MATERIAL COMPLEMENTAR HISTORIA DA MATEMATICA

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Prof. Emilio Celso
MATERIAL COMPLEMENTAR
História da Matemática
Matemática: da pré-história ao mundo antigo no antigo Egito, 
na mesopotâmia e na Grécia antiga. 
Matemática na China, Índia e mundo árabe, dos séculos XVI ao XVIII. 
A matemática nos séculos XIX a XX na escola brasileira.
História da matemática
matemático.
produzida pelas pessoas das classes superiores da sociedade.
Matemática aplicada à agrimensura, engenharia e comércio.
Durante a Idade da Pedra, a humanidade acumulou 
conhecimento matemático necessário para tratar os 
problemas desta época.
Da pré-história ao mundo antigo: no antigo Egito, na Mesopotâmia 
e na Grécia antiga
Acerca do Egito Antigo e Mesopotâmia
cada cultura dependia intimamente da natureza dos sistemas de numeração 
utilizados. Por isso, cálculos considerados difíceis em um sistema podem ser 
relativizar, portanto, a interpretação frequente de que a matemática nessa época 
se constituía somente de procedimentos de cálculos voltados para a resolução de 
(ROQUE, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. 
São Paulo, Jorge Zahar Editor, 2012, p. 26).
Matemática nas civilizações egípcia e mesopotâmica
Esse texto ajuda a apontar contribuições da Matemática pelo legado 
das civilizações egípcia e mesopotâmica.
Contribuição da civilização egípcia
Os conhecimentos e registros históricos sobre a civilização egípcia provêm 
principalmente de alguns papiros encontrados a partir do século XIX. 
Os papiros mais importantes são o de Rhind, o de Moscou 
e o de Berlim.
Matemática nas civilizações egípcia e mesopotâmica
Aritmética e álgebra
Os 110 problemas dos papiros de Moscou e de Rhind são numéricos. A maioria 
deles é de natureza prática, mas há também alguns de natureza teórica.
A característica do sistema de numeração egípcio é o caráter aditivo da aritmética 
dependente. A multiplicação e a divisão eram, em geral, efetuadas por uma 
sucessão de duplicação, considerando que todo número pode ser representado 
por uma soma de potências de 2. 
A comutatividade da multiplicação e muitos dos problemas 
do papiro de Ahmes mostram manipulações equivalentes 
à regra de três.
Matemática na civilização egípcia
Método da falsa posição
Considere a equação: x + x/7 = 24. Qual o valor de x?
Solução no Egito Antigo:
Assumindo um valor conveniente para x = 7, tal qual x = 7 + 7/7 = 7 + 1 = 8
Como 8 deverá ser multiplicado por 3 para resultar 24, o valor de x procurado 
é 3.(7) = 21.
Matemática na civilização egípcia
Os egípcios eram calculadores e estudaram geometria, ainda sem provas 
geométricas e não generalizavam suas conclusões. 
Conheciam o teorema de Pitágoras e contribuíram com os gregos com relação 
às regras de cálculo.
Frações unitárias
Para os egípcios, as frações de denominador 1, 
chamadas de frações unitárias, indicavam o recíproco 
de qualquer número inteiro através de um simbolismo 
próprio, indicando que havia alguma percepção das regras 
gerais e dos métodos no tratamento de frações.
Matemática na civilização egípcia
Geometria
Dos 110 problemas presentes nos papiros de Moscou e de Rhind, 26 são 
geométricos. Muitos deles estão relacionados à mensuração de terras e a volumes 
de grãos, problemas relativos à proporção e tentativas de cálculo de volumes 
de sólidos. 
O conhecimento de proporção era vital na construção de pirâmides, uma vez que 
as faces deveriam manter uma inclinação constante. 
No papiro de Moscou existe um exemplo correto da 
fórmula do volume de um tronco de pirâmide e nenhum 
outro exemplo inquestionavelmente genuíno dessa 
fórmula foi encontrado na matemática oriental antiga.
Matemática na civilização egípcia
O Plimpton 322, do ponto de vista matemático, é um dos mais importantes 
documentos que chegaram até nós sobre a civilização babilônica. 
Operações fundamentais
Os babilônios desenvolveram a melhor notação para frações conhecida até 
a Renascença, por meio de processos algoritmos, entre os quais um para 
extrair a raiz quadrada. 
As operações aritméticas fundamentais eram tratadas de forma semelhante 
à atual e com facilidade comparável. 
Destacam-se as tabelas babilônicas que contêm potências 
sucessivas de um dado número, semelhante às atuais 
tabelas de logaritmos ou de antilogaritmos.
Utilizavam a interpolação por partes proporcionais para a 
obtenção de valores intermediários aproximados.
Matemática na civilização babilônica
Geometria
Estava relacionada à mensuração prática, pois os babilônios já conheciam as 
regras gerais do triângulo retângulo, do volume de um paralelepípedo reto-
retângulo e o volume de um prisma reto com base trapezoidal.
Álgebra
A aritmética babilônia já havia evoluído para uma álgebra retórica 
bem desenvolvida. 
Resolviam equações quadráticas e biquadradas 
pelo método equivalente ao de substituição 
numa fórmula geral.
Discutiram também a resolução de algumas 
equações cúbicas.
Matemática na civilização mesopotâmica
baseada em cálculos de medidas, como outros povos antigos. Não há, contudo, 
uma documentação confiável que possa estabelecer a transição da matemática 
mesopotâmica e egípcia para a grega. Essa é, na verdade, uma etapa na 
construção do mito de que existiria uma matemática geral da humanidade. A 
escassez de fontes que permitiriam unir as diferentes práticas dessas disciplinas 
na Antiguidade nos força a optar pela presença de várias manifestações 
(ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma visão crítica, 
desfazendo mitos e lendas. São Paulo, Jorge Zahar Editor, 2012, p. 56).
Qual a abordagem da Matemática trazida pelos gregos que 
os diferenciou dos egípcios e mesopotâmios?
Matemática na Grécia Antiga 
Raciocínio dedutivo
A matemática grega marcou a grande diferença estabelecida às demais 
civilizações antigas: o início da tentativa de se explicar os fenômenos da natureza 
de forma científica, sem recorrer a mitos e à religião. 
A utilização do raciocínio dedutivo em matemática que se deve a Tales de Mileto 
e Pitágoras deu origem à criação de uma matemática organizada.
A lógica foi sistematizada por Aristóteles e Hipócrates de Quios.
Matemática na Grécia Antiga 
A escola pitagórica
Apesar do misticismo e religiosidade, os pitagóricos eram grandes matemáticos. 
Conheciam as três médias: a aritmética, a geométrica e a subcontrária 
(posteriormente denominada harmônica), a proporção áurea, que relaciona duas 
Credita-se à escola pitagórica a demonstração de um dos 
mais famosos teoremas da matemática, que ficou 
conhecido como O Teorema de Pitágoras, que demonstra 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre 
Matemática na Grécia Antiga 
Os elementos, de Euclides 
Em seus 13 livros, o documento sintetiza os conhecimentos sobre geometria plana 
e espacial e teoria elementar dos números. 
Os elementos é obra considerada como um protótipo da forma matemática 
moderna. Para demonstrar as leis, Euclides premissas, verdades absolutas 
e inquestionáveis da matemática, para que, a partir delas, se estabelecessem 
conclusões. 
Euclides estabeleceu um campo de estudos denominado 
axiomática, dedicado ao exame das propriedades gerais 
dos conjuntos de postulados e do raciocínio postulacional.
Matemática na Grécia Antiga 
Platão tinha a convicção de que o estudo da matemática fornecia o mais refinado 
treinamento do espírito. 
Platão estudou os poliedros regulares, que eram associados aos quatro elementos 
de um sistema cósmico (o tetraedro tendo origem no fogo; o cubo, na Terra; o 
octaedro, no ar; e o icosaedro, na água), que fascinou os homens por séculos. 
Eudoxo de Cnido foi discípulo de Platão. Suas maiores 
contribuições na matemática são: a teoria das proporções 
e o método de exaustão. Até o aparecimento de Eudoxo
não havia uma definição para os números irracionais.
Matemática na Grécia Antiga 
INTERVALO
Nos livros de história da matemática é comum encontrarmos, depois da 
explanação das mais importantes contribuições gregas, referências a autores 
isolados,como Heron, Ptolomeu ou Diofanto. Em seguida, faz-se uma breve 
passando superficialmente pelos estudos dos árabes. [...] Precariedade e 
excepcionalidade caracterizam a prática matemática entre Euclides e os 
renascentistas. Os árabes, por exemplo, são reconhecidos sobretudo como 
tradutores da matemática grega e transmissores dessa tradição na Europa, 
possibilitando que as obras gregas chegassem ao Ocidente e fossem vertidas para 
da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e 
lendas. São Paulo, Jorge Zahar Editor, 2012, p. 172).
Matemática na China, Índia e mundo árabe, dos séculos XVI a XVIII
Quais as principais contribuições dos chineses para a Matemática?
Após o declínio da matemática grega clássica, a matemática na China tornou-se 
uma das mais criativas do mundo.
Problemas:
mensuração de terras e agricultura;
impostos;
cálculos;
soluções de equações;
propriedades de triângulos retângulos.
Matemática na China
Principais realizações
Sistema de numeração posicional decimal.
Reconhecer os números negativos.
Obter valores precisos de .
Chegar ao método de Hornes para soluções numéricas de equações algébricas.
Apresentar o triângulo aritmético de Pascal.
Inteirar-se do método binomial.
Matemática na China
Empregar métodos matriciais para resolução de sistemas lineares.
Resolver sistemas de congruências. 
Desenvolver frações decimais.
Desenvolver a regra de três.
Aplicar a regra de falsa posição dupla.
Desenvolver séries aritméticas de ordem superior e suas aplicações 
à interpolação.
Desenvolver a geometria descritiva.
Matemática na China
Quais as principais contribuições da Índia para a Matemática?
Falta de registros históricos autênticos, os indianos tinham sistema de escrita, 
contagem, pesos e medidas e faziam escavação de canais para irrigação.
A Índia, no início do século V, torna-se centro do saber, da arte e da medicina.
Chegou até nossos dias o texto épico Sistemas do Sol. Autor, deus do Sol 
(documento feito pelos hindus).
Precursor da função trigonométrica moderna, denominada seno de um ângulo.
Os hindus aperfeiçoaram métodos de tabulação, 
particularmente os de interpolação quadrática e linear.
O zero ganhou o status de número com os hindus.
Matemática na Índia
Quais as contribuições da Matemática segundo o legado do mundo árabe?
Regras de cálculo e de mensuração na astronomia e na matemática, sem nenhum 
espírito lógico ou de metodologia dedutiva.
Tentativa de medir a circunferência da Terra.
Medida do tempo e trigonometria esférica.
Equações quadráticas com raízes negativas.
Aparecimento da numeração decimal posicional.
Matemática no mundo árabe
Sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição 
dos dez dígitos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
O valor de um dígito depende de sua posição no sistema, o que torna 
indispensável a existência de um símbolo para o zero.
Divulgado pelos árabes, século VII.
Origem da notação hindu.
Matemática no mundo árabe
a história da matemática, sobretudo no que concerne ao desprezo pela Idade 
marcada pelo dogmatismo religioso, pelo misticismo e pelo abandono do raciocínio 
mitos e lendas. São Paulo, Jorge Zahar Editor, 2012, p. 17).
Quais os avanços da Matemática na Idade Média?
Matemática na Idade Média e na baixa Idade Média 
Leonardo Fibonacci ou Leonardo de Pisa (c. 1170-1250), na Itália.
Defende a utilização de algarismos arábicos, daí a importância de seu trabalho 
para a transmissão da numeração indo-arábica, além do uso do zero que, na 
prática, ainda não era utilizado, embora fosse conhecido.
Matemática na Idade Média e na baixa Idade Média 
dessas transformações no modo de fazer história, incluindo análises mais 
contextualizadas sobre o desenvolvimento geral da ciência, bem como da visão 
sobre a ciência na época. Mas a história da matemática moderna, que 
reconhecemos como mais próxima da nossa, está apenas começando a ser 
desfazendo mitos e lendas. São Paulo, Jorge Zahar Editor, 2012, p. 381).
No Renascimento, quais campos da Matemática foram desenvolvidos?
Matemática no Renascimento
Nicholas Cusa (1401-1464): lembrado atualmente por seu trabalho 
na reforma do calendário e por tentativas de quadrar o círculo.
Georg von Peurbach (1423-1463): escreveu uma aritmética, alguns trabalhos de 
astronomia e iniciou uma tradução do Almagesto, de Ptolomeu, a partir do grego.
Johann Müller (1436-1476) (Regiomontanus): o tratado 
é uma exposição sistemática dos métodos para resolver 
triângulos que marcaram o Renascimento na 
Trigonometria.
Matemática no Renascimento
Luca Pacioli (1445-1514): apresentou um trabalho de notável compilação de 
material de quatro campos, aritmética, álgebra, geometria euclidiana muito 
elementar e contabilidade.
Na Alemanha, os livros sobre álgebra foram tão numerosos que, durante algum 
tempo, a palavra germânica coss para a incógnita triunfou em outras partes da 
cóssica
símbolos germânicos para adição e subtração acabaram por substituir os símbolos 
italianos em uso.
Matemática no Renascimento
Gerônimo Cardano (1501-1576): escreveu a Ars magna, considerada como 
marco do início do período moderno na Matemática.
Nicolau Copérnico (1473-1543) emprega a matemática na busca de leis físicas.
Leonardo da Vinci teve participação em desenvolvimento de conhecimentos 
matemáticos voltados para a teoria da perspectiva.
Matemática no Renascimento
INTERVALO
particularmente associada à expansão da ciência experimental e à matematização 
da natureza, atribuídas a Galileu. [...] Na matemática, a geometria cartesiana e o 
cálculo infinitesimal são vistos como as duas manifestações mais importantes 
desfazendo mitos e lendas. São Paulo, Jorge Zahar Editor, 2012, p. 221).
Quais as áreas da Matemática que se desenvolveram ao longo dos séculos 
XVI e XVIII?
Matemática nos séculos XVI a XVIII
Quais as áreas da Matemática que se desenvolveram ao longo dos séculos 
XVI e XVIII?
François Viète (1540-1603) na obra: In artem, o simbolismo algébrico 
é notadamente trabalhado.
John Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1561-1631) desenvolveram trabalhos 
sobre os logaritmos.
Matemática nos séculos XVI a XVIII
Henry Briggs (1561-1631), professor de geometria do Gresham College de 
Londres e, posteriormente, professor de Oxford.
Com Napier, alterou as tábuas de logaritmos, nascendo assim os Logaritmos 
Briggsianos ou Comuns, atualmente utilizados. 
René Descartes (1596-1650), autor da obra Discurso do Método, trouxe 
contribuições à geometria analítica.
Pierre de Fermat (1601?-1665) trabalhou com a geometria 
analítica: equação geral da reta; equação geral da 
circunferência; hipérboles; elipses; parábolas; 
tangentes; quadraduras.
Matemática nos séculos XVI a XVIII
Blaise Pascal (1623-1662), francês, desenvolveu trabalhos pioneiros sobre Teoria 
das Probabilidades; Fórmula de Geometria do Acaso; Triângulo de Pascal; Tratado 
sobre as Potências Numéricas.
A realização mais notável do século XVII: descoberta e desenvolvimento do cálculo
(Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz).
Leibniz (1646-1716) usou pela primeira vez o símbolo 
de integral, utilizando a primeira letra da palavra latina 
summa, que significa soma. Escreveu diferenciais e 
derivadas como são atualmente.
Matemática nos séculos XVI a XVIII
Leonhard Euler (1707-1783) foi o mais importante matemático nascido na Suíça. 
Responsável pelas seguintes notações utilizadas em Matemática:
f(x) para funções;
e para base dos logaritmos naturalis;
i para a unidade imaginária;
o símbolo de somatória;
notação para derivadas de grau n etc. 
Matemática nos séculos XVI a XVIII
O século XIX foi frequentemente chamado de idade do rigor. Essa é uma 
caracterização correta no sentido de que a análise adquiriu um fundamento que 
ainda reconhecemos como satisfatório. A rigorização não foi somente uma questão 
de esclarecer alguns poucos conceitos básicos e mudar as provas de alguns 
teoremas básicos; ao invés disso, ela invadiu quase todaa análise e transformou-a 
na disciplina que aprendemos hoje. (LÜTZEN, J., citado por ROQUE, Tatiana. 
História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. São Paulo, 
Jorge Zahar Editor, 2012, p. 326)
A matemática nos séculos XIX a XX e a escola brasileira
O alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) apresentou a primeira demonstração 
plenamente aceitável do teorema fundamental da álgebra e um trabalho 
fundamental na moderna Teoria dos Números.
Gauss (1777-1855) foi um dos precursores do cálculo diferencial, iniciando um 
novo ramo da Matemática denominado de geometria diferencial.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): definiu a integral em 
termos de soma, mas esse estudo foi muito incompleto. 
Seus trabalhos influenciaram investigações sobre os 
fundamentos do cálculo, levando ao desenvolvimento da 
Análise Matemática e da Teoria das Funções.
Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX
Bernhard Riemann (1826-1866): realizou um estudo aprofundado da integral. Em 
sua investigação as somas usadas na definição de integral foram denominadas 
somas de Riemann e a própria integral chamada de Integral de Riemann.
Carl Cristov Jacobi (1804-1851) contribuiu para a Teoria dos Determinantes.
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845-1918) 
e Jules Henri Poincaré (1854-1912) exerceram influência 
considerável em uma área muito extensa da matemática 
dos tempos atuais.
Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX
O Movimento Matemática Moderna foi uma adaptação ao ensino das duas 
características principais da matemática do século XX:
Essa perspectiva de ensino teve impacto nos currículos 
brasileiros até a década de 1980, cuja crítica apontou os 
exageros dessa forma de abordagem dos conteúdos 
matemáticos no ensino fundamental e médio.
A matemática moderna
A industrialização exigiu a universalização da educação escolar e a possibilidade 
de acesso à escola para a maioria da população, iniciada justamente com a 
Constituição de 1946, que determinava que o ensino primário, de quatro anos de 
duração, era obrigatório a todos, e investimento na ampliação do ensino médio, 
regular ou técnico.
A escola brasileira
A partir da década de 1940, as sociedades científicas de matemática 
foram fundadas. 
Sociedade de Matemática de São Paulo (1945-1969), com sede na USP.
Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) 1969. 
Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) 
década de 1980, que tem por objetivo congregar 
profissionais da matemática e está voltada para 
os profissionais da área de educação matemática.
A escola brasileira
Década de 1940 pós-graduação em Matemática na USP.
Decreto n° 12.511, de 21 de janeiro de 1942, reorganizou a FFCL da USP e 
instituiu a concessão do grau de doutor por aquela faculdade. Para o caso da 
matemática, foi instituído o grau de doutor em ciências.
A escola brasileira
1952 fundação do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa), na cidade 
do Rio de Janeiro, como um órgão do CNPq.
Década de 1950 o Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) criou programas 
de pós-graduação stricto sensu em matemática.
1956 início em Rio Claro do Departamento de Matemática da Faculdade 
de Filosofia, Ciências e Letras.
A partir da década de 1960 houve um substancial 
incremento na oferta e na demanda de cursos de 
graduação em matemática em quase todo o país.
A escola brasileira
A partir da década de 1950, a Escola de Engenharia de São Carlos, da USP, 
instituiu programas de pós-graduação em matemática.
Ambrosio, matemático que criou a linha de pesquisa Etnomatemática, 
obteve o grau de doutor em 1963.
Ofélia Teresa Alas, graduada em matemática pela FFCL da USP, em 1968, foi a 
segunda brasileira a obter o grau de doutora em matemática.
A escola brasileira
Fonte: Livro-texto
ATÉ A PRÓXIMA!