Apresentação da aula de Mecânica da semana 8 (PDF)

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Vetores Posição, Velocidade, 
Deslocamento, Aceleração, 
Projéteis, Movimento Circular 
Uniforme 
João Bernardes da Rocha Filho 
Velocidade média 
A velocidade média é o vetor deslocamento dividido 
pelo tempo, ou seja, não importa a trajetória (só os 
pontos de saída e chegada e o tempo total do 
movimento). 
𝒗𝒎 =
∆𝒓
∆𝒕
 
 
Voltando ao exercício (𝒓 = 𝟑 sin 𝒕 𝒊 + 𝟑 cos 𝒕 𝒋 ), 
determine o vetor velocidade média daquele móvel 
entre os instantes t=0 e t = 90s. 
 
(Solução no OneNote) 
Velocidade instantânea 
A velocidade instantânea é o limite do vetor velocidade quando o 
intervalo de tempo tende a zero, ou seja a derivada primeira da 
posição. 
𝒗 =
𝒅𝒓 
𝒅𝒕
 
 
No caso do exercício anterior (𝒓 = 𝟑 sin 𝒕 𝒊 + 𝟑 cos 𝒕 𝒋 ), determine 
(e represente graficamente) o vetor velocidade instantânea em: 
t = 0 
t = 30 s 
t = 45 s 
t = 60 s 
t = 90 s 
 
(Solução no OneNote) 
Aceleração média e instantânea 
𝒂𝒎 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
 
Se o módulo e/ou a orientação da velocidade varia, 
então houve aceleração. 
𝒂 =
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕
𝒊 +
𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒕
𝒋 +
𝒅𝒗𝒛
𝒅𝒕
𝒌 
No caso do exercício (𝒓 = 𝟑 sin 𝒕 𝒊 + 𝟑 cos 𝒕 𝒋 ), em 
que um móvel se movia no plano XY a partir das 
funções 𝒙 = 𝟑 sin 𝒕 e 𝒚 = 𝟑 cos 𝒕, determine a 
aceleração em t = 45s. 
 
(Solução no OneNote) 
Movimento de projéteis (balística) 
- Movimento no qual um objeto é lançado não 
verticalmente, ficando sujeito apenas à força 
gravitacional e inércia. 
As equações que regem o movimento de projéteis 
são as mesmas do movimento uniforme, 
combinadas com as do movimento uniformemente 
variado. 
𝑁𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙: 𝑥 = 𝑣. Δ𝑡 
𝑁𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 
 𝑣2 = 𝑣0
2 + 2. 𝑎. ∆𝑥 
 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0. 𝑡 + 𝑎.
𝑡2
2
 
As velocidades no movimento de projéteis 
Alcance horizontal 
Sabemos que 𝑹𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒕 
Se o projétil iniciar e concluir a trajetória na mesma altura, 
h = h0, então: 
 𝟎 = (𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧𝜽)𝒕 −
𝒈𝒕𝟐
𝟐
 
Isolando t na segunda equação e substituindo na primeira... 
𝑹 =
𝒗𝟎
𝟐
𝒈
𝟐𝐬𝐢𝐧𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽 
Mas, pelas identidades trigonométricas 
2 sinθ cosθ = sin 2θ 
Então, 
𝑹𝒙 𝒎á𝒙 =
𝒗𝟎
𝟐
𝒈
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 
Como para R máximo precisamos que sin2θ=1, logo 
R é máximo para θ=45° 
Independência dos movimentos em x e y 
Efeito do ar no movimento de projéteis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ver applet)