Transformações Lineares [FT1] (res)

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Matemática/ Álgebra Transformações Lineares – Introdução do estudo (FT 1) 
 
 
Agradeço a indicação de gralhas e sugestões: Professor Joaquim Guerreiro Marques: https://www.linkedin.com/in/jmgmarques/ 
 
 
P
ág
in
a1
 
 
ER1 Considere uma aplicação linear  : R 3 → R 3 e suponha que 
 
T (1, 0, 1) = (1, 1, 1) , T (2, 0, 1) = (0, 1, -1) e T (1, 2, 0) = (1, 2, 0). 
 
a) Prove que um dos sistemas 
 
((1, 0, 1), (2, 0, 1), (1, 2, 0)) ou ((1, 1, 1), (0, 1, -1) (1, 2, 0)) é uma base de R
3
. 
 
b) Diga justificando a sua resposta se estes sistemas são equivalentes. 
 
c) Indique um vector não nulo cuja imagem seja o vector nulo. 
 
d) Diga, justificando a sua resposta, se a aplicação T é injectiva. 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) O sistema ((1, 1, 1), (0, 1, -1) (1, 2, 0)) não é base porque o 3º vector é soma dos dois 
primeiros. O sistema ((1, 0, 1), (2, 0, 1), (1, 2, 0)) é linearmente independente já que o 
sistema constituído pelos dois primeiros vectores é linearmente independente (porquê?) 
e o terceiro vector não é combinação linear dos dois primeiros (porquê?). Como este 
sistema é constituído exactamente por três vectores e dim R 3 = 3, este sistema é uma 
base de R 3 . Os sistemas não são equivalentes porque se o fossem ambos gerariam o 
espaço vectorial R 3 . Se isto acontece o sistema ((1, 1, 1), (0, 1, -1) (1, 2, 0)) seria uma 
base já que é um sistema de geradores constituído exactamente por 3 vectores. 
 
b) Como (1, 2, 0) = (1, 1, 1) + (0, 1, -1), então (1, 1, 1) + (0, 1, -1) - (1, 2, 0) = (0, 0, 0), 
ou seja 
 
(0, 0, 0) =T (1, 0, 1) +T (2, 0, 1)- T (1, 2, 0) = T ( (1, 0, 1) + (2, 0, 1) – (1, 2, 0)) = 
=T (2, -2, 2), logo o vector (2, -2, 2) é um vector não nulo com imagem nula. 
 
Sabemos que uma aplicação é injectiva se transforma objectos distintos em imagens 
distintas. Como T (4, 2, 2) = (0, 0, 0) =T (0,0,0), então T não é injectiva pois há, 
pelos menos dois vectores distintos com a mesma imagem. 
 
 
COMENTÁRIOS: Uma base de um espaço vectorial é um seu sistema de geradores 
linearmente independente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a2
 
 
ER2 Considere a aplicação linear T : R
4 → R 2 definida por 
 
T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )= (x 1 + x 2 , 2x 3 - x 4 ). 
 
a) Descreva o subespaço vectorial NucT e indique uma sua base. 
b) Indique uma base para ImT e prove que T é sobrejectiva. 
 
RESOLUÇÃO: a) (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )NucT se, e só se, T ((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (0, 0) se, 
e só se, (x 1 + x 2 , 2x 3 - x 4 ) = (0, 0) se, e só se, x 1 + x 2 = 0 = 2x 3 - x 4 . 
 
O subespaço vectorial Nuc T é constituído pelos vectores em que a primeira 
componente é simétrica da segunda e a quarta é o dobro da terceira. 
 
b) O espaço ImT é constituído por todas as imagens, por T , dos vectores de R
4 . Deste 
modo, 
 ImT = {T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) : (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) R
4 }= 
 = {(x 1 + x 2 , 2x 3 - x 4 ): x 1 , x 2 , x 3 , x 4  R}. 
 
Como x 1 e x 2 são números reais arbitrários, o mesmo acontece com y 1 = x 1 + x 2 . Da 
mesma forma, a arbitrariedade dos números reais x
3
e x 4 garantem que y 2 = 2x 3 - x 4 é 
um número real qualquer. Assim, 
 
ImT = {(y 1 , y 2 ): y 1 , y 2  R}= R
2 , 
 
o que prova que T é sobrejectiva. Como, Im T = R
2 , uma base para este espaço 
vectorial é por exemplo a base canónica ((1, 0), (0, 1)). 
 
COMENTÁRIOS: O núcleo de uma aplicação linear é o subespaço vectorial do seu 
domínio constituído pelos vectores com imagem nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a3
 
 
ER3 Considere a aplicação linear T : R
3 → R 4 definida por 
 
T (1, 0, 1) = (1, 0, -1, 0); T (2, 0, 1) = (0, 1, 2, -1) e T (1, 1, 2) = (1, 0, 2, 1) 
 
Prove que ((1, 0, 1), (2, 0, 1), (1, 1, 2)) é uma base de R 3 . 
 
RESOLUÇÃO: Uma base para R 3 é qualquer sistema de vectores limearmente 
independente com exactamente três vectores. O sistema ((1, 0, 1), (2, 0, 1), (1, 1, 2)) é 
contituído por três vectores. Além disso os dois primeiros vectores são linearmente 
independentes porque nenhum dos vectores é múltiplo do outro. Por outro lado, 
qualquer combinação linear destes vectores é um vector com segunda componente nula, 
o que garante que o terceiro vector não é combinação linear dos dois primeiros e 
portanto o sistema ((1, 0, 1), (2, 0, 1), (1, 1, 2)) é uma base de R 3 . 
 
COMENTÁRIOS: Um base de um espaço vectorial de dimensão n é qualquer sistema 
de vectores desse espaço vectorial linearmente independente com exactamente n 
vectores. 
 
ER4 Considere a aplicação linear T : R
3 → R 3 definida por 
T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (2x 1 + x 2 , x 2 - x 3 , x 3 ). 
 
a) Estude aplicação linear T quanto à injectividade e sobrejectividade. 
b) Indique uma base de R 3 que não inclua nenhum dos vectores da base canónica. 
c) Escreva a matriz de T relativamente à base que indicou na alínea anterior e à base 
canónica. 
 
RESOLUÇÃO: a) Calculemos o NucT : 
(x 1 , x 2 , x 3 )NucT se, e só se, T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (0, 0, 0) 
se, e só se, (2x 1 + x 2 , x 2 - x 3 , x 3 ) = (0, 0, 0) 
se, e só se, x 1 = x 2 = x 2 = x 3 = 0. 
Assim, NucT = {(0, 0, 0)} e portanto é injectiva, logo bijectiva. 
 
b) Indicar uma base de R 3 é indicar um sistema de vectores deste espaço vectorial 
linearmente independente com, exactamente, três vectores. Assim, ((1, 1, 1), (1, -1, 1), 
(1, 2, -1)) é uma base de R 3 , já que os dois primeiros vectores são linearmente 
independentes e qualquer sua combinação linear é um vector com primeira componente 
igual à terceira, o que prova que o terceiro vector não é combinação linear dos dois 
primeiros e consequentemente o sistema apresentado é linearmente independente, logo é 
uma base de R 3 . 
 
c) Consideremos no domínio de T a base ((1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 2, -1)) indicada na 
alínea anterior e no espaço de chegada a base canónica.. A matriz de T relativamente a 
estas bases é a matriz em que na primeira coluna estão as coordenadas do vector T (1, 1, 
1) relativamente à base canónica, na segunda coluna estão as coordenadas do vector T 
(1, -1, 1) relativamente à base canónica e na terceira coluna estão as coordenadas do 
vector T (1, 2, -1) relativamente à base canónica. 
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a4
 
 
Recordemos que as coordenadas de um vector (x 1 , ..., x n ) relativamente à base 
canónica de R n são exactamente as componentes do vector: 
C
bc
(x 1 , ..., x n ) = (x 1 , ..., x n ). 
 
Isto só acontece quando trabalhamos com a base canónica! 
 
Ora, 
T (1, 1, 1) = (3, 0, 1) e C bc (T (1, 1, 1)) = (3, 0, 1); 
T (1, -1, 1) = (1, -2, 1) e C bc (T (1, -1, 1)) = (1, -2, 1); 
T (1, 2, -1) = (4, 3, -1) e C bc (T (1, 2, -1)) = (4, 3, -1). 
 
Assim, a matriz solicitada é 












111
320
413
.COMENTÁRIOS: Uma aplicação linear definida entre espaços vectoriais com a 
mesma dimensão ou é bijectiva ou então não é injectiva nem sobrejectiva. 
Se a aplicação linear T for injectiva, será também sobrejectiva. 
 
ER5 Escreva, relativamente à base canónica e à base ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), a 
matriz da aplicação linear 
T : R
4 → R 3 definida por T ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 1 +x 2 ,2 x 2 -x 3 , 2x 4 ). 
 
RESOLUÇÃO: A matriz de T relativamente à base canónica de R
4 e à base B = ((1, 
1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) de R 3 é determinada pelas coordenadas dos vectores T (1, 0, 0, 
0), T (0, 1, 0, 0), T (0, 0, 1, 0) e T (0, 0, 0, 1) relativamente à base . 
 
Determinemos: 
T (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 0); T (0, 1, 0, 0) = (1, 2, 0); 
T (0, 0, 1, 0) = (0, -1, 0) e T (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 2). 
 
Para calcularmos as coordenadas destes vectores relativamente à base B determinemos, 
nesta base as coordenadas de um vector genérico de R 3 . 
 
Sejam  ,  e  números reais tais que 
 (1, 1, 1) +  (1, 1, 0) + (1, 0, 0) = ( x 1 , x 2 , x 3 ). 
Então  +  + = x 1 e  +  = x 2 e  = x 3 , logo  = x 3 e  = x 2 - x 3 e  = x 1 - 
x 2 
Portanto, C B ( x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 3 , x 2 - x 3 , x 1 - x 2 ). 
 
Assim, 
C B (T (1, 0, 0, 0)) = C B (1, 0, 0) = (0, 0, 1); 
C B (T (0, 1, 0, 0)) = C B (1, 2, 0) = (0, 2, -1); 
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C B (T (0, 0, 1, 0)) = C B (0, -1, 0) = (0, -1, 1); 
C B (T (0, 0, 0, 1)) = C B (0, 0, 2) = (2, -2, 0), 
 
logo 
(T , bc, B) = 












0111
2120
2000
. 
 
ER6 Considere a aplicação linear  : R 4 → R 3 definida, relativamente à base canónica 
e à base B, pela matriz 
 












0402
1010
2221
, onde B = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)). 
 
a) Prove que (2, 0, -1, 0) , (0, 1, 0, 1)Nuc . Conclua que n ≥ 2. 
b) Determine c . 
c) Calcule  ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ). 
 
RESOLUÇÃO: Dizer que a matriz de  relativamente à base canónica de R 4 e à base 
((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) de R 3 é a matriz 












0402
1010
2221
significa que 
 
 (1, 0, 0, 0) = 1(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0) = (3, 1, 1); 
 (0, 1, 0, 0) = 2(1, 1, 1) +1(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) = (3, 3, 2); 
 (0, 0, 1, 0) = 2(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + 4(1, 0, 0) = (6, 2, 2); 
 (0, 0, 0, 1) = -2(1, 1, 1)-1(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) = (-3, -3, -2). 
 
a) O núcleo de uma aplicação linear é constituído pelos vectores do domínio com 
imagem nula. 
 
O facto da terceira coluna da matriz ser o dobro da primeira, significa que 
2 (1, 0, 0, 0) =  (0, 0, 1, 0) ou seja  [2(1, 0, 0,0) -(0, 0, 1, 0)] = (0, 0, 0), ie, 
 (2, 0, -1, 0) = (0, 0, 0). 
 
A quarta coluna é simétrica da segunda, o que significa que 
 (0, 1, 0, 0) = - (0, 0, 0, 1) ou seja  [(0, 1, 0, 0)- (0, 0, 0, 1)] = (0, 0, 0), ie, 
 (0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0). 
 
Assim, os vectores (2, 0, -1, 0) e (0, 1, 0, 1) têm imagem nula e portanto são vectores do 
núcleo de  . 
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a6
 
O sistema ((2, 0, -1, 0) , (0, 1, 0, 1)) é linearmente independente e constituído por 
vectores do núcleo, portanto n ≥ 2, já que se n ≤ 1 qualquer sistema de vectores do 
núcleo com mais de um vector seria linearmente dependente. 
 
b) Sabemos que Im = < (1, 0, 0, 0) ,  (0, 1, 0, 0) ,  (0, 0, 1, 0),  (0, 0, 0, 1) >. 
Como,  (0, 0, 1, 0) = 2 (1, 0, 0, 0) e  (0, 0, 0, 1) = - (0, 1, 0, 0), então 
Im = < (1, 0, 0, 0) ,  (0, 1, 0, 0) > =< (3, 1, 1), (3, 3, 2) >, logo ((3, 1, 1), (3, 3, 2)) 
é uma base para Im (porquê?), logo c = 2. 
 
Observamos que usando o resultado que diz: a dimensão do domínio de uma aplicação 
linear e a soma da sua nulidade com a sua característica, concluímos que n  = 2 e 
portanto ((2, 0, -1, 0), (0, 1, 0, 1)) é uma base do núcleo. 
 
c) Como, ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 (1, 0, 0, 0) + x 2 (0, 1, 0, 0) + x 3 (0, 0, 1, 0) + x 4 (0, 0, 0, 
1), 
 
então 
 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) =  [x 1 (1, 0, 0, 0) + x 2 (0, 1, 0, 0) + x 3 (0, 0, 1, 0) + x 4 (0, 0, 0, 1)] 
= 
= x 1 (1, 0, 0, 0) + x 2  (0, 1, 0, 0) + x 3 (0, 0, 1, 0) + x 4  (0, 0, 0, 1) = 
= x 1 (3, 1, 1) + x 2 (3, 3, 2) + x 3 (6, 2, 2) + x 4 (-3, -3, -2) = 
= (3x 1 + 3x 2 + 6x 3 -3 x 4 , x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 -3 x 4 , x 1 + 2x 2 + 2 x 3 -2x 4 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a7
 
Ficha de Trabalho 1B - Exercícios Propostos 
I. Definição 
 
Uma transformação ou aplicação linear é uma correspondência entre dois espaços 
vectoriais que verifica as seguintes condições: 
(1) a imagem da soma de dois vectores é igual à soma das imagens e, 
(2) a imagem do produto de um vector por um escalar coincide com o produto do 
escalar pela imagem do vector: 
 
EPI.1 formalize as duas condições (1) e (2): 
a) separadamente; 
b) numa única condição. 
 
EPI.2 Discuta se são transformações lineares as seguintes aplicações, verificando as 
propriedades anteriores ou indicando contra-exemplos: 
a)  : , 2T IR IR T x x  . b)   2: ,T IR IR T x x  . 
c)    2 2 1 2 2 1: , , ,T IR IR T x x x x  . d)    
3 2
1 2 3 1 3: , , , ,T IR IR T x x x x x  . 
 
EPI.3 Seja 
nP o espaço linear real dos polinómios reais de grau inferior ou igual a n. 
Mostre que a aplicação 
   21: , ,T P IR T a bx a b a b     
é uma transformação linear. 
 
EPI.4 Mostre que a aplicação 
   3 2: , , , , 2T IR IR T x y z y z x y z     
é uma transformação linear. 
 
II. Representação Matricial 
 
EPII.1 Seja 3 2:T IR IR a transformação definida por 
   3 2 1 2 3 2 1 3: , , , ,T IR IR T x x x x x x   . 
Determine a matriz representativa: 
a) considerando as bases canónicas em ambos os espaços vectoriais. 
b) considerando a base canónica de 3IR e a base       1 2, 1,0 , 1,1B v v  de 
2IR . 
EPII.2 Seja 2 2:T IR IR a transformação definida por 
   2 2 1 2 2 1: , , ,T IR IR T x x x x  . 
Determine a matriz representativa: 
a) considerando as bases canónicas em ambos os espaços vectoriais. 
b) considerando a base       1 2, 1,1 , 1,1B v v   de 
2IR em ambos os espaços vectoriais. 
 
 
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a8
 
III. Composição de Transformações Lineares 
 
EPIII.1 Considere duas transformações lineares 2 3
1 :T IR IR e 
3 2
2 :T IR IR 
representadas, relativamente às bases canónicas, respectivamente por: 
1
0 1
0 1
1 1
TA
 
 

 
  
 e 
2
2 0 1
1 1 0
TA
 
  
 
. 
 
Determine as representações matriciaismas bases canónicas e as correspondentes 
expressões das transformações: 
 
a) 2 2
2 1 :T T IR IR . 
b) 3 3
1 2 :T T IR IR . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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in
a9
 
IV. Teste de Auto-Avaliação (10-30 minutos) 
 
 
EPIV.1 Considere a transformação linear 2 2: ,T IR IR IR   , cuja representação 
matricial em relação à base canónica (de 2IR ) é: 
 









54
10 2
A 
 
a) Determine os valores de  para que a aplicação linear T seja injectiva. 
b) Determine o contradomínio da aplicação, )Im( 1T . 
c) Determine a matriz B2, que representa 2T relativamente à base     0,1,1,1  de 
2IR . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a1
0
 
Algumas Soluções da Ficha de Trabalho 1B 
 
EPI.1 a) “Sejam E e F dois espaços vectoriais. Uma aplicação :T E F diz-se uma 
transformação linear (ou aplicação linear) de E em F se: 
(1)      1 2 1 2T x x T x T x   , quaisquer que sejam 1 2,x x E ” 
(2)    T x T x  , quaisquer que sejam x E e .IR ” 
b) numa única condição pode-se escrever: 
(1-2)      1 1 2 2 1 1 2 2T x x T x T x      , quaisquer que sejam 1 2,x x E e 1 2, .IR   ” 
 
EPI.2 a) Sim. 
b)        2 2 21 1 2 2 2 1 1 1 1T T T T        . 
c) Sim. 
(1)
       
             
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
, , ,
, , , , ,
nestecaso
nestecaso
T T x x y y T x y x y
x y x y x x y y T x x T y y T T
        
        
x y
x y
. 
(2) 
     
       
1 2 1 2
2 1 2 1 1 2
, ,
, , ,
nestecaso
nestecaso
T T x x T x x
x x x x T x x T
   
    
    
  
x
x
. 
d) Sim. 
 
EPII.1. a) 
0 1 0
1 0 1
 
 
 
 b) 
1 1 1
1 0 1
  
 
 
 
 
EPIII.1 a)
1 3
0 2
 
 
 
; b) 
1 1 0
1 1 0
3 1 1
 
 
 
  
 
 
EPIV.1 a) T é injectiva sse    0TN , o que equivale à única solução do sistema 
(homogéneo) 0xA ser a solução nula, i.e., 0x . 
Para este caso 
 



























054
01
0
0
54
10
21
2
2
2
1
2
xx
x
x
x 
 
 














 
.,45
1
0
0
________
010
121
2
2
2
realqqéxxxx
xx
1

 
Por isso para que o espaço nulo seja o vector nulo apenas é necessário que 1 . 
 
b) A imagem ou contradomínio de T1 são os vectores 
2IR
b
a






 para os quais o sistema 







b
a
xA1 é possível. 
O sistema é possível (indeterminado) desde que 0a . 
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Matemática/ Álgebra Transformações Lineares – Introdução do estudo (FT 1) 
 
 
Agradeço a indicação de gralhas e sugestões: Professor Joaquim Guerreiro Marques: https://www.linkedin.com/in/jmgmarques/ 
 
 
P
ág
in
a1
1
 
Pelo que     1,0)Im( 1T eixo dos yy´s. 
 
c) 
























21
2
2
1
22
54
3
54
30
)(
xx
x
x
x
xAxT 
pelo que na base canónica temos: 
       4,00,1;1,31,1 22  TT 
e na base pedida temos: 
      












4
1
1
3
0,11,11,3
2
1
1
21
21




 
      












4
4
4
0
0,11,14,0
2
1
1
21
21




 
Pelo que a matriz pedida tem por colunas as componentes, pela mesma ordem da base, 
dos vectores da nova base: 






44
41
2A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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