Sistemas Lineares: Equações e Classificação

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Sistemas lineares
Uma companhia de navegação utiliza dois tipos de 
recipiente para carga, A e B, que acondicionam mercadorias 
em contêineres de dois tipos, I e II. A quantidade de 
contêineres de cada tipo que cabem em cada recipiente é 
dada pela tabela a seguir.
Sistemas lineares
Tipo de 
recipiente
I II
A 4 3
B 5 2
Para determinar o número de recipientes x1 e x2 de 
cada tipo, sabendo que a companhia deve transportar 
42 contêineres do tipo I e 27 do tipo II, podemos 
montar um sistema:
As equações desse sistema são do 1o grau e são chamadas 
de equações lineares.
Sistemas lineares
Equações lineares
Equação linear é toda equação que pode ser escrita a1x1 + + 
a2x2 + ... + anxn = b, em que x1, x2,..., xn são incógnitas; os 
números reais a1, a2, ..., an são os coeficientes das 
incógnitas; e o número real b é o termo independente.
Quando o termo ndependente é nulo, a equação linear é 
chamada de homogênea.
Exemplos de equações lineares
▪ x1 + 3x2 – x3 = 7
▪ x – w = 3
▪ –x1 + 1,5x2 = 0 (homogênea)
▪ 2x + 3y – z = 0 (homogênea)
Equações lineares
Exemplos de equações não lineares
▪ x2 + 3y – z = 7 (apresenta uma incógnita com expoente diferente de 1)
▪ x – 1= 3 (apresenta uma incógnita no denominador)
y
▪ 2x + 3yz = 0 (apresenta um termo com mais de uma incógnita: 3yz)
Exemplos
▪ O par ordenado (3, 5) é solução da equação –3x + 2y = 1 ⇒
⇒–3 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 1 ⇒ S = {(3, 5)}
▪ (1, 3, 5) não é solução da equação 3x – 2y – 3z = 14 ⇒
⇒ 3 ∙ 1 – 2 ∙ 3 – 3 ∙ 5 ≠ 14 ⇒(1, 3, 5) não é solução.
▪ (0, 0, 0) é solução da equação
x + 2y – 3z = 0 → 0 + 2 ∙ 0 – 3 ∙ 0 = 0 ⇒ S = {(0, 0, 0)}
Equação homogênea
Solução de uma equação linear
Solução de uma equação é toda ênupla de números 
reais (α1, α2, ..., αn) que torna a igualdade a1x1 + a2x2 +
+ ... + anxn = b verdadeira, isto é, tal que a1α1 + a2α2+
+ ... + anαn = b seja verdadeira.
Solução de uma equação linear
Um sistema de equações lineares de m equações com n 
incógnitas é um conjunto de equações lineares que podem ser 
escritas na forma:
a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ⋯+ a3nxn = b3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
am1x1 + am2x2 + ⋯+ amnxn = bm
em que x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, am1, ..., amn
são os coeficientes reais; os números reais b1, b2, ..., bm são
os termos independentes.
Sistemas de equações lineares
Exemplos
(sistema de 2 equações com 2 incógnitas)
(sistema de 2 equações com 3 incógnitas)
=
(sistema de 3
equações com
4 incógnitas)
(sistema de 4 equações com 3 incógnitas)
Sistemas de equações lineares
A ênupla (α1, α2, ..., αn) é solução de um sistema 
linear de m equações com n incógnitas quando é 
solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo
Observe as seguintes equações e algumas de suas soluções:
▪ 2x + y = 4 ⇒ (–1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), ...
▪ x + 2y = 5 ⇒ (–1, 3), (1, 2), (3, 1), (5, 0), ...
Note que as duas equações têm o par ordenado (1, 2) como 
solução comum.
Portanto, (1, 2) é solução do sistema linear
Sistemas de equações lineares
Exemplos
b)
O terno ordenado (1, 3, 4) não é uma solução do
sistema pois, substituindo esses valores nas
equações,
temos:
(verdadeira) 
(falsa)
Solução de um sistema linear
▪ 2x + y = 4 → pontos de uma reta r
▪ x + 2y = 5 → pontos de uma reta s
▪ O ponto P, intersecção das retas r e s, 
representa o par ordenado (1, 2); portanto, 
o ponto P é a solução gráfica desse sistema.
1o caso
Interpretação gráfica de um sistema 
linear com duas incógnitas
Como as equações são representadas por retas paralelas e 
distintas, não há intersecção entre elas, portanto não existe par 
ordenado que seja solução do sistema.
2o caso
(reta r) 
(reta s)
Interpretando graficamente 
as equações, temos:
Interpretação gráfica de um sistema 
linear com duas incógnitas
Como as equações são representadas por retas coincidentes, 
existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.
3o caso
Interpretando graficamente as equações do sistema
(reta r) , temos:
(reta s)
Interpretação gráfica de um sistema 
linear com duas incógnitas
De acordo com o número de soluções, um sistema linear é 
classificado em:
a) sistema possível e determinado (SPD) → uma só solução;
b) sistema possível e indeterminado (SPI) → infinitas 
soluções;
c) sistema impossível (SI) → nenhuma solução.
Classificação de um sistema linear
Exemplos
b) Latas que custem R$ 80,00, se o preço do litro de látex for 
R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 4,00.
Nesse caso, construímos o sistema:
A 2a equação é, em ambos os membros, o quádruplo da 1a equação, 
representando assim a mesma informação. Algumas das infinitas 
soluções para esse sistema são (1, 19), (2, 18), (3, 17) e (5,3; 14,7). 
Observe que essas soluções são do tipo (20 – k, k), com
0 < k < 20 e k ∈ℝ.
Logo, a solução S = {(20 – k, k) | k ∈ ℝe 0 < k < 20} e o sistema é 
um sistema possível e indeterminado (SPI).
Classificação de um sistema linear
Classificação de um sistema linear
Exemplos
c) Latas que custem R$ 120,00, se o preço do litro de látex for 
R$ 8,00 e o do litro de corante for R$ 8,00.
Para essa situação, vamos considerar o sistema:
x + y = 20 
8y + 8y = 120
Resolvendo o sistema, temos:
– 8x – 8y = –160
8y + 8y = 120
0x + 0y = –40 ⇒0 = –40 (falsa)
Sistemas lineares homogêneos
Quando um sistema é formado apenas por equações 
homogêneas, ou seja, quando todos os termos 
independentes são nulos, o sistema é denominado 
homogêneo.
Observe que todo sistema linear homogêneo com n incógnitas 
admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução. Essa solução é 
chamada solução nula, trivial ou imprópria.
Qualquer solução diferente de (0, 0, 0) para um sistema 
homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria.
Exemplos
▪
▪
▪
Sistemas lineares homogêneos
Matriz associada a um sistema
Todo sistema linear pode ser associado a matrizes.
Exemplo
a)
▪ Chamamos de matriz associada incompleta a matriz
formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do
sistema.
▪ Chamamos de matriz associada completa a matriz
formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos
independentes.
Matriz associada a um sistema
Exemplo
b)
matriz associada 
incompleta
matriz associada 
completa
⇒
Considere o sistema de equações:
Conceito da regra de Cramer aplicado na 
resolução de um sistema linear 3×3
Descrição do procedimento Aplicação do 
procedimento
1o) Montamos a matriz associada incompletae
calculamos seu determinante D.
▪ É importante observar que a regra de Cramer só pode 
ser aplicada a sistemas n × n (com n equações e
n incógnitas) com D ≠ 0; portanto, se D = 0, não
podemos aplicá-la.
D =
2o) Calculamos o determinante Dx, substituindo, na
matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes 
de x pela coluna dos termos independentes.
Dx =
Descrição do procedimento Aplicação do 
procedimento
3o) Calculamos o determinante Dy, substituindo, na
matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes 
de y pela coluna dos termos independentes.
Dy =
4o) Calculamos o determinante Dz, substituindo, na
matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes 
de z pela coluna dos termos independentes.
Dz =
5o) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer:
x =
y =
z =
Conceito da regra de Cramer aplicado na 
resolução de um sistema linear 3×3
Exemplo
b) Vamos encontrar a solução do sistema , 
usando a regra de Cramer:
D = = 62,
Dx = = 62, Dy = = –62 e Dz = = 0
Logo:
x = = 1, y = = –1 e z = = 0
Portanto, a solução do sistema é S = {(1, –1, 0)}
coluna dos termos independentes
Conceito da regra de Cramer aplicado na 
resolução de um sistema linear 2×2
R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de 
cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão, 
arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo, 
mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a 
composiçãode cada cesta:
▪ cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão;
▪ cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão;
▪cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão. 
Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00, 
R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada 
produto citado?
R5.
Resolução
Representando os preços dos pacotes de macarrão, arroz e 
feijão por m, a e f, respectivamente, construímos o sistema:
Calculando os determinantes, temos:
D = = 2 Da = = 16
Dm = = 4 Df = = 6
R5.
Resolução
Portanto, pela regra de Cramer:
m = = 2, a = = 8, f = = 3
Logo, os preços dos pacotes de macarrão, de arroz e de feijão 
são R$ 2,00, R$ 8,00 e R$ 3,00, respectivamente.
Sistema escalonado
Um sistema é dito escalonado quando, de uma equação 
para a seguinte, aumenta a quantidade de coeficientes 
nulos antes do primeiro coeficiente não nulo.
Exemplos
▪
▪
▪
a)
Como o sistema já está escalonado, temos: z = 5 
Substituindo z por 5 na 2a equação: 2y – 5 = 3 ⇒ y = 4 
Agora, trocando z por 5 e y por 4 na 1a equação, obtemos: 
2x – 4 + 5 = 2 ⇒ x =
Logo, há uma só solução: ( , 4, 5)
Portanto, o sistema é possível e determinado (SPD).
Resolução e classificação de um 
sistema escalonado
b) O sistema tem duas equações e três 
incógnitas.
Se o sistema admite solução para z = k, sendo k real, ele é 
equivalente ao sistema:
Resolvendo esse novo sistema, encontramos: y = 3k e x = 4 –
5k.
Atribuindo valores reais a k, obtemos soluções do sistema. Por
exemplo, fazendo k = –6, obtemos o terno (34, –18, –6), que
satisfaz o sistema.
Como k é um número real qualquer, o sistema tem infinitas 
soluções, ou seja, é um sistema possível e indeterminado 
(SPI).
Resolução e classificação de um 
sistema escalonado
Portanto, a solução do sistema será do tipo (4 – 5k, 3k, k), em 
que k é real.
▪ É importante observar que, quando um sistema admite 
infinitas soluções (SPI), chamamos a variável que assume o 
valor k, real, de variável livre. Há sistemas com mais de 
uma variável livre. Nesse exemplo, z é a única variável 
livre.
c) Na última equação do sistema , não há valores 
para z que tornem a igualdade verdadeira 0z = 2, pois toda 
multiplicação por zero resulta em zero. Sem solução, o 
sistema é impossível (SI).
Resolução e classificação de um 
sistema escalonado
Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas 
equivalentes a ele, aplicando, total ou parcialmente, o 
procedimento usado nos exemplos a seguir.
a) Vamos escalonar o sistema 
seguintes passos:
, adotando os
O processo do escalonamento
Resolução
Vamos escalonar esse sistema por meio de um esquema.
R9. Escalonar e resolver o sistema:
Logo, o sistema é impossível (SI).
⇒
⇒
⇒
∙(–4)
+
∙(–4)
+
:(2)
∙(–1)
+
Discussão de um sistema linear
Discutir um sistema linear em função de um ou mais 
parâmetros é indicar para quais valores desses parâmetros o 
sistema é:
▪ possível e determinado (SPD);
▪ possível e indeterminado (SPI);
▪ impossível (SI).
Aplicação do determinante
Sendo D o determinante da matriz associada incompleta 
de um sistema linear de n equações e n incógnitas:
▪ D ≠ 0 ⇒ sistema possível e determinado(SPD);
▪D = 0 ⇒ sistema possível e indeterminado (SPI)ou 
sistema impossível (SI).
Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é 
uma matriz quadrada (n × n), não é possível calcular seu 
determinante, por isso aplicamos o método do 
escalonamento para discutir esse sistema.
R11. Discutir o sistema
Resolução
Vamos escalonar o sistema conservando a 1a equação. 
Multiplicamos a 1a equação por (–1) e somamos, membro a 
membro, com a 2a.
Multiplicamos a 1a equação por (–2) e somamos, membro a 
membro, com a 3a.
R11.
Resolução
Para facilitar, multiplicamos a nova 3a equação por (–1)e
trocamos com a nova 2a equação:
Multiplicamos a nova 2a equação por 2 e somamos, membro 
a membro, com a nova 3a equação:
▪ Se m ≠ –5, então z = . Logo, o sistema tem uma 
única solução e, portanto, é SPD.
R11.
Resolução
▪ Se m = –5, obtemos o sistema:
Agora, observando a 3a equação, 0z = 2 – 2n, temos:
Se 2 – 2n for igual a zero, ou seja, se n = 1, a variável z pode 
assumir qualquer valor real e, portanto, o sistema é SPI.
Se 2 – 2n ≠ 0, não há valor de z que satisfaça a equação; logo, 
o sistema é SI.
Resumindo: