GE - Calculo Vetorial_4

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Cálculo Vetorial
UNIDADE 4
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4ª UNIDADE
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL
 Palavras do Professor
Olá, caro aluno (a), chegamos na nossa última unidade.
Espero ter contribuído com sua caminhada acadêmica, pois você como estudante sabe que ela é muito 
longa, porém satisfatória.
Iniciamos está unidade apresentando vários sistemas de coordenadas para Transformações em proble-
mas de integrais que iremos utilizar na resolução de questões.
Está preparado? Então vamos lá!
Coordenadas Polares
As Coordenadas Polares são uma alternativa para o sistema Cartesiano de coordenadas. Assim como nas 
coordenadas cartesianas, as Coordenadas Polares indicam um par ordenado de valores para cada ponto 
no plano. Diferentemente das coordenadas cartesianas, contudo, esses valores não são (x,y), mas sim 
(r,θ).
Observe os detalhes delas:
•	 O valor de r é a distância até a origem.
•	 O valor de θ é a distância angular do eixo polar, que corresponde ao eixo x positivo das coorde-
nadas cartesianas (a distância angular é sempre medida no sentido anti-horário).
•	 Para estabelecer o ponto (3,π/4), ande três unidades da origem no eixo polar, e então faça um 
arco de π/4 (equivalente a 45º) no sentido anti-horário.
•	 Para estabelecer o ponto (4,5π/6), ande quatro unidades a partir da origem no eixo polar, e 
então faça o arco de 5π/6 unidades (equivalente 150º) no sentido anti-horário.
•	 Para estabelecer o ponto (2,3π/2), ande duas unidades a partir da origem no eixo polar, e então 
faça um arco de 3π/2 unidades (equivalente a 270º) no sentido anti-horário.
voCê sabia?
Você sabia que as coordenadas polares permitem que você represente certas formas em um gráfico de 
forma mais simples do que as coordenadas cartesianas? Pois é, como exemplo, eis uma equação para um 
???
2
círculo de três unidades com o centro na origem, em ambas as coordenadas cartesianas e polares:
 
 
Guarde essa ideia!
Caro aluno (a), alguns problemas que seriam difíceis de resolver se fossem expressos em termos de variá-
veis cartesianas (x e y) tornam-se muito mais fáceis quando expressas em termos de variáveis polares (r 
e θ). Para converter as variáveis cartesianas em polares, utilize as seguintes fórmulas:
x = r cosθ ; y = r senθ
Para converter variáveis polares em cartesianas, utilize esta fórmula:
As coordenadas polares são a base se dois sistemas de coordenadas 3-D alternativos: coordenadas cilín-
dricas e coordenadas esféricas.
Coordenadas CilíndriCas
 Você provavelmente se lembra das coordenadas polares. Como no sistema de coordenadas cartesianas, 
o sistema de coordenadas polares determina um par de valores para cada ponto no plano. Diferentemen-
te do sistema de coordenadas cartesianas, esses valores não dependem de dois eixos perpendiculares 
(embora esses eixos frequentemente sejam traçados para deixar o gráfico mais compreensível). O eixo 
principal é o eixo horizontal, o qual corresponde ao eixo x positivo nas coordenadas cartesianas.
Enquanto um par cartesiano está na forma (x,y), as coordenadas polares utilizam (r,θ). As coordenadas 
cilíndricas são simples coordenadas polares com a adição de um eixo z, estendendo-se a partir da origem, 
como nas coordenadas cartesianas 3D. Para cada ponto no espaço é determinado um conjunto de coor-
denadas cilíndricas na forma (r,θ,z).
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Palavras do Professor
Caro aluno (a), eis o que você precisa saber:
•	 A variável r mede a distância do eixo z até aquele ponto.
•	 A variável θ mede a distância angular do eixo horizontal. Esse ângulo é me-
dido em radianos em vez de graus, então 2π=360°.
•	 A variável z mede a distância daquele ponto ao plano xy.
Ao estabelecer coordenadas cilíndricas, determinamos as primeiras coordenadas (r,θ) da mesma forma 
que você faria com as coordenadas polares. Então determine a coordenada z como você faria com a coor-
denada cartesiana 3D.
 
exemPlo
Estabelecer o ponto nas coordenadas cilíndricas:
 
•	 Conte 3 unidades para a direita da origem no eixo horizontal (assim como você faria ao esta-
belecer coordenadas polares).
•	 Ande no sentido anti-horário ao longo do arco de um círculo até você alcançar a linha desenha-
da no ângulo π/2 a partir do eixo horizontal (novamente, da mesma forma que as coordenadas 
polares).
•	 Conte duas unidades acima do plano e estabeleça seu ponto aí.
 
4
Coordenadas esfériCas
As coordenadas esféricas são utilizadas – com uma pequena variação – para medir latitude, longitude e 
altitude na esfera mais importante de todo o planeta Terra.
p
Para cada ponto no espaço é determinado um conjunto de coordenadas esféricas na forma (p,θ,ɸ). Caso 
você não esteja em uma irmandade ou fraternidade, p é a letra minúscula grega rho, θ é a letra minúscula 
grega theta( comumente utilizada em matemática para representar um ângulo), ɸ é a letra minúscula 
grega phi, que é comumente pronunciada “fi” (nunca “pi”).
•	 A coordenada p corresponde à altitude. Na Terra, a altitude é medida como a distância acima 
ou abaixo do nível do mar. Nas coordenadas esféricas, contudo, a altitude indica quão distante 
no espaço está um ponto de sua origem.
•	 A coordenada θ corresponde à longitude: a medida da distância angular do eixo horizontal.
•	 A coordenada ɸ corresponde à latitude. Na Terra, a latitude é medida como uma distância 
angular a partir do equador. Nas coordenadas esféricas, contudo, latitude é medida como a 
distância angular do polo norte.
 
diCa
Determinar ɸ pode ser bem complicado no começo. Para pegar o jeito, pensa em um 
globo e imagine passar por ele ao longo de uma única linha longitudinal. Perceba que, 
conforme você se desloca, sua latitude vai mudando, então:
•	 No polo norte, ɸ = 0;
•	 No equador, ɸ =π/2;
•	 No polo sul, ɸ =π;
Alguns livros substituem a letra p (rho) por r. Em ambas as formas, a coordenada significa a mesma coisa: 
altitude, que é a distância de um ponto em relação à origem em outros livros, a ordem das duas últimas 
coordenadas é invertida. Assegure-se de que você sabia qual convenção seu livro utiliza.
 
exemPlo
Estabelecer o ponto . 
•	 Conte quatro unidades para a direita da origem, no eixo horizontal.
•	 Ande no sentido anti-horário ao longo do arco de um círculo até que você alcance a linha traça-
da no ângulo π/2 a partir do eixo horizontal (novamente, assim como nas coordenadas polares).
•	 Imagine uma única linha longitudinal arqueando-se a partir do polo norte de uma esfera, atra-
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vés do ponto no equador onde você estiver e em direção ao polo sul.
•	 Desloque-se para baixo na linha de latitude em uma distância angular de 3π/4, a partir do polo 
norte – quer dizer, na metade da distância entre o equador e o polo sul – e estabeleça seu 
ponto aí.
Fico feliz caro aluno (a), por você ter chegado a esta unidade. Espero que esteja entendendo o conteúdo, 
caso contrário, procure seu tutor para esclarecer suas dúvidas. Vamos continuar com o conteúdo!
Caro aluno (a), os itens abaixo seguem uma sequencia de conteúdos, contendo os casos estudados com 
as integrais duplas e triplas. Espero que goste.
1. mudanÇa de variÁveis na resoluÇÃo das iTneGrais mÚlTiPlas
Nas aplicações práticas, resolução de exercícios que trabalhamos anteriormente, você deve ter percebido 
que não resolvemos exercícios onde as regiões de integração apresentassem formas circulares. Um bom 
recurso que vai nos favorecer neste estudo será através dos conhecimentos construídos para transfor-
mação de coordenadas – coordenadas polares (a mais usual), coordenadas cilíndricas e coordenadas 
esféricas. 
1.1 Transformação para coordenadas polares 
De modo mais resumido, podemos expressar essa transformação quando estamos trabalhando com uma 
função contínua. As regiões apresentadas e as derivadas são formadas por um número finito de regiões 
menores contidas nos tipos que trabalhamos e representamos na unidade anterior. 
O jacobiano em regiões derivadas da original ou se anula em um número finito de pontos das 
regiões derivadas. 
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Em síntese a transformação mais utilizadaé a que usa: Coordenadas Polares. 
 
 
diCa
Lembre-se, para coordenadas polares, usamos: x = r cos θ, y = r sen θ e o jacobiano.
 
exemPlo
1. Calcular a integral , sendo r a região circular da figura abaixo:
A figura mostra uma região circular que pode ser representada por:
 
Em coordenadas polares estamos diante da equação polar r = 2. Para identificar perfeitamente a 
transformação, basta lembrar a relação entre as coordenadas e observar que o ângulo θ, vai variar de 
zero a e que para abranger todos os pontos interiores da região precisamos variar o r de zero a dois 
(ver figura). 
Dessa forma a região R se transformar em uma nova região no plano rθ, descrita como: 
 
Com isso, usando temos:
 
7
Simplificando e resolvendo vem,
 
Resposta: 4π/3
Transformação para Coordenadas Cilíndricas 
A expressão vista acima para coordenadas polares pode ser estendida para uso nas integrais triplas. 
Para facilitar a sua vida, vamos traçar um pequeno roteiro de como você pode utilizar as Coordenadas 
cilíndricas e em seguida apresentar uma aplicação. 
Em Coordenadas Cilíndricas, temos as relações:
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z, e escrevemos:
 
Ob s.: O jacobiano é um determinante de terceira ordem com resultado igual a r.
Então podemos usar logo de entrada:
 
exemPlo
Calcule o volume do sólido delimitado por z = 9-x2 - y2 e o plano xy.
Estamos diante de um parabolóide virado para baixo que ao cortar o plano z = 0 (plano xy) delineia a região 
circular de raio igual a 3.
O sólido é simétrico e podemos imaginar o volume a partir da quarta parte percorrida na região do primei-
ro quadrante.
0 ≤ z ≤ 9 – r2
0 ≤ r ≤ 3
0 ≤ θ ≤ π/2
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Montando o problema fica:
 
Fazendo os cálculos obtemos:
 
Resposta: 81 π/8
Transformação para Coordenadas esféricas
Meu caro (a) existem problemas que só poderão ser resolvidos por meio de coordenadas esféricas. 
 
Esse processo é específico para situações que envolvem superfícies como esferas, cones e outras cujas 
equações tornam-se mais simples ou possíveis neste sistema de Coordenadas esféricas. 
 
Mais uma vez, você vai acompanhar um pequeno resumo capaz de ajudar o uso de Coordenadas esféricas 
e logo adiante se apresenta um exemplo capaz de tornar claro o que apresentamos. 
resumo:
 
As equações que relacionam as coordenadas cilíndricas e esféricas podem ser:
r = p sen θ
θ = θ
Z = r cos θ
 
As equações das coordenadas cilíndricas são:
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
As relações obtidas para as coordenadas esféricas são:
x = p sen Ø cos θ
y = p sen Ø sen θ
z = p cos Ø
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Obs.: As equações acima são utilizadas quando precisa-se fazer a transformação de uma integral tripla 
em coordenadas cartesianas, para integral tripla em coordenadas esféricas. 
Assim:
Observe que o jacobiano, no caso, é uma matriz quadrada de 3ª ordem. Se você calcular essa matriz en-
contrará o valor:
 
exemPlo
 
Calcular o volume da região limitada superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente pelo cone 
 
Na Figura, podemos visualizar a região de integração T. 
 
Figura – Gráfico da intersecção de uma esfera com um cone. 
Em coordenadas esféricas, a esfera x2 + y2 + z2 = 16 tem equação p = 4 e o cone tem equação Para verificar 
esta afirmação basta substituir as variáveis cilíndricas nas equações dadas. 
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A região T pode ser descrita como:
 
Portanto:
 
2. inTeGrais de linHa 
Este tópico está reservado para discutirmos as integrais denominadas integrais de linha. Estas integrais 
são semelhantes às integrais unidimensionais, exceto que, integra-se sobre uma curva e não sobre um 
intervalo como já fizemos muitas vezes, inclusive no curso de cálculo integral. 
A exposição e as orientações que você vai acompanhar, neste tópico, tratam de um estudo de uso do 
cálculo vetorial, ou seja, faremos uma descrição vetorial de integrais de linha visando um comportamen-
to das funções vetoriais, ou seja, as funções num campo vetorial ao percorrerem curvas. Geralmente 
estamos descrevendo um movimento realizado por uma partícula num campo de forças, bem definido e 
observando o trabalho realizado, a energia gasta e outros fenômenos ocorridos sobre uma curva qualquer 
em campos vetoriais. 
 
aCesse o ambienTe virTual
Caro aluno (a), você deve sempre ficar atento para leituras e consultas nos livros da Editora PEARSON. 
Para você aprimorar seus conhecimentos e desenvolver melhor os conteúdos de seus estudos, acompanhe 
com maior eficácia e, desenvoltura o livro de cálculo B - FLEMMING / GONÇALVES da Editora PEARSON.
Este livro está disponível nas bibliotecas da UNINASSAU, inclusive disponível virtualmente com alguns 
trabalhos paralelos e complementares em sua biblioteca. 
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2.1- integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva 
O trabalho realizado por uma partícula descrevendo um movimento num campo de forças, num intervalo 
[a, b] de uma curva com uma função de posição δ e representando por δ (t) a posição da partícula no 
instante t, pode ser definido a seguir.
A integral de linha acima definida num campo vetorial contínuo qualquer e uma curva δ de classe , 
também pode ser representada , onde t é o instante considerado para a posição da partícula. 
exemPlo
Considere um campo de Forças definido por e uma curva , no intervalo de tempo t [-1, 1]. Determine .
solução:
Sabemos que 
Foi dado: 
Observe que: (é um produto interno), portanto):
 , substituindo fica:
 
Conclusão:
O trabalho realizado de δ(-1) até δ (1) é nulo. 
2.2- integral da linha de Campo vetorial sobre uma curva (usando outra notação).
Vamos considerar agora um campo vetorial contínuo e δ uma curva de 
classe C1 dada por x = x (t) e y = y (t).
 
Obs.: Analogamente: , por extensão. 
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exemPlo
Considere um campo vetorial que define uma região pela integral; , 
sendo . Determine o valor da integral. 
solução:
 
Resolvendo esta integral obtemos como valor 31/6.
2.3- integral de linha sobre uma curva de classe C1 por partes.
Resolver integrais de linha por partes é o mesmo que dividir ou fracionar o intervalo onde a partícula se 
desloca sobre a curva. 
Suponha que um campo vetorial contínuo de Rn uma curva de classe C1 por partes seria interpretada 
segundo representação abaixo:
 
exemPlo
A função que define o trajeto de uma partícula que se desloca sobre uma curva de classe C1 é dada por 
δ(t)=(t)=(t, l t l), - 1≤t≤1. Determine a integral definida por: 
solução:
 
A função δ(t) = (t, l t l) pode ser analisada: 
 
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Dando lugar as integrais abaixo:
 
Substituindo e somando algebricamente:
 
resposta: 2/3.
2.4- integral de linha relativa ao comprimento de arco. 
Seja f uma função a valores reais. A integral de linha de f sobre δ, relativa ao comprimento de arco num 
intervalo [a, b] de uma curva de classe C1 pode ser dada por:
 
 
exemPlo
 
Se δ é dada por x = cost e y = sent, com 0≤t ≤2π. Determine a integral:
 
 
Sendo ds = ll δ1(t) ll dt ds=?
 
Resposta: 3π (Resolvendo a integral indicada). 
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3. CamPos ConservaTivos
Um campo vetorial de classe C1 é conservativo se rot num intervalo aberto definido. Caso contrário 
o campo vetorial não é conservativo. 
Você pode também admitir que definindo um campo vetorial por F = Pi + Qj, sobre uma região onde P e Q 
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, sendo:
 
Obs.: Vale ressaltar que no início de Campos Conservativos onde consideramos o rotacional de um campo 
definido por F, determinamos uma condição necessária, mas não suficiente.
exemPlo
Considere o Campo Vetorial definido por F(x, y) = (x – y) i + (x – 2)j. Verifique se este campo é ou não con-
servativo.
solução:
 
exemPlo
 
O campo Vetorial definido por F(x, y) = (3 + 2xy) i + (x2 – 3y2) j é conservativo?
solução:
 
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4. o Teorema de Green 
Uma versão simplificada para o teorema de Green é considerar o caso onde temos uma região delimitada 
por uma curva C, plana simples, fechada por trechos, orientada positivamente. Considere que P e Q têm 
derivadasparciais de primeira ordem, contínuas sobre uma região aberta que contém a região delimitada 
citada acima, então:
 
obs.: A notação , é usada.
Algumas vezes indicando que a integral de linha é calculada usando a orientação positiva da curva fe-
chada C. 
 
exemPlo
Considere uma curva C na forma de um triângulo definida pelos segmentos de reta desde (0,0) a (1,0); de 
(1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0). Calcule então, a integral definida por esta curva (triângulo).
 
solução:
O teorema de Green vai facilitar a resolução deste problema evitando o cálculo de três integrais, o que 
tornaria extremamente laborioso. 
 
Resposta: 1/6.
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5. o Teorema de sToKes e o Teorema do diverGenTe
Caro aluno (a) podemos dizer que o teorema de Stokes é considerado uma versão em dimensão maior do 
Teorema de Green. Vimos que o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana 
com uma integral de linha em torno de sua curva fronteira plana. 
O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em 
torno da curva fronteira S, no espaço.
Sendo S, uma superfície orientada com fronteira formada por uma curva C com orientação positiva. F um 
campo vetorial definido nesta região. 
 
Como a curva fronteira é orientada positivamente, resume-se o Teorema de Stokes:
 
o Teorema do diverGenTe
Considere uma região E e S a superfície fronteira desta região, orientada positivamente. Definindo um 
campo vetorial F cujas funções componentes de F possuem derivadas parciais contínuas numa região que 
contém a região E, tem-se:
 
 
exemPlo
 
Considere um Campo Vetorial definido por F(x, y, z) = - y2i + xj + z2k e C uma curva da intersecção do plano 
y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. Determine o valor de 
obs.: Oriente a curva C no sentido anti-horário quando visto de cima. 
solução:
Pelo Teorema de Stokes: 
 
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Resolvendo o determinante encontramos (1 +2y)k, e substituindo no teorema de Stokes;
 
Passando para coordenadas polares:
 
Substituindo na outra integral.
 
Resposta: π
 
exemPlo
Um Campo Vetorial está definido sobre uma esfera unitária Determine o fluxo 
do campo vetorial definido por F. 
solução:
Calculando div F: = 
Como a esfera de raio 1 é a fronteira da bola também unitária dada por , então o teo-
rema do divergente dá o fluxo pela integral:
 
obs.: Como o volume é constante as integrais são todas iguais a V, onde V representa o volume de uma 
esfera, cujo raio é igual a 1, logo:
 
Resposta: 4/3 π unidades de volume. 
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Palavras do Professor
Bom caro aluno (a) chegamos ao final de nossa disciplina.
Espero ter contribuído para seu crescimento acadêmico. Procure seu tutor se for preciso 
e faça todas as atividades propostas, pois tudo contribui para seu crescimento.
Quem sabe nos veremos em outras situações da vida, não é?
Sucesso e boa sorte!