Apostila 1-6

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Hidráulica Março/2013 
 
 
 
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FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA 
 
1. INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 
 
1.1 Conceituação 
 
 “Streeter” define os fluidos como "uma substância que se deforma 
continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando quão 
pequena possa ser esta "tensão". 
 Uma força de cisalhamento é a componente tangencial da força que age sobre a 
superfície; dividida pela área da superfície dá origem à tensão média de cisalhamento. 
Pode-se dizer assim que a tensão de cisalhamento em um ponto é o valor limite da 
razão entre a força de cisalhamento e a área, quando esta tende a um ponto. 
Seja uma substância contida entre duas placas planas e paralelas, como mostra 
a Figura 1. 
 
Figura 1 – Deformação de um fluído contido entre duas placas. 
 
Considere-se que as placas são suficientemente grandes para que as 
perturbações das bordas não influam na experiência. Se a placa inferior é fixa e uma 
força F é aplicada tangencialmente na placa superior, de área A, surge uma tensão de 
cisalhamento na substância. 
Tensão de cisalhamento  
A
F

 
Se a placa sob a ação da força movimentar-se com velocidade vi constante e o 
fluido escoar com cada partícula movimentando-se paralelamente à placa e com 
vi 
vo 
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2 
velocidade, v, variando na vertical de vo a vi, tem-se então o caso de a substância 
entre as placas ser um fluido. 
Experimentalmente verificou-se também que para escoamento em regime 
laminar, caso da experiência, a força F é proporcional à área A, à velocidade v e 
inversamente à distância vertical, Y. 
 
Y
v A
 F i
 
 Logo, a equação pode ser escrita assim: 
dy
dv
 
Y
v
 i 
 
 
O termo  é o fator de proporcionalidade, denominado coeficiente de 
viscosidade dinâmica (ou absoluta) dos fluidos. É uma característica dos fluidos. Um 
fluido por hipótese sem viscosidade e sem compressibilidade é denominado fluido 
"perfeito" ou “ideal". 
 
1.2. Algumas propriedades dos fluidos 
 
a) Viscosidade 
 
Newton disse que a viscosidade é a propriedade que tem os fluidos de resistirem 
ao cisalhamento. Em outras palavras seria dizer que a viscosidade é a propriedade que 
possibilita às camadas fluidas resistirem ao escoamento recíproco. 
 
 
Y
v A
 F 
 
Pela expressão de Newton verifica-se que o atrito é tanto maior quanto mais 
viscoso o fluido. Verifica-se também que a resistência cresce com a velocidade de 
deslizamento, o que diferencia o atrito dos líquidos daquele que ocorre nos sólidos, 
onde a velocidade não tem influência e sim a pressão. 
Da expressão anterior verifica-se ainda que o coeficiente de viscosidade 
dinâmica tem dimensão FTL-2. A unidade no sistema Técnico é kgf s m-2. No sistema 
CGS a unidade é o Poise (dina s cm-2). 
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Em conseqüência inclusive da viscosidade, o escoamento dos fluidos dentro das 
canalizações somente se verifica com certa “perda” de energia, o que pode ser 
verificado na Figura 2. 
 
Figura 2 - Ilustração da perda de carga em uma tubulação. 
 
A viscosidade pode ser expressa também através de outro coeficiente, o 
coeficiente de viscosidade cinemática (), que por definição é a relação entre o 
coeficiente de viscosidade dinâmica e a massa específica. Sua dimensão é L2T-1 e a 
unidade no SI é m2 s-1; no CGS é o Stoke (cm2 s-1). A Tabela 1 apresenta os valores 
de viscosidade cinemática da água, em função da temperatura. 
 
Tabela 1 – Valores de viscosidade cinemática da água 
Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6 m2 s-1) 
0 1,79 
5 1,52 
10 1,31 
15 1,14 
20 1,01 
25 0,90 
30 0,80 
40 0,66 
50 0,56 
60 0,48 
70 0,42 
80 0,37 
90 0,33 
100 0,30 
 
 
b) Coesão 
E a propriedade que permite às moléculas fluidas resistirem a pequenos 
esforços de tensão. A formação da gota d'água é devida à coesão. É um fenômeno 
eletroquímico. 
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4 
c) Adesão 
Quando à atração exercida sobre moléculas líquidas pelas moléculas de um 
sólido é maior que a atração eletroquímica existente entre as moléculas do líquido 
(coesão) ocorre a adesão do líquido às paredes do sólido. A água tem maior adesão 
que coesão por isto o menisco em um tubo de pequeno diâmetro (1,0 cm, por exemplo) 
é perfeitamente visível como ascendente do centro para a periferia; o contrário ocorre 
com o mercúrio cuja adesão e menor que a coesão. 
Outras propriedades dos fluidos são tensão superficial, capilaridade e 
elasticidade. 
Algumas relações são muito importantes no estudo dos fluidos por caracterizá-
los. As principais são: 
 
a) Massa específica (): é a massa da unidade de volume de um líquido. A 
unidade no Sistema Técnico é UTM m-3 ou kgf s2 m-4 A massa específica da 
água a 4°C e 102 kgf s2 m-4. 
 
b) Peso específico (): é o peso da unidade de volume de um líquido. A 
unidade e kgf m-3 no Técnico. No SIU é N m-3. O peso específico da água a 
4°C é 1000 kgf m-3. Se F = m a   =  g. 
 
c) Densidade (d): é a relação entre a unidade de peso ou de massa de um fluido 
e a unidade de peso ou massa da água a 4 oC. 
 
 
2. HIDROSTÁTICA 
 
É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças 
que podem ser aplicadas em corpos neles submersos. 
 
2.1 Pressão 
 
É a força que atua em uma superfície por unidade de área. Quando a força atua 
uniformemente distribuída sobre a área: 
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5 
 
A
F
p 
 
em que: 
p = pressão, Pa (N m-2), kgf m-2, kgf cm-2; 
F = força aplicada, normal à superfície, N, kgf; e 
A = área sobre a qual a força está atuando, m2, cm2. 
 
 
2.2 Lei de Pascal 
 
 Seja um líquido homogêneo e em equilíbrio, no interior do qual isola-se um 
prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitário (Figura 3). Se o prisma estiver 
em equilíbrio, a somatória das forças atuantes na direção “X” será nula. (Fx = 0). 
ds
dy
sen ; )1 ds( sen ps)1 dy( px 
 
pspx ;
ds
dy
 ps
ds
dy
px ;
ds
dy
 ds psdypx 
 
 
Figura 3 – Forças atuantes em um prisma. 
 
 Na direção “Y” deve ocorrer o mesmo: Fy = 0, havendo o equilíbrio. Logo: 
 V P ; 
V
P
 ; dw )1ds( cos ps )1 dx( py 
 
2
1dy dx
 ds cos psdx py 
 
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Sendo o prisma elementar, suas dimensões são infinitesimais e portanto, a força 
resultante de seu peso é desprezível. Portanto: 
pspypxpspy ;
ds
dx
 ps
ds
dx
py ;
ds
dx
 ds psdxpy 
 
 
Então, px = py = ps. Este é o princípio de Pascal, que se anuncia: “Em qualquer ponto 
no interior de uma massa líquida em repouso e homogênea, a pressão é a mesma em 
todos as direções”. 
 A prensa hidráulica é uma importante aplicação desta lei. Na Figuraabaixo, 
considere que o diâmetro do êmbulo maior seja de 4 vezes o diâmetro do êmbulo 
menor. Se for aplicada uma força F1 = 50 N, a pressão do fluido transmitirá, ao êmbulo 
maior, uma força F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2  F1 A2 = F2 A1 ) 
 
Figura 4 – Aplicação da Lei de Pascal. 
 
 
2.3 Lei de Stevin 
 
Na Figura 5, “A” é a área das faces, “P” é o peso da massa líquida e “h” é a 
diferença de nível entre os pontos considerados. Como 
V P 
e 
h AV 
 então 
h A P 
. 
Se o sistema estiver em equilíbrio, Fy = 0, e, portanto: 
 
0A ph A A p
0A pPA p
21
21

 
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7 
h
pp
 ou h pp
h A A pA p
12
12
12






 
 
 
Figura 5 – Demonstração da Lei de Stevin. 
 
 “A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio 
é igual à diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do 
líquido”. 
 
Exercício: Calcular a força P que deve ser aplicada no êmbolo menor da prensa 
hidráulica da figura, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no êmbolo maior. Os 
cilindros estão cheios, de um óleo com densidade 0,75 e as seções dos êmbolos são, 
respectivamente, 40 e 4000 cm2. Resposta: 42,8 kgf. 
 
 
 
 
 
 
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3. MANOMETRIA 
 
As pressões são grandezas físicas muito importantes no trabalho com fluidos, 
haja vista a equação fundamental da Estática dos fluidos, que é expressa em termos 
de pressões e esforços. 
No século XVII Torricelli executou sua conhecida e célebre experiência ao nível 
do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercúrio em uma cuba, o líquido 
fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milímetros de 
altura. 
A conclusão lógica era de que o ar atmosférico tinha peso, por conseguinte 
exercia pressão. Esta pressão, medida ao nível do mar, correspondia a uma coluna de 
mercúrio de 762 mm de altura. Este valor de pressão foi chamado de "uma atmosfera 
Física". Como o peso específico do mercúrio é 13.600 kgf m-3, vem: 
 
13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2 
 
Como a densidade do mercúrio é 13,6, a mesma pressão atmosférica. 
equilibraria uma coluna de água de: 13,6 . 0,762 = 10,36 m. 
Na prática da hidráulica se utiliza a atmosfera "técnica" que vale 735 mm Hg. 
 
735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf.m-2 = 1,0 kgf.cm-2 = 1,034 atm. 
 
Exercício: A Figura 6 reproduz a experiência de Torricelli em uma certa localidade, 
quando foi utilizado o mercúrio como líquido manométrico. Se, ao invés de mercúrio, 
tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna 
de óleo? Resposta: 11,20 m.c.o. (metros de coluna de óleo) 
 
A pressão atmosférica é medida por barômetros ou por barógrafos, que são 
barômetros registradores. A pressão atmosférica varia com a altitude; para cada 100 
metros de elevação de altitude ocorre um decréscimo na pressão atmosférica de 0,012 
atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a pressão é: 
 
patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm 
 
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Figura 6 – Exemplo da experiência de Torricelli. 
 
 
3.1 Tipos de pressão 
 
A um fluido com pressão atmosférica pode-se “acrescentar” ou "retirar” pressão. 
Tais pressões são denominadas “efetivas" ou manométricas, por que são medidas por 
manômetros e podem ser positivas ou negativas. 
Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão 
atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será 
injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será 
mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do 
valor zero. 
Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão 
manométrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada 
com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial 
(zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão 
atmosférica, a qual não é acusada por manômetros. 
Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o 
ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se 
"vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma 
pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2. 
Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a 
atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que 
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denomina-se pressão absoluta. No exemplo considerado, sendo por hipótese a 
pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão: 
 
a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente) 
 
pabs = patm + pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm 
 
b) para pressão efetiva de 1,2 atm 
 
 pabs = patm + pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm 
 
c) para pressão efetiva de -0,2 atm 
 
pabs = patm + pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm 
 
Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a 
pressão atmosférica local. Logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente. 
Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro 
é o manômetro que mede pressões efetivas negativas. 
 
 
3.2 Classificação dos medidores de pressão 
 
3.2.1. Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
 
São aqueles que medem as pressões em função das alturas da coluna dos 
líquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam: 
piezômetro simples (ou tubo piezométrico ou manômetro aberto); manômetro de tubo 
em U (e também manômetro de duplo U) e manômetro diferencial. 
 
a) Piezômetro simples, Tubo Piezométrico ou Manômetro Aberto 
 
É o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido 
no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão. O líquido circulante no 
conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do efeito da 
capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida. 
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A pressão no ponto A será: 
h pA 
 (Lei de Stevin), em que pA é a pressão em 
A (N m-2 ou kgf m-2);  é o peso específico do líquido (N m-3 ou kgf m-3) e h é a altura de 
coluna líquida acima do ponto A (m). 
O diâmetro do tubo piezométrico deve ser maior que 1 cm, quando o efeito da 
capilaridade é desprezível. O tubo piezométrico pode ser inserido em qualquer posição 
em torno de uma tubulação que o líquido atingirá a mesma altura h, acima de A (Figura 
7). 
 pA =  h 
Figura 7 – Esquema de um tubo piezométrico. 
 
b) Manômetro de tubo em U 
 
É usado quando a pressão a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno. 
Para tanto é necessário o uso de líquidos manométricos que permitam reduzir ou 
ampliar as alturas da coluna líquida(Figura 8). 
Esta redução ou ampliação da coluna é obtida utilizando-se um outro líquido que 
tenha maior ou menor peso específico, em relação ao líquido escoante. Este outro 
líquido é denominado líquido manométrico, e deve apresentar algumas características, 
como: 
- não ser miscível com o líquido escoante; 
- formar meniscos bem definidos; 
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- ter densidade bem determinada. 
 
 
Figura 8 – Esquema de um tubo em U. 
 
 
Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são: água, 
cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para 
grandes pressões, o líquido mais usado é o mercúrio. 
Nos manômetros de tubo em U, a pressão já não é dada diretamente pela altura 
da coluna líquida, mas através de equações que caracterizam o equipamento. 
Para se conhecer a pressão em A, deve-se proceder da forma seguinte: 
1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas líquidas e 
cancele as colunas equivalentes; 
2) Começando em uma das extremidades escreva o valor da pressão nesse 
ponto; sendo incógnita use um símbolo; 
3) Escreva em continuação o valor da pressão representada por uma a uma 
das colunas líquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso 
específico do fluido; cada parcela será precedida do sinal (+) se a coluna 
tender a escoar para adiante sob a ação da gravidade e (-) em caso 
contrário; 
4) Atingindo-se o último menisco a expressão será igualada à pressão nesse 
ponto, seja ela conhecida ou incógnita. 
h 
h 
y 
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Baseando-se nestes preceitos, pela Figura 8 chega-se a dois pontos: 1 e 2, 
onde: pA + 1 y - 2 h = patm = 0. 
O índice 2 se refere às características do líquido manométrico. 
 
Exercícios: 
- Com base no tensiômetro de mercúrio da Figura 9, mostre que o potencial 
matricial no ponto A é . 
 
Figura 9 – Desenho esquemático de um tensiômetro de mercúrio. 
 
- A Figura 10 representa um manômetro duplo U instalado em uma tubulação. 
Calcule a pressão no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa. Considere: 
 
- líquido escoando na tubulação: água; 
- líquido manométrico: mercúrio; 
- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm. 
 
Resposta: 4.204 kgf m-2; 0,4204 kgf cm-2; 42.040 Pa 
12A hhh6,12 
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Figura 10 – Manômetro de duplo U. 
 
 
c) Manômetro Diferencial 
 
É o aparelho usado para medir a diferença de pressão entre dois pontos. 
B231A py h )hyx(p 
 
123BA )hyx(y h pp 
 
 
em que pA – pB é a diferença de pressão entre A e B. 
 
 
Figura 11 – Esquema de um manômetro diferencial. 
 
Exercício: Considere o manômetro conectado a uma tubulação, como mostra a Figura 
12. Sabendo que a densidade do óleo é 0,83, calcule a diferença de pressão entre os 
pontos 1 e 2. Resposta: 90,10 kgf m-2. 
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Figura 12 – Exemplo de um manômetro diferencial. 
 
 
3.2.2. Manômetro metálico ou de Bourdon 
 
São os manômetros metálicos os mais utilizados na prática, pois permitem 
leitura direta da pressão em um mostrador (Figura 13). As pressões são determinadas 
pela deformação de uma haste metálica oca, provocada pela pressão do líquido na 
mesma. 
 
 
Figura 13 – Vista de um manômetro (esquerda) e de um vacuômetro (direita). 
 
A deformação movimenta um ponteiro que se desloca em uma escala. É 
constituído de um tubo metálico transversal (seção reta) elíptica que tende a se 
deformar quando a pressão P aumenta. Com isso a seção reta tende a ser circular que 
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por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico e movimenta o 
ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a pressão correspondente à 
deformação. São usados para medir pressões muito grandes. 
 
 
3.3 Relações entre as unidades de pressão 
 
Considerando a “Atmosfera técnica”: 
 
 1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 102 kPa = 
104 kgf m-2 = 1,0 bar = 1000 mbar 
 
 
4. HIDRODINÂMICA 
 
4.1 Fundamentos do escoamento dos fluidos 
 
As leis teóricas da Hidrodinâmica são formuladas admitindo-se que os fluidos 
sejam ideais, isto é, que não possuam viscosidade, coesão, elasticidade, etc. de modo 
que não haja tensão de cisalhamento em qualquer ponto da massa fluida. Durante a 
movimentação, as partículas fluidas deslocam-se de um ponto a outro continuamente, 
sem que a massa do fluido sofra desintegração, permanecendo sempre contínua, sem 
vazios ou solução de continuidade. 
 
4.2 Linhas de Fluxo 
 
As linhas de fluxo são linhas imaginárias tomadas através do fluido para indicar a 
direção da velocidade em diversas seções do escoamento. Gozam da propriedade de 
não serem atravessadas por partículas de fluido. 
Em cada ponto de uma linha de fluxo existe, em cada instante t, uma partícula 
animada de uma velocidade “v”. As linhas de fluxo são, portanto, as curvas que, no 
mesmo instante t considerado, se mantém tangentes em todos os pontos às 
velocidades “v1”. 
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Em geral as linhas de fluxo são instantâneas porque as sucessivas partículas que 
passam pelo mesmo ponto no espaço têm velocidades diferentes nesse ponto. 
Também, partículas que passam por A no decorrer do tempo, podem ir para B, para C 
etc., mesmo com velocidade “v1”; ainda mais, uma partícula que esteja em A no 
instante t, com velocidade “v1” poderá, no instante t+dt, estar com velocidade “v2” em 
outro ponto. Nestes casos vistos, a trajetória de cada partícula difere da linha de fluxo. 
Se todas as partículas que passam por “A” tem, nesse ponto, velocidade “v1”, o 
regime de escoamento é dito “permanente” e se ao longo da trajetória, a velocidade se 
mantém constante, o movimento é dito uniforme e a trajetória coincide com a linha de 
fluxo (Figura 14). 
 
Figura 14 – Linhas de fluxo. 
 
Admitindo-se que o campo da velocidade “v” seja contínuo, pode-se considerar 
como tubo de fluxo (Figura 15), o tubo imaginário limitado por linhas de fluxo e que 
constitui-se em uma seção de área infinitesimal, na qual a velocidade de escoamento 
no ponto médio é representativa da velocidade média na seção. 
 
 
Figura 15 – Tubo de fluxo. 
 
- Vazão 
 
 Cortando-se o tubo de fluxo da Figura anterior, por um plano normal às linhas de 
fluxo, essa seção é atravessada no instante t, por um volume de fluido dado por: 
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 A QdA v
 
 
sendo Q a vazão, isto é, o volume escoado com velocidade “v” na seção de área “A” e 
na unidade de tempo. A superfície do tubo de corrente pode estar em contato com uma 
parede sólida, como no caso doscondutos forçados ou sob pressão, ou pode estar em 
contato com outro fluido, como nos canais, onde o líquido tem uma superfície em 
contato com a atmosfera. 
 
 
4.3 Classificação dos Movimentos 
 
 Nas massas fluidas em movimento é possível distinguir os seguintes tipos de 
escoamento: 
 
a) Escoamento não-permanente: os elementos que definem o escoamento variam em 
uma mesma seção com o passar do tempo. No instante t1 tem-se a vazão Q1 e no 
instante t2 tem-se a vazão Q2, sendo uma diferente da outra. Nas ondas de cheia, 
por exemplo, tem-se este tipo de escoamento. 
 
b) Escoamento permanente: é aquele em que os elementos que o definem (força, 
velocidade, pressão) em uma mesma seção permanecem inalterados com o passar 
do tempo. Todas as partículas que passam por um determinado ponto no interior da 
massa líquida terão, neste ponto, a qualquer tempo, velocidade constante. 
 
 O movimento permanente pode ser ainda: 
- Uniforme: quando a velocidade média do fluxo ao longo de sua trajetória é constante. 
Neste caso, v1 = v2 e A1 = A2; 
- Variado: a velocidade varia ao longo do escoamento. Pode ser acelerado ou 
retardado. 
 
4.4 Conservação da Massa  Equação da continuidade 
 
 A equação da continuidade é a equação da conservação da massa expressa 
para fluidos incompressíveis (massa específica constante). 
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 Em um tubo de corrente de dimensões finitas, a quantidade de fluido com massa 
específica 1 que passa pela seção A1, com velocidade média v1, na unidade de tempo 
é: 
 
111
1 A v 
t
m

 
 Por analogia, na seção 2 tem-se: 
222
2 A v 
t
m

 
Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo é invariável, 
logo: 
 
MtetanconsA v A v 222111 
 
 
 Esta é a equação da conservação da massa. Tratando-se de líquidos, que são 
praticamente incompressíveis, 1 é igual a 2. Então: 
 
 
A vQ ou A vA vA v nn2211 
 
 
 A equação da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de 
líquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o 
mesmo. 
 
4.5 Equação de Bernoulli 
 
 Aplicando-se a equação de Euler (equações gerais do movimento) aos líquidos 
em movimento permanente, sob a ação da força gravitacional, e em dois pontos de 
uma tubulação, por exemplo, tem-se: 
 
 
constante z 
2g
v
 
γ
p
 z 
2g
v
 
γ
p
1
2
11
2
2
22 
 
 
 Este é o teorema de Bernoulli, que se anuncia: “Ao longo de qualquer linha de 
corrente é constante a somatória das energias cinética (
g2
v2 ), piezométrica (

p ) e 
potencial (z)”. É importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em 
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20 
unidade linear, constituindo o que denomina-se “carga” ou altura ou energia por 
unidade de peso. 
 Em 1875, Froude apresentou importantes experiências sobre o teorema de 
Bernoulli. Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável, 
conectada a um reservatório de nível constante. De acordo com a Figura 16, 
instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à alturas 
diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, também é 
maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. Como as seções são 
conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância da carga total (soma das 
alturas). 
 
Figura 16 - Ilustração do Teorema de Bernoulli. 
 
Exercício: Um líquido incompressível de massa específica igual a 800 kg m-3 escoa 
pelo duto representado na Figura 17 com vazão de 10 L s-1. Admitindo o escoamento 
como ideal e em regime permanente, calcule a diferença de pressão entre as seções 1 
e 2. (1 N = 1 kg m s-2). 
Resposta: 3.058,10 kgf m-2 ou 30.000 N m-2 = 30.000 Pa = 30 kPa. 
 
 
Figura 17 – Exemplo da aplicação da equação de Bernoulli. 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
21 
5. ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES 
 
5.1 Generalidades 
 
 O escoamento em condutos livres é caracterizado por apresentar uma superfície 
livre na qual reina a pressão atmosférica. Estes escoamentos têm um grande número 
de aplicações práticas na engenharia, estando presentes em áreas como o 
saneamento, a drenagem urbana, irrigação, hidroeletricidade, navegação e 
conservação do meio ambiente. 
 
Figura 41 – Canal principal do perímetro irrigado do Gorutuba. 
 
 Os problemas apresentados pelos escoamentos livres são mais complexos de 
serem resolvidos, uma vez que a superfície livre pode variar no espaço e no tempo e, 
como conseqüência, a profundidade do escoamento, a vazão, a declividade do fundo e 
a do espelho líquido são grandezas interdependentes. Desta forma, dados 
experimentais sobre os condutos livres são, usualmente, de difícil apropriação. 
 De modo geral, a seção transversal dos condutos livres pode assumir qualquer 
forma e a rugosidade das paredes internas tem grande variabilidade, podendo ser lisas 
ou irregulares, como a dos canais naturais. Além disto, a rugosidade das paredes pode 
variar com a profundidade do escoamento e, conseqüentemente, a seleção do 
coeficiente de atrito é cercada de maiores incertezas em relação à dos condutos 
forçados. 
 
 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
22 
5.2 Escoamento Uniforme em Canais 
 
 Em condições normais, tem-se nos canais um movimento uniforme, ou seja, a 
velocidade média da água é constante ao longo do canal. 
 Existem várias equações para o cálculo da velocidade média da água (v) em um 
canal, tais como: 
 Chezy (1769); 
 Ganguillert-Kutter (1869); 
 Bazin (1897); 
 Manning (1890); 
 Gauckler-Strickler (1923). 
 
 Porém as mais utilizadas são as de Chezy e de Manning. A equação de Chezy 
pode ser expressa da seguinte forma: 
 
D R Cv h
 
sendo 
 Rh = raio hidráulico (A/P); 
 D = declividade do canal, m m-1. 
 C= coeficiente de Chezy; 
 
 O coeficiente C depende dos parâmetros de resistência ao escoamento e da 
seção transversal e pode ser expresso da seguinte forma: 
 
 
f
g8
C 
 
em que f é o fator de atrito da equação de perda de carga e g é a aceleração local da 
gravidade. 
 A equação de Manning é baseada na equação anterior, mas com uma mudança 
no coeficiente C, que pode ser escrito como: 
 
 
n
R
C
6/1
h
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
23 
em que n é uma característica da rugosidade da superfície (tabelado). Substituindo o 
valor de C na equação de Chezy tem-se: 
 
 
2/13/2
h D R 
n
1
v 
 
 
Alguns valores de n para a fórmula de Manning: 
 
Natureza da Parede 
Estado da parede 
Perf. Bom Reg. Mau 
Cimento liso 0,010 0,011 0,012 0,013 
Argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013 0,015 
Aqueduto de madeira aparelhada 0,010 0,012 0,012 0,014 
Aqueduto de madeira não aparelhada 0,011 0,013 0,014 0,015 
Canais revestidos de concreto 0,012 0,014 0,016 0,018 
Paredes metálicas, lisas e semi-circulares 0,011 0,012 0,028 0,030 
Paredes de terra, canaisretos e uniformes 0,017 0,020 0,023 0,030 
Paredes rugosas de pedras irregulares 0,035 0,040 0,045 -- 
Canais de terra com grandes meandros 0,023 0,025 0,028 0,030 
Canais de terra dragados 0,025 0,028 0,030 0,033 
Canais com leito de pedras rugosas e com vegetação 0,025 0,030 0,035 0,040 
Canais com fundo de terra e com pedras nas margens 0.028 0.030 0.033 0.035 
 
 
5.3 Conceitos Importantes 
 
 a) Área Molhada (A) 
 Parte da seção transversal do canal que é ocupada pelo líquido. 
 
 b) Perímetro Molhado (P) 
 Comprimento relativo ao contato do líquido com as paredes do canal. 
 
 c) Largura Superficial (B) 
 Largura da superfície do líquido em contato com a atmosfera. 
 
 d) Profundidade (y) 
 Altura do líquido acima do fundo do canal. 
 
 e) Profundidade Hidráulica (yh) 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
24 
 Razão entre a área molhada e a largura superficial. 
 yh = A/B 
 
 f) Raio Hidráulico (Rh) 
 Razão entre a área molhada e o perímetro molhado. 
 Rh = A/P 
 
5.4 Forma dos Canais 
 
 As formas geométricas mais usuais em canais são retangulares, trapezoidal e 
triangular. Os parâmetros área, raio hidráulico são facilmente calculados, conforme 
fórmulas a seguir: 
a) Seção trapezoidal 
 
Figura 42 – Canal trapezoidal. 
 
)ymb(yA 
 
1my2bP 2 
 
P
A
Rh 
 
ym2bB 
 
m = tg = cotg  = inclinação das paredes do canal 
 
b) seção triangular 
2myA 
 
1my2P 2 
 
1m2
my
R
2
h


 
ym2B 
 
 
c) seção retangular 
ByA 
 
y2bP 
 
y2b
by
Rh


 
bB 
 
 
 
6.5 Dimensionamento do Canal 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
25 
 
 Aplicando a equação de continuidade na equação de Chezy-Manning, tem-se: 
 
2/13/2 
1
SRA
n
Q h
 
 
em que Q é a vazão, produto da área transversal da seção de escoamento pela 
velocidade média da água. 
 Normalmente n e S são parâmetros definidos e conhecidos. Quando se conhece 
as dimensões do canal, o cálculo da vazão é explícito. Porém, quando se deseja 
conhecer ou dimensionar a base e altura de um canal, tendo-se a vazão de projeto, a 
solução fica não explícita e deve ser obtida por métodos numéricos, ábacos, tabelas ou 
tentativas. 
 
 
5.5.1 Método das Tentativas 
Consiste em assumir valores para os parâmetros que definem a área e o raio 
hidráulico de um canal e, em seguida, aplicar a equação de Manning e a equação da 
continuidade, para calcular qual será a vazão com os valores assumidos. A relação 
entre os valores assumidos para os parâmetros geométricos do canal pode variar ou 
permanecer constante. Comparar a vazão calculada com a vazão conhecida; caso não 
sejam idênticas, repetir os cálculos até encontrar o valor para a vazão. Recomenda-se 
utilizar o seguinte tipo de quadro: 
 
b y A P Rh Rh2/3 
n
S 
v* Q’** Q’=Q ? 
 
 
*
2/13/2 
1
SR
n
v h
 **Q = v A 
 
5.6 Taludes e velocidades recomendadas 
 A velocidade em uma seção transversal de um canal é calculada pela equação 
de Chezy-Manning, porém seu valor pode ser restringido por limitações da qualidade 
da água e da resistência dos taludes. Velocidades muito grandes podem provocar 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
26 
erosão no leito e no fundo do canal, destruindo-o. Velocidades muito baixas podem 
possibilitar a sedimentação de partículas em suspensão, obstruindo o canal. 
 As Tabelas a seguir apresentam limites de velocidade e de inclinação dos 
taludes em função da natureza da parede. 
 
Velocidades média e máxima em um canal, em função da natureza da parede. 
Natureza da parede do canal 
Velocidade (m.s-1) 
Média máxima 
Areia muito fina 0,23 0,30 
Areia solta – média 0,30 0,46 
Areia grossa 0,46 0,61 
Terreno arenoso comum 0,61 0,76 
Terreno silto-argiloso 0,76 0,84 
Terreno de aluvião 0,84 0,91 
Terreno argiloso compacto 0,91 1,14 
Terreno argiloso duro 1,22 1,52 
Cascalho grosso, pedregulho 1,52 1,83 
Rochas sedimentares moles 1,83 2,44 
Alvenaria 2,44 3,05 
Rochas compactas 3,05 4,00 
Concreto 4,00 6,00 
 
 
Velocidades mínimas em um canal a fim de evitar sedimentação. 
 
Tipo de suspensão na água Velocidade (m.s-1) 
Água com suspensão fina 0,30 
Água transportando areia 0,45 
Águas residuárias - esgotos 0,60 
 
 
Inclinação dos taludes dos canais. 
 
Natureza da parede do canal m 
Canais em terra sem revestimento 2,5 a 5 
Canais em saibro 2,0 
Cascalho roliço 1,75 
Terra compacta sem revestimento 1,50 
Terra muito compacta – rocha 1,25 
Rocha estratificada 0,50 
Rocha compacta 0,0 
 
 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
27 
5.7 Informações adicionais 
 
 Para situações em que a vazão é muito variável ao longo do tempo, o canal 
pode ser dimensionado contemplando as diferentes condições de escoamento. 
Normalmente em áreas urbanas, os canais são dimensionados para tal situação, ou 
seja, na época seca do ano, a contribuição da rede pluvial é pequena ou nula, 
reduzindo sensivelmente a vazão escoada. Dessa forma, o canal teria duas seções de 
escoamento, atendendo as distintas situações de fluxo. A Figura 43 ilustra essa 
situação. 
 
 
Figura 43 – Canal com dupla seção de escoamento. 
 
 
5.8 Escoamento Variado em Canais 
 
 Os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na natureza. Até 
mesmo no caso de condutos artificiais prismático, longos e de pequena declividade, as 
condições apenas se aproximam do movimento uniforme. 
 Essas condições de semelhança apenas acontecem a partir de uma certa 
distância da seção inicial e deixam de existir a uma certa distância da seção final (nas 
extremidades a profundidade e a velocidade são variáveis). 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
28 
 Nos canais com escoamento uniforme o regime poderá se alterar, passando a 
variado em conseqüência de mudanças de declividade, variação de seção e presença 
de obstáculos. 
 
 5.8.1 Energia Específica 
 Em qualquer seção transversal de um conduto livre, a carga pode ser obtida a 
partir da seguinte expressão: 
g
V
yZHT


2
2 
 
 Observação: 
 No escoamento livre, a carga de pressão pode ser substituída pela profundidade 
do escoamento, com as pressões sendo consideradas como hidrostáticas. 
 

P
y 
 
 
 Em condutos livres a sua declividade é denominado como gradiente hidráulico. 
Uma representação das linhas de carga e piezométrica num conduto livre é 
apresentada a seguir. 
 
 
Figura 44 – Representação das linhas de carga e piezométrica num conduto livre. 
 
 Conforme os condutos forçados, a soma das diferentes parcelas de carga 
permite a construção da linha de carga total ou linha de energia. A perda de carga 
entra as duas seções (1) e (2) quaisquer é dada por H1-H2. 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
29 
 
 Define-se energia específica como sendo a carga medida a partir do fundo do 
canal, sendo definida por: 
 
g
V
yH E

2
2 
 
 Se considerarmos a equação da continuidade, teremos: 
 
2
2
2 Ag
Q
yH E


 
 
 Como a área é função da profundidade, a energia específica torna-se função da 
profundidade “y”, para um determinado valor de vazão, assim teremos: 
 
212
2
)(2
EEE
yfg
Q
yH EE 


 
 
Se representarmos graficamente a variação das diferentes parcelas que 
constituem a energia específica, teremos: 
 
Figura 45 – Curva de energia específica. 
 
 Sendo: 
 ys = profundidade subcrítica, fluvial, superior e tranquilo; 
 yc = profundidade crítica; 
 yI = profundidade supercrítica, rápida, inferior e torrencial; 
 Ec = Energia crítica. 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
30 
 Observação: 
 A energia específica não é uma função monótona crescente com “y”. Existe um 
valor mínimo de energia (denominado energia crítica, Ec) que possui uma 
correspondente profundidade, chamada de profundidade crítica. 
 
5.8.2 Profundidade Crítica, Declividade Crítica, Velocidade Crítica e Vazão 
Crítica 
É a profundidade de água em um canal que corresponde ao valor mínimo de 
carga específica. Para um canal de seção qualquer, temos: 
 
32
B
A
g
Q

 
 
 Essa equação é obtida derivando-se a equação de energia específica em função 
de “y”. 
 
 Como consequência do conceito de profundidade crítica, três outras definições 
podem ser estabelecidas, são elas: declividade crítica, velocidade crítica e vazão 
crítica. 
 Declividade crítica é aquela que conduz fluido a profundidade crítica. 
Declividades superiores à crítica aumentarão a velocidade de escoamento da água, 
provocando, para uma vazão constante, diminuição da profundidade do escoamento. 
Desta forma, declividades maiores que a crítica são denominadas supercríticas. 
Profundidades inferiores à crítica serão denominadas supercríticas. 
 
 5.8.3 Número de Froude 
O número de Froude (Fr) é tão importante para o escoamento livre, assim como 
o número de Reynolds é para os condutos forçados. Ele é um adimensional importante 
em Hidráulica, permitindo o estabelecimento de diferentes interpretações das 
condições de escoamento correspondente ao limite entre os regimes fluvial e torrencial. 
Desta forma, sempre que ocorrer mudança no regime de escoamento, a 
profundidade deve passar pelo seu valor crítico. Esta passagem, no entanto, pode 
ocorrer de forma gradual ou brusca, de acordo com o regime do escoamento de 
montante e com a singularidade que provocou a variação. 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
31 
O número de Froude pode ser obtido por meio da seguinte equação: 
 
h
yg
v
Fr


 
 
Sendo: 
Fr = número de Froude; 
V = velocidade (m/s); 
g = gravidade (m/s²); 
yh = profundidade hidráulica (m). 
 
 
Os valores do número de Froude de acordo com os tipos de escoamento são: 
 
 Fr = 1 => Escoamento crítico; 
 Fr < 1 => Escoamento subcrítico; 
 Fr > 1 => Escoamento supercrítico. 
 
Diversas situações práticas permitem observar a mudança do regime de 
escoamento. São exemplos da passagem do regime subcrítico para o supercrítico: 
 
• Passagem de uma declividade subcrítica para uma declividade supercrítica; 
• Queda livre, a partir de uma declividade crítica a montante; 
• Escoamento junto à crista de vertedores; 
• Estreitamento da seção. 
 
A mudança do regime supercrítico para o subcrítico é observada, por exemplo, 
em mudanças de declividade e em saídas de comportas. O escoamento em regime 
crítico (ou em suas imediações) é instável. Assim a menor mudança de energia 
específica provocará sensível mudança da profundidade de água no canal. 
 Onde se verifica a mudança de regime (supercrítico para subcrítico e vice-
versa), chamamos de seção de controle. Estas seções são importantes porque 
através delas é possível se determinar a vazão por meio apenas da profundidade 
crítica. 
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32 
 5.8.4. Transições 
 São estruturas hidráulicas que conduzem o líquido de uma seção para outra, de 
modo a causar o mínimo de perda de carga e não modificar as condições de 
escoamento à montante. 
 Muitas vezes o canal precisará passar por modificações, como por exemplo, a 
passagem sob uma estrada ou a suspensão em algum trecho. Existe ainda a 
possibilidade de sofrer uma redução ou alargamento de sua seção. Essas modificações 
poderão causar alterações na profundidade do escoamento. 
 Nas situações anteriormente descritas é necessário efetuar o estudo de energia 
específica para o correto dimensionamento e construção das estruturas hidráulicas no 
canal. Evitando assim, transbordamentos ou represamentos de água. 
 
5.8.4.1. Análise do Nível de Água na Ascensão ou Depressão Suave 
no Fundo do Canal 
 A equação abaixo descreve o comportamento da profundidade do nível de água 
de acordo com o regime de escoamento e com a ascensão/depressão suave no fundo 
do canal. 
dx
dz
Fr
dx
dy
 )1( 2
 
 
a) Ascensão Suave 
a.1) Escoamento Subcrítico 
Temos: Fr<1; 
0
dx
dz
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai descer. 
a.2) Escoamento Supercrítico 
Temos: Fr>1; 
0
dx
dz
;
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai subir. 
 
b) Depressão Suave 
b.1) Escoamento Subcrítico 
Temos: Fr<1; 
0
dx
dz
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai subir. 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
33 
 
b.2) Escoamento Supercrítico 
Temos: Fr>1; 
0
dx
dz
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai descer. 
 
5.8.4.2. Análise do Nível de Água na Contração ou Expansão da 
Seção 
A equação abaixo descreve o comportamento da profundidade do nível de 
água de acordo com o regime de escoamento e com a contração/expansão da 
seção. 
dx
db
b
y
FrFr
dx
dy
 )()1( 22
 
 
a) Contração 
a.1) Regime Subcrítico 
Temos: Fr<1; 
0
dx
db
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai descer. 
 
a.2) Regime Supercrítico 
Temos: Fr>1; 
0
dx
db
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai subir. 
 
b) Expansão 
b.1) Regime Subcrítico 
Temos: Fr<1; 
0
dx
db
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai subir. 
 
b.2) Regime Supercrítico 
Temos: Fr>1; 
0
dx
db
; 
0
dx
dy
 
Logo o nível de água vai descer. 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
34 
5.9. Movimento Gradualmente Variado 
 5.9.1. Conceito 
Quando há uma variedade gradual da profundidade, temos que: 
0


L
v
 
Onde: 
 v é a velocidade do escoamento; 
 L é o comprimento do escoamento. 
 
 5.9.2. Importância 
 a) Delimitação de áreas inundáveis; 
 b) Volume acumulado. 
 
5.9.3. Classificação 
 a) Movimento gradualmente variado acelerado (MGVA); 
 b) Movimento gradualmente variado retardado (MGVR). 
 
 5.9.4. Cálculo das Curvas de Remanso 
 Existem duas maneiras de se resolver o problema do movimento gradualmente 
variado, sendo uma qualitativa e outra quantitativa. 
 
 
 5.9.4.1. Resolução Qualitativa 
 a) Canal com declividadefraca: M 
 São aqueles inferiores a declividade crítica e que conduzem a vazão na 
profundidade normal e regime subcrítico. É utilizada a letra “M”, que é uma abreviação 
da palavra MILD, que significa suave. 
 
b) Canal com declividade forte: S 
 São aqueles cujas declividades são superiores a crítica. Usa-se a abreviação “S” 
de STEEP, que significa íngreme. 
 
c) Canal com declividade crítica: C 
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35 
São aqueles canais cuja declividade é igual a declividade crítica, verificada 
quando Froude é igual a 1. Usa-se a abreviação “C” de CRITICAL, que significa crítica. 
 
d) Canal com declividade Adversa: A 
São aqueles cuja declividade é adversa, isto é, ao invés de descer, a declividade 
é ascendente. Usa-se a abreviação “A” de ADVERSE, que significa adversa. 
 
a) Canal com declividade nula: H 
São aqueles sem declividade, isto é, estão na horizontal. Usa-se a abreviação 
“H”, de horizontal. 
 
 5.9.4.2. Resolução Quantitativa 
 a) Método numérico de integração trecho a trecho 
 Método Direto 
Aplicado a condutos livres prismáticos 
 
 Método Standard 
Aplicado a condutos livres não prismáticos 
 
b) Método Gráfico 
c) Método da Integração Direta 
 
Observação: 
Nesse curso veremos o método (c) para condutos prismáticos. 
 
Método de integração Direta para Condutos Prismáticos: 
Esse método considera que a declividade do nível de água é diferente da 
declividade do fundo do canal e que os condutos utilizados são de seção prismática. 
Outra consideração a se fazer é a adoção da velocidade média, área média e raio 
hidráulico médio para o cálculo da influência do remanso. Para isso temos: 
 
3/2
2/1
hRA
J
Qn 


 
 Onde: 
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36 
 n é o coeficiente de Manning; 
 Q é a vazão; 
 J é a declividade do nível de água; 
 A é a área média; 
3/2
hR
 é o raio hidráulico médio. 
 
 
 
2
21 vvv



 
Onde: 
 v1 é a velocidade na seção 1; 
 v2 é a velocidade na seção 2; 
 
v
 é a velocidade média entre a seção 1 e 2. 
 
2
21 AAA



 
Onde: 
 A1 é a área da seção 1; 
 A2 é a área da seção 2; 
 
A
 é a área média entre as seções 1 e 2. 
 
 
2
21 hh
h
RR
R



 
Onde: 
 Rh1 é o raio hidráulico da seção 1; 
 Rh2 é o raio hidráulico da seção 2; 
 
hR
 é o raio hidráulico médio entre as seções 1 e 2. 
 
JS
EE
L


 12
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
37 
Onde: 
 
L
é o comprimento da influência do remanso; 
E2 é a energia específica em 2; 
 E1 é a energia específica em 1; 
 S é a declividade do fundo do canal; 
 J é a de declividade do nível de água. 
 
 
5.10. Movimento Bruscamente Variado 
 5.10.1. Introdução 
 Ocorre sempre quando há mudança brusca do regime supercrítico para um 
subcrítico, ou vice versa. 
 
 5.10.2. Características do Movimento Bruscamente Variado 
 a) Linha de corrente com inclinação acentuada; 
 b) Não se aplica ao regime uniforme; 
 c) Ocorre em pequenos trechos. 
 
 5.10.3. Ocorrências 
 a) Escoamento sobre barragens; 
 b) Ressaltos. 
 
 
 5.10.4. Ressaltos Hidráulicos 
 5.10.4.1. Conceito 
 Fenômeno que ocorre na passagem brusca de um regime supercrítico para um 
subcrítico. No ressalto hidráulico, o regime vai passar necessariamente por: 
Fr>1 -> Fr=1 -> Fr<1 
 
 5.10.4.2. Importância do Ressalto 
 a) Dissipação de energia cinética; 
 b) Dispositivo de mistura rápida (ETA e ETE); 
 c) Aeração do fluido (ETE). 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
38 
 5.10.4.3. Classificação do Ressalto 
 a) Falso ressalto: 1,2<Fr<1,7; 
 b) Pré-ressalto: 1,7<Fr<2,5; 
 c) Oscilante: 2,5<Fr<4,5; 
 d) Verdadeiro: 4,5<Fr<10; 
 e) Turbulência: Fr>10. 
 
 
6. ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS 
 
6.1. Considerações Gerais 
 
Tendo em vista a pressão de funcionamento, os condutos hidráulicos 
podem se classificar em: 
 
a) Condutos forçados: nos quais a pressão interna é diferente da pressão 
atmosférica. Nesse tipo de conduto, as seções transversais são sempre 
fechadas e o fluido circulante as enche completamente. O movimento pode se 
efetuar em qualquer sentido do conduto; e 
 
b) Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta superfície livre, na qual 
atua a pressão atmosférica. A seção não necessariamente apresenta perímetro 
fechado e quando isto ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre, a 
seção transversal funciona parcialmente cheia. O movimento se faz no sentido 
decrescente das cotas topográficas. 
 
6.1.1 Equação de Bernoulli aplicada aos fluidos reais 
 
Na dedução deste teorema, fundamentada na Equação de Euler, foram 
consideradas as seguintes hipóteses: 
 
a) o fluido não tem viscosidade; 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
39 
b) o movimento é permanente; 
c) o escoamento se dá ao longo de um tubo de fluxo; e 
d) o fluido é incompressível. 
 
A experiência mostra que, em condições reais, o escoamento se afasta do 
escoamento ideal. A viscosidade dá origem a tensões de cisalhamento e, 
portanto, interfere no processo de escoamento. Em consequência, o fluxo só se 
realiza com uma “perda” de energia, que nada mais é que a transformação de 
energia mecânica em calor e trabalho. 
A equação de Bernoulli, quando aplicada a seções distintas da 
canalização, fornece a carga total em cada seção. Se o líquido é ideal, sem 
viscosidade, a carga ou energia total permanece constante em todas seções. 
Porém, se o líquido é real, o seu deslocamento da seção 1 para a seção 2 
(Figura 46) ocorrerá mediante uma dissipação de energia, necessária para 
vencer as resistências ao escoamento entre as seções. Portanto, a carga total 
em 2 será menor do que em 1 e esta diferença é a energia dissipada sob forma 
de calor. Como a energia calorífica não tem utilidade no escoamento do líquido, 
diz-se que esta parcela é a perda de carga ou perda de energia, simbolizada 
comumente por hf. É possível observar na Figura 46 que, independente da 
forma como a tubulação se encontra instalada, sempre haverá dissipação de 
energia quando o líquido estiver em movimento. 
 Analisando as Figuras, além do plano de referência, é possível identificar 
três planos: 
 
- PCE  Plano de carga efetivo: é a linha que demarca a continuidade da altura 
da carga inicial, através das sucessivas seções de escoamento; 
- LP  Linha piezométrica: é aquela que une as extremidades das colunas 
piezométricas. Fica acima do conduto de uma distância igual à pressão 
existente, e é expressa em altura do líquido. É chamada também de gradiente 
hidráulico; e 
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40 
- LE  Linha de energia: é a linha que representa a energia total do fluido. Fica, 
portanto, acima da linha piezométrica de uma distância correspondente à 
energia de velocidade e se o conduto tiver seção uniforme, ela é paralela à 
piezométrica.A linha piezométrica pode subir ou descer, em seções de 
descontinuidade. A linha de energia somente desce. 
 
Nas Figuras, 
f21 hEE 
 ou 
f21 hEE 
 
Como 
z
p
g2
v
E
2



, tem-se que: 
f2
2
2
2
1
1
2
1 hz
p
g2
v
z
p
g2
v





 
que é a equação de Bernoulli aplicada em duas seções quaisquer de um 
escoamento de fluido real. 
 
a 
 
 
b 
 
g2
v21
 

1P
 
z2 
z1 

2P
 
g2
v22
 
hf1-2 
PCE 
LE 
LP 
g2
v21
 

1P
 
z2 z1 

2P
 
g2
v22
 
hf1-2 
PCE 
LE 
LP 
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41 
g2
V21
 
g2
V22
 
 
c 
 
Figura 46- Escoamento de um líquido real em um conduto forçado, mostrando a 
carga total em duas seções de escoamento: a) tubulação em nível; b) 
tubulação em aclive; c) tubulação em declive. 
 
 Quando existem peças especiais e trechos com diâmetros diferentes, as 
linhas de carga e piezométrica vão se alterar ao longo do conduto. Para traçá-
las, basta conhecer as cargas de posição, pressão e velocidade nos trechos 
onde há singularidades na canalização. A instalação esquematizada na Figura 
47 ilustra esta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 47 – Perfil de uma canalização que alimenta o reservatório R2, a partir do 
reservatório R1, com uma redução de diâmetro. 
 
z2 

1P
 
hf1-2 
z1 
g2
v21
 

2P
 
g2
v22
 
PCE 
LE 
LP 
h1 
h2 
h3 
hf1 
hf2 D1 
D2 
R1 
R2 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
42 
Do reservatório R1 para R2 existe uma perda de carga total “ht”, igual à 
diferença de nível entre os mesmos. Esta perda de carga é devida à: 
 
h1 - perda localizada de carga na entrada da canalização; 
hf1 - perda contínua de carga no conduto de diâmetro D1; 
h2 - perda localizada de carga na redução do conduto, representada pela 
descontinuidade da linha de carga; 
hf2 - perda contínua de carga no trecho de diâmetro D2; e 
h3 - perda de carga na entrada do reservatório. 
 
 Para traçar esta linha de carga é necessário calcular as cargas logo após 
a entrada da canalização, imediatamente antes e após a redução de diâmetro e 
na entrada do reservatório. 
 
6.1.2 Regimes de movimento 
 
Os hidráulicos do século XVIII já observavam que dependendo das 
condições de escoamento, a turbulência era maior ou menor, e 
consequentemente a perda de carga. Osborne Reynolds (1842 – 1912) fez uma 
experiência para tentar caracterizar o regime de escoamento, que a princípio ele 
imaginava depender da velocidade de escoamento (Figura 48). A experiência 
consistia em fazer o fluido escoar com diferentes velocidades, para que se 
pudesse distinguir a velocidade de mudança de comportamento dos fluidos em 
escoamento e caracterizar estes regimes. Para visualizar mudanças, era 
injetado na tubulação o corante permanganato de potássio, utilizado como 
contraste. 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
43 
 
 
Figura 48 – Esquema da experiência de Reynolds 
 
Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o líquido 
escoava-se ordenadamente, como se lamínulas do líquido se deslizassem uma 
em relação às outras, e a este estado de movimento, ele denominou laminar. 
Logo que a velocidade foi sendo aumentada gradativamente, ele observou que o 
líquido passou a escoar de forma desordenada, com as trajetórias das partículas 
se cruzando, sem uma direção definida. A este estado de movimento, ele 
chamou de turbulento ou desordenado. A Figura 49 apresenta os resultados de 
testes demonstrando a experiência de Reynolds. O material completo está 
disponível no endereço: 
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila/Unidade%203/Simulacao
%20de%20Reynolds%20un%203.pdf 
 
a b 
Figura 49 – Resultados obtidos em um teste de laboratório: (a) laminar e (b) 
turbulento. 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
44 
 
Tentando repetir a sua experiência, em sentido contrário, começando de 
uma velocidade maior (regime turbulento) e, gradativamente reduzindo a 
velocidade, ele observou que o fluido passou do regime turbulento para o 
laminar, porém a velocidade que ocorreu nesta passagem era menor que 
aquela em que o regime passou laminar a turbulento. Ficou, portanto, uma faixa 
de velocidade onde não se pôde definir com exatidão qual o regime de 
escoamento. A esta faixa, chamou de zona de transição. 
Ele distinguiu inicialmente também duas velocidades: 
- velocidade crítica superior: é aquela onde ocorre a passagem do 
regime laminar para o turbulento; e 
- velocidade crítica inferior: é aquela onde ocorre a passagem do regime 
turbulento para o laminar. 
Repetiu-se a experiência de Reynolds fazendo-a para várias combinações 
de diâmetros e fluidos e concluiu-se que não só a velocidade é importante para 
caracterizar o regime de escoamento, mas também o diâmetro da canalização e 
o fluido escoante. Chegou-se a uma expressão que caracteriza o regime de 
escoamento: 


D v
Re
 
em que: 
 Re = é conhecido como número de Reynolds, adimensional; 
 v = a velocidade média de escoamento, m s-1; 
 D = o diâmetro da canalização, m; e 
 

 = a viscosidade cinética do fluido, m2 s-1. (
 água = 1,02 x 10
-6 m2 s-1) 
 
Para definir o regime, basta calcular o número de Reynolds e caracterizá-
lo pelos limites. 
Se 
eR
≤ 2.000 - regime laminar 
Se 
eR
≥ 4.000 - regime turbulento 
Se 2.000 < 
eR
< 4.000 - zona de transição 
 
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45 
Na zona de transição não se pode determinar com precisão a perda nas 
canalizações. 
De modo geral, por causa da pequena viscosidade da água e pelo fato 
da velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime 
dos escoamentos, na prática, é turbulento. 
 
6.1.3 Perda de carga 
 
Todo fluido real possui viscosidade. As observações experimentais 
mostram que quando um fluido escoa, paralelamente a uma superfície, as 
moléculas do fluido em contato com a superfície aderem a esta. É como se a 
viscosidade tivesse o mesmo efeito de uma cola. A velocidade relativa do fluido 
na superfície da placa é zero. As moléculas do fluido aderidas à superfície 
exercem sobre as demais um efeito de frenagem que diminui, à medida que se 
aproxima do centro da tubulação. Desta forma, percebe-se que não há atrito da 
massa fluida com as paredes da tubulação, devido à existência de uma camada 
de velocidade igual a zero junto às paredes, denominada de camada limite. 
Portanto, no regime laminar, a perda de carga deve-se unicamente à 
resistência oferecida pela camada mais lenta àquela mais rápida que lhe é 
adjacente, ou seja, a energia hidráulica é transformada em trabalho na anulação 
da resistência oferecida pelo fluido em escoamento em função da sua 
viscosidade. A resistência é função das tensões tangenciais que promovem a 
transferência da quantidade de movimento. 
No regime turbulento, além do fenômeno descritoacima, existe ainda 
perda de energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado 
das partículas. 
A perda de carga está diretamente relacionada com a turbulência que 
ocorre no conduto. Com esta ponderação, é possível imaginar que, em uma 
tubulação retilínea, a perda de carga seja menor se comparada com uma 
tubulação semelhante, mas com uma série de peças especiais, tais como 
curvas, cotovelos, etc. As peças especiais provocam perdas localizadas pela 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
46 
maior turbulência na região da peça, pois alteram o paralelismo das linhas de 
corrente. 
Para efeito didático vamos separar as perdas localizadas da perda de 
carga ao longo de uma canalização retilínea, ou perda contínua de carga. 
 
6.2 Cálculos dos condutos forçados: perda contínua de carga (hf) 
 
Desde o século XVIII, os hidráulicos vêm estudando o comportamento 
dos fluidos em escoamento. Darcy, hidráulico suíço, e outros concluíram, 
naquela época, que a perda de carga ao longo das canalizações era: 
- diretamente proporcional ao comprimento do conduto; 
- proporcional a uma potência da velocidade; 
- inversamente proporcional a uma potência do diâmetro; 
- função da natureza das paredes, no caso de regime turbulento; 
- independente da pressão sob a qual o líquido escoa; e 
- independente da posição da tubulação e do sentido de escoamento. 
 
Naquela época, surgiram numerosas fórmulas para o dimensionamento 
das canalizações. A maioria delas era específica para as condições de trabalho 
de uma dada região. Independente disso, todas as equações seguiam as 
pressuposições apresentadas anteriormente, fazendo com que genericamente 
pudessem ser representadas por: 
 
L
D
Q
 hf
m
n

 
sendo os valores de β, n e m próprios de cada equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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47 
6.2.1 Fórmulas práticas 
 
a) Fórmula de Hazen-Williams 
 
Essa fórmula talvez seja a mais utilizada nos países de influência 
americana. Ela originou-se de um trabalho experimental com grande número de 
tratamentos (vários diâmetros, vazões e materiais) e repetições. Ela deve ser 
utilizada para escoamento de água à temperatura ambiente, para tubulações 
com diâmetro maior ou igual a 2” ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui 
várias apresentações: 
54,063,0 J D C 355,0V 
 ou 54,063,2 J D C 279,0Q  ou 
87,4852,1
852,1
D C
Q646,10
J 
 
ou 
L
D C
Q646,10
hf
87,4852,1
852,1

 
em que: 
 
V - velocidade, m s-1; 
D - diâmetro da canalização, m; 
Q - vazão, m3 s-1; 
hf – perda contínua de carga, m; 
J - perda unitária de carga, m m-1; e 
C - coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de 
conservação de suas paredes internas (Tabela 1). 
 
Tabela 1 - Valores do coeficiente C da fórmula de Hazen-Williams (apresentados 
por E. T. Neves). 
 
Tipo de conduto C 
Aço corrugado 60 
Aço com juntas “loc-bar”, novas 130 
Aço com juntas “loc-bar”, usadas 90-100 
Aço galvanizado 125 
Aço rebitado, novo 110 
Aço rebitado, usado 85-90 
Aço soldado, novo 130 
Aço soldado, usado 90-100 
Aço soldado com revestimento especial 130 
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48 
Aço zincado 140-145 
Alumínio 140-145 
Cimento-amianto 130-140 
Concreto, com bom acabamento 130 
Concreto, com acabamento comum 120 
Ferro fundido, novo 130 
Ferro fundido, usado 90-100 
Plástico 140-145 
PVC rígido 145-150 
 
 
b) Fórmula de Darcy-Weisbach ou Universal 
 
Esta fórmula é de uso geral, tanto serve para escoamento em regime 
turbulento quanto para o laminar, e é também utilizada para toda a gama de 
diâmetros. 
 
g 2 D
 Vf
J
2

 ou 
52
2
D g 
Q f 8
J


 ou 
L
Dg
Qf8
hf
52
2


 
 
em que f é um coeficiente que depende do material e estado de conservação 
das paredes, e pode ser determinado no diagrama de Moody (Figura 50). 
Na hipótese de regime laminar, f é independente da rugosidade relativa 
(e/D) e é unicamente função do número de Reynolds: 
Re
64
f 
 
No regime turbulento, o valor de f é dependente do número de Reynolds e 
da rugosidade relativa, em se tratando da transição. No regime turbulento pleno, 
o número de Reynolds não tem influência, mas apenas a rugosidade relativa. 
A rugosidade relativa é a relação entre a rugosidade do material e seu 
diâmetro. A Tabela 2 fornece a rugosidade dos materiais mais comumente 
utilizados. 
 
Tabela 2 - Valores da rugosidade média (e) dos materiais empregados em 
condutos forçados. 
 
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49 
Tipo de material e ( mm ) 
Ferro fundido novo 0,26 - 1 
Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 
Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 
Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26 
Aço laminado novo 0,0015 
Aço comercial 0,046 
Aço rebitado 0,092 - 9,2 
Aço asfaltado 0,04 
Aço galvanizado 0,15 
Aço soldado liso 0,1 
Aço muito corroído 2,0 
Aço rebitado, com cabeças cortadas 0,3 
Cobre ou vidro 0,0015 
Concreto centrifugado 0,07 
Cimento alisado 0,3 - 0,8 
Cimento bruto 1 - 3 
Madeira aplainada 0,2 - 0,9 
Madeira não aplainada 1,0 - 2,5 
Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 
Tijolo 5 
Plástico 0,06 
Alvenaria de pedra regular 1 
 
Nestas equações, a perda de carga é unitária, ou seja, é a perda de carga 
que ocorre em um metro de canalização retilínea. A perda de carga ao longo de 
toda a extensão da canalização é dada por: 
 
L Jhf 
  em que “L” é o comprimento total da canalização retilínea, m. 
 
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50 
 
Figura 50 - Diagrama de Stanton, segundo Moody, para determinação de 
valores do coeficiente f, em função do número de Reynolds e da 
rugosidade relativa. 
 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
51 
 
6.3 Cálculos de condutos forçados: perda localizada de carga (Δh ou ha) 
A perda localizada de carga é aquela causada por acidentes colocados 
ou existentes ao longo da canalização, tais como as peças especiais. Em 
tubulações com longo comprimento e poucas peças a turbulência causada por 
essas passa a ser desprezível. Porém em condutos com muitas peças e menor 
comprimento, este tipo de perda tem uma importância muito grande, como no 
caso de instalações prediais. Podem-se desconsiderar as perdas localizadas 
quando a velocidade da água é pequena (v < 1,0 m s-1), quando o comprimento 
é maior que 4.000 vezes o diâmetro e quando existem poucas peças no 
conduto. 
No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas à contínua. 
Considerar ou não as perdas localizadas é uma atitude que o projetista irá 
tomar, em face das condições locais e da experiência do mesmo. 
 
Expressão de Borda-Belanger 
A expressão que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger 
e é apresentada como: 
g2
V
 Kh
2

 
em que: 
h
 - perda de carga causada por uma peça especial, m; 
K - coeficiente que depende decada peça e diâmetro, obtido 
experimentalmente (Tabela 3). 
 
O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento 
plenamente turbulento, Re > 50.000, o valor de K para as peças especiais é 
praticamente constante, e são os valores encontrados nas tabelas e ábacos. 
 
 
Tabela 3 - Valor do coeficiente K, para cálculos das perdas de carga localizadas, 
em função do tipo de peça, segundo J. M. Azevedo Neto. 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
52 
Tipo da peça K 
Ampliação gradual 0,30 
Bocais 2,75 
Comporta, aberta 1,00 
Controlador de vazão 2,50 
Cotovelo de 90  0,90 
Cotovelo de 45 0,40 
Crivo 0,75 
Curva de 90 0,40 
Curva de 45 0,20 
Curva de 22,5 0,10 
Entrada normal de canalização 0,50 
Entrada de Borda 1,00 
Existência de pequena derivação 0,03 
Junção 0,04 
Medidor Venturi 2,50 
Redução gradual 0,15 
Registro de ângulo, aberto 5,00 
Registro de gaveta, aberto 0,20 
Registro de globo, aberto 10,00 
Saída de canalização 1,00 
Tê, passagem direita 0,60 
Tê, saída de lado 1,30 
Tê, saída bilateral 1,80 
Válvula de pé 1,75 
Válvula de retenção 2,50 
 
A existência de peças especiais, além do material constituinte da 
tubulação, deverá ser de conhecimento prévio do projetista. Nos problemas 
práticos, a vazão Q é quase sempre um elemento conhecido. Se for água que 
vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor. 
Normalmente o diâmetro é um elemento incógnito e seu valor deve ser 
minimizado, pois reflete diretamente nos custos da canalização. Por outro lado, 
se o escoamento não é por gravidade, um menor diâmetro provocará uma maior 
perda de carga que implicará em um maior consumo de energia. Valores 
práticos de velocidade existem e podem orientar o projetista na definição do 
melhor diâmetro. 
A literatura cita limites e valores de velocidade média recomendados 
para as mais diferentes situações: 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
53 
- água com material em suspensão..........................................v > 0,60 m/s 
- para instalações de recalque.......................................0,55 < v < 2,40 m/s 
 
6.4 Condutos Equivalentes 
 
Conceito: Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando escoa a 
mesma vazão sob a mesma perda de carga total. 
Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porém serão 
apresentados os condutos equivalentes em série e em paralelo. 
 
6.4.1. Condutos em série ou misto 
 
São os condutos constituídos por trechos de tubulação, com mais de um 
diâmetro diferente, conforme ilustra a Figura 51. 
Desconsiderando as perdas secundárias ou localizadas: 
 
3f2f1ff
hhhh 
... 
em que : 
fh
 = a perda de carga total no conduto; 
1f
h
= a perda contínua de carga no trecho de diâmetro 
1D
 e comprimento L
1
; 
2f
h
 = idem para diâmetro D2 e comprimento L2; e 
3f
h
 = idem para diâmetro 
3D
e comprimento 
3L
. 
 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
54 
Figura 51 - Conduto misto com 2 diâmetros. 
 
Usando a fórmula genérica de perda de carga tem-se: 
 
3m
3
n
32m
2
n
21m
1
n
1em
e
n
e
em
e
n
ef3m
3
n
3f2m
2
n
2f1m
1
n
1f
L
D
Q
L
D
Q
L
D
Q
L
D
Q
L
D
Q
h;L
D
Q
h;L
D
Q
h;L
D
Q
h
321


 
Para uma condição de mesma rugosidade, 
321e 
 
 
E como a vazão deve ser a mesma, condição de ser equivalente, a 
equação simplifica-se: 
 
m
3
3
m
2
2
m
1
1
m
e
e
D
L
D
L
D
L
D
L

 
 
que é a expressão que traduz a regra de Dupuit. 
 
Normalmente, no dimensionamento de condutos, são encontrados 
diâmetros não comerciais (veja exercício anterior). Como, por exemplo, cita-se 
um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o diâmetro comercial 125 mm, este não 
irá fornecer a vazão desejada ou a perda ultrapassará o limite de projeto. Se for 
escolhido 150 mm, que é o imediatamente superior, a vazão será maior que a de 
projeto ou a perda de carga será menor que a projetada. Nesse caso, o 
problema pode ser resolvido com a colocação de um registro para aumentar a 
perda de carga total e consequentemente reduzir a vazão até o projetado. 
Porém, esta saída não é a mais econômica, pois o custo das tubulações cresce 
exponencialmente com o diâmetro. Então, a melhor solução técnica e 
econômica é fazer uma associação em série, ou seja, colocar um trecho do 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
55 
conduto com o diâmetro comercial imediatamente superior, e um trecho com o 
diâmetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este conduto misto 
seja equivalente ao projetado. Porém, quais os comprimentos de cada diâmetro? 
Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho seja 
1L
 e 
2L
, de tal forma que: 
 
21 LLL 
 e que 
2f1ff hhh 
 
 
Como genericamente 
L Jhf 
, tem-se: 
2211 L JL JL J 
 
 
Fazendo: 
22211
2221
21
L JL JL JL J
L J)LL( JL J
LLL



 
Rearranjando 
L 
)JJ(
)JJ(
L)JJ( L)JJ( L
12
1
21122



 
em que: 
L2 = comprimento do trecho de diâmetro D2; 
 J = perda de carga unitária no conduto de diâmetro não comercial; 
J1 = perda de carga unitária no conduto de diâmetro comercial D1; 
J2 = perda de cara unitária no conduto de diâmetro comercial D2; e 
 L = o comprimento total da canalização. 
 
6.4.2. Condutos em paralelos ou múltiplos 
 
São os condutos que têm as extremidades comuns, ou seja, a pressão 
no início de todos é a mesma. Também a pressão no final é comum a todos os 
condutos. 
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56 
Observa-se pela Figura 52 que no ponto A, a vazão total Q se bifurca nas 
vazões 
.QeQ,Q 321
 Na extremidade final, ponto B, estas vazões voltam a se 
somar, voltando-se novamente à vazão Q, portanto: 
 
321 QQQQ 
 
Pela equação genérica de perda de carga tem-se que: n
1
m
f
L 
D h
Q









 
 
Figura 52 - Esquema de três condutos em paralelo. 
 
Partindo-se desta equação: n
1
33
m
3f
n
1
22
m
2f
n
1
11
m
1f
n
1
ee
m
ef
L 
D h
L 
D h
L 
D h
L 
D h







































 
 
Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como 
fh
 
deve ser igual em todos, condição de ser equivalente, tem-se: 
 
n
1
3
n
m
3
n
1
2
n
m
2
n
1
1
n
m
1
n
1
e
n
m
e
L
D
L
D
L
D
L
D

 
 
Se todos os comprimentos forem iguais, a equação acima simplifica-se: 
 
n
m
3
n
m
2
n
m
1
n
m
e DDDD 
 
 
 
Hidráulica Março/2013 
 
 
 
57 
Generalizando:


k
1i
n
m
i
n
m
e DD
 
Sendo K o número de condutos em paralelo. 
Se também os diâmetros forem iguais a D: 









D KD
D KD
m
n
e
n
m
n
m
e
 
 
A aplicação prática deste tipo de conduto está na expansão de uma área ou de 
um projeto hidráulico, Por exemplo. Se houver expansão, basta projetar o 
conduto para atender ao projeto global que deverá ficar em paralelo.