AV 1 - Matematica

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Disc.: ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA I 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O limte lateral para a função f(x) representado 
por limx→2−2√ x2−4 x−2limx→2−x2−42x−2 é corretamente expresso por: 
 
 −∞−∞ 
 
1 
 +∞+∞ 
 00 
 
-1 
Respondido em 14/10/2020 23:09:26 
 
Explicação: 
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√ (x−2)2 x−2=(x−2)2 
Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2) 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é 
contínua: 
√ 25−x2 x+525−x2x+5 
 
 
 
A função é contínua no intervalo: (0,5] 
 A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5] 
 A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ 
 A função é contínua no intervalo (-5,5] 
 A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞) 
Respondido em 14/10/2020 23:07:44 
 
Explicação: 
Primeiro determinamos o domínio de f: 
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, 
quando x < - 5 ou x > 5). 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre a derivada de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1 
 
 f′(x)=f′(x)=4x(x2−1)24x(x2−1)2 
 f′(x)=f′(x)=x(x2+1)2x(x2+1)2 
 f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2 
 f′(x)=f′(x)=−3+x(x2−1)2−3+x(x2−1)2 
 f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2 
Respondido em 14/10/2020 23:16:50 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente com u=x2−1u=x2−1 e v=x2+1v=x2+1 
ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Encontre a derivada da função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2f(x)=sin(x)(1+sin(x))2 
 
 f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2 
 f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2 
 f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3 
 f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3 
 f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3 
Respondido em 14/10/2020 23:17:12 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas 
correspondentes: 
fg′=f′∗g−g′∗fg2fg′=f′∗g−g′∗fg2 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x apresenta a seguinte característica: 
 
 É definida em x = 0 
 
Não cruza o eixo x 
 
Apresenta um ponto de máximo global em x = 2 
 
Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2 
 Apresenta assíntota horizontal definida em y = x 
Respondido em 14/10/2020 23:26:00 
 
Explicação: 
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo 
segundo o conteúdo descrito na aula 05. 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O limite limx→0sin(x)xlimx→0sin(x)x é corretamente indicado por: 
 
 −∞−∞ 
 0 
 0000 
 ∞∞ 
 1 
Respondido em 14/10/2020 23:34:46 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra de L'Hospital: 
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Ache a solução completa da equação diferencial dydx=2x4ydydx=2x4y 
 
 xy22=2xy55+Cxy22=2xy55+C 
 y2=2x25+Cy2=2x25+C 
 y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 y2=2x55+Cy2=2x55+C 
 y2=x55+Cy2=x55+C 
Respondido em 14/10/2020 23:38:56 
 
Explicação: 
ydy=2x4dxydy=2x4dx 
∫ydy=∫2x4dx∫ydy=∫2x4dx 
y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx∫x.sin(4x)dx 
 
 x.cos(4x)+sin(4x)+Cx.cos(4x)+sin(4x)+C 
 −18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C 
 18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C 
 −14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C 
 14x.cos(x)+118.sin(x)+C14x.cos(x)+118.sin(x)+C 
Respondido em 14/10/2020 23:42:07 
 
Explicação: 
É necessário aplicar o conceito de integração por partes: 
Faça: u = x e v' = sin(4x) 
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre a integral indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx∫(x2+3x−3)(x−1)dx 
 
 5+12∗(x−1)2−3+C5+12∗(x−1)2−3+C 
 x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+Cx+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C 
 ln[x−1]+52∗(x−1)3+Cln[x−1]+52∗(x−1)3+C 
 x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+Cx−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C 
 5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C 
Respondido em 14/10/2020 23:43:27 
 
Explicação: 
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx 
Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Dada um função definida como f(x)=3f(x)=3, o volume do sólido de revolução, no 
intervalo x=0x=0 a x=5x=5 , obtido pela rotação de f(x) em torno do eixo x, é dado 
por: 
 
 9π9π unidades cúbicas 
 25π25π unidades cúbicas 
 90π90π unidades cúbicas 
 45π45π unidades cúbicas 
 50π50π unidades cúbicas 
Respondido em 14/10/2020 23:42:05 
 
Explicação: 
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se: 
V=∫50π∗32dxV=∫05π∗32dx