Prova De Calculo Diferencial E Integral III

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Orie:ntações para responder a prova 
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1. Um sistema de coordenadas polares em 
rutelllátlca é u,m sistema em que cada ponto do 
plana cartesiano é wodado a um ângulo e a uma 
dlstinda. Utfllzanda a l!IKldança de varlávef 
cartesiana para polar, calcule• Integral dupla da 
função e, em seeul~ assinale • altemat:in 
CORRETA: 
vl + ;:,1)f) 
f(.i..,~) = ' 
Ir 
ç, 
na reglàotrJ 4- r 1 < 4. 
\... 
A. ( J 128 
B. ( J 32 
e. { ) 16 
º-~ 6,4 
2. Um dos Teorengs mais utilizados para calcula,r 
integrais duplas e triplas é o Teorema de Fublni, 
ele nos permite Inverter • ordem de lnte9raçlo. 
Essa mu,dança n■ ordem de lntegr■çlo pode em 
certas Integral• diminuir • q,uantidade da d.lculos 
necessirios para • resoluçio. Utilizando o 
Teorema de Fublnl, condu(mos que o valor da 
Integral: 
.. j ., ... L J~ f )' = s"11( r) + cos (,1) ti= d1 d,· 
A. ( ) É igual a 5. 
s. ( ) Ê Igual a - 3. 
e.~ ) ~iguala o. 
o. 'N É. tgual a 6. 
3. O ratadonal 4a IAM fu~o vetorial é um campo 
vetorial• calcula como oa vetores de um campo 
vetorial se aprodmam (afutam) de um vetar 
normal. Com rel■~o ao romclonal, podemos 
afinur -.u• o rotadonal da funçio vwtorlal 
F T , : 1 = , , : i·1 e~ .: 1 .;: g," J 
e J9Ual e 
t ror F, = f 2-'f 3l • .: "~: ~::I 
f!\ ro:' F) = 1x 4 3 ,..: co:f =) ..,. 4r· 
If/ n,r1f1 = r 1ren•:t -4:"r o, 
fi."', ,-..;•( F 1 = v-1 sm(: 1 - 4::-P 1 
A. ( ) Somente a opção rv está correta. 
!.. ( ) Somente a cpçãc li está correta. 
e. ( ) Somente a opçio I está correta. 
o. f~ Soment~ e opção UI está correta. 
4. Um■ das apUcaçóea de derivada na físlca é• 
veloddade de uma partfcula, porém outra 
apllcaçlo multo ulillza,da de derivada é• reta 
tangente. Determine ■ reta ~nr,ente da função 
vetorial: - ~ ~· :-') f {t) ~~ ,-e: -·.t....> 
no ponto t0 =z:::.,i sabendo que a reta 
tangente..de f (t) no ~o r0 é dada 
por rtt) = f/~) .frtrr)f com t E R 
k ( ) A reta tangente é {2l + 3,1 + t, Bt). 
8. ( ) A reta tangente é 1 + 8t 
e. (:.. ) A re~ tangente é 8 + 7t. 
o. 0-) A reta tangente é (3 + 2t, 1 + t. 4 + 4t). 
s·. O Teorema de Stokes é mofto similar ao 
Teorema de Green, a diferença entre eles é o 
c■mpo de vetores que estamos trabalhando, no 
Teorema de Green temos um campo de vetores de 
duas varihefs, J' no Teorema de Stokes ternos um 
campo de vetores de trb va~vels, lembre-se que 
o Teorema de Stokes é: 
i F dJ' = ff rar(F) n chdv 
r, 
com o rotacional 
ro!(FI = (ªR _ BQ 8P _ aR ôQ _ ~p). 
a, õ: it: rh ih ay 
A lntegral de linha do campo vetorial 
onde C e a paraboloide : = 9 - .rJ - ,.: e o 
plano : = O onenlado para balx:o é Igual a 
/ l 18 rr 
li} 3 ,, 
111, 9 
n·> o 
A.~) Somente a opção I está correta. 
B. ( ) Somente a opção IV está correta. 
e.. ( ) Somente a opção II está correta. 
o. e ) Somente a opção III está correta. 
6. O teorema de Gauss multas veze9 é chamado de 
Teorema da dlvergênda, pois transforma uma 
Integral de superffde de um campo vetorial em 
uma Integral tripla do divergente desse campo 
vetorial, ou seja, a Teorema de Gauss reladona 
duas Integrais: 
, ff.f 5 ,,d~ Jjf ~J.é}~ (3d:.U 
O Huxo extenor do campo ~tonal 
7i}. i.J = ,tel z -J :-"1 
a~avés da 1Mo~:iadàpela esfera 
.r:J/j + ~1 !: 9 é igual a 
/} e3 
//)-12,r 
III) O 
/lf) - 3 
A. e ) Somente a opção II está correta. 
B. ( ) Somente a opção IV está correta. 
e.)() Somente a opção III está correta. 
o. e ) Somente a opção I está correta. 
7. O momento de lnircla de um corpo é o grau de 
dlflculdade que o corpo tem de alterar o seu 
estado de movimento. Podemos calcular o 
momento de Inércia em tomo do eixo x e do eixo 
y. Determine o momento de inércia de um disco 
homogêneo com centTo (O, O) e rafo fguaf a 2 e 
com densidade f (x, y) = 2 em tomo do ehto v: 
A. ( ) 18 pi, 
B. ( ) 12 pi. 
e. e > 4 pi. 
ºX,ª pi. 
8. Se um■ partícula percorre um caminho, 
podemos utilizar a Integral de Unha para 
determinar o trabalho realizado pelo campa de 
forças nessa partícula. Se a p•rtícula começa no 
ponto (3,0), percorre ao longo do eixo: 
r chegando ao ponto (-3 O) e retoma 
até o ponto 1nic1al pelo o sem1drculo 
mfenor \ = + )':: = 9, então o trabalho 
realrzado pelo campo de forças 
F(x.y) = (-v3.x3 ) ê igual a 
/) 243 
//) 81 rr 
///) o 
) 
243rr 
/V --
4 
Teorema de Green 
f- - LJªQ ap F · d ,. = - - - d., ri)' 
à\· a,, 
1 D 
A. ( ) Somente a opção I está correta. 
e. ( ) Somente a opção II está correta. 
e. e ) Somente a opção III está correta. 
o. ( ) Somente a opção IV está correta. 
9. o trabalho realizado por um campo de forças 
sobre uma partícula é dado pela Integral de Unha 
sobre uma curva. Utilizando o Teorema de Green 
podemos afirmar que o trabalho (W) realizado Pb) 
umL artfcula ao longo do retin lo 
orfen;çio positiva e vértice• ~Ó), Mji (2, 3) 
~•,,e campo de forças: / ~ ' 
r 1 , , =- 1.'t ,.. • .!t~ o 
ê t]Wll a 
J J lf =- <"" t ~ e 
ii l W => l i'~ - 3 t~ 
IJJ l W = ~e1 
- 1 fGU'.le 
I\ '"~ ft/ = G imr:l.e 
A. 1\ ·o Saam.e111te 11 ~ I si corirm .. 
a. ,1 J ~ a op.çio m está carreta. 
e &' , SGmemte I opção l1 sj ameta. 
o. r· l SGmemte ill opção lV estã mr.rm.. 
10~ O movimento de uma partícula sobre o plano 
no ponto (x, vl é dado por uma funçlo vetorial que 
llepende de tempo t em segundo•. Determine o 
ponto (•, y) da poslçlo lnldAI da particula e o 
lnst.ante de tempo q-ue a partkula está no ponta 
(•7, 20)1 ubendo que a funçlo mcmment.a da parti~•· é: 
/ H l = t 3 - l.-~ t: - r't 
A.. ( l A l)OS'l_ao imcila-1 é o .. O) e a pa,rtiot:.a está lilO 
l)4MiO (-7. 28) "'1alldo t = -13 segundos. 
B. ( 2'<.J P. pogção 'inla!i é (33 OD e a particuLa ~ no 
poAo'(-"7 8 2GJ qu&,\do t = 5 segu.Rôos. 
C. ( } A pasiçio inkial e {-J~ 6) e a paftirula está no 
pcnto ( • 7. 20) qua.nda t = 10 segundos. 
o. 1 ~ A ,J>O.siçào in:ldal é (S, •2} e a pamcula está no 
poo,to ( ·7, 20) quando t = l.S 5e9undos. 
11. (ENADE, 2014,) Deseja-se plntar a superftde 
externa e lateral de um mon.umento em forma de 
um paraboloide, que pode ser descrita pela 
equaçlo z = x• + y2 , situada na regllo do espaço 
de coordenadas cartesianas (x1 v, zi dada pela 
condição z <= 9. Os eixos COOl'denados Mtlo 
dimensionados em metroa e g.uta-se um litro e 
meio de tinta a cada metro quadrado de ,rea da 
superfide a ser pintada. 
A quantidade de tinta, em lltroa, ~ecev+-ia para 
se pintar a wperf(de lateral do monumento 6 dada 
p~la Integral dupla: 
o I I 
0 
r...Vo ltem o. 
e. I l Item e. 
.c.oc ) ftem B. 
O.( U kemA. 
J 
12. (ENADI!, 20,11) Em um plano de coordenadu 
cartesianas xOy, representa-se urna praça de +re:a 
P, que possui em seu Interior um lago de 6rea 1. 
limitado por uma curva e fechada, suave, 
orientada no sentldo contrir:to ao dos ponteiros de 
um rel6glo. Considere que, sobre o lago, atua um 
campo de forças F(x,y)=(-y, x-). Supondo que T 
representa o trabalho realizado por F(x.,y) para 
mover uma partia.lia uma vez ao lon_go da curva C 
e que., comparando-se apenas os valores 
num~rlcoa du grande:zaa, • ,re■ n&o ocupada pelo 
lago é Igual a T/2, condul-se que: 
A. ( O T=4l 
B. ( ! T=L 
e. t.)ç P=iT 
D. ( ) P•2T