Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-481

Prévia do material em texto

970 CÁLCULO
12–18 (a) Determine uma função f tal que F � �f e (b) use a parte
(a) para calcular sobre a curva C dada.
12. F(x, y) � x2 i � y2 j, 
C é o arco da parábola y � 2x2 de (�1, 2) a (2, 8) 
13. F(x, y) � xy2 i � x2y j, 
C: r(t) � kt � sen pt, t � cos ptl, 0 � t � 1
14. F(x, y) � (1 � xy)exy i � x2exy j, 
C: r(t) � cos t i � 2 sen t j, 0 � t � p/2
15. F(x, y, z) � yz i � xz j � (xy � 2z) k, 
C é o segmento de reta de (1, 0, �2) a (4, 6, 3) 
16. F(x, y, z) � (y2z �2 xz2) i � 2 xyz j � (xy2 � 2x2z) k, 
C: x � , y � t � 1, z � t2, 0 � t � 1 
17. F(x, y, z) � yzexz i � exz j � xyexz k, 
C: r(t) � (t2 � 1) i � (t2 � 1) j� (t2 � 2t) k, 0 � t � 2
18. F(x, y, z) � sen y i � (x cos y � cos z) j � y sen z k, 
C: r(t) � sen t i � t j � 2t k, 0 � t � p/2
19–20 Mostre que a integral de linha é independente do caminho e
calcule a integral. 
19. hC tg y dx � x sec2 y dy, 
C é qualquer caminho de (1, 0) a (2, p/4) 
20. hC (1 � ye�x) dx � e�x dy,
C é qualquer caminho de (0, 1) a (1, 2) 
21. Suponha que você seja solicitado a determinar a curva que exige
o mínimo de trabalho para um campo de força F para mover uma
partícula de um ponto a outro ponto. Você decide verificar pri-
meiro se F é conservativo, e de fato verifica-se que ela é. Como
você responde à solicitação?
22. Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade
de trabalho necessária para um campo de força F para mover
uma partícula do ponto (1, 2) para o ponto de (5, �3) ao longo
de uma curva C1 é de 1,2 J e do trabalho realizado por F em
mover a partícula ao longo de outra curva C2 entre os mesmos
dois pontos é de 1,4 J. O que você pode dizer sobre F? Por quê?
23–24 Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao
mover um objeto de P para Q.
23. F(x, y) � 2y3/2 i � 3x j;MMP(1, 1), Q(2, 4)
24. F(x, y) � e�y i � xe�y j;MMP(0, 1), Q(2, 0) 
25–26 A partir do gráfico de F você diria que o campo é conserva-
tivo? Explique.
25. 26. 
27. Se F(x, y) � sen y i � (1 � x cos y) j, use um gráfico para con-
jecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura
estava correta.
28. Seja F � � f, onde f (x, y) � sen(x � 2y). Encontre curvas C1 e
C2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação. 
(a) (b) 
29. Mostre que, se um campo vetorial F � P i � Q j � R k é con-
servativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem
contínuas, então 
30. Use o Exercício 29 para mostrar que a integral de linha 
não é independente do caminho. 
31–34 Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b)
conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo. 
31. {(x, y)
 0 � y � 3} 32. {(x, y)
1 � 
x
 � 2}
33. {(x, y)
1 � x2 � y2 � 4, y � 0}
34. {(x, y)
(x, y) � (2, 3)} 
35. Seja .
(a) Mostre que ∂P/∂y � ∂Q/∂x.
(b) Mostre que não é independente do caminho. [Dica:
Calcule e , onde C1 e C2 são as metades
superior e inferior do círculo x2 � y2 � 1 de (1, 0) a (�1, 0).]
Isto contradiz o Teorema 6?
36. (a) Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado,
ou seja, 
para alguma constante c, onde r � x i � y j � zk. Determine
o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto
P1 por um caminho para um ponto P2 em termos da distân-
cia d1 e d2 desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um campo de quadrado inverso é o campo
gravitacional F � �(mMG)r/
r
3 discutido no Exemplo 4 na
Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho reali-
zado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do
afélio (em uma distância máxima de 1,52 � 108 km do Sol )
ao periélio (em uma distância mínima de 1,47 � 108 km).
(Use os valores m � 5,97 � 1024 kg, M � 1,99 � 1030 kg e 
G � 6,67 � 10�11 N�m2/kg2.)
(b) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elé-
trico F � eqQr/
r
3 discutido no Exemplo 5 da Seção 16.1.
Suponha que um elétron com carga de �1,6 � 10�19 C esteja
localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada
à distância de 10�12 m do elétron e se move para uma posi-
ção que está à metade da distância original do elétron. Use a
parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo
elétrico. (Use o valor e� 8,985 � 109.)
F�r� �
cr
� r �3
xC2
F � drxC1
F � dr
xC F � dr
F�x, y� �
�y i � x j
x 2 � y 2
xC y dx � x dy � xyz dz
�Q
�z
�
�R
�y
�P
�z
�
�R
�x
�P
�y �
�Q
�x
yC2
F � dr � 1yC1
F � dr � 0
sy
st
xC F � dr
y
x
y
x
1
2
1
2
SCA
Calculo16_03:calculo7 6/12/13 7:54 AM Page 970