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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Professora: Gabriela Oliveira
Disciplina: Cálculo IV
Data: 22/09/20 até às 19:00
Aluno (a): Nota:
1a Lista Avaliativa
1) Calcule
∫︀
𝐶
𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦, em que 𝐶 consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0)
a (3, 2).
2) Calcule a integral
∫︀
𝐶
𝑥𝑦3𝑑𝑠, em que 𝐶 : 𝑥 = 4 sin 𝑡, 𝑦 = 4 cos 𝑡, 𝑧 = 3𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2.
3) Encontre
∫︀
𝐶
𝑥𝑒𝑦𝑧𝑑𝑠, 𝐶 é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
4) Calcule
∫︀
𝐶
𝑥2𝑦
√
𝑧𝑑𝑧, 𝐶 : 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
5) Calcule
∫︀
𝐶
(𝑥 + 𝑦𝑧)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 + 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧, 𝐶 consiste nos segmentos de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de
(2, 3, 1) a (2, 5, 2).
6) Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro
na origem e raio a. Se a função densidade for 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥𝑦, encontre a massa do arame.
7) Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = sin 𝑥𝑖 + cos 𝑦�⃗� + 𝑥𝑧�⃗� sobre um
objeto que se move sobre a curva �⃗�(𝑡) = 𝑡3⃗𝑖 − 𝑡2�⃗� + 𝑡�⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
8) Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦) sobre uma
partícula que se move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) a (3, 4, 2).
9) Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 sin 𝑦𝑖 + 𝑦�⃗� em uma partícula que
se move sobre a parábola 𝑦 = 𝑥2 de (−1, 1) a (2, 4).
10) a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá
uma única volta completa uniformemente na circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 1.
b) Isso também é verdadeiro para um campo de força 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦) onde 𝑘 é uma constante?
11) Calcule a integral de linha do campo 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦2, 𝑥, −1) sobre o triângulo de vértices (0, 0, 0),
(1, 0, 0) e (2, 1, 2) (parametrize os lados do triângulo seguindo uma orientação). Será necessário
calcular 3 integrais.
12) A figura mostra uma curva 𝐶 e um mapa de contorno de uma função 𝑓 cujo gradiente é contínuo.
Determine
∫︀
𝐶
∇𝑓 · 𝑑�⃗�.
13) Determine se 𝐹 = (ln 𝑦 + 2𝑥𝑦3)⃗𝑖 +
(︁
3𝑥2𝑦2 + 𝑥
𝑦
)︁
�⃗� é ou não um campo vetorial conservativo. Se
for, determine uma função potencial.
14) A figura mostra o campo vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦, 𝑥2) e três curvas que começam em (1, 2) e
terminam em (3, 2).
a) Explique por que
∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑�⃗� tem o mesmo valor para as três curvas.
b) Qual é esse valor comum?
15) Determine uma função 𝑓 tal que 𝐹 = ∇𝑓 e use para calcular
∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑�⃗� sobre a curva 𝐶 dada:
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦2 cos 𝑧𝑖 + 2𝑥𝑦 cos 𝑧�⃗� − 𝑥𝑦2 sin 𝑧�⃗�, 𝐶 : �⃗�(𝑡) = 𝑡2⃗𝑖 + sin 𝑡𝑗 + 𝑡�⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.
16) Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral:∫︀
𝐶
2𝑥 sin 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 cos 𝑦 − 3𝑦2)𝑑𝑦, 𝐶 é qualquer caminho de (−1, 0) a (5, 1).
17) Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 2𝑦 32 �⃗�+3𝑥√𝑦�⃗� ao mover um objeto
de 𝑃 = (1, 1) a 𝑄 = (2, 4).
18) Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:∮︀
𝐶 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦, 𝐶 é o retângulo com vértices (0, 0), (3, 0), (3, 1) e (0, 1).
19) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação
positiva:
∫︀
𝐶
𝑒𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦, 𝐶 é o quadrado de lados 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0 e 𝑦 = 1.
20) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação
positiva:
∫︀
𝐶
𝑦3𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑦, 𝐶 é o círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
21) Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑥 + 𝑦)⃗𝑖 + 𝑥𝑦2�⃗� ao
mover uma partícula da origem ao longo do eixo 𝑥 até (1, 0), em seguida ao longo de um segmento
de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo do eixo 𝑦.
22) Uma partícula inicialmente no ponto (−2, 0) se move ao longo do eixo 𝑥 até (2, 0) e então ao longo
da semicircunferência 𝑦 =
√
4 − 𝑥2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar
o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥3 + 3𝑥𝑦2).
Respostas:
1) 173
2) 320
3) 112
√
14(𝑒6 − 1)
4) 15
5) 973
6) 𝑘𝑎32
7) 6/5 − cos 1 + sin (−1)
8) 26
9) (cos 1 − cos 4 + 15)/2
10) b) Sim.
11) 16
12) 40
13) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ln 𝑦 + 𝑥2𝑦3 + 𝐾
14) b) 16
15) a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2 cos 𝑧 b) 0
16) 25 sin 1 − 1
17) 30
18) 92
19) 𝑒 − 1
20) −24𝜋
21) − 112
22) 12𝜋