Lista CEP_Semanas 7 e 8 (1)

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Universidade Federal de Ouro Preto 
PRO723 -Engenharia da Qualidade 
Lista de Exercícios 
 
1) Gráficos de controle e R são mantidos para uma importante característica da qualidade. O 
tamanho da amostra é n = 7; e R são calculados para cada amostra. Depois de 35 amostras, 
obtemos: 
 i = 7805 e 
 
 i = 1200 
a) Construa gráficos e R usando esses dados. 
R: 237,37/223/208,63  ; 65,97/34,29/2,61  R 
b) Supondo que ambos os gráficos exibam controle, estime a média e o desvio padrão do 
processo. R: = 223; desvio padrão = 12,68 
c) Se a característica da qualidade é normalmente distribuída e se as especificações são 220 ± 
35, o processo pode atender essas especificações? Estime a fração de não-conformes. R: 
processo não capaz; 0,007 
d) Supondo que a variância permaneça constante, estabeleça onde deveria estar a média do 
processo de modo a minimizar a fração de não-conformes. Qual seria o valor da fração de 
não-conformes sob essas condições? R: 0,0059 
2) Amostras de tamanho n = 5 são tiradas de um processo de manufatura a cada hora. Uma 
característica da qualidade é medida e valores de e R são calculados para cada amostra. 
Depois da análise de 25 amostras, obtém-se que: 
 i = 662,50 e 
 
 i = 9,00 
A característica da qualidade é normalmente distribuída. 
a) Ache os limites de controle para os gráficos e R. R:26,71/26,5/26,29 ; 
0,7614/0,36/0R 
b) Suponha que ambos os gráficos exibam controle. Se as especificações são 26,40±0,50, 
estime a fração de não-conformes. R: 0,004994 
c) Se a média do processo fosse 26,40, qual seria a fração de não-conformes? R: 0,001238 
3) Amostras de tamanho n = 5 são tiradas de um processo de manufatura a cada meia hora. 
Depois de 50 amostras terem sido coletadas, obtém-se que = 20,0 e = 1,5. Suponha que 
ambos os gráficos exibam controle e que a característica da qualidade seja normalmente 
distribuída. 
a) Estime o desvio padrão do processo. R: desvio padrão = 1,60 
b) Ache os limites de controle para os gráficos e S. R: 22,1405/20/17,8595  ; 
3,1335/1,5/0  S 
c) Se a média do processo se desloca para 22, qual é probabilidade de concluirmos que o 
processo ainda está sob controle? R: 0,579 
4) Amostras de n = 5 unidades são tiradas de um processo a cada hora. Os valores de e R 
para uma determinada característica da qualidade são calculados. Depois de 25 amostras 
serem coletadas, obtemos que = 20 e = 4,56. 
a) Quais são os limites três-sigma para e R? R:22,63/20/17,37  ; 9,64/4,56/0  R 
b) Ambos os gráficos exibem controle. Estime o desvio padrão do processo. R: desvio 
padrão = 1,96 
c) Suponha que a saída do processo seja normalmente distribuída. Se as especificações são 
19±5, quais são as suas conclusões com respeito à capacidade do processo? R: Processo não 
capaz 
d) Se a média do processo se desloca para 24, qual é probabilidade de não se detectar esse 
deslocamento na primeira amostra subsequente? R: 0,05938 
5) O número de interruptores não-conformes em amostras de tamanho 150 são mostrados 
aqui. Construa um gráfico de controle para a fração não-conforme para esses dados. O 
processo parece estar sob controle? Se não, suponha que causas atribuíveis possam ser 
encontradas para todos os pontos fora de controle e calcule os limites de controle revisados. 
Número da 
Amostra 
Número de 
Interruptores 
Não-conformes 
Número da 
Amostra 
Número de 
Interruptores 
Não-conformes 
1 8 11 6 
2 1 12 0 
3 3 13 4 
4 0 14 0 
5 2 15 3 
6 4 16 1 
7 0 17 15 
8 1 18 2 
9 10 19 3 
10 6 20 0 
R: 0,0597/0,023/0; 0,016/0,047/0  revisados 1; 0,0141/0,0430/0  revisados 2 
6) Um gráfico usa amostras de tamanho 4. A linha central está em 100 e os limites três-
sigma, superior e inferior de controle estão em 106 e 94, respectivamente. 
a) Qual é o σ do processo? R: σ = 4 
b) Suponha que a média do processo se desloque para 96. Encontre a probabilidade de essa 
mudança ser detectada na próxima amostra. R: 0,1587 
c) Encontre o CMC para detectar a mudança no item b. R: 6,301 
7) Considere o gráfico de controle com = 2,25, LSC = 17,40, LIC = 12,79 e n = 3. 
Suponha que a média se desloque para 13. 
a) Qual é a probabilidade de essa mudança ser detectada na próxima amostra? R: 0,3936 
b) Qual é o CMC depois da mudança? R: 2,54 
8) Gráficos de controle e R devem ser estabelecidos para uma importante característica da 
qualidade. O tamanho da amostra é n = 5, sendo e r calculados para cada uma das 35 
amostras preliminares. Os dados resumidos são: 
 i = 7805 
 
 i = 1200 
a)Encontre os limites tentativas de controle para os gráficos e R. R:242,785/223/203,215 
 ; 72,52/34,29/0  R 
b) Considerando que o processo esteja sob controle, estime a média e o desvio-padrão do 
processo. R: Média = 223; desvio = 14,74 
9) Gráficos de controle e R devem ser construídos para amostras de tamanho n = 4, sendo 
 e s calculados para cada uma das 20 amostras preliminares, como a seguir: 
 i = 4460 
 
 i = 271,6 
a) Encontre os limites tentativas de controle para os gráficos e S. R: 245,11/223/200,89  
 ; 30,77/13,58/0  S 
b) Considerando que o processo esteja sob controle, estime a média e o desvio-padrão do 
processo. R: Média = 223; desvio = 14,74 
10) Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída, com 
especificações de 20 a 32 unidades. 
a) Que valor de σ é necessário para que RCP seja igual a 1,5? R: σ = 1,33 
b) Qual o valor da média do processo que minimiza a fração defeituosa? Essa escolha para a 
média depende do valor de σ? R: Média = 26; independe do σ 
11) Um processo normalmente distribuído usa 66,7% da banda de especificação. Ele está 
centralizado na dimensão nominal, localizada na metade do caminho entre os limites superior 
e inferior de especificação. 
a) Estime RCP e RCPk. Interprete essas razões. R: RCP = 1,5; RCPk = 1,5 
b) Qual o nível produzido de fração defeituosa (fallout)? R: ≈ 0 
12) Reconsidere o Exercício 8. Suponha que a característica da qualidade seja normalmente 
distribuída com especificação em 220±40. 
a) Qual o nível de fração defeituosa? R: 0,0078 
b) Estime RCP e RCPk e interprete essas razões. R: RCP = 0,904; RCPk = 0,837 
13) Gráficos de controle e S devem ser mantidos para as leituras de torque do rolamento 
usado na montagem do atuador de flap da asa. Amostras de tamanho n = 10 devem ser usadas 
e sabemos que quando o processo está sob controle, o torque do rolamento tem distribuição 
normal com média µ = 80 polegadas-libra e desvio padrão σ = 10 polegadas-libra. Ache a 
linha central e os limites de controle para esses gráficos de controle. R: 89,49/80/70,51  ; 
16,69/9,727/2,76  S 
14) Amostras n = 5 são tiradas de um processo de manufatura a cada hora. Uma característica 
da qualidade é medida e valores de e R são calculados para cada amostra. Depois da análise 
de 25 amostras, obtém-se que 
 
 
 
 
 
A característica da qualidade é normalmente distribuída. 
a) Ache os limites de controle para os gráficos e R. R: 26,71/26,5/26,29  ; 0,7614/0,36/0 
R 
b) Suponha que ambos os gráficos exibam controle. Se as especificações são 26,40±0,50, 
estime a fração de não-conformes. R: 0,004994 
c) Se a média do processo fosse 26,40, qual seria a fração de não-conformes? R: 0,001238 
15) Os dados que seguem dão o número de montagens não-conformes em amostras de 
tamanho 100. Construa um gráfico de controle para a fração de não-conforme para esses 
dados. Se algum ponto for plotado fora de controle, suponha que causas atribuíveis possam 
ser encontradas e determine os limites de controle revisados. 
Número da 
Amostra 
Número de 
Montagens 
Não-conformes 
Número da 
Amostra 
Número de 
Montagens 
Nâo-conformes 
1 7 11 6 
2 4 1215 
3 1 13 0 
4 3 14 9 
5 6 15 5 
6 8 16 1 
7 10 17 4 
8 5 18 5 
9 2 19 7 
10 7 20 12 
R: 0,1289/0,0585/0 
16) Ache os limites de controle três-sigma para: 
a) um gráfico c com média do processo igual a quatro não-conformidades. R: 10/4/0 
b) um gráfico u, com c = 4 e n = 4. R:2,5/1/0 
17) Uma peça componente de um motor de avião a jato é fabricada por um processo de 
moldagem. A abertura do rotor nessa moldagem é um importante parâmetro funcional da 
peça. A tabela abaixo apresenta vinte amostras de cinco peças cada uma. Os valores dados na 
tabela foram codificados pelo uso dos três últimos dígitos da dimensão; isto é, 31,6 deve ser 
0,50316 polegada. Construa gráficos e R para esse processo. O processo parece estar sob 
controle estatístico? Se necessário, revise os limites de controle tentativos. 
 
R:36,67/33,32/29,97  ; 12,27/5,80/0 R; 36,10/33,21/30,33  ; 10,57/5,00/0 R 
 
18) A próxima tabela mostra 20 observações da concentração na saída de um processo 
químico. As observações são retiradas em intervalos de uma hora. Se várias observações 
forem retiradas ao mesmo tempo, a leitura da concentração observada diferirá somente por 
causa do erro de medida. Uma vez que o erro de medida é pequeno, somente uma observação 
é retirada a cada hora. Construa o gráfico de medidas individuais e de amplitude móvel. Há 
indicação de uma condição fora de controle? 
 
 
R: 105,99/99,1/92,21  valores individuais; 8,46/2,59/0  amplitude móvel 
19) Para um processo eletrônico de fabricação, uma corrente tem especificação de 100 
 miliampères. A média μ e o desvio padrão σ do processo são 107,0 e 1,5, 
respectivamente. Calcule RCP, RCPk e a fração de saída não-conforme. R: RCP = 2,22; RCPk 
= 0,67; 0,023 
 
20) Construir um gráfico de controle da fração defeituosa para uma linha de produção de 
substrato cerâmico. Tem-se 20 amostras preliminares, cada uma de tamanho 100; o número de 
defeitos em cada amostra é apresentado na tabela abaixo. Considere que as amostras sejam 
numeradas na sequência de produção. Além disso, verifique se todas as amostras estão sob 
controle. 
 
 
R: 0,55/0,4/0,25; Sob controle 
21) Placas de circuito impresso são montadas por uma combinação de montagem manual e 
automática. Uma Tecnologia de Montagem de Superfície (TMS) é usada para fazer as 
conexões mecânicas e elétricas dos componentes na placa. A cada hora, cinco placas são 
selecionadas e inspecionadas para finalidades de controle de processo. O número de defeitos 
em cada amostra de cinco placas é anotado. O resultado para 20 amostras é mostrado na 
tabela abaixo. Construa o gráfico U de defeitos por unidade nas placas de circuito impresso. 
Verifique se o processo está sob controle e observe se o processo necessita de melhorias. 
 
R: 3,3/1,6/0; Sob controle; Necessita de melhorias 
Referências 
MONTGOMERY, D.C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. Rio de Janeiro: 
LTC, 2004. 
MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2009.