Apresentação da aula 4

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Vetores: continuação
João Bernardes da Rocha Filho
Representações vetoriais
Conforme a conveniência, um vetor pode ser representado de diversas maneiras:
Graficamente.
Usando-se vetores unitários , nas direções do sistema de eixos x, y e z, respectivamente (que é arbitrário).
Na notação polar, que consiste no módulo do vetor e o seu ângulo com o eixo x.
Cada notação tem vantagens e aplicações.
Representações vetoriais
Por exemplo, um vetor posição cuja projeção no eixo x seja 3m e no eixo y seja 4m pode ser representado de várias formas:
 y(m)
Cartesiana: 4 
 = (3m;4m) 
Vetores unitários: 3 x (m)
Polar:
 ou 
Exemplo: adição de 4 forças em notação polar
Qual o resultado da adição das forças abaixo?
(Solução no OneNote)
Soma de velocidades já na notação unitária
Ex:
Na notação unitária: 
Na notação polar: 
(Solução no OneNote)
Multiplicação de vetor por escalar
O vetor resultante tem módulo igual ao produto do módulo do vetor inicial pelo escalar, sempre mantendo a direção do vetor original.
Se o escalar for negativo, o vetor resultante inverte o sentido. Caso contrário, mantém o sentido do vetor original. Ex:
 ou 
36N ou 3
-3-6N ou -3
(Gráficos no OneNote)
Multiplicação de vetor por vetor
Existem dois tipos de multiplicação de vetor por vetor: o produto escalar e o produto vetorial.
O produto escalar de dois vetores resulta em um escalar:
Ex: Qual o produto escalar dos vetores
Ex: Qual o produto escalar dos vetores
(Solução no OneNote)
Dedução do produto escalar na notação dos vetores unitários
Supondo ++ e ++
Aplicando a propriedade distributiva ao produto escalar
 = ( + + ) +
 ( + + ) +
 ( + + )
Lembrando que os vetores unitários são ortogonais (90o entre si) e que cosseno de 90o = 0, parcelas se anulam:
 = ( + + ) +
 ( + + ) +
 ( + + ) ou seja
 = ( + + ) além disso, como
 = = = 1 então
 = + + 
Testando o conhecimento do produto escalar
Ex: Dado que o vetor tem módulo 2 e o vetor tem módulo 6, qual o ângulo entre eles se seus produtos escalares resultarem em a) 0; b) 12, e; c) -12? 
Ex: Dados os vetores =3-4 e =-23, dermine o ângulo entre eles.
(solução no OneNote)
Produto vetorial
É o produto de um vetor por um vetor, e o resultado é outro vetor.
Sabe-se que θ
E que θ é o menor ângulo entre 
Disso decorre que se os vetores e forem paralelos ou antiparalelos, o produto vetorial entre eles será zero. 
Produto vetorial
A direção do produto vetorial de por, ou seja é perpendicular ao plano ab.
O sentido do vetor é dado pelo polegar, quando a regra da mão direita é aplicada do vetor para o , no sentido do menor ângulo entre eles.
Dedução do produto vetorial na notação dos vetores unitários
Supondo ++ e ++, aplicando a propriedade distributiva ao produto vetorial e lembrando que
 = = = 0 
e que
 = logo = - 
 = logo = -
 = logo = -
Dessa forma, após algebrismos, concluímos que
 = ( - + ( - + ( - )