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FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA: 
O PLANO: PARABOLA E HIPÉRBOLE 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2016 
2 
 
 
 
 
FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º SEMESTRE DE ENGENHARIA CIVIL 
TURMA A 
MATUTINO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRANTES DO GRUPO: 
Augusto Cesar Magalhães de Oliveira, RA: 6211881 
Leticia Oliveira Pequeno, RA: 8094616 
Nicolas Leal da Silva Pidigurne, RA: 8038472 
Pricilla Picolli, RA: 4981724 
Vitor Matheus Tavares Lopes Melão, RA:8189264 
 
 
 
 
 
Professora: Me. Larissa Juliana Makarewicz 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2016 
3 
 
 
Sumário 
1 – O plano................................................................................................5 
1.1– Parábola............................................................................................7 
1.2– Hipérbole.........................................................................................10 
2 – Transformação linear........................................................................14 
3 – Conclusão.........................................................................................19 
 
4 
 
Introdução 
 
Nesse trabalho falaremos sobre cônicas no plano cartesiano. 
Estudaremos sobre algumas definições importantes do plano sendo nosso foco 
em parábolas e hipérboles com suas definições e alguns exemplos de 
utilização em nossa área. 
Daremos sequência ao estudo com transformação linear em sua teoria e 
exemplificações com exercícios resolvidos também. 
 
5 
 
1.O plano 
 
Elementos históricos 
 
Quatro partes perdidas dos Elementos de Euclides (270 a.C.) tratavam 
de elipses, hipérboles e parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções 
cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano intercepta um cone de 
revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio 
(200 a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um 
ponto que se movimenta de tal modo que a soma de suas distâncias a dois 
pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que uma hipérbole 
é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença 
de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. 
Desde o tempo de Apolônio que as seções têm uma carreira fantástica 
na Física. Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático) 
descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol 
num dos focos. Por volta de 1686 Newton provou em seu livro Principia 
Mathemática que isso pode ser deduzido da lei de gravitação e das leis da 
Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para 
transformações lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos 
resultados obtidos por Newton sobre o movimento planetário, aparece a 
equação das cônicas em coordenadas polares. 
A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão dos gases em 
motores a explosão. 
A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, 
desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos 
parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas. 
 
 
 
 
 
Seções cônicas 
 
Uma seção cônica é a interseção de uma superfície com um plano no 
espaço tridimensional. A equação geral de uma seção cônica é dada por: 
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 
Onde A,B,C,D,E,F Є R. Dependendo da forma como ocorre a 
interseção, obtemos as denominadas curvas cônicas dos mais variados 
aspectos. 
6 
 
Eixos principais 
 
Quando a curva não possui o monômio em xy, diz-se que a curva tem 
eixos principais correspondendo às retas x=0 e y=0, conhecidas como eixos 
principais da cônica. Quando a curva possui o monômio em xy, diz-se que a 
curva está rodada de um certo ângulo no plano formado pelos eixos principais. 
 
Classificação das cônicas 
 
Consideremos a equação geral 
q(x,y) = ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 
Onde a,b,c,d,e,f Є R. A forma acima pode ser escrita como um produto 
de matrizes: 
 
q(x,y) = x y 
 
. 
a b d 
b c e 
d e f 
 
. 
x 
y 
 
 
Razão pela qual, realizamos a classificação associando os coeficientes 
da forma quadrática à matriz simétrica M: 
M = 
a b d 
b c e 
d e f 
 
 
 
Para classificar as cônicas, definiremos D=det(M), t=a+c e os cofatores 
D11=c.f−e², D22=a.f−d² e D33=a.c−b². 
Temos as seguintes possibilidades: 
 
Condição 1 Condição 2 Condição 3 Nome da cônica 
D33>0 D 0 t.D > 0 Conjunto vazio 
D33>0 D 0 t.D < 0 Elipse 
D33<0 D 0 Hipérbole 
D33>0 D=0 Um ponto 
D33<0 D=0 2 retas concorrentes 
D33=0 D 0 Parábola 
D33=0 D=0 D11+D22=0 Uma reta 
D33=0 D=0 D11+D22>0 Conjunto vazio 
D33=0 D=0 D11+D22<0 2 retas paralelas 
 
Exemplos: Classificar as cônicas cuja equação geral está indicada. 
1. Para a curva x²+2y²−x−y+1=0, segue que: 
M = 
1 0 −1/2 
0 2 −1/2 
−1/2 −1/2 1 
 
 
7 
 
 
E, além disso, D=det(M)=1, D33=2, t=3, D11=3/2 e D22=3/4, logo a curva 
representa um conjunto vazio. 
Outro modo de mostrar que este conjunto é vazio é reescrever a 
equação dada na forma: 
(x−1/2)² + 2(y−1/4)² = −7/16 
 
E como a soma de quadrados de números reais não pode ser negativa, 
segue que não existem (x,y) Є R² satisfazendo a esta equação. 
 
 2.Para a curva x²+3y²+xy−2x+4y−5=0, temos que: 
 
M = 
1 1/2 −1 
1/2 3 2 
−1 2 −5 
 
 
Temos também que, D=det(M)=−91/4, D33=11/4, t=4, D11=−19 e D22=−6. 
Portanto a curva representa uma elipse. 
 
1.1.Parábola 
 
Algumas definições de figuras geométricas surgem da intersecção de 
outras figuras. Citamos o surgimento da parábola através da intersecção 
transversal de um cone. Veja figura: 
 
De uma forma mais detalhada e utilizando conceitos matemáticos em 
relação aos estudos da Geometria Analítica, podemos definir as condições de 
formação de uma parábola através da utilização de um plano de coordenadas 
cartesianas. 
 
Suponha um eixo d vertical e dois pontos F e V, de acordo com a 
representação: 
 
 
 
 V F 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
A distância entre a reta vertical d e o ponto V deve ser a igual à distância 
entre os pontos V e F. Determinaremos uma sequência de pontos os quais 
deverão estar à mesma distância de F e d. Observe: 
 
 A parábola é formada pela união de todos os pontos do plano que estão 
à mesma distância do ponto F (foco) e da reta vertical d. 
Todos os pontos do plano que possuem essa característica pertencem à 
parábola, para tal verificação determinamos uma expressão matemática 
responsável por essas comprovações: 
 
Onde: 
V: vértice da parábola. 
F: foco da parábola 
c: coeficiente que indica a distância do foco ao vértice, determinando a 
concavidade da parábola. 
 
1ª situação: y² = 4cx 
 
 
 2ª situação: x² = 4cy 
 
 
9 
 
 3ª situação: y² = –4cx 
 
 
 4ª situação: x² = – 4cy 
 
 
 Os casos apresentados consideram que o vértice da parábola pertence 
à origem do sistema de coordenadas cartesianas, com vértice (0,0). 
 
Complementos 
Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h), eixo de simetria 
paralelo ao eixo “x" e voltada para a “direita", sua equação reduzida será: 
(y- h)2 = 4.f.(x-g) 
 
Se a parábola, nas condições anteriores, estiver voltada para a 
“esquerda", sua equação reduzida será: (y - h)2 = -4.f.(x - g) 
 
10 
 
Desenvolvida a equação reduzida, resultará da forma: x=a.y2+b.y+c, 
com a Є 0. 
Se a parábola apresentar vértice no ponto V(g; h), eixo de simetria 
paralelo ao “y" e voltada para “cima", a equação reduzida será: (x-g)2=.f.(y-h) 
 
Se a parábola, nas condições anteriores, estiver voltada para “baixo", 
sua equação reduzida será: (x-g)2 = -4.f.(y - h) 
 
Desenvolvida a equação reduzida, resultará da forma: y=a.x2+bx+c, com 
a Є 0. 
Excentricidade 
Chama-se excentricidade na parábola à razão: 
 
1.2.HipérboleDados dois pontos F1 e F2 (focos) de um plano, com F1 F2 = 2f, e uma 
medida 2a (2a < 2f), chama-se hipérbole ao lugar geométrico dos pontos P do 
plano, tal que: 
11 
 
| PF1 - PF2 | = 2a 
 
Elementos Principais 
 Centro é o ponto C; 
 Distância focal = F1F2= 2 . f; 
 Eixo transverso = A1A2 = 2 . a; 
 Eixo conjugado = B1B2 = 2 . b; 
 Vértices são os pontos A1 e A2; 
 Polos são os pontos B1 e B2; 
 Focos são os pontos F1 e F2; 
 Assíntotas são as retas d1 e d2. 
A partir do triângulo retângulo CB1D da figura, temos: f
2 = a2 + b2 
Equação reduzida 
Seja a hipérbole com eixo transverso (e focos) contido no eixo dos “x" e 
centro na origem. 
Sendo: 
• focos: F1(f; 0) e F2(–f; 0) 
• vértices: A1(a; 0) e A2 (–a; 0) 
• polos: B1(0; b) e B2(0; –b) 
A equação reduzida da hipérbole resulta: 
 
 
 
 
12 
 
Seja a hipérbole com eixo transverso (e focos) contido no eixo “y" e 
centro na origem. 
Sendo: 
 
• focos: F1(0; f) e F2(0; –f) 
• vértices: A1(0; a) e A2(0; –a) 
• polos: B1(b; 0) e B2(–b; 0) 
A equação reduzida da hipérbole resulta: 
‘ 
 
 
 
Complementos 
Se a hipérbole tiver centro no ponto C(g; h) e os eixos paralelos aos 
eixos coordenados, teremos as seguintes figuras e equações reduzidas: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
13 
 
Hipérbole equilátera 
Uma hipérbole é denominada equilátera quando as medidas dos eixos 
transversais e conjugado são iguais, isto é, quando as medidas a e b são 
iguais.(a=b). 
As equações reduzidas das hipérboles equiláteras, com centro na 
origem, resultam: y2-y2=a2 ou y2-x2=a2 
As assíntotas, nesses casos, são as bissetrizes dos quadrantes pares e 
ímpares. 
Um caso importante de hipérbole equilátera é obtido fazendo-se uma 
rotação (nos casos acima) de modo a deixar os eixos cartesianos como 
assíntotas e focos nas bissetrizes dos quadrantes: 
 
 Focos na bissetriz dos quadrantes ímpar
es (y = x). A equação, nesse caso, resulta x.y=k , 
com k > 0. 
 
 Focos na bissetriz dos quadrantes pares (y = – 
x). A equação, nesse caso, resulta x.y=k , com k < 0. 
 
 
Excentricidade 
 
 
 
 , como c > a, então e > 1. 
Quanto maior a excentricidade, mais abertos são os ramos da hipérbole. 
Se a excentricidade for próxima de 1, os ramos da hipérbole são achatados e 
pontudos, como ilustra a figura: 
 
14 
 
2.Transformação Linear 
A importância das transformações lineares 
As transformações lineares são de fundamental importância nos estudos 
de Álgebra, Álgebra Linear (Álgebra de Matrizes), Cálculo, Equações 
Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros. Transformações 
lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, 
como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações 
no plano ou no espaço. 
Transformação Linear 
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V W é uma 
aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes: 
1. Para quaisquer u,v U: F(u+v)=F(u)+F(v). 
2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(kv)=k.F(v). 
Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma 
aplicação linear se, para quaisquer u,v U e quaisquer a,b R se tem que: 
F(au+bv) = aF(u) + bF(v) 
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma 
aplicação linear se, para quaisquer u,v U e qualquer b R se tem que 
F(u+bv) = F(u) + bF(v) 
Graficamente temos algo como: 
 
 
 
 
 
Observações importantes: 
1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear. 
2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a 
aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o 
nome de funcional linear. 
3. Se F:V W é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é 
o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W. 
V w 
u1 f(u1) 
f(u2) u2 
u1 + u2 F(u1 + u2) = f(u1)+f(u2) 
15 
 
4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem 
as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma 
transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é 
satisfeita. 
Teorema sobre a composta de transformações lineares 
Teorema: Sejam F:U V e G:V W transformações lineares. A 
composta GoF:U W também é uma transformação linear. 
Demonstração: Sejam u,v U e k R. Assim 
(GoF)(u+kv) = G(F(u+kv)) Definição de composta 
 = G(F(u)+F(kv)) Linearidade de F 
 = G(F(u))+G(k.F(v)) Aditividade de G 
 = G(F(u))+k.G(F(v)) Homotetia de G 
 = (GoF)(u)+k.(GoF)(v) Definição de composta 
 
Exemplo: Dadas as transformações lineares S:R³ R² definida por 
S(x,y,z)=(x,y+z) e T:R² R³ definida por T(x, y)=(3x,2y,x+y), a transformação 
composta P:R² R² tal que P=SoT é linear, pois: 
(SoT)(x,y) = S(T(x,y))=S(3x,2y,x+y)=(3x,2y+x+y)=(3x,3y+x) 
 
Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V 
denotada por {v1,...,vn} e {w1,w2,...,wn} um conjunto de elementos de W. Existe 
uma única transformação linear T:V W tal que: 
T(v1)=w1, T(v2)=w2, ..., T(vn)=wn 
 
Se considerarmos a combinação linear 
v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn 
 
Então: 
T(v) = a1 T(v1) + a2 T(v2) + ... + an T(vn) = a1 w1 + a2 w2 + ... + an wn 
 
Devemos provar que T é uma transformação linear, verificando que: 
1. Para quaisquer u,v U: F(u+v)=F(u)+F(v). 
2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(kv)=k.F(v). 
Exemplo: Seja a aplicação T: Rn Rm definida por 
 
TA(v) = A . 
v1 
v2 
... 
vn 
 
= 
w1 
w2 
... 
wn 
 
16 
 
Onde A é uma matriz de ordem m×n e 
v = 
v1 
... 
vn 
 
 
É um vetor coluna. T é linear pois, 
TA(u+bv) = A(u+bv)= A(u) + A(bv)= A(u) + b.A(v)= TA(u)+ b.TA(v) 
Exemplos: Se: 
A = 
1 0 
0 0 
0 0 
 
E TA: R² R³, então 
TA(u) = 
1 0 
0 0 
0 0 
 
. 
u1 
u2 
 
= 
u1 
0 
0 
 
Então: 
TA(u1,u2)=(u1,0,0) 
Expansão e Contração Uniforme 
1. A aplicação T:R² R² definida por T(u)=mu, onde u=(x,y) e m R, é 
linear. Se m>0, tal aplicação é dita expansão uniforme. 
 
A função T(u)=mu leva cada vetor do plano sobre um outro vetor de mesmo 
sentido e mesma direção de u, porém de módulo maior. 
2. A aplicação T:R² R² tal que T(u)=mu, onde u=(x,y), com m R, é 
linear. Se m<0, tal aplicação é dita contração uniforme. 
A função T(u)=mu leva os vetores do plano num outro vetor de mesmo 
sentido e mesma direção de u, porém de módulo menor. Esta aplicação 
pode ser escrita na forma matricial: 
 
T 
x 
y 
 
= k . 
x 
y 
 
= 
k.x 
k.y 
 
17 
 
Exemplo: A aplicação T:R² R² tal que T(u)=3u, onde u=(x,y) é uma 
expansão uniforme. 
 
Exemplo: A aplicação T:R² R² tal que T(u)=u/3, onde u=(x,y) é uma 
contração uniforme. 
 
Imagem e Núcleo de uma aplicação linear 
 
Definição: Seja F:U V uma transformação linear. A Imagem de F é o 
conjunto de todos os vetores F(v) V, isto é; 
Im(F) = { F(v) V: v V } 
A imagem de F, denotada por Im(F), é um subespaço vetorial de V. 
Definição: Seja F:U V uma transformação linear. O conjunto de todos 
os vetores u U tal que F(u)=0 é denominado Núcleo de F, sendo denotado 
por Nuc(F), isto é; 
Nuc(F) = { v V: F(u)=0 } 
O núcleo de F, denotado por Nuc(F), é um subconjunto de U e também é 
um subespaço vetorial de U. 
 
Aplicações: injetora, sobrejetora e bijetora 
 
Definição: Uma aplicação F:U V, F é Injetora se dados u,v U com 
F(u)=F(v) se tem necessariamente que u=v. Outro modo equivalente: F é 
Injetora, se dados u,v U com u v implicar que F(u) F(v). 
Definição: Uma aplicação F:U V é Sobrejetora se a imagem de F 
coincide com V, isto é, F(U)=V, significando que, dado v V, existe u U tal 
que F(u)=v. 
Definição: Uma aplicação F:U V, F é Bijetora se é injetora e 
sobrejetora. 
 
Operador Diferencial linear 
 
Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais infinitamente e 
contínuamente diferenciáveis no intervalo [a,b] da reta. 
1. A aplicação D:V V definida por D(f)=f ', onde f ' é primeira derivada 
primeira da função. Esta aplicação é linear, pois 
D(af+bg) = aD(f) + bD(g) 
2. A partir do operador diferencial D é possível definir a composta 
D(2)=DoD. Pode-se mostrar que é linear a aplicação D (2):V V 
definida por D (2)(f)=f'', onde f'' é segunda derivada da função f, pois 
D(2)(af+bg) = a D(2)(f) + b D(2)(g) 
3. A aplicação D n+1: V V definida por Dn(f)=f (n) onde f (n) é a derivada 
de ordem n da função f. Demonstra-se que é linear a aplicação Dn 
definida recursivamente por D 0=In e para cada n N: 
Dn = D o D n−1 
4. A aplicação L: V V definida por L(D)=a D² + b D + c Id é linear. 
18 
 
5. A aplicação L: V V definida por 
L(D) = 
n 
 
k=0 
ak D
k 
É linear. Realmente, 
[L(D)](f+g) = [ 
n 
 
k=0 
 
akD
k](f+g)= 
n 
 
k=0 
 
akD
k(f+g)= 
n 
 
k=0 
 
ak[D
k(f)+Dk(g)] 
 
 = 
n 
 
k=0 
 
ak D
k(f) + 
n 
 
k=0 
 
ak D
k(g) = [L(D)](f) + [L(D)](g) 
 
 
Exercício resolvido 
 
Obter a expressão geral da transformação linear T:R³ R² definida de 
tal modo que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a 
forma geral, obtenha o vetor v em R³, tal que T(v)=(1,2). 
Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como 
combinação linear dos elementos de C={e1,e2,e3} que é a base canônica de R³, 
que são e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3= (0,0,1). Assim 
(x,y,z) = a(1,0,0)+ b(0,1,0)+ c(0,0,1) = (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c) 
Assim, x=a, y=b e z=c e como T é linear, segue que: 
T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1)] 
 = T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)] 
 = xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1) 
 = x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1) 
 = (x+y+z,y−z) 
Assim, a forma geral da referida transformação linear é: 
T(x,y,z) = (x+y+z,y−z) 
Para obter o vetor v=(x,y,z) em R³ tal que T(x,y,z)=(1,2), tomaremos a 
forma T(x,y,z)=(x+y+z,y−z) exigindo que T(x,y,z)=(1,2). Basta resolver o 
sistema: 
x+y+z = 1 
y − z = 2 
Como o sistema possui três variáveis e duas equações lineares, este 
sistema terá infinitas soluções. Somando membro a membro as equações 
acima, obteremos x+2z=3, de onde segue que x=−2y+3. Se escolhermos y=1, 
obteremos x=1 e z=3 e assim obteremos um vetor em R com a propriedade 
desejada que é v=(1,1,3). 
Também podemos resolver este problema da seguinte forma: 
Como x=−2y+3 e y=z+2, escrevemos x em função de z para obter 
x=−2z−1. 
Desse modo, (x,y,z)=(−2z−1,z+2,z). Tomando z=t, podemos escrever as 
equações paramétricas da reta que tem a direção do vetor v=(−2,1,1) e passa 
pelo ponto P0= (−1,2,0). 
x(t)=−2t−1, y(t)=t+2, z(t)=t 
Poderíamos ainda escrever (x,y,z)=(3−2y,y,y−2). 
 
19 
 
3.Conclusão 
 
Trazemos em nossa conclusão alguns exemplos onde encontramos o 
uso de parábolas e hipérboles no ramo da engenharia e construção civil. 
As pontes suspensas costumam ser utilizadas por possibilitar maiores 
vãos. Nessas pontes, a base é sustentada por vários cabos metálicos verticais 
ligados a dois cabos maiores principais, que por sua vez, são conectados às 
torres de sustentação. Os cabos comprimem as torres de sustentação e estas 
últimas transferem as forças de compressão para as fundações. Como os 
cabos verticais são distribuídos de maneira regular, a carga da ponte é 
distribuída de modo uniforme aos cabos principais, que formam uma parábola. 
Como exemplos, apresenta-se a seguir a maior ponte suspensa do 
mundo, que fica no Japão, com extensão de quase 4 Km e vão central de 
quase 2 Km. Outra ponte suspensa, conhecida no Brasil, é a Ponte Hercílio 
Luz, que fica em Florianópolis, SC. 
 
1 Ponte do Japão 
 
2 Ponte Hercílio Luz 
20 
 
As curvas hiperbólicas também são utilizadas na arquitetura como pode 
ser observado da catedral de Brasília e no planetário do St. Louis Science 
Center, nos Estados Unidos. 
 
3 Catedral Metropolitana de Nossa Senhora 
Aparecida 
 
4 Planetário do St. Louis Science Center 
 
Na engenharia civil, o hiperbolóide 
(sólido originado da rotação de uma 
hipérbole) é utilizado na construção de torres 
de refrigeração de usinas nucleares. Isso se 
deve ao fato de que o hiperbolóide é uma 
superfície duplamente regrada, ou seja, para 
cada um dos seus pontos existem duas retas 
distintas que se interceptam na superfície 
(observe detalhe na imagem). Deste modo 
as torres podem ser construídas com vigas 
de aço retas, permitindo assim uma 
minimização dos ventos transversais e 
mantendo a integridade estrutural com uma 
utilização mínima de materiais de 
construção. 
 
Desta forma conseguimos visualizar a importância das cônicas em geral 
para nossa área tanto para execução de projetos que além de funcionalmente 
melhores em suas distribuições de pesos ainda ficam esteticamente bonitos. 
 
 
 
 
5 Torre de resfriamento de usina nuclear 
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Referências bibliográficas 
 
Livros: 
 
Boulos, Paulo e Ivan de Camargo. Geometria analítica: um tratamento 
vetorial, Editora Makron, 1987. 
 
Leithold, Louis. O cálculo com geometria analítica. tradução Cyro de 
Carvalho Patarra. São Paulo. Editora Harbra, c1994. 
 
Winterle, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo. Editora 
Pearson, 2012. 
 
 
Larson, Roland E.; Edwards, Bruce H.; Hostetler, Robert P. Cálculo com 
Geometria Analítica - Vol. 2. Editora LTC. 
 
Sites: 
 
Carolina da Silva Gonçalves e Ulysses Sodré. “Cônicas”, UEL. 
Disponível em < http : // www.uel.br / projetos / matessencial / superior / alinear/ 
conicas.htm> Acesso em 31 de março de 2016. 
 
Carolina da Silva Gonçalves e Ulysses Sodré. “Cônicas”, UEL. 
Disponível em < http: / / www.uel.br / projetos / matessencial / superior / alinear 
/tlinear1.htm> Acesso em 31 de março de 2016. 
 
SILVA, Marcos Noé Pedro Da. "Parábola"; Brasil Escola. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/parabola.htm>. Acesso em 31 de 
março de 2016. 
 
RIGONATTO, Marcelo. "Hipérbole"; Brasil Escola. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/hiperbole.htm>. Acesso em 31 de 
março de 2016. 
http://www.uel.br/
http://www.uel.br/