Matrizes 3

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Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
 1 
 
 
 
Matrizes 3 - Matriz Inversa e Aplicações 
 
Exercícios Resolvidos ..................................................................................................... 2 
Exercícios Propostos I .................................................................................................... 7 
Teste de Auto-Avaliação (40 minutos) .......................................................................... 7 
Síntese (Matrizes 3: Inversa e aplicação a sistemas) ................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos teóricos: 
 Matriz Inversa: definição. 
 Cálculo dos produtos de A por 1, e n nI J A
 . 
 Cálculo da matriz inversa por condensação: procedimento. 
 Propriedades das matrizes invertíveis. 
 Aplicação à resolução de sistemas de equações lineares: exemplos. 
 Síntese completa das matrizes. 
 
 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
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Exercícios Resolvidos 
 
Consideremos o procedimento (cálculo da matriz inversa por condensação): 
i) Construir uma matriz aumentada na forma:  A I ; 
ii) Realizar as operações elementares necessárias para transformar a matriz A na matriz 
identidade I (da mesma ordem que a matriz A ); 
iii) No final deste processo, obtemos uma matriz ampliada na forma: 1I A   . 
Notas: 
i) Caso este processo não seja possível, significa que a matriz dada não tem inversa. 
ii) Alternativamente, podemos provar, antes de começar este procedimento, que a matriz 
(não) é invertível, usando por exemplo um teorema. 
iii) De forma equivalente podemos começar com  I A e terminar com 1A I   . 
 
ER 1. Considere a matriz 2 2 definida por: 
2 1
4 3
A
 
  
 
. 
a) Calcule a característica da matriz A 
b) Mostre que a matriz dada é invertível. 
c) Calcule a matriz inversa 1A , usando eliminação. 
 
Resolução: a) Vamos obter uma matriz em forma de escada, a partir da matriz dada: 
 
1 2 2
1 1
1 4
2
2 1 1 21 2
4 3 4 3 0
L L L
L L
A B
  

   
      
      
11
1
 
 
b) Como a característica de A é máxima, i.e. 2 neste caso, a matriz dada é invertível. 
 
 
c) Passo 1: Matriz aumentada na forma 
 
Vamos considerar a matriz aumentada na forma:  2
2 1 1 0
4 3 0 1
A I
 
  
 
 
Pretende-se obter a matriz identidade do lado esquerdo da matriz aumentada na forma:
 2 ...I 
 
Para isso vamos aplicar o processo de condensação a toda a matriz. A matriz que no 
final deste procedimento ficar do lado direito, é a matriz inversa na forma: 
1
2I A
   
 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
 3 
Passo 2: Processo de eliminação “para baixo”:  2
2 1 1 0
4 3 0 1
A I
 
  
 
 
 
Como queremos obter a matriz identidade do lado esquerdo da matriz aumentada, o 
primeiro pivot tem que ser 1 (a azul), temos que dividir toda a linha 1 por esse número, 
neste caso 2: 
1 1
1
2
1 2 1 2 0
34
1
0 1L L
 
 
 
 
 
Vamos agora eliminar todas as entradas da matriz do lado esquerdo (aquela que 
pretendemos transformar na matriz 
2I ), por baixo do pivot (a azul): neste caso o 4 (a 
vermelho). Para isso vamos multiplicar a linha 1 (a do pivot) por -4 e somar à linha 2 (a 
do elemento que se pretende eliminar). Ao fazemos isso alteramos toda a sua linha 2: 
 
1 2 24
1 1 2 1 2 0
0 2 11
L L L  
 
 
 
 
 
Passo 3: Processo de eliminação “para cima”. 
 
Já temos uma matriz triangular superior, com tudo 1´s na diagonal principal. Vamos 
agora eliminar para cima. Os pivots continuam a ser os mesmos que usamos no 
processo de eliminação “para baixo”, por isso estão na diagonal principal. Pretendemos 
agora eliminar o 1/2 (a vermelho) na matriz do lado esquerdo: 
 
2 1 1
1
2
1 1 2 0 0 3 2 1 2
0 2 1 0
1/ 2 1
1 1 2 1L L L  
   
  
     
 
 
Passo 4: Matriz inversa pedida 
Dado que obtivemos a matriz aumentada na forma: 
1
2
1 0 3 2 1 2
0 1 2 1
I A
 
     
, 
temos que:
1
3 2 1 2
2 1
A
 
  
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
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ER 2. Calcule a matriz inversa 1B , usando eliminação, da matriz 
2 2 4
1 1 1
1 0 1
B
 
 

 
  
. 
 
 
Passo 1: Vamos considerar a matriz aumentada na forma:  B I . Pretende-se obter a 
matriz identidade do lado esquerdo da matriz aumentada na forma:  ...I . Para isso 
vamos aplicar o processo de condensação a toda a matriz, a matriz que no final deste 
procedimento ficar do lado direito é a matriz inversa na forma: 1I B   
 
 
Passo 2: Processo de eliminação “para baixo”. 
 
 
3 1 1 2 2
1 3 32
1 1 0 0 12 2 4 1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 2 4 1 0 0
1
2 2
1
1
0 2 1 0 2
0
L L L L L
L L L
B I
   
  
    
    
       
         

 
 
Note que nesta passagem a entrada a verde “já esta eliminada” – evitado mais uma 
eliminação com o pivot do centro da matriz, que em geral será necessária realizar. 
2 3 3 3 32 1 2
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1
0 0 2 1 2 4 0 0 1 21
0
1
1 2
L L L L L   
  
  
     
      
 
 
 
Passo 3: Processo de eliminação “para cima”. 
1
1 0 0 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 2
0
1
2 1
 
 
 
  
3 1 1
0 0 1 2 1 3
0 0 0 1 1
0
1
1
10 1 2 1 2
L L L  
  
 
  
 
  
 
 
Pretende-se agora eliminar para cima do pivot na 3ª coluna. Note que nesta passagem a 
entrada a verde “já esta eliminada” – evitado mais uma eliminação com o pivot do centro 
da matriz, que em geral será necessária realizar. 
 
Passo 4: Matriz inversa pedida 
 
Dado que: 
1 0 0 1 2 1 3
0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 2 1 2
  
 

 
  
 
1I B    , temos que:
1
1 2 1 3
0 1 1
1 2 1 2
B
  
 
 
 
  
 
 
 
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ER 3. Considere a matrizes seguinte: 
1 1 0
2 2 1
1 1 1
B
 
 
 
 
    
. 
 
a) Calcule, usando eliminação, a sua característica. 
 
b) Calcule a sua matriz inversa. 
 
Comentário inicial: A característica é o número de pivots, diferentes de zero, após 
finalizar a eliminação (i.e. obter uma matriz em escada). Representa-se por c(A) ou r(A). 
 
Sabemos que a característica de uma matriz não se altera se sobre as suas linhas e/ou 
colunas efectuarmos uma sequência de transformações elementares. 
 
Resolução: a) Temos para a matriz B: 
 













111
122
011
→












120
100
011
→












100
120
011
, 
 
portanto r(B) = 3. 
 
 
b) Calculemos a inversa de B: 
 













111100
122010
011001
→













120101
100012
011001
→ 
 
→













0102/12/12/1
100012
0012/12/12/3
→













100012
0102/12/12/1
0012/12/12/3
, 
 
logo B 1 = 













012
2/12/12/1
2/12/12/3
. 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
 6 
ER 4 Um gestor financeiro tem dois produtos de risco diferente: uma aplicação de risco 
menor que retorna 10% ao ano, e outra de risco superior que retorna 20% ao ano. Cada 
um dos seus clientes tem um montante a que quer aplicar, e um retorno anual r que 
pretende atingir. 
 
Situação a analisar: Quanto deverá o gestor aplicar em cada um dos produtos, para 
cada um dos seus clientes? 
 
Vamos considerar as variáveis: 
Quantia aplicada a 10%
Quantia aplicada a 20%
x
y


 
 
O problema que se pretende analisar pode ser modelado pelo sistema: 
 
0,1 0,2
x y a
xy r
 

 
 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €20.000 e obter um rendimento de €2.400 (12%) , 
que conduz ao sistema: 
20000
0,1 0,2 2400
x y
x y
 

 
 
 
a) Escreva sistema dado na forma: AX B . Indique a matriz A e o vector B . 
b) Calcule a matriz inversa de A . 
c) Como aplicará o gestor esse dinheiro? [i.e. resolva o sistema] 
Resolução: 
 
a) 
20000
0,1 0,2 2400
x y
x y
 

 
 
1 1
0,1 0,2
A
 
   
 
 e 
20000
2400
B
 
  
 
 
 
b) 
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 10
0,1 0,2 0 1 0 0,1 0,1 1 0 1 1 10 0 1 1 10
       
         
         
 
 
Pelo que: 1
2 10
1 10
A
 
  
 
 
 
c) Pretende-se resolver o sistema, usando 1AX B X A B   
 
1
1 1 20000 1 1 20000
0,1 0,2 2400 0,1 0,2 2400
2 10 20000 16000
1 10 2400 4000
x x
y y
x x
y y

           
             
           
         
            
         
 
Portanto, o gestor aplicará €16.000,00 no produto de baixo risco e €4.000,00 no de alto risco
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
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Exercícios Propostos I 
 
EP I.1. Inverta as seguintes matrizes: 
A = 





11
12
 e B = 









 
011
202
111
. 
 
EP I.2. Um gestor financeiro tem dois produtos de risco diferente: uma aplicação de 
risco menor que retorna 10% ao ano, e outra de risco superior que retorna 20% ao ano. 
Cada um dos seus clientes tem um montante a que quer aplicar, e um retorno anual r 
que pretende atingir. 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €50.000 e obter um rendimento de €7.500 (15%) . 
 
a) Escreva um sistema de 2 equações que lhe permita resolver este problema. 
b) Escreva sistema anterior na forma: AX B . Indique a matriz A e o vector B . 
c) Calcule a matriz inversa de A . 
d) Como aplicará o gestor esse dinheiro? 
 
 
 
Teste de Auto-Avaliação (40 minutos) 
AA 1 Considere as matrizes seguintes: 
 
 
2 1 0 1
0 2 1 0
1 1 1 1
1 1 2 1
A
 
 
 
   
 
  
e 
1 1 0
2 2 1
1 1 1
B
 
 
 
 
    
. 
 
a) Calcule, usando eliminação, a característica de cada uma delas. 
b) Calcule a matriz inversa de cada uma delas. 
c) Mostre, usando a definição, que a matriz encontrada em cada caso é de facto a matriz 
inversa. 
 
 AA 2 Um gestor financeiro tem dois produtos de risco diferente: uma aplicação de 
risco menor que retorna 10% ao ano, e outra de risco superior que retorna 20% ao ano. 
Cada um dos seus clientes tem um montante a que quer aplicar, e um retorno anual r 
que pretende atingir. 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €10.000 e obter um rendimento de €1.300 (13%) . 
a) Escreva um sistema de 2 equações que lhe permita resolver este problema. 
b) Escreva sistema anterior na forma: AX B . Indique a matriz A e o vector B . 
c) Calcule a matriz inversa de A . 
d) Como aplicará o gestor esse dinheiro? 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa 
 
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Síntese (Matrizes 3: Inversa e aplicação a sistemas) 
 
 
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n . A matriz A diz-se invertível se 
existe uma matriz A , quadrada de ordem n , tal que: nIAAAA  . 
 
Notação A matriz A chama-se inversa de A e representa-se habitualmente por .
1A 
 
Procedimento – cálculo da matriz inversa: 
i) construir uma matriz aumentada na forma:  A I ; 
 
ii) realizar as operações elementares necessárias para transformar a matriz A na matriz 
identidade I (da mesma ordem que a matriz A ); 
 
iii) no final deste processo, obtemos uma matriz ampliada na forma: 1I A   . 
 
(Nota: caso este processo não seja possível, significa que a matriz dada não tem inversa.) 
 
Teorema: A inversa de uma matriz quando existe é única. 
 
Teorema: A matriz A é invertível (i.e. tem inversa) sse a característica de A é máxima 
 
 
 Sistema de equações como equação com matrizes (i.e. equação matricial) 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   

   


    
 
 
Escreve-se na forma matricial: 
 
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x b
a a a x b
AX B
a a a x b
     
     
       
     
     
     
 
 
 
 Resolução de sistemas de n equações a n incógnitas 
 
1AX B X A B  