2020.2 - Exemplos envolvendo a Introdução a Pesquisa Operacional e Técnicas de Amostragem

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS ENVOLVENDO INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL 
E AS TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
 
Notas de aula: Professor Antonio Fábio 
 
1) Você trabalha na sede de determinada empresa, localizada em São Paulo (SP), e terá compromisso de 
negócios no Rio de Janeiro (RJ) nas próximas cinco semanas, todas as segundas, terças e quartas-feiras. 
Uma viagem regular (ida e volta) custa R$ 400,00, mas há um desconto de 20% se a passagem adquirida 
compreender pelo menos um final de semana. Uma passagem só de ida (um trecho) custa 75% do preço 
da passagem regular. Como existe a ponte aérea, com voos logo no inicio da manhã, e a fim de economizar 
uma diária de hotel, você deve ir para o Rio de Janeiro sempre as segundas-feiras. Devido aos 
compromissos que você tem em São Paulo, o retorno deve ser obrigatoriamente às quartas-feiras, em todas 
as cinco semanas. 
a) Quais são as variáveis do problema? 
 A quantidade de passagens regulares, a quantidade de passagens de ida (um trecho) e a quantidade de 
passagens promocionais a serem adquiridas. 
b) Qual é o objetivo do modelo? 
 Adquirir passagens aéreas que permitam cumprir a agenda de compromissos no Rio de Janeiro, ao menor 
custo possível para a empresa. 
c) Quais as restrições existentes? 
 Ir para o Rio de Janeiro, obrigatoriamente, na segunda-feira, e, voltar para São Paulo, impreterivelmente, 
na quarta-feira. 
d) Qual o critério utilizado? 
 O critério a ser levado em consideração será o preço da passagem aérea. 
 
2) Considerando o exercício anterior e tomando por base as variáveis, os objetivos, os critérios e as 
restrições que foram determinadas anteriormente, estabeleça uma relação matemática para a solução do 
modelo: 
 Alternativas para a compra de passagens: 
1ª) Comprar cinco passagens SP-RJ-SP; 
 5 x 400 = 2000; 
2ª) Comprar uma passagem SP-RJ para a primeira segunda feira, comprar quatro passagens RJ-SP-RJ 
(inclui final de semana) e um passagem RJ-SP para a última quarta-feira. 
 0,75 x 400 + 4 x (0,8 x 400) + 0,75 x 400 = 1880; 
3ª) Comprar uma passagem SP-RJ-SP, mas com ida na primeira segunda feira e retorno na última quarta-
feira e quatro passagens RJ-SP-RJ, todas as cinco passagens estão incluindo finais de semana. 
5 x (0,8 x 400) = 1600; 
Logo a melhor alternativa é a terceira. 
 
 
 
3) Uma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e 
M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 
horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo 
disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1 e 
M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. 
Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$ 
60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições 
quanto à demanda do produto A. Pergunta-se: 
a) Quais são as variáveis de decisão do problema? 
 As quantidades que podemos e devemos fabricar de A e B para que o lucro na sua venda seja máximo. 
b) Quais as restrições existentes? 
 A restrição existente no produto B, a produção não deve ser maior que três unidades. No produto A não 
há restrição. 
 Temos também as restrições do número limitado de horas de cada máquina. 
c) Quantas unidades de A e de B devem ser produzidas de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, 
obedecer a todas as restrições do enunciado? 
 Em todo problema de programação linear devemos sintetizar os dados por meio de uma tabela, que facilita 
o entendimento e evita que fiquemos, a todo momento, lendo o enunciado original. 
 
Produto
Horas gastas 
em M1
Horas gastas 
em M2
Demanda 
máxima
Lucro unitário 
(R$)
A 4 4 ilimitada 80
B 6 2 3 60
Horas 
Disponíveis
24 16
 
 
Vamos criar uma função objetivo: {
𝑥 → quantidade de produtos A que devemos fabricar.
𝑦 → quantidade de produtos B que devemos fabricar.
 
 Logo 𝑥 e 𝑦 são os valores que devemos calcular. 
Queremos maximizar o lucro na venda de 𝑥 unidades de A e de 𝑦 unidades de B, ou seja, queremos 
maximizar o resultado numérico da seguinte expressão: 80𝑥 + 60𝑦 
Em relação as restrições temos: 
 Na máquina M1 não podemos gastar mais de 24 horas e na máquina M2 não podemos gastar mais 
do que 16 horas, M1  24 e M2 16; 
M1 = 4𝑥 + 6𝑦  24 
M2 = 4𝑥 + 2𝑦  16 
𝑦  3 
Óbvio que 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0 
 Portanto a formulação completa, fica: 
Maximizar 80𝑥 + 60𝑦 
 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 
 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 
 𝑦 ≤ 3 
 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0 
 Um problema como esse, com duas variáveis, pode ser resolvido tanto por meio de um procedimento 
gráfico como por um procedimento numérico, como veremos mais à frente. 
A solução é 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 2 . 
Devemos fabricar 3 unidades do produto A e 2 unidades do produto B, o que vai proporcionar um 
lucro de R$ 360. 
 
Caso quiséssemos testar outras alternativas. Como 𝑦 ≤ 3, temos 𝑦 ∈ {0,1,2,3} 
Se 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 = 1. Lucro de 260; 
Se 𝑦 = 2 ⇒ 𝑥 = 3. Lucro de 360; 
Se 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 3. Lucro de 300. 
Se 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 4. Lucro de 320. 
 
3) Suponha que duas amostras da produção X, colhidas na mesma ordem de produção, sendo uma amostra 
com 100 exemplares e outra amostra com 200 exemplares. A amostra maior é mais representativa da 
população? Justifique a sua resposta. 
 Não. Para decidir qual a amostra é mais representativa, é necessário conhecer na íntegra os procedimentos 
utilizados para a coleta das duas amostras, pois estas influenciam na qualidade da amostra. Uma amostra 
de 100 elementos que representa significativamente a população é melhor que uma amostra de 200 
elementos seleciona sem o emprego de procedimentos adequados. 
 
4) O gerente de uma empresa, com um total de 150 funcionários, realizou um experimento com o objetivo 
de verificar o consumo de água dos funcionários durante o turno de trabalho. Foram selecionados, 
aleatoriamente, 50 funcionários e mensurada a quantidade de litros de água consumida por cada um, no 
período de 30 dias. Sabe-se, também, que cada funcionário teve a mesma probabilidade de ser incluído na 
seleção. Qual a técnica utilizada para a seleção da amostra? 
 Amostra casual simples. 
 
5) Considere uma população de empresas de prestação de serviços que pode ser dividida em 3 estratos 
quanto ao número de trabalhadores que emprega: pequenas – 50 ou menos trabalhadores; médias – entre 
51 e 100; grandes – mais de 100 trabalhadores. Supondo que a população de interesse é constituída por 
1800 empresas, destas 45% são pequenas, 35% são médias e 20% grandes. Se o tamanho da amostra for 
fixado em 120 empresas, selecionadas com igualdade de proporção (estratificada proporcional), quantas 
empresas devem ser selecionadas de cada estrato? 
 54, 42 e 24