMENTOS ORIENTADOS
BA
r AB ⟹ 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒕𝒂
Quando orientamos esse segmento, passamos a ter um SEGMENTO 
ORIENTADO DE RETA (AB),cuja origem é A e a extremidade é B.
BA
r
A distância de A até B é o módulo ou norma do segmento orientado 
𝐀𝐁 ou 𝐀𝐁 .
A direção de (AB) é a direção da reta suporte r ou de qualquer outra 
que lhe seja paralela.
O sentido de (AB) é de A para B.
Segmentos orientados equipolentes ou equivalentes
SEGMENTO ORIENTADO
A C
B D
A B C D
Dois segmentos orientados (AB) e (CD) são equipolentes 
quando têm:
➢ Direções paralela;
➢ Mesmo sentido;
➢ Mesmo módulo.
VETOR LIVRE
A
B
C
D
F
E
G
H
՜
𝑣
Essa família de número infinito de segmentos equipolentes, 
chama-se vetor.
Por isso dizemos que (AB) é o vetor 𝑣 aplicado em A, (CD) é o 
vetor 𝑣 aplicado em C, e assim por diante.
Então 𝑣 = AB = CD = EF = GH = ...
Vetor Livre: É um ente matemático que possui módulo, 
direção e sentido.
Por exemplo: velocidade, força, aceleração, etc.
Vetor localizado ou aplicado em um ponto é também o 
nome que se dá a um segmento orientado. Um vetor 
localizado é assim obtido pela associação de um vetor livre 
com um ponto.
USAREMOS APENAS A PALAVRA VETOR QUANDO 
QUISERMOS NOS REFERIR A UM VETOR LIVRE.
Escalar é uma grandeza matemática que não possui nem 
direção, nem sentido, somente módulo. Exemplo: 
temperatura , tempo , massa, etc...
Operações nos Espaços Vetoriais
Soma algébrica
Em R1,
𝑥1 + (𝑥2) = (𝑥1 + 𝑥2)
𝑥1 − (𝑥2) = (𝑥1 − 𝑥2)
Exemplos:
(3)+(5) = (8)
(-7)-(4) = (-11)
Operações nos Espaços Vetoriais
Em R2,
𝑥1, 𝑦1 + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
𝑥1, 𝑦1 − (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2)
Exemplos:
(1,4) + (2,-5) = (3,-1)
(0,3) – (-6,4) = (6,-1)
Operações nos Espaços Vetoriais
Em R3,
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 − 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2)
Exemplos:
(9,-1,4) + (-2,0,5) = (7,-1,9)
(-8,3,0) – (-2,4,-6) = (-6,-1,6)
Operações nos Espaços Vetoriais
Multiplicação por número real.
Sendo a, b, c, reais, então é verdade:
a(x) = (ax)
b(x,y) = (bx,by)
c(x,y,z) = (cx,cy,cz)
Exemplos:
a) 4(-2) = (-8)
b) 2(3,0) = (6,0)
c) -3(-1,2,5) = (3,-6,-15)
d) 
1
5
(0, 15, −5) = (0, 3, -1)
e) 
(2,−4)
2
= (1, −2)
Representação do vetor
CÁLCULO DOS COMPONENTES DE UM VETOR
Podemos calcular os componentes de um vetor a 
partir das coordenadas das extremidades de 
qualquer dos segmentos orientados equipolentes 
que compõem a sua família. Assim, “ vetor é 
extremidade menos origem”.
VETORES
𝒗 = 𝐀𝐁 = B – A 
Em 𝑅1
VETORES
BA x𝒗
(5)(2)
𝒙𝑩𝒙𝑨
𝑣 = AB = B – A = 
5 − 2 = (3) ∴ 𝒗 = 3
𝒗 = (𝒙𝑩 – 𝒙𝑨)
Em 𝑅2
10
4
2
5
A
B
𝒗
y
x
𝑣 = AB = B – A = 
5,4 − 1,2 = (4,2) ∴ 𝒗 = (4,2)
𝒗 = (𝒙𝑩 – 𝒙𝑨 , 𝒚𝑩 – 𝒚𝑨)
VETORES
Em 𝑅3
3
0
4
3
A
B
𝒗
y
x
z
3,3,4 − 0,3,0 = (3,0,4) ∴ 𝒗 = (3,0,4)
𝒗 = (𝒙𝑩 – 𝒙𝑨 , 𝒚𝑩 – 𝒚𝑨 , 𝒛𝑩 – 𝒛𝑨)
REPRESENTAÇÃO DO VETOR NO PLANO
1. 𝑣 = (−3,1)
1
0
2
-2
3
y
x
1-3
(3, −2)
(0, −1)
(1,2)
(−3,1) (4,1)
𝒗 = (–3,𝟏) − (0, 0) = (-3,1)
Exemplos: 
𝒗 = (𝟏, 𝟐) − (4,1) = (-3,1)
𝒗 = (𝟎,-𝟏) − (3, -2) = (-3,1)
4
VETORES
0
A
y
x
(𝒙𝑩 – 𝒙𝑨)
B
𝒗
(𝒚𝑩 – 𝒚𝑨)
(𝒙𝑩 – 𝒙𝑨)
𝒙𝑩𝒙𝑨
𝒚𝑨
𝒚𝑩
(𝒚𝑩 – 𝒚𝑨)
(𝒙𝑩 – 𝒙𝑨 , 𝒚𝑩 – 𝒚𝑨)
Portanto, o vetor aplicado na origem, suas coordenadas 
são as mesmas da sua extremidade.
REPRESENTAÇÃO DO VETOR NO PLANO
2. 𝑣 = (2,3)
Exemplos: 
(0,0)
y
x
(2 – 0 )
𝒗(3 – 0)
𝟐
𝟑
(2,3 )
REPRESENTAÇÃO DO VETOR NO PLANO
3. 𝑣 = (4,0,6)Exemplos: 
4
6
5
(0,5,0)
y
x
z
(4,5,6)(4,2,6)(4,0,6)
(0,0,0)
(0,2,0)
Aplicando o conceito:
VETOR=EXTREMIDADE- ORIGEM, 
temos: 
𝒗 = (4,0,6) − (0,0,0) = (4,0,6)
𝒗 = (4,2,6) − (0,2,0) = (4,0,6)
𝒗 = (4,5,6) − (0,5,0) = (4,0,6)
Igualdade e Simetria
Igualdade:
x1) e (x2 são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2
(a)=(b) ⇔ a = b
(x1, y1) e (x2, y2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 =
𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2
(a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d
x1, y1, z1 e x2, y2, z2 são iguais se, e somente se, 
𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2, 𝑧1= 𝑧2
(a,b,c) = (d,e,f) ⇔ a = d, b = e, c = f
Igualdade e Simetria
Exemplos:
(2) = (a) ⇔ a = 2
(a,1) = (-3,b) ⇔ a = -3 e b = 1
(a,b,c) = (1,0,2) ⇔ a = 1, b = 0, c = 2
Igualdade e Simetria
Simetria:
Simetria equivale dizer mesma distância e posiçõesopostas.
Simetria em relação ao ponto P.
O simétrico de A em relação a P é A′, pois A e A′
são opostos em relação a P. Observa-se que A, P e A′
estão sobre uma mesma reta, e a distância de A a P 
é igual à distância de P a A′.
A
P A′
r
Igualdade e Simetria
Exemplos:
1 - O Simétrico ou oposto de (2) é (-2), em relação a 
origem.
2 – O simétrico ou oposto de (-5,2) é (5,-2), em relação 
a origem.
-2 0 2
5
-2
-5
(-5,2)
0
2
y
x
(5,-2)
Igualdade e Simetria
3 – O simétrico de (0,-2,3) é (0,2,-3) em relação à 
origem.
2
-3
-2
z
0
3
x (0,2,-3)
(0,-2,3)
y
Igualdade e Simetria
Simetria em Relação à Reta:
O simétrico de A em relação a r é A′, pois A e A′ são 
opostos em relação a r. Observe que A e A′ pertencem a 
uma reta perpendicular a r e que a distância de A a r é 
igual a distância de A′ a r. 
A
A′
r
Igualdade e Simetria
Exemplo:
O simétrico de (2,1) em relação ao eixo x é (2,-1) e 
ao eixo y é (-2,1).
2
-1
1
0
y
(2,-1)
x-2
(-2,1) (2,1)
Igualdade e Simetria
Simetria em Relação a Plano:
A A
′P
s r
𝛼
O simétrico de A em relação ao plano 𝛼 é A′. Observe que a reta que 
passa por A e A′é perpendicular às retas r e s do plano 𝛼, portanto, é 
perpendicular a 𝛼. A distância de A a P (interseção de r e s ) é igual à 
distância de P a A′. Então, A e A′ são opostos em relação ao plano 𝛼.