AD2-Q3-2020-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 3 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-2
Questão 3 (2,5 pontos) Uma empresa fará investimentos nas áreas de produção e publicidade. Na
reunião em que se iria decidir como o dinheiro seria investido,
• o diretor de produção disse que investir R$6.000,00 na área seria a opção mais adequada em
termos de custo-benef́ıcio, mas que também pode-se trabalhar com a margem de R$2.000,00,
para mais ou menos, a depender das escolhas estratégicas a serem adotadas;
• o diretor de marketing disse que pesquisas apontam o valor de R$5.000,00 como o ideal a ser
investido em publicidade. Ele acredita, porém, que seja razoável considerar uma margem de
erro, para mais ou para menos, de R$1.000,00 neste número;
• e o diretor financeiro lembrou que a soma do investimento nas duas áreas deve ser R$10.000,00.
Podemos representar o investimento a ser feito como um ponto no plano cartesiano, com o investi-
mento em produção representando coordenada horizontal x e o investimento em publicidade repre-
sentando a coordenada vertical y. Um investimento, que chamaremos de I1, de R$2.000 em produção
e R$7.000,00 em publicidade, por exemplo, seria representado pelo ponto I1 = (2.000, 7.000). Um
investimento I2, de R$1.000 em produção e R$5.000,00 em publicidade, por exemplo, seria repre-
sentado pelo ponto I2 = (1.000, 5.000). Estes pontos estão representados no plano abaixo.
Um investimento que se adequasse à proposta do diretor de produção satisfaria à inequação modular
|x− 6.000| 6 2.000
e estaria na região do plano representada abaixo:
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Note que a região acima é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 4.000 6 x 6 8.000, isto
é, o investimento em produção (coordenada horizontal) esteja dentro da margem de R$2.000,00 do
proposto pelo diretor da área. Repare ainda que, na região acima, y > 0, pois não se cogita fazer
um investimento negativo!
A partir disso,
(a) Dê a inequação modular satisfeita por todos os investimentos (x, y) que satisfazem à condição
imposta pelo diretor de marketing.
Solução: O investimento em marketing é representado pela coordenada y. Assim, se o inves-
timento em marketing deve estar próximo a R$5.000,00, não distando deste valor mais do que
R$1.000,00, temos
|y − 5.000| 6 1.000.
(b) Represente a região do plano onde podem estar os investimentos (x, y), de acordo com o diretor
de marketing.
Solução: Como a inequação |y − 5.000| 6 1.000, obtida no item anterior, corresponde a
4.000 6 y 6 6.000,
a região dos pontos (x, y) que estão de acordo com a proposta do diretor de marketing é dada
por
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(c) Expresse, por meio de uma equação em x e y, a condição lembrada pelo diretor financeiro e
represente os pontos correspondentes no sistema de coordenadas.
Solução: Segundo o diretor financeiro, a soma dos investimentos deve ser de R$10.000,00.
Assim,
x+ y = 10.000.
Esta equação representa uma reta. Para obtermos dois pontos desta reta, vamos fazer x = 0 e
depois y = 0.
• Fazendo x = 0, temos y = 10.000 e, portanto, o ponto (0, 10000).
• Fazendo y = 0, temos x = 10.000 e, portanto, o ponto (10000, 0).
Esboçando esta reta, temos
Convém, porém, observar que os investimentos não podem ser negativo, isto é, devemos ter
x > 0 e y > 0. Com isso, a reta acima fica restrita ao segmento esboçado abaixo:
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[Este último detalhe não será levando em conta na correção.]
(d) Esboce o conjunto dos pontos do plano que cumprem, simultaneamente, com as três condições
lembradas pelos diretores.
Solução: Vamos, inicialmente, esboçar as três condições no mesmo sistema de coordenadas.
A interseção do segmento de reta com as regiões dadas pelas desigualdades é o segmento
esboçado abaixo.
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(e) Quase ao final da reunião, o dono da empresa chegou e alertou que a distância, no sistema de
coordenadas, entre o ponto (4.000, 6.000) e o investimento a ser feito não poderia ser maior
do que 10.000. Dê a inequação satisfeita pelo conjuntos dos investimentos (isto é, dos pontos
(x, y)) que cumprem a condição imposta pelo dono.
Solução: A condição imposta pelo dono é dada por√
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 10000,
ou ainda
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 100002.
Esta condição representa os pontos interiores ao ćırculo de centro (4.000, 6.000) e raio 10.000,
bem como os pontos da circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Mais uma vez podemos considerar que os investimentos x e y não podem ser negativos, obtendo
a região esboçada abaixo.
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[Este esboço não será levando em conta na correção.]
(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condições im-
postas pelos diretores e pelo dono.
Solução: Todos os investimentos que atendem aos diretores de produção, marketing e finan-
ceiros estão dentro das condições impostas pelo dono. Realmente, veja que os extremos do
segmento obtido no item (d) tem seus extremos dentro do ćırculo. O extremo (4.000, 6.000) é
o próprio centro, logo está dentro do ćırculo. Já para o extremo (6.000, 4.000), temos
d ((4.000, 6.000), (6.000, 4.000)) =
√
(4.000− 6.000)2 + (6.000− 4.000)2 =
√
2.0002 + 2.0002 = 2.000
√
2 6 10.000,
pois
√
2 < 2. Assim, o esboço da interseção das quatro regiões, será o próprio esboço obtido no
item (d).
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