Algoritmo Simplex para Problemas de Minimização

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PESQUISA OPERACIONAL
Unidade III
7 PROBLEMAS ENVOLVENDO MINIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO
7.1 Algoritmo Simplex
O problema de minimização, ao contrário do problema de maximização, tem pelo menos umas de suas 
restrições do tipo ≥. Assim sendo, se no problema de maximização é necessário utilizarem‑se variáveis de 
folga, nos casos de minimização devemos introduzir variáveis de excesso nas restrições do tipo ≥.
Como foi mencionado anteriormente, variável de excesso é uma variável não negativa, subtraída do 
lado esquerdo da desigualdade, e é numericamente igual à diferença entre o valor do termo independente 
e o valor das variáveis que estão à esquerda da desigualdade.
Por outro lado, variável artificial é uma variável adicionada à esquerda em todas as restrições que 
não contenham uma variável de folga, sendo utilizada nas restrições que têm originalmente o sinal ≥. 
Em um problema de minimização, sempre aparecerão algumas variáveis artificiais.
Como a solução básica inicial do Simplex é obtida igualando a zero todas as variáveis de entrada, 
a variável artificial torna‑se necessária para que a solução básica inicial não seja constituída pelas 
variáveis de excesso, que, como é subtraída na equação, acarretaria solução básica de valores negativos, 
o que contraria a lógica do Simplex. Esse procedimento corresponde a fazer, na solução básica inicial, as 
variáveis de entrada e de excesso iguais a zero e, consequentemente, as variáveis de folga e as artificiais 
iguais ao valor do termo independente da equação.
Observe, no entanto, que, na solução ótima, as variáveis artificiais devem ser iguais a zero. Para que 
isso ocorra, atribui‑se, na Função Objetivo, um coeficiente M. Esse valor é altíssimo em relação a essas 
variáveis (por exemplo, um custo altíssimo), e dessa forma o Simplex irá, na solução ótima, imputar zero 
às variáveis artificiais.
Contador (1998) relaciona as alterações necessárias no algoritmo Simplex de maximização para se 
resolver um problema de minimização. São elas:
• introduzir as variáveis de excesso e artificial;
• transformar a Função Objetivo de minimizar para maximizar e trocar o seu sinal, pois minimizar 
uma função equivale a maximizar sua simétrica;
• mudar a maneira de calcular a linha de controle da primeira solução básica (isso será explicado no 
próximo exemplo);
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• a variável que entrará na base seguinte é aquela da coluna que apresentar maior valor positivo na 
linha de controle (perceba que é o procedimento oposto ao problema de maximização);
• a variável que sairá da base é aquela que apresentar o menor valor não negativo na coluna termo 
independente dividido pela coluna de trabalho (outra alteração em relação ao problema de maximização).
Explicaremos esse cálculo utilizando um exemplo apresentado pelo professor José Celso Contador (1998):
Um fabricante de ração deseja produzir um determinado tipo de ração, conforme especificação do 
Ministério da Agricultura, e pelo mínimo custo. O Ministério especifica apenas quatro nutrientes A, B, C 
e D, exigindo que um quilo de ração contenha:
• no mínimo, 120g do nutriente A;
• no mínimo, 360g do nutriente B;
• no máximo, 360g do nutriente C;
• exatamente 180g do nutriente D.
O fabricante dispõe de três alimentos: milho, alfafa e silagem. E cada quilo desses alimentos contém 
os seguintes pesos em quilos dos nutrientes:
Tabela 21
Nutriente Milho Alfafa Silagem
A 0,1 0,2 0,1
B 0,4 0,4 0,3
C 0,2 0,2 0,1
D 0,1 0,2 0,1
Outros 0,2 0,4
Total 1,0 1,0 1,0
Sabendo‑se que o quilo do milho custa $ 0,50, o da alfafa $ 0,20 e o da silagem $ 0,10, determinar 
qual a mistura que proporciona mínimo custo da ração especificada.
a) Modelagem do problema
Representaremos as quantidades num quilo de ração de milho, alfafa e silagem, respectivamente, 
pelas letras x, y e z.
A Função Objetivo, portanto, será:
Custo da ração = 0,5x + 0,2y + 0,1z
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É evidente que nosso objetivo é minimizar o valor do custo da ração; portanto, devemos determinar 
os valores de x, y e z que resultem no menor custo possível (a solução ótima).
Esse cálculo, no entanto, só tem sentido à luz das restrições, que são as seguintes:
Para o nutriente A: 0,1x + 0,2y + 0,1z ≥ 0,12 kg
Para o nutriente B: 0,4x + 0,4y + 0,3z ≥ 0,36 kg
Para o nutriente C: 0,2x + 0,2y + 0,1z ≤ 0,36 kg
Para o nutriente D: 0,1x + 0,2y + 0,1z = 0,18 kg
Os nutrientes que não são especificados não constituem restrição física, mas precisam ser mostrados 
numa equação para manter a lógica do sistema matemático. São as restrições lógicas:
Outros nutrientes: 0,2x + 0y + 0,4z ≥ 0 kg
Por último, é necessário que os três alimentos juntos (milho, alfafa e silagem) perfaçam um quilo:
x + y + z = 1kg
Nesse ponto, precisamos fazer uma consideração. Trabalhar no Simplex com números fracionários 
não é recomendável. Por isso, vamos fazer um artifício matemático: multiplicar as inequações por 10 (o 
que não as altera) e posteriormente os termos independentes e a Função Objetivo por 10 também. Esse 
último artifício afeta o resultado final, ou seja, quando chegarmos ao resultado, deveremos dividi‑lo por 
10, voltando à situação original.
Portanto, as inequações ficarão com os seguintes formatos:
Para o nutriente A: 1x + 2y + 1z ≥ 12 kg
Para o nutriente B: 4x + 4y + 3z ≥ 36 kg
Para o nutriente C: 2x + 2y + 1z ≤ 36 kg
Para o nutriente D: 1x + 2y + 1z = 18 kg
Outros nutrientes: 2x + 0y + 4z ≥ 0 kg
x + y + z = 10kg
Perceba que existem algumas redundâncias que permitem eliminar inequações, o que é muito bom, 
porque simplificará os cálculos. As inequações para o nutriente A e para o nutriente D são redundantes. 
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Ficaremos com a mais restritiva, ou seja, a inequação do nutriente D (se a inequação for igual a 18 será 
automaticamente maior do que 12, daí a redundância).
Outra redundância é a inequação para outros nutrientes. Também pode ser eliminada, pois se os 
valores de x, y e z têm que ser positivos, a inequação será automaticamente positiva.
Ficamos, assim, com quatro inequações:
Para o nutriente B: 4x + 4y + 3z ≥ 36 kg
Para o nutriente C: 2x + 2y + 1z ≤ 36 kg
Para o nutriente D: 1x + 2y + 1z = 18 kg
x + y + z = 10kg 
b) Modelo formal
Lembre‑se de que para transformar uma inequação do tipo ≤ em equações, é necessário introduzir 
uma variável de folga. Como já definido anteriormente, variável de folga ou residual é uma variável não 
negativa somada ao lado esquerdo da desigualdade e numericamente igual à diferença entre o termo 
independente e os valores à esquerda da desigualdade. Corresponde, numa determinada solução, à 
parcela não aproveitada dos recursos. Simbolizaremos essas variáveis como Ri.
Já para transformar as inequações do tipo ≥ em equações, é necessário introduzir uma variável de 
excesso. Como já definido anteriormente, variável de excesso é uma variável não negativa, subtraída do 
lado esquerdo da desigualdade e numericamente igual à diferença entre o valor do termo independente 
e o valor das variáveis que estão à esquerda da desigualdade. Simbolizaremos essas variáveis como Ei.
Além dessas duas variáveis, é necessário introduzir variáveis artificiais, que são variáveis adicionadas 
à esquerda em todas as restrições que não contenham uma variável de folga, sendo utilizadas, portanto,nas restrições que têm originalmente o sinal ≥ ou =. Como vimos, a variável artificial é necessária 
porque, na solução inicial do Simplex, são igualadas a zero todas as variáveis de entrada e de excesso, o 
que corresponde a fazer as variáveis de folga e as artificiais iguais ao termo independente, em cada uma 
das equações na qual a variável aparece. Simbolizaremos as variáveis artificiais como Ai.
Feitas essas considerações, teremos as seguintes equações para serem trabalhadas no Simplex:
Para o nutriente B: 4x + 4y+ 3 z –E1 + A1 = 36 kg
Para o nutriente C: 2x + 2y + 1z + R2 = 36 kg
Para o nutriente D: 1x + 2y + 1z + A3 = 18 kg
x + y + z + A4 = 10kg
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Usando o problema, vamos tentar entender o significado da variável de excesso. A especificação 
da ração estabelece que ela deve conter no mínimo 360 gramas do nutriente B por quilo. Como o 
fabricante pode oferecer um valor maior, a variável de excesso representa a quantidade de nutriente B 
que exceder os 360 gramas.
A Função Objetivo passa a ter a seguinte forma, considerando a multiplicação por 10, como orientado 
anteriormente:
min⁡(5x + 2y + 1z + 0R2 + 0E1 + MA1 + MA2 + MA3) 
Da forma como foi apresentado, o Simplex é um algoritmo de maximização. Como o exemplo é de 
minimização, utilizaremos o mesmo procedimento, mas trocaremos o sinal da Função Objetivo, pois 
minimizar uma função corresponde a maximizar a função simétrica dela:
max⁡(– 5x – 2y – 1z – 0R2 – ⁡0E1 – MA1 – MA2 – MA3)
Resumindo, o modelo formal desse problema de ração é:
max⁡(– 5x – 2y – 1z – 0R2 – ⁡0E1 – MA1 – MA2 – MA3)
Submetido às restrições:
4x + 4y + 3z – 1E1 + 0R2 + 1A1 + 0A3 + 0A4 = 36 kg
2x + 2y + 1z + 0E1 + 1R2 + 0A1 + 0A3 + 0A4 = 36 kg
1x + 2y + 1z + 0E1 + 0R2 + 0A1 + 1A3 + 0A4 = 18 kg
1x + 1y + 1z + 0E1 + 0R2 + 0A1 + 0A3 + 1A4 = 10 kg
Vemos, então, que todas as variáveis são não negativas (positivas ou zero).
c) Montagem do Simplex
Estabelecidas as equações, podemos montar o Simplex passo a passo:
O simplex terá as seguintes colunas:
Tabela 22
Base
Função 
objetivo
Variável de 
entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável 
artificial Termo 
independente
Controle
Termo 
indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
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1º passo: variáveis da primeira base
A primeira base (primeira tentativa) é constituída pelas variáveis residuais e pelas artificiais, e seu 
valor é igual ao respectivo termo independente. Os coeficientes das equações são colocados nos locais 
adequados, conforme já fizemos anteriormente.
Tabela 23
Base
Função 
objetivo
Variável de 
entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável 
artificial Termo 
independente
Controle Termo indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
A1 4 4 3 –1 0 1 0 0 36 –M
R2 2 2 1 0 1 0 0 0 36 –O
A3 1 2 1 0 0 0 1 0 18 –M
A4 1 1 1 0 0 0 0 1 10 –M
Controle
2º passo: linha de controle
A linha de controle da primeira base é obtida pela soma dos produtos dos coeficientes da 
respectiva coluna pelos valores da coluna Função Objetivo, menos o valor do coeficiente da 
variável da coluna na Função Objetivo (isso é um produto matricial, cujos detalhes matemáticos 
não fazem parte do nosso programa). Veja a seguir:
na coluna da variável x: [4(– M) + 2(0) + 1(– M) + 1(– M)] – (– 5) = (5 – 6M)
na coluna da variável y: [4(– M) + 2(0) + 2(– M) + 1(– M)] – (– 2) = (2 – 7M)
na coluna da variável z: [3(– M) + 1(0) + 1(– M) + 1(– M)] – (– 1) = (1 – 5M)
na coluna da variável E1: [ – 1(– M) + 0(0) + 0(– M) + 0(– M)] – (0) = (M)
Nas demais colunas, esses cálculos resultarão zero. Veja a seguir:
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Tabela 24
Base
Função 
objetivo
Variável de entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável 
artificial
Termo 
indepen-
dente
Controle
Termo 
indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
A1 4 4 3 –1 0 1 0 0 36 –M
R2 2 2 1 0 1 0 0 0 36 –O
A3 1 2 1 0 0 0 1 0 18 –M
A4 1 1 1 0 0 0 0 1 10 –M
Controle 5‑6M 2‑7M 1‑5M M 0 0 0 0
A coluna Valor da FO (Função Objetivo) é obtida pela multiplicação da coluna Termo 
Independente pela coluna Coeficiente da Função Objetivo. O valor na linha de controle é a soma 
desses produtos.
36(–M) + 36(0) + 18(–M) + 10(–M)= – 64M
Em outras palavras, esse valor é aquele da primeira solução básica, obtida diretamente na 
Função Objetivo. Como, numa solução básica, as variáveis que não estão na base são iguais 
a zero e as outras são iguais aos respectivos termos independentes, a Função Objetivo acaba 
reduzida à expressão anterior. Veja a seguir se fizéssemos pela Função Objetivo, como o 
resultado seria idêntico:
– 5(0) – 2(0) – 1(0) – 0RA – 0E1 – 36M – 18M – 10M= –64M
Nesse momento do cálculo, a planilha do Simplex estará assim:
Tabela 25
Base
Função 
objetivo
Variável de entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável 
artificial
Termo 
indepen-
dente
Controle
Termo 
indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
A1 4 4 3 –1 0 1 0 0 36 –M –36M Entra
R2 2 2 1 0 1 0 0 0 36 –O –0
A3 1 2 1 0 0 0 1 0 18 –M –18M Sai
A4 1 1 1 0 0 0 0 1 10 –M –10M
Controle 5‑6M 2‑7M 1‑5M M 0 0 0 0 –64M –64M
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3º passo: variável que entrará na base seguinte
É aquela da coluna que apresentar o maior valor negativo na linha de controle. No nosso exemplo, 
será a variável Y.
Tabela 26
Base
Função 
objetivo
Variável de entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável 
artificial
Termo 
indepen-
dente
Controle
Termo 
indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
A1 4 4 3 –1 0 1 0 0 36 –M –36M Entra
R2 2 2 1 0 1 0 0 0 36 –O –0 y
A3 1 2 1 0 0 0 1 0 18 –M –18M Sai
A4 1 1 1 0 0 0 0 1 10 –M –10M
Controle 5‑6M 2‑7M 1‑5M M 0 0 0 0 –64M –64M
4º passo: variável que vai sair da base
Será a que apresentar o menor valor não negativo na coluna termo independente dividido pela 
coluna de trabalho. Vale lembrar que é necessário calcular a coluna de trabalho, que é aquela coluna de 
divisão correspondente à variável que entrará.
Tabela 27
Base
Função 
objetivo
Variável de entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável 
artificial
Termo 
indepen-
dente
Controle
Termo 
indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
A1 4 4 3 –1 0 1 0 0 36 –M –36M Entra
R2 22 1 0 1 0 0 0 36 –O –0 y
A3 1 2 1 0 0 0 1 0 18 –M –18M Sai
A4 1 1 1 0 0 0 0 1 10 –M –10M
Controle 5‑6M 2‑7M 1‑5M M 0 0 0 0 –64M –64M
Está encerrada a primeira base. Como fizemos no exercício das CPUs, repetiremos as tentativas 
(bases) até que só restem números não negativos na linha de controle. Veja como ficaram os cálculos 
nesse exemplo:
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Tabela 28
Base
Função 
objetivo
Variável de entrada
Variável 
Residual/
Excesso
Variável artificial
Termo 
inde-
pen-
dente
Controle
Termo 
indepen-
dente 
dividido 
pela 
coluna de 
trabalho
Variável 
a 
incluir 
ou a 
excluir
–5 –2 –1 0 0 –M –M –M Coeficiente 
da função 
objetivo
Valor da 
função 
objetivox y z E1 R2 A1 A2 A4 b
A1 4 4 3 –1 0 1 0 0 36 –M –36M Entra
R2 2 2 1 0 1 0 0 0 36 –0 –0 y
A3 1 2 1 0 0 0 1 0 18 –M –18M Sai
A4 1 1 1 0 0 0 0 1 10 –M –10M
Controle 5‑6M 2‑7M 1‑5M M 0 0 0 0 –64M –64M
Y 1 1 3/4 –1/4 0 1/4 0 0 9 –2 –18 –36 Entra 
R2 0 0 –1/2 –1/2 1 –1/2 0 0 18 –0 0 36 E1
A3 –1 0 –1/2 1/2 0 –1/2 1 0 0 –M 0 0 Sai
A4 0 0 1/4 1/4 0 –1/4 0 1 1 –M –M 4 A3
Controle 3+M 0 (M‑2)/4 (2‑3M)/4 0 (7M–2)/4 0 0 –18–M
Y 1/2 1 1/2 0 0 0 1/2 0 9 –2 –18 18 Entra
R2 1 0 0 0 1 0 –1 0 18 0 0 ∞ Z
E1 –2 0 –1 1 0 –1 2 0 0 0 0 –0 Sai
A4 0 0 1/2 0 0 0 –1/2 1 1 –M –M 2 A3
Controle (8+M)+2 0 –M/2 0 0 M –1+1,5M 0 –18–M –18–M
Y 0 1 0 0 0 0 1 –1 8 –2 –16
R2 1 0 0 0 1 0 –1 0 18 0 0
E1 –1 0 0 1 0 –1 1 2 2 0 0
A4 1 0 1 0 0 0 –1 2 2 –1 –2
Controle 4 0 0 0 0 M M–1 M –18 –18
Dessa forma, a solução do problema é a seguinte:
FO = 18 (custo mínimo = 5 x 0 + 2 x 8 +1 x 2 =18), considerando que x = 0; y = 8 e z = 2. A variável de 
folga E1 será igual a 2 (sobra 2); a variável de excesso, igual a 18, e as artificiais, logicamente iguais a zero.
Observe, no entanto, que a solução anterior é matemática. Para trabalharmos com números inteiros, 
multiplicamos os termos independentes e a Função Objetivo por 10; agora, para voltarmos ao original, 
devemos dividir por 10:
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A ração será, por quilo, composta de:
x = 0 kg de milho;
y = 0,8 kg de alfafa;
z = 0,2 kg de silagem.
E o custo da ração será de: (0,8 kg de alfafa a $ 0,20 por kg) = (0,2 kg de silagem a $0,10 por kg) = 
1,8 por kg de ração.
7.2 Solução computacional
No exemplo das CPUs, vimos a resolução computacional de um problema de maximização da Função 
Objetivo. Muitos casos práticos envolvem um problema de minimização, ou seja, uma situação em que 
queremos que a Função Objetivo assuma o menor valor possível. Nesses casos, pelo menos uma das 
restrições é do tipo ≥.
Como anteriormente, vamos usar um exemplo para explicar os cálculos envolvidos, mas desta vez 
vamos nos concentrar na solução computacional, hoje em dia muito mais adequada e amplamente 
utilizada.
Vamos imaginar a seguinte situação:
Um investidor tem R$ 850.000,00 para aplicar no mercado financeiro, podendo escolher entre duas 
opções: um fundo de ações e um fundo de renda fixa.
Cada quota do fundo de ações custa R$ 160,00 e proporciona uma taxa de retorno de 9%. 
Por outro ladro, cada quota do fundo de renda fixa custa R$ 215,00 e proporciona uma taxa de 
retorno de 5%.
O objetivo do cliente é minimizar o risco, mas pretende obter o retorno de pelo menos R$ 48.000,00.
Para aquisição de uma quota, o fundo de ações apresenta um índice de risco igual a 5, enquanto 
uma quota do fundo de renda fixa apresenta um índice de risco igual a 2.
O último desejo do cliente é que pelo menos 650 quotas do fundo de renda fixa sejam adquiridas.
O que se deseja é determinar quantas quotas de cada um dos investimentos disponíveis devem ser 
adquiridas, para que se atinja o objetivo de minimizar o índice de risco total da carteira desse investidor.
Perceba que o processo de cálculo é semelhante aos casos de maximização. A grande diferença 
está no equacionamento matemático de uma e da outra situação. Quando utilizamos os recursos 
computacionais, essa diferença fica muito mais minimizada.
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As variáveis de entrada ou variáveis de decisão são:
x1 = quantidade de quotas do fundo de ações;
x2 = quantidade de quotas do fundo de renda fixa.
Desse modo, a Função Objetivo fica sendo:
Risco total da carteira = 5x1 + 2x2
Essa Função Objetivo deve ser evidentemente minimizada.
As restrições são as seguintes:
Os recursos disponíveis para aplicação são de R$ 850.000,00. Considerando o valor das quotas de, 
respectivamente, R$ 160,00 e R$ 215,00, a primeira restrição do problema será:
160x1 + 215x2 = 850.000
O cliente espera um retorno de no mínimo R$ 48.000,00. Como as taxas de retorno são 9% e 5%, 
sobre cotas de valor, respectivamente, de R$ 160,00 e R$ 215,00, a segunda restrição do problema será:
(0,09×160)x1 + (0,05×215)x2 ≥ 25.000
O cliente deseja que sejam adquiridas no mínimo 650 quotas de renda fixa. Isso define mais uma 
restrição:
x2 ≥ 650
Estabelecido o equacionamento matemático, podemos montar no Excel a planilha com os dados 
necessários para utilizar o Solver. A planilha ficaria com o seguinte aspecto:
Figura 24
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As fórmulas são as seguintes:
Tabela 29
Células Fórmulas
B6 =B4*B5
C6 =C4*C5
D6 =SOMA(B6:C6)
B10 =B5*B9
C10 =C5*C9
D10 =SOMA(B10:C10)
B12 =B5*B9*B11
C12 =C5*C9*C11
D12 =SOMA(B12:C12)
C13 =C5
Observe que as células B5 a C5, que receberão as quantidades a serem adquiridas de quotas, são 
inicialmente preenchidas com zeros.
Montada a planilha com as informações de entrada e as restrições, podemos acessar o Solver, 
informando os dados necessários. Observe que, nesse caso, no parâmetro Igual a: optamos pela opção 
Mín, mostrada no quadro Parâmetros do Solver.
Não nos esqueçamos também de, em Opções, selecionarmos: Presumir modelo linear, Presumir não 
negativos e Usar escala automática.
As figuras a seguir mostram as seleções feitas:
Figura 25
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Figura 26
Clicando OK na tela de Opções do Solver e em seguida Resolver na tela de Parâmetros do Solver, 
obteremos a solução proposta pela ferramenta:
Figura 27
Ao aceitar a solução do Solver clicando OK, teremos os três relatórios já conhecidos:
Microsoft Excel 12.0 – Relatório de Resposta:
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Figura 28
Microsoft Excel 12.0 – Relatório de Sensibilidade:
Figura 29
Microsoft Excel 12.0 – Relatório de Limites:
Figura 30
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8 APLICAÇÕES TÍPICAS
Segundo Contador (1998), as aplicações da PL são diversas em todos os campos da Administração. 
Ele mostra, na lista a seguir, as principais aplicações descrevendo‑as em termos gerais:
• Planejamento da produção: determinar o plano de produção de mínimo custo ou de máximo 
lucro, partindo da previsão de vendas, da capacidade produtiva e de fatores reais de custos ou 
de lucro. É o caso do problema das CPUs. Importante mencionar que a PL só é aplicada nos casos 
em que a capacidadeprodutiva é menor que a demanda: se uma fábrica pode aumentar sua 
capacidade produtiva rapidamente, obviamente atenderá toda a demanda, e daí não precisará 
lançar mão da PL.
 Saiba mais
Veja o valor do planejamento em logística, transporte e deslocamentos 
assistindo ao filme O Resgate do Soldado Ryan, que apresenta aspectos 
práticos interessantes desse processo.
• Dosagem; mistura e dieta: aplicada à preparação de produtos a partir da mistura de 
ingredientes, objetivando minimizar o custo para uma demanda específica do produto 
final. É célebre o estudo feito nos Estados Unidos sobre mistura de diversos componentes 
para obter, ao mínimo custo, gasolina com determinada especificação. É o caso também da 
fabricação de ligas metálicas a partir de minérios, levando em consideração, além dos custos, 
certas restrições relativas ao percentual de impurezas. Problema de dieta de mínimo custo 
para seres humanos e animais é outra aplicação: conhecendo as quantidades necessárias de 
nutriente, a composição nutritiva de cada alimento e os custos respectivos, determina‑se a 
dieta de menor custo.
• Alocação de recursos: como organizar a distribuição de recursos (materiais, mão de obra, 
equipamentos, capitais) para maximizar a produção ou o lucro. Aplicação característica é a da 
produção agrícola: em quais tipos de cultura (milho, soja, cana‑de‑açúcar) aplicar os recursos 
limitados de terra, máquinas agrícolas, homens, dinheiro para obter máximo lucro, podendo levar 
em consideração limitações na capacidade de comercializar safras e incluir rotações de cultura 
durante o ano.
• Armazenamento: para produto de demanda sazonal (cerveja, por exemplo); quanto produzir 
para estocar em armazém de capacidade limitada durante o período de baixa demanda e quanto 
produzir em horas extras no período de alta demanda, para minimizar o custo ou maximizar o 
lucro.
• Análise posicional: é possível determinar a melhor dentre as várias localizações possíveis para 
depósitos, fábricas ou distribuidores, com base nos vários fatores relativos a cada localização.
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• Avaliação de cargos e salários: pode‑se utilizar a programação linear em substituição à análise 
de regressão múltipla para determinar os pesos relativos dos fatores considerados na avaliação de 
salários e de cargos. Análise semelhante pode ser aplicada a qualquer situação experimental para 
obter melhor avaliação em suas linhas gerais.
• Transporte: foi o problema que primeiro motivou o desenvolvimento da PL. Conhecida a 
demanda de certo produto distribuído em vários locais e conhecidas a disponibilidade de 
vários depósitos, a capacidade e os custos dos diversos modais de transporte (trem, navio, 
caminhão, avião), é possível determinar qual depósito deverá atender cada um dos destinos 
e qual a quantidade a ser transportada, de modo a minimizar custos. Aplicam‑se também 
nos casos de transbordos em armazéns intermediários, abastecidos por meios de transporte 
de longa distância e que abastecem lojas ou armazéns urbanos por meio de caminhões 
leves. Esse problema, apesar de poder ser resolvido pelo Simplex, possui métodos especiais 
de solução conhecidos por métodos de transporte.
• Designação e atribuição de tarefas: nas situações em que um grande número de tarefas precisa 
ser executado por um grupo de máquinas ou pessoas diferentes, é possível determinar qual a 
melhor atribuição de tarefas entre as máquinas e/ou pessoas, de modo a minimizar o tempo total 
para produzir uma mesma quantidade.
 Resumo
Um estudo de PO consiste em construir um modelo da situação física. 
Um modelo de PO é definido como uma representação idealizada de um 
sistema organizacional. Esse sistema pode já ser existente ou ainda ser 
uma ideia à espera de execução. No primeiro caso, o objetivo do modelo 
é analisar as operações do sistema para verificar sua performance. No 
segundo, o objetivo é identificar a melhor estrutura do futuro sistema.
A complexidade de um sistema real resulta do grande número de variáveis 
que comandam as operações do sistema, embora um sistema real possa envolver 
um número substancial de variáveis, geralmente uma pequena fração dessas 
variáveis domina as operações do sistema. Então, a simplificação do sistema 
real, em termos de um modelo condensado, identificando apenas as variáveis 
dominantes e as relações entre elas, é o empregado.
 Exercícios
Questão 1. Contador (1998) relaciona as alterações necessárias no algoritmo simplex de maximização 
para se resolver um problema de minimização. Com base nesta afirmação, considere as alternativas 
abaixo.
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I – Introduzir as variáveis de excesso e artificial.
II – Transformar a função objetivo de minimizar para maximizar e trocar o seu sinal, pois minimizar 
uma função equivale a maximizar sua simétrica.
III – A variável que entrará na base seguinte é aquela da coluna que apresentar maior valor positivo 
na linha de controle.
IV – Não transformar a função objetivo. 
V – Não é possível minimizar as variáveis de entrada para maximizar e trocar o seu sinal, pois 
minimizar uma função equivale a maximizar sua simétrica.
As alterações a que Contador se refere são:
A) I, II.
B) I, II e III.
C) III, I
D) III, IV.
E) I, III.
Resposta correta: alternativa B.
Análise das afirmativas
Justificativa: no Simplex, a primeira solução básica é obtida igualando a zero não somente as variáveis 
de entrada, mas, sim, a quantidade de variáveis decorrentes da subtração do número de incógnitas pelo 
número de equações.
I – Afirmativa correta.
Justificativa: introduzir as variáveis de excesso é necessário como parte do algoritmo simplex de 
maximização para resolver um problema de minimização.
II – Afirmativa correta.
Justificativa: transformar a função objetivo de minimizar para maximizar e trocar o seu sinal 
é necessário como parte do algoritmo simplex de maximização para resolver um problema de 
minimização.
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III – Afirmativa correta. 
Justificativa: a variável que entrará na base seguinte é aquela da coluna que apresentar maior 
valor positivo na linha de controle; é necessária como parte do algoritmo simplex de maximização para 
resolver um problema de minimização.
IV – Afirmativa incorreta. 
Justificativa: esta é apenas uma negação para a afirmação descrita na alternativa II.
V – Afirmativa incorreta.
Justificativa: esta é apenas uma negação para a afirmação descrita na alternativa II.
Questão 2. Um fabricante de ração deseja produzir um determinado tipo de ração, pelo mínimo 
custo, e conforme determinadas especificações do Ministério da Agricultura. O Ministério especifica 
apenas quatro nutrientes A, B, C e D, exigindo que um quilo de ração contenha: no mínimo, 120g do 
nutriente A; no mínimo, 360g do nutriente B; no máximo, 360g do nutriente C; e exatamente 180g do 
nutriente D.
O fabricante dispõe de três alimentos: milho, alfafa e silagem. Cada quilo desses alimentos contém 
os seguintes pesos em quilos dos nutrientes:
Nutriente Milho Alfafa Silagem
A 0,1 0,2 0,1
B 0,4 0,4 0,3
C 0,2 0,2 0,1
D 0,1 0,2 0,1
Outros 0,2 0,4
Total 1,0 1,0 1,0
Sabendo‑se que o quilo do milho custa R$ 0,50, o da alfafa R$ 0,20 e o da silagem R$ 0,10, determine 
qual é a mistura que proporciona o custo mínimo à ração especificada.
Modelagem do problema:
Representaremos as quantidades num quilo de ração de milho, alfafa e silagem, respectivamente, 
pelas letras x, y e z.
Afunção objetivo, portanto, será: custo da ração = 0,5x + 0,2y + 0,1z
É evidente que nosso objetivo é minimizar o valor do custo da ração; portanto, devemos determinar 
os valores de x, y e z que resultem no menor custo possível (a “solução ótima”).
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Esse cálculo, no entanto, só tem sentido à luz das restrições. Identifique qual restrição é inconsistente 
com os valores descritos para este exemplo:
A) Para o nutriente A: 0,1x + 0,2y + 0,1z ≥ 0,12 kg
B) Para o nutriente B: 0,4x + 0,4y + 0,3z ≥ 0,36 kg
C) Para o nutriente C: 0,2x + 0,2y + 0,1z ≤ 0,36 kg
D) Para o nutriente D: 0,1x + 0,2y + 0,1z = 0,18 kg
E) Para o nutriente A: 0,1x + 0,3y + 0,1z ≥ 0,12 kg
Resolução desta questão na plataforma.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Audiovisuais
GÊNIO indomável. Dir. Gus Van Sant. USA: Miramax Films, 1997. 126 minutos.
NÁUFRAGO. Dir. Robert Zemeckis. USA: Twentieth Century Fox Film Corporation, 2000. 143 minutos.
O RESGATE do soldado Ryan. Dir. Steven Spielberg. USA: DreamWorks SKG, 1998. 169 minutos.
Textuais
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de decisões. São 
Paulo: LTC, 2009.
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. 
Curitiba: IBPEX, 2010.
BRONSON, R. Pesquisa operacional e estatística. São Paulo: McGraw‑Hill, 1995.
CONTADOR, J. C. Alguns modelos da pesquisa operacional. São Paulo: UNIP, 1998.
CORRAR, L. J.; THEÓPHILO, C. R. Pesquisa operacional para decisão em contabilidade e administração. 
São Paulo: Atlas, 2011.
EHRLICH, P. J. Pesquisa operacional: curso introdutório. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. Porto Alegre: AMGB, 2013.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2009.
MENDES, H. Modelagem e formas de representação de problemas. 2013. Disponível em: <http://prezi.
com/71sowsklb6gp/modelagem‑e‑formas‑de‑representacao‑de‑problemas/>. Acesso em: 2 abr. 
2013.
SILVA, E. M. et al. Pesquisa operacional para os cursos de administração e engenharia. 4. ed. São Paulo: 
Atlas, 2010.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE PESQUISA OPERACIONAL. Pesquisa operacional. 2010. Disponível em: 
<http://www.sobrapo.org.br/o_que_e_po.php>. Acesso em: 2 abr. 2013.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
81
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84
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000
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