Produtos Notáveis luisa

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Produtos Notáveis
Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.
Vamos determinar algebricamente o produto (a + b)2.
 (a + b)2 = (a + b) . (a + b) =
= a2 + a . b + a . b + b2 =
= a2 + 2 . a . b + b2
Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Segundo Caso: Quadrado da Diferença
Geometricamente, podemos determinar a relação (D):
(a - b)2 = (a – b) . (a – b)
= a2 – a . b – a . b + b2 =
= a2 – 2 .a . b + b2
Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:
(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2
Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.
Geometricamente, podemos determinar a relação (E):
 (a + b) . (a – b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 + 0 + b2 = a2 - b2
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a + b) . (a – b) = a2 - b2
Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos
 (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) =
= ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) =
= a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 =
= a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos
 (a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) =
= (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) =
= a3 - 2. a2 . b - a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 =
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
Resumo
Sendo a e b números reais, temos:
	Quadrado de uma soma
	
	Quadrado de uma diferença
	
	Produto da Soma pela Diferença
	
	Cubo de uma Soma
	
	Cubo de uma Diferença
	
	Quadrado de um trinômio
	
	Trinômio do 2º Grau
	
Fatoração
Sendo a,b e x números reais, temos:
	Evidenciar um Fator Comum
	
	Diferença de Quadrados 
	
	Soma de Dois Cubos
	
	Diferença de Dois Cubos
	
 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
 Assim como no caso das frações numéricas, é possível também simplificar frações algébricas; basta fatorar os termos da fração e simplificar aqueles fatores que estão no numerador e no denominador e são idênticos.
EXEMPLOS:
a) 
 
Neste caso, o numerador é uma diferença de dois quadrados e o denominador tem X como fator comum (evidência).
b) 
Aqui, o numerador é uma diferença de dois cubos e o denominador tem 2 como fator comum .
c) 
Neste caso , o numerador é um quadrado da diferença e o denominador tem 5 como fator comum e a expressão que constitui o outro fator é uma diferença de dois quadrados.
d) 
Neste caso, o numerador é fatorável por agrupamento e o denominador é uma diferença de dois quadrados.
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 As frações algébricas são somadas, multiplicadas e divididas como as frações numéricas.Veja os exemplos a seguir:
 
a) (frações de mesmo denominador)
b) (denominadores reduzidos através do MMC)
c) (numerador vezes numerador e
denominador vezes denominador)
d) 
( a primeira fração foi multiplicada pelo inverso da segunda)
 As operações de potenciação e radiciação com frações algébricas seguem o mesmo procedimento já visto com números .
 
pág. 1
1) Fatorando a expressão x² + 9x, resulta: 
a) 9 (x + 1)
b) x (x - 9)
c) 9 (x - 1)
d) x² (x + 9)
e) x (x + 9)
2) Simplificando a expressão temos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3) A expressão é equivalente a:
a) x
b) 2x
c) 3x
d) 
e) n.d.a
4) A expressão é igual a:
a) 
b) 4ab
c) 
d) 
e) 
5) Simplificando a fração encontramos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6) O desenvolvimento de é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) n.d.a
7) A expressão 2xy – 4x + y – 2 fatorada é
a) (2x + 1) (y + 2) 
b) (2x + 1) (y – 2)
c) (2x + 1) (y + 2)
d) (2x – 1) (y – 2)
e) (2x + 1) (y – 1) 
8) A expressão é equivalente a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
9) Dados e , a expressão é equivalente a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
10) O desenvolvimento de é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
11) A equação 
a) tem apenas uma raiz real
b) tem duas raízes reais cuja soma é -1
c) não tem nenhuma raiz real
d) tem três raízes reais cuja soma é -1
e) admite 4 como raiz
12) Qualquer que seja o natural n, é igual a 
a) 6n
b) 
c) 1/6
d) 1
e) 6
13) (UFRGS) A expressão algébrica é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
14) Se x + y = 6 e x . y = 8 então o valor de x² + y² é:
a) 116
b) 68
c) 36
d) 26
e) 20
15) A expressão é equivalente a: 
a) 1
b) 2
c) 
d) 
e) 
16) A expressão (2a + b)2 - (a - b)2 é igual a
a) 3a² + 2b²
b) 3a(a + 2b)
c) 4a² + 4ab + b²
d) 2ab(2a + b)
e) 5a² + 2b² - ab
17) A expressão (x – y)² - (x + y)² é equivalente a
a) 0
b) 2y²
c) - 2y²
d) - 4xy
e) - 2(x + y)²
18) A expressão (a + b)(a - b)(a² + b²) é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
19) O numero é igual a: 
a) 2
b) 1
c) 2000
d) 4000
e) 200
20) O resultado de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 0
21) A forma simplificada da expressão : 
a) –2xy
b) 2xy
c) 2x² - 2xy
d) y² - 2xy
e) 2y (y – x) 
22) Sabendo que , calcule 
a) b + 2
b) b – 2
c) b² - 2
d) b² + 2
e) b² 
23) Sendo calcule 
a) 4
b) 6
c)
d) 8
e) 
24) (UFRGS) Se , e 
onde x e y são números reais tais que x . y > 0, então uma relação entre a², b² e c² é: 
a) a² + b² - c² = 0 
b) a² - b² - c² = 0
c) a² + b² + c² = 0
d) a² - b² + c² = 0
e) a² = b² = c² 
25) A expressão para e , é equivalente a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
26) (UFRGS) O Quadrado do número é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
27) (UFRGS) Para , a expressão é equivalente a
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
28) (Vunesp) A expressão , para , é equivalente a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
29) (FURG) O valor da expressão é
a) 23/5
b) 46/10
c) 11/2
d) 46/5
e) 115/8
30) (UFRGS 2006) O número é igual à raiz quadrada de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
	1. GabaritoE
	2. A
	3. B
	4. C
	5. A
	6. C
	7. B
	8. B
	9. A
	10. B
	11. A
	12. E
	13. B
	14. E
	15. E
	16. B
	17. D
	18. B
	19. A
	20. A
	21. E
	22. B
	23. A
	24. B
	25. E
	26. C
	27. A
	28. C
	29. D
	30. E
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
+
+
=
+
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
+
-
=
-
2
2
)
).(
(
b
a
b
a
b
a
-
=
-
+
3
2
2
3
3
3
3
)
(
b
ab
b
a
a
b
a
+
+
+
=
+
3
2
2
3
3
3
3
)
(
b
ab
b
a
a
b
a
-
+
-
=
-
bc
ac
ab
c
b
a
c
b
a
2
2
2
)
(
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
ab
x
b
a
x
b
x
a
x
+
+
+
=
+
+
)
(
)
).(
(
2
2
2
2
)
(
2
b
a
b
ab
a
+
=
+
+
2
2
2
)
(
2
b
a
b
ab
a
-
=
+
-
)
).(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
)
).(
(
3
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a
+
-
+
=
+
)
).(
(
2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a
+
+
-
=
-
x
1
 
-
2x 
 
 
)
1
2
(
1)
 
-
1)(2x 
 
(2x 
 
 
 x
 
2x
1
 
-
 
4
2
2
=
+
+
=
+
x
x
x
2
2
 
-
 
m
 
 
4)
 
 
2
(
2
4)
 
 
2m
 
 
2)(m
 
-
 
(m
 
 
8
 
 
4m
 
 
2m
8
 
-
 
2
2
2
3
=
+
+
+
+
=
+
+
m
m
m
 
 
 
b)
 
-
 
b)(a
 
 
(
5
b)
 
-
 
(a
 
 
5b
 
-
 
5
b
 
 
2ab
 
-
 
2
2
2
2
2
=
+
=
+
a
a
a
 
 
b)
 
 
(
5
b)
 
-
 
(a
 
+
a
2
 
 
a
5
 
3x 
 
 
)
2
)(
2
(
2)
 
-
 
5)(a
 
(3x 
 
 
)
2
)(
2
(
2)
 
-
 
5(a
 
 
2)
 
-
 
3x(a
 
 
4
10
5
6
3
2
+
+
=
-
+
+
=
-
+
+
=
-
-
+
-
a
a
a
a
a
a
x
ax
2
x
7
5x
 
 
2
x
2x
 
 
8
 
 
2
1
3
+
+
=
+
+
+
+
-
x
x
)
1
(
)
1
(
2
7
m
-
 
 
)
1
(
1)
(m
3)
1)(2m
(m
 
-
 
)
1
(
 
 
1
m
3
2m
 
-
 
1
2
1
2
2
2
2
2
2
-
+
-
-
=
-
+
+
+
-=
-
+
+
+
-
m
m
m
m
m
m
m
m
1
3
11
6y
 
 
)
1
)(
1
(
3y)
3)(1
(2y
 
 
1
3
1
1
3
2
2
2
-
+
+
=
+
-
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
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æ
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æ
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+
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y
y
y
y
y
y
y
2
4
2
b
 
 
2)
2(b
1)
(b
 
1
2
2)
-
2)(b
(b
 
 
4
2
1
1
2
4
b
 
 
1
b
4
2b
 
:
 
1
2
4
2
2
2
-
-
-
=
+
+
-
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÷
ø
ö
ç
è
æ
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÷
÷
ø
ö
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ç
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æ
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
b
b
b
b
b
b
b
b
ab
a
b
b
+
+
2
a
b
b
a
ba
ab
2
b
2
2
a
b
1
2
2
2
2
2
3
+
+
+
+
x
x
x
x
x
1
3
2
3
+
+
+
+
x
x
x
x
x
2
2
)
(
)
(
b
a
b
a
-
+
+
2
2
2
4
2
b
ab
a
+
+
)
(
2
2
2
b
a
+
b
a
+
2
)
(
2
b
a
+
9
9
6
2
2
-
+
-
x
x
x
3
3
+
-
x
x
2
2
+
-
x
x
3
3
-
+
x
x
2
2
-
+
x
x
3
+
x
2
)
3
2
(
b
a
-
2
2
3
2
b
a
-
2
2
9
4
b
a
+
2
2
9
12
4
b
ab
a
+
-
2
2
3
12
2
b
ab
a
+
-
2
2
1
2
1
)
(
b
a
+
ab
b
a
+
+
ab
b
a
2
+
+
b
ab
a
+
+
2
2
b
a
+
b
a
+
2
1
)
3
(
+
=
x
P
)
3
).(
3
(
2
-
+
=
x
x
P
2
1
P
P
-
18
6
+
x
18
2
2
+
x
x
x
6
2
2
+
x
6
x
18
3
)
2
(
-
x
8
3
+
x
8
4
2
2
3
-
+
-
x
x
x
8
3
-
x
8
12
6
2
3
-
+
-
x
x
x
8
4
2
2
3
+
+
-
x
x
x
2
)
1
(
a
a
+
a
a
1
2
+
2
4
1
a
a
+
a
a
a
1
2
2
+
+
2
2
999
1001
-
2
2
)
3
2
(
)
3
2
(
+
-
-
6
2
-
3
18
3
3
-
6
4
-
)
).(
(
)
(
2
y
x
y
x
y
x
-
+
-
-
b
a
a
=
+
1
2
2
1
a
a
+
6
1
=
+
x
x
2
2
1
x
x
+
2
6
-
2
6
+
2
y
x
a
+
=
2
y
x
b
-
=
y
x
c
.
=