BEZERRA (2018) A TIPIFICACAO DO RACIOCINIO MATEMATICO EM PEDAGOGOS_ideias para uma nova visao sobre a formacao de professores

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A TIPIFICAÇÃO DO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO EM PEDAGOGOS: 
IDEIAS PARA UMA NOVA VISÃO SOBRE A FORMAÇÃO DE 
PROFESSORES 
 
Autor (Antonio Marcelo Araújo Bezerra) 
 
Universidade Federal do Ceará, marcelo@multimeios.ufc.br 
 
Resumo: No que compete às ações inseridas na formação de professores, a atuação do pedagogo diante das 
práticas sobre o ensinar matemática envolve a necessária compreensão de como os seus futuros alunos 
manifestarão suas estratégias diante de variados problemas matemáticos e de como pode utiliza destes 
conhecimentos na melhoria da sua atuação didática. Mesmo sendo um conhecimento imprescindível ao 
planejamento e a prática do professor, ainda há situações e estratégias utilizadas na sala de aula que não 
consideram a contento a manifestação e o tipo dos raciocínios matemático dos alunos. Este trabalho busca 
compreender como a tipificação do raciocínio matemático realizado por Johannot (1947) pode subsidiar o 
pedagogo em sua formação diante da reflexão sobre como se manifesta tais raciocínios. Em particular, se 
busca refletir sobre como o pedagogo poderá desenvolver uma variedade maior de estratégias com fins de 
levar o aluno a construção de raciocínios algébricos mais gerais e diante do conhecimento sobre a 
manifestação os raciocínios matemáticos como podem contribuir com a formação do pedagogo. Como 
resultados, o uso do conhecimento sobre os raciocínios matemáticos na formação do pedagogo além de 
expor suas dificuldades e percepções diante de problemas relacionados à forma como foram ensinados, passa 
a oferecer melhores instrumentos de mediação para o ensino, ou seja, o professor de matemática já tendo 
trabalhado e compreendido estas particularidades muito mais preparado estará quando submeter-se a ensinar 
uma turma da Educação Básica em que os raciocínios matemáticos serão abordados implicitamente em 
várias situações matemáticas. 
Palavras-chave: Raciocínio Matemático; Pedagogos; Formação de Professores 
 
Introdução 
Este artigo trata especificamente da relação entre os tipos de raciocínios matemáticos já 
classificados por Johannot (1947) e as possíveis mudanças que estes conhecimentos podem trazer a 
percepção sobre a formação de professores. Tal ação busca destacar as particularidades sobre o 
raciocínio matemático diante da categorização feita por Johannot (1947) em que se manifestam por 
quatro tipos, a saber, os raciocínios concreto, gráfico, aritmético e algébrico. 
De forma resumida, o entendimento sobre estes raciocínios se dão na seguinte forma; 
em se tratando do raciocínio concreto, este utiliza ou necessita de elementos manipuláveis para 
operar, já o gráfico há uma forte representação em suas manifestações feita por desenhos e ou 
gráficos, o aritmético já permite utilizar de números e operações e o algébrico por conseguir 
associar números a diferentes outras formas de símbolos. Ou seja, o concreto seria o mais elementar 
dos raciocínios, o gráfico se destaca por ter um forte apelo a questão visual, o aritmético já permite 
generalizações por meio de um sistema abstrato-numérico e o algébrico permite o uso de 
simbolismos (BARRETO, 2001). 
Nas ações voltadas a formação de professores, a visão que o pedagogo assume diante 
das práticas do professor que ensina matemática envolve a necessária compreensão, na menor das 
instâncias, da forma como os seus alunos manifestam suas estratégias diante de problemas 
matemáticos e como utiliza destes conhecimentos na melhoria da sua atuação. Mesmo sendo um 
conhecimento imprescindível ao planejamento do professor, ainda há situações e estratégias 
utilizadas na sala de aula que não consideram a contento o tipo e a manifestação destes tipos de 
raciocínios. 
Diante do conhecimento destes raciocínios e suas tipificações, seria possível que o 
professor desenvolvesse uma variedade maior de estratégias levando assim a formação de 
raciocínios algébricos mais gerais? Bem como, ao compreender como os raciocínios matemáticos se 
manifestam na resolução de problemas matemáticos, como esse conhecimento pode contribuir com 
a sua formação como pedagogos? 
De fato a formação do professor que ensina matemática envolve a compreensão de 
várias competências que vão além das especificidades da formação e a transposição didática, mas 
também os conhecimentos em educação e o domínio tecnológico (BORGES e OLIVEIRA, 2002). 
Desta forma, para a formação do pedagogo os cursos de formação precisam ser melhorados 
principalmente no que compete a composição do currículo Curi (2005), pois muitas das ideias 
conceituais sobre o saber permanecem equivocadas pelos pedagogos (SANTOS, 2015). 
Ou seja, o pedagogo precisa estar constantemente modificando e criando uma nova 
concepção epistemológica quanto à sua prática não descuidando do olhar sobre a percepção que os 
alunos possuem ao responderem determinado problema por meio de raciocínios que se bem 
observados possuem uma rede comum de particularidades. 
 Desta forma, mesmo que a ação do professor seja alicerçada nestas competências e 
saberes, o entendimento sobre a manifestação dos raciocínios matemáticos poderiam ser mais bem 
aproveitados quando o professor passasse a buscar entendê-los. Com isto, tanto haveria uma 
contribuição para um melhor ensino, bem como uma formação do professor com maior qualidade. 
 
Resultado e Discussão 
Numa definição mais generalista, a compreensão do raciocínio matemático, 
inicialmente colocado por Russel (1999), expõe que nós o usamos para pensar sobre as 
propriedades de um determinado objeto matemático, desenvolvendo generalizações que se aplique a 
toda classe de objetos. Enquanto que Johannot, de forma mais superficial, define-o por “o raciocínio 
que intervêm durante a resolução de problemas matemáticos que faz chamada a um simbolismo 
aritmético e algébrico” (JOHANNOT, 1947, p. 25, tradução nossa). 
Johannot ao realizar uma pesquisa sobre o raciocínio matemático em adolescentes toma 
como referência o estágio operatório formal de Piaget na intenção de classificar o nível de 
desenvolvimento do raciocínio matemático em quatro tipos: o concreto, o gráfico, o aritmético e o 
algébrico, de forma mais detalhada o autor os classifica sendo as: 
 
[...] classes de respostas corretas em quatro estágios fundamentais correspondentes aos 
quatro estágios do raciocínio matemático. Estes estágios variando assim; 
Etapa I: Respostas corretas a um nível concreto único, até os 13 anos. 
Etapa II: Respostas corretas a um plano de representação gráfica, de 12 a 14 anos. 
Etapa III: Respostas corretas a um plano intuitivo ou formal aritmético, de 13 a 17 anos. 
Etapa IV: Respostas corretas a um plano algébrico de 17 anos apenas. (JOHANNOT, 1947, 
p. 51). 
 
O raciocínio concreto é o primeiro e mais elementar dos raciocínios classificados por 
Johannot (1947). Sua operacionalidade básica repousa no uso de elementos concretos, ou seja, ”o 
raciocínio concreto só pode ser efetuado em suas quantidades concretas, isto é, perceptíveis e 
manipuláveis” (JOHANNOT, 1947, p. 32). 
No raciocínio gráfico “o desenho constitui o ponto de vista psicológico e intermediário 
entre o corpo material e a palavra, é um dos primeiros signos da realidade” (JOHANNOT, 1947, p. 
34). Para o autor, o desenho é um dos elementos de transição entre o concreto e o simbólico, ou 
seja, como no concreto o sujeito apenas compreende o significado dos valores iniciais e finais, no 
raciocínio gráfico este intensifica a abstração levando o sujeito a um patamar mais próximo da 
representação por símbolos. 
No terceiro tipo de raciocínio abordado por Johannot (1947), quando o sujeito passa a 
usar um modelo numérico abstrato em substituição à necessidade de manipular ou ver as 
quantidades que ele opera toma forma um pensamento mais elaborado que os anteriores (concreto e 
o gráfico), surgindo, então, o do tipo aritmético. Para Johannot (1947) esse tipo de raciocínio pode 
ser dividido em dois tipos: o primeiro, em quea solução do problema é apresentada por um 
exemplo numérico e o outro, uma generalização a partir do raciocínio lógico, mas sem recorrer ao 
dispositivo algébrico. 
Quanto ao raciocínio algébrico o aluno se desassociará totalmente da realidade, pois 
será mais contundente o uso de elementos abstratos “no momento onde os sujeitos percebem que 
uma expressão algébrica é apenas a tradução em uma linguagem simbólica de operações do dia a 
dia” (JOHANNOT, 1947, p. 51). Não diferente dos raciocínios anteriores, há vantagens e 
desvantagens na execução do raciocínio algébrico, pois os aspectos positivos residem no fato de se 
seguirem as transformações consecutivas dos dados na ordem lógica, permitindo com que se 
alcance a resposta correta. Já nas desvantagens, uma parte dos cálculos operados mentalmente 
“necessita de uma grande concentração e muitas vezes impedem de discernir as semelhanças entre 
problemas do mesmo tipo”, bem como “as obrigações de ter em conta as transformações 
intermediárias” (JOHANNOT, 1947, p.50). 
Podemos então tomar como exemplo um pedagogo que pretenda ensinar um 
determinado conteúdo matemático e se depara com um ou um grupo de alunos expondo em suas 
estratégias um dos tipos de raciocínios já detalhados, é perfeitamente possível que de imediato suas 
reflexões girem em torno de quais estratégias poderiam ser desenvolvidas na certeza que novas 
situações atendessem a estas formas de raciocínio levando à mudança para raciocínios mais 
elaborados (BEZERRA, 2017). Embora sendo uma ação inerente a sua prática, ou seja, o ato de 
refletir sobre o que de melhor pode planejar e executar, isto perfeitamente aperfeiçoará sua prática 
de formação, pois não se trata de apenas mais segurança no processo de mediação com os alunos, 
mas um grande passo e sua melhoria como profissional. 
No processo de compreensão destes estágios, as aquisições anteriores ocupam a posição 
de um patamar necessário para as aquisições subsequentes que ocorrem na forma de equilibrações 
sucessivas entre os mecanismos adaptativos do indivíduo expressados pela assimilação e 
acomodação (JOHANNOT apud BORGES, 1999). Esta definição sustenta o argumento que o 
sujeito reelabora suas ideias tendo como referências conceitos anteriormente já elaborados, ideias 
estas que futuramente passarão por um novo processo de melhoria. 
Como resultado da categorização destes raciocínios é possível que o pedagogo de posse 
desse conhecimento passe a compreender as múltiplas formas sobre como planejar e mediar suas 
ações frente aos alunos. Essa posição toma maior importância quando se trata de pedagogos, pois já 
tomam como condição importante o conhecimento sobre esses raciocínios em seu processo de 
formação. 
Convém destacar que o sujeito, quando não consegue dominar ou compreender um 
estágio complexo para si, suas estruturas de raciocínio atuais buscam nas estruturas anteriormente já 
assimiladas um ponto de equilibração e uma resposta (JOHANNOT, 1947). Somente com novas e 
mais adequadas desequilibrações ele poderá construir e acomodar novos conhecimentos. Ou seja, a 
capacidade de raciocínio matemático não se desenvolve por memorização de conceitos e 
procedimentos apenas, mas na imersão que se dá diante de variados problemas em que o pedagogo 
reconstrói conceitos já compreendidos. 
Desta forma a elaboração de estratégias por parte dos pedagogos remete ao professor 
formador a tarefa de constantemente estar submetendo-os a problemas imersos em várias situações 
tendo em vista a construção de novos conhecimentos matemáticos Bezerra (2017), pois a maneira 
como o pedagogo irá tratar com seus alunos envolve saber se “os alunos serão capazes de recorrer a 
várias representações, para que as conversões entre elas se tornem mais simples, desenvolvendo 
uma maior compreensão dos objetos e conceitos matemáticos, e uma maior riqueza de 
significações” (PONTE, MATA-PEREIRA e HENRIQUES, 2012, p. 375). 
É exatamente num espaço de melhores significações ao aluno que o professor necessita 
compreender antecipadamente como o raciocínio matemático pode se manifestar, para que assim 
sua capacidade na elaboração e aplicação de situações mais significativas seja exitosa, pois na 
condição de professores é preciso que: 
 
[...] conheçam os processos de raciocínio dos seus alunos e reflitam sobre eles. Se esta 
análise revelar lacunas, mesmo de aqueles que mostram bom desempenho, será necessário 
modificá-las para que os alunos sejam mais críticos e desenvolvam a Matemática com 
compreensão. Tudo isto requer, certamente, um trabalho específico no âmbito do 
desenvolvimento curricular e das práticas profissionais na sala de aula (PONTE, MATA-
PEREIRA e HENRIQUES, 2012, p. 375). 
 
Aliado ao entendimento sobre os diferentes raciocínios matemáticos, a compreensão do 
professor “diante da necessidade de reorganizar suas ações, o faz por meios de apropriações 
coletivas” Moretti (2007, p. 177), isto revela que o professor modifica suas percepções e ideias 
diante do desafio de melhor ‘transpor’ didaticamente os conteúdos matemáticos. Este importante 
elemento adquire maior relevância quando aliado a uma metodologia que agregue; o conhecimento 
sobre como os alunos expõem suas ideias, a mediação correta do professor e um bom planejamento, 
ambas sempre direcionadas a aprendizagens mais significativas dos alunos (BEZERRA, 2017). 
Desta forma, isto remete a outros trabalhos que enfatizem o fazer didático do professor 
agregando constantemente ao estudo sobre os raciocínios matemáticos outros elementos que 
também necessitam de destaque, no caso, o planejamento, a mediação e diferentes instrumentos de 
avaliação. 
 
Conclusões 
Ao saber das características que envolvem o raciocínio matemático, qualquer iniciativa 
didática a ser tomada pelo professor, caso não tenha um bom instrumento didático-metodológico, 
não atuará a contento em seu planejamento e, possivelmente, aprendizagens não ocorrerão. 
Contudo, a compreensão sobre estes conhecimentos por parte do professor já remetem a uma nova 
visão quanto à forma de abordar um determinado conteúdo matemático. 
O uso do conhecimento sobre os raciocínios matemáticos na formação do pedagogo 
para o ensino de matemática além de expor suas dificuldades e percepções diante de problemas 
matemáticos relacionados à forma como foram ensinados, passa a oferecer melhores instrumentos 
de mediação para o ensino a posteriore, ou seja, o professor de matemática já tendo trabalhado estas 
particularidades muito mais preparado estará quando submeter-se a ensinar uma turma da Educação 
Básica em que sem dúvida os raciocínios matemáticos serão abordados implicitamente em várias 
situações matemáticas. 
Desta forma é perfeitamente possível que um trabalho pioneiro seja desenvolvido 
quanto ao entendimento destes raciocínios matemáticos à luz das práticas usuais do fazer 
pedagógico, seja no planejamento, no uso de metodologias de ensino ou nos processos de avaliação. 
Contudo, saber unicamente como se apresenta esses raciocínios não necessariamente 
garanta bons resultados ao professor, pois concomitante a esta ação “a reflexão sobre o trabalho e o 
exercício da avaliação são elementos centrais para o aperfeiçoamento e a inovação” (NOVOA, 
2009, p. 30). Isto revela que há ainda muito a ser discutido e aprimorado no campo das práticas do 
ser professor, mas um primeiro e significante passo é dado pelo pedagogo ao está ciente sobre as 
diferentes formas que o raciocínio matemático pode assumir diante de um problema matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
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