P1-SUB-B_Gabarito

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y +1/1/60+ y
Fenômenos Mecânicos
Prova 1 - SUB B - 2019.3
Nome:
RA:
Entre seu RA ao lado usando as
caixas, o primeiro digito na caixa
mais a sua esquerda e o último
digito na caixa mais a sua direita.
Preencha completamente as caixas
com caneta azul ou preta.
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Observações:
• Os cálculos deverão ser desenvolvidos e apresentados nas respostas. A simples apresentação
do resultado final não obterá pontos.
• Sempre que necessário vetores devem ser expressos utilizando a notação vetorial em termos
dos vetores unitários î, ĵ, k̂.
Formulário - Cálculo de Erros:
• Desvio Padrão da Média:
σx̄ =
1√
N (N − 1)
√√√√ N∑
i=1
(xi − x̄)2
• Propagação de Erros:
F (x1, x2, x3)→ σF =
√(
∂F
∂x1
)2
σ2x1 +
(
∂F
∂x2
)2
σ2x2 +
(
∂F
∂x3
)2
σ2x3
F (x1) = ax1 → σF = aσx1
F (x1) = axn1 → σF = anxn−11 σx1
F (x1, x2) = a
x1
x2
→ σF = a
x1
x2
√(
σx1
x1
)2
+
(
σx2
x2
)2
F (x1, x2) = ax1x2 → σF = ax1x2
√(
σx1
x1
)2
+
(
σx2
x2
)2
F (x1, x2) = a (x1 ± x2)→ σF = a
√
σ2x1 + σ2x2
y y
y +1/2/59+ y
Questão 1 (25 pontos) Um jogador chuta uma bola em direção ao gol conforme indicado na
figura. Assuma que o goleiro se mantém na linha do gol e salta verticalmente para agarrar a bola.
A altura máxima que o goleiro consegue atingir é h = 2, 2 m (ver figura). A distância entre o ponto
do chute e o gol é d = 35, 4 m. Suponha que o módulo da velocidade inicial da bola é v0 = 20, 5 m/s
e o ângulo de lançamento θ = 30◦. Coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde
a bola foi chutada, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando
para cima. Assuma a aceleração da gravidade g = 9,80 m/s2.
a) (5 pontos) Escreva a equação para o vetor trajetória da bola (vetor posição em função do
tempo).
b) (10 pontos) O goleiro conseguirá pegar a bola? Justifique.
c) (10 pontos) Determine qual deve o ser o valor mínimo de v0 para que o goleiro não consiga
alcançar a bola.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Não marque estas caixas
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a) Na direção horizontal o movimento da bola ocorre com velocidade constante v0x = v0 cos θ, tal
que:
x(t) = x0 + v0xt = v0 cos θt e vx(t) = v0 cos θ
Já na direção vertical o movimento possui aceleração constante:
y(t) = y0 + v0yt
1
2ayt
2 = y0 + v0 sin θt−
1
2gt
2 e vy(t) = v0 sin θ − gt
Então:
~r(t) = v0 cos θt î+
(
v0 sin θt−
1
2gt
2
)
ĵ = 17, 75t̂i+
(
10, 25t− 4, 90t2
)
ĵ m
b) A bola atingirá a linha do gol quando:
x(tG) = d = 35, 4⇒ 17, 32tG = 35, 4⇒ tG ' 2 s
Neste instante a altura da bola é:
y(tG) = 10, 25tG − 4, 90t2G ⇒ y(tG) ' 0, 96 m
Como y(tG) < h, o goleiro conseguirá alcançar a bola.
y y
y +1/3/58+ y
c) O valor mínimo da velocidade para que a bola passe pelo goleiro ocorrerá quando:
y(tG) = h , onde tG =
d
v0 cos θ
Então:
v0 sin θtG −
1
2gt
2
G = h⇒ d tan θ −
1
2g
(
d
v0 cos θ
)2
= h⇒ v0 ' 21, 2 m/s
y y
y +1/4/57+ y
Questão 2 (25 pontos) Considere o sistema mostrado na figura abaixo, onde a mesa possui
atrito, mas os fios deslizam sem atrito sobre as roldanas. As massas indicadas são m1, m2 e m3,
onde m3 > m1. O bloco da direita desce com aceleração a = g/2. Escreva as suas respostas em
termos das quantidades dadas (m1,m2,m3) e da aceleração da gravidade (g).
a) (5 pontos) Faça um diagrama de forças para cada um dos blocos separadamente.
b) (10 pontos) Determine o coeficiente de atrito cinético µe.
c) (10 pontos) Se trocarmos as massasm2 em1 de posição, qual será a nova aceleração do sistema?
Assume que o coeficiente de atrito estático é o mesmo encontrado no item anterior e escreva a
sua resposta em termos das massas e de µe.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Não marque estas caixas
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a) Como m3 > m1, temos que, caso o bloco m2 se mova, eles se deslocará para a direita (eixo x
positivo). Logo temos os seguintes diagramas de forças:
b) Se o bloco m3 desce com aceleração a, então |~a3| = |~a2| = |~a1| = a. Portanto:
T12 −m1g = m1a
m3g − T32 = m3a
T32 − T12 − Fatrito = m2a
onde Fatrito = m2gµe. Somando as três equações acima:
m3g −m1g −m2gµe = (m1 +m3 +m2)a⇒ µe =
m3 −m1 − (m1 +m3 +m2)a/g
m2
Finalmente, utilizando que a = g/2, temos:
µe =
m3 − 3m1 −m2
2m2
y y
y +1/5/56+ y
c) Invertendo as massas, temos:
T12 −m2g = m2a′
m3g − T32 = m3a′
T32 − T12 −m1gµe = m1a′
Novamente, somando as equações:
m3g −m2g −m1gµe = (m1 +m3 +m2)a′ ⇒ a′ =
m3 −m2 −m1µe
m1 +m3 +m2
g
y y
y +1/6/55+ y
Questão 3 (25 pontos) Para medir a altura h de uma colina (ver figura) coberta por neve, uma
pedra de mass m = 2, 0 kg é solta a partir do repouso do topo da colina, indicado pelo ponto A. A
pedra desliza até o pé da colina (ponto B) e depois segue por um plano horizontal de comprimento
que possui coeficinte de atrito estático µe = 0, 3. Após percorrer uma distância de 10 m, a pedra
atinge uma longa mola rígida de constante elástica k = 30, 0 N/m e que se encontra inicialmente
relaxada.
a) (10 pontos) Se após ser atingida pela pedra a mola atinge uma compressão máxima de 4 m,
qual o trabalho total realizado pela força de atrito entre o ponto B e o ponto de compressão
máxima da mola?
b) (10 pontos) Qual a velocidade da pedra no ponto B?
c) (5 pontos) Qual a altura da colina?
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a) O trabalho total realizado pela força de atrito é dado por:
WF at = −mgµed
onde d = 10 + 4 = 14 m é a distância total percorrida pela pedra no plano. Então:
WF at = −82, 32 J
b) Temos que a variação de energia mecânica da pedra entre o ponto B e o ponto de máxima
compressão é dada pelo trabalho realizado pela força de atrito. Então:
Ef − EB = Wfat , onde Ef =
k∆x2
2 e EB =
mv2B
2
Então:
mv2B
2 =
k∆x2
2 −Wfat ⇒ vB = 6, 6 m/s
c) Como todas as forças que atuam sobre a pedra entre os pontos A e B são conservativas, a
energia mecânica da pedra enquanto ela desce a colina será conservada. Dado que a pedra está
em repouso no ponto A, sua energia neste ponto é dada por:
EA = mgh
Já a energia no ponto B é:
EB =
mv2B
2
Então:
EA = EB ⇒ mgh =
mv2B
2 ⇒ h =
v2B
2g ' 2, 2 m
y y
y +1/7/54+ y
Questão 4 (25 pontos) Em um determinado experimento de movimento retilíneo uniforme,
um carrinho passa por 2 intervalos de posição e tempo, os quais são medidos usando uma régua e
um cronômetro. Os dados são coletados e inseridos na tabela abaixo:
Intervalo I II
Medida # LI (cm) ∆tI (s) LII (cm) ∆tII (s)
1 16,75 0,9391 16,10 0,9650
2 18,70 0,9242 18,00 0,9291
3 14,70 0,9150 14,10 0,9222
Média 17 0,94
Incerteza 1 0,01
a) (10 pontos) Complete na tabela acima a média das posições e dos intervalos de tempo com suas
respectivas incertezas.
b) (10 pontos) Encontre a velocidade média para cada intervalo e sua incerteza.
c) (5 pontos) Usando o método dos mínimos quadrados e medidas em mais intervalos, um aluno
encontrou os seguintes valores para os coeficientes angular (a) e linear (b) da reta para um
gráfico de X vs. T :
a = (17, 1± 0, 5) cm/s b = (−0, 2± 0, 4) cm
Qual o significado físico dos parâmetros a e b? Você concluiria que o movimento é uniforme?
Justifique.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Não marque estas caixas
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a) Calculando a média e a incerteza através da expressão para o desvio padrão, obtém-se:∆t̄I ' 0, 9261s, σ∆t̄I ' 0, 007021s
e
L̄II ' 16, 066cm, σL̄II ' 1, 126cm
Finalmente, escrevendo o resultado final com o número adequado de algarismos significativos,
temos:
∆t̄I = (0, 926± 0, 007) s e L̄II = (16± 1) cm
b) Temos:
v̄I =
L̄I
∆̄tI
= 170, 926 ⇒ v̄I ' 18, 3585 cm/s
v̄II =
L̄II
∆̄tII
= 160, 94 ⇒ v̄II ' 17, 02127 cm/s
Utilizando o método de propagação de erros, temos que a incerteza da velocidade média é dada
por:
σv̄ = v̄
√(
σL̄
L̄
)2
+
(
σ∆̄t
∆̄t
)2
Substituindo os valores numéricos disponibilizados na tabela acima e calculados no item ante-
rior, obtém-se:
σv̄I ' 1, 0888 cm/s e σv̄II ' 1, 0791 cm/s
Finalmente, escrevendo o resultado final com o número adequado de algarismos significativos,
temos:
v̄I = (18± 1) cm/s, v̄II = (17± 1) cm/s
y y
y +1/8/53+ y
c) De acordo com o modelo teórico (partícula em movimento retilíneo uniforme), os coeficientes
angular e linear da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais representam, respectiva-
mente, a velocidade e a posição inicial da partícula.
A comparação entre os parâmetros obtidos a partir do método dos mínimos quadrados com os
resultados obtidos no item (b) nos permite concluir que, de fato, trata-se de um movimento
uniforme já que, dentro do intervalo definido pelas respectivas incertezas todos os valores para
a velocidade são consistentes.
y y