EM_V01_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 1
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : livro do professor / Saymon 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 1 : il.
 ISBN 978-85-467-1490-2
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
01
Conjuntos
Noção de conjunto e 
conceitos fundamentais
Um conjunto é uma coleção ou grupo qualquer de objetos. Os 
objetos que formam essa coleção são denominados elementos 
do conjunto.
Em um conjunto, a ordem em que os elementos são enumera-
dos não importa. Dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos 
elementos.
Outras representações de um conjunto 
Além da enumeração dos elementos, podemos representar um 
conjunto de outras maneiras. 
Por exemplo, vamos representar o conjunto A, formado pelos alga-
rismos do sistema decimal.
 • Pela enumeração dos elementos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
 • Por meio de uma propriedade: A = {x | x é um número natural 
menor que 10}
 • Por meio de um diagrama de Venn:
A
• 1 • 2
• 3
• 4 • 5
• 0
• 6
• 7
• 8
• 9
Relação de pertinência
Quando um elemento x tem a propriedade que caracteriza um 
conjunto A, dizemos que x pertence ao conjunto A e indicamos por 
x ∈ A. Caso contrário, dizemos que o elemento x não pertence ao 
conjunto A e indicamos por x ∉ A.
Tipos de conjunto
Um conjunto que tem um único elemento é denominado conjunto 
unitário. 
Um conjunto que não tem elemento algum é denominado 
conjunto vazio.
 O conjunto formado por todos os elementos de determinada 
natureza é denominado conjunto universo.
Relação de inclusão
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se 
todos os elementos de A pertencerem também a B.
A ⊂ B (A está contido em B)
B
A
O conjunto A = {1, 2, 3, 4} é subconjunto do conjunto B = {0, 1, 
2, 3, 4, 5}, pois todos os elementos de A são também elementos de B. 
A ⊂ B
Observações:
 • Quando A ⊂ B, dizemos também que B contém A e representa-
mos B ⊃ A. 
 • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, 
Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.
Conjunto das partes de um conjunto
Dado um conjunto A, existe um conjunto formado por todos os 
seus subconjuntos, denominado conjunto das partes de A.
 (A)
Por exemplo, o conjunto das partes do conjunto A = {3, 5, 7} é dado 
por:
 (A) = {∅, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}
Operações com conjuntos
União de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se união (ou reunião) 
de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A ou a B. 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se intersecção de A e 
B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B }
2 Volume 1
Observe os diagramas a seguir.
A B
A ∩ B é a região
colorida de amarelo.
A
B
Como B ⊂ A, 
então A ∩ B = B.
Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se diferença de A e B 
o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B. 
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B }
Número de elementos de um conjunto
Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos de 
A ∪ B, o número de elementos de A ∩ B e os números de 
elementos de A e B.
n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ) – n(A ∩ B ) 
Por exemplo, observe a quantidade de elementos de cada conjunto 
no diagrama a seguir. 
D
U
S
160 12045
55
Nesse exemplo, observe que:
n
n
n
n
( )
( )
( )
( )
D S
D
S
D S
∪ −
∩
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
= =
=
=
=
380 55 325
205
165
45
 n n n n( ) ( ) ( ) ( )D S D S D S∪
↓ ↓
+
↓
− ∩
↓
+ −
��� � � ���=
= 325 205 165 45
Conjuntos numéricos 
Conjunto dos números naturais ( )
O conjunto dos números naturais é infinito e representado por:
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O subconjunto do conjunto dos números naturais não nulos (sem o 
zero) é representado por: * = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
Conjunto dos números inteiros ( ) 
O conjunto dos números inteiros é infinito e representado por:
 = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números racionais ( )
O conjunto dos números racionais é formado por todos os 
números que podem ser escritos na forma 
p
q
 em que p ∈ 
e q ∈ *.
A B
Quando os conjuntos não têm elementos em comum, escrevemos 
A ∩ B = Ø e dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.
Exemplo:
A B
0
1
6
7
8
2
3
4
5
O conjunto A ∪ B é formado pelos elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B. 
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
O conjunto A ∩ B é formado pelos elementos que pertencem ao 
conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = {3, 4, 5}
Diferença de conjuntos
Considere os diagramas a seguir: 
A B
Nesse caso, A – B é a 
região colorida de amarelo 
e B – A, de verde.
A
B
A – B é a região colorida de amarelo e B – A = Ø.
A B
Nessa situação, A ∩ B = Ø. Desse modo, obtemos 
A – B = A e B – A = B.
Matemática 3Matemática 3
Conjunto dos números irracionais ( )
O número 2 = 1,414213562373095... não pode ser escrito na forma 
p
q
, com p e q inteiros e q ≠ 0. Portanto, 2 não é um número 
racional, sendo denominado irracional. 
Conjunto dos números reais ( )
A união do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado 
por . 
 = ∪ ou = {x | x é racional ou x é irracional}
Podemos escrever que
⊂ ⊂ ⊂
⊂ ⊂ ⊂
⊂ ⊂
∩
Z
Q
R
I = R – Q
N
Intervalos
Existem subconjuntos do conjunto dos números reais que podem ser representados utilizando a notação de intervalos.
Dados dois números reais a e b, com a < b, temos:
Tipo do intervalo Representação geométrica Representação algébrica
Intervalo aberto a b x a x b a b∈ < < ={ } ] [| ,
Intervalo fechado a b x a x b a b∈ ≤ ≤ ={ } [ ]| ,
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita a b x a x b a b∈ ≤ < ={ } [ [| ,
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita a b x a x b a b∈ < ≤ ={ } ] ]| ,
Semirreta direita aberta com origem a a x x a a∈ > = +∞{ } ] [| ,
Semirreta direita fechada com origem a a x x a a∈ ≥ = +∞{ } [ [| ,
Semirreta esquerda aberta com origem a a x x a a∈ < = −∞{ } ] [| ,
Semirreta esquerda fechada com origem a a x x a a∈ ≤ = −∞{ } ] ]| ,
Reta real = −∞ +∞] [,
Observação: O símbolo ∞ representa a ideia de infinito. 
4 Volume 1
Atividades
Noção de conjunto e conceitos fundamentais
1. Escreva a propriedade que os elementos de cada um dos conjuntos a seguir apresentam.
a) P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
P = {x | x é um planeta do Sistema Solar}
b) N = {Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si} 
N = {x | x é uma nota musical}
c) M = {Janeiro, Junho, Julho}
M = {x | x é um mês do ano e tem J como sua letra inicial}
d) S = {Quarta-feira, Quinta-feira}
S = {x | x é um dia da semana e tem Q como sua letra inicial}
2. Em 2004, o grupo austríaco Global Deejays lançou o hit de sucesso internacional The Sound of San Francisco, que 
mostra em seu clipe um grupo de amigos viajando o mundo em um ônibus escolar. Observe abaixo os nomes de 
algumas cidades citadas na música.
Paris Londres Los Angeles Chicago Tóquio 
Bagdá Nova York Moscou Memphis Cidade do Cabo 
Dallas Amsterdã Boston Berlim São Francisco
a) Escreva o conjunto A das cidades norte-americanas citadas na música. 
A = {Los Angeles, Chicago, Nova York, Memphis, Dallas, Boston, São Francisco}
b) Escreva o conjunto B das cidades europeias citadas na música. 
B = {Paris, Londres, Moscou, Amsterdã, Berlim} 
c) Escreva o conjunto C das cidades que não pertencem aos conjuntos A e B. A qual(is) continente(s) essas cidades 
pertencem? 
C = {Tóquio, Bagdá, Cidade do Cabo}. Tóquio e Bagdá se encontram na Ásia,e a Cidade do Cabo se encontra na África. 
Matemática 5
3. (INSPER – SP) Dizemos que um conjunto numérico C é fechado pela operação se, e somente se, para todo 
c c C1 2, , tem-se ( )c c C1 2 . A partir dessa definição, avalie as afirmações seguintes.
 I. O conjunto A = {0, 1} é fechado pela multiplicação.
 II. O conjunto B de todos os números naturais que são quadrados perfeitos é fechado pela multiplicação.
 III. O conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é fechado pela adição.
 Está(ão) corretas(s) 
a) apenas a afirmação I.
X b) apenas as afirmações I e II.
c) apenas as afirmações I e III.
d) apenas as afirmações II e III.
e) as três afirmações.
I. Correta.
0 1 0⋅ = ∈A 
II. Correta.
Sejam c x1
2= e c y2
2= dois números naturais quadrados perfeitos. Assim:
c c x y x y B1 2
2 2 2⋅ = ⋅ = ⋅ ∈( ) , pois ( )x y⋅ 2 também é um quadrado perfeito.
III. Incorreta.
3 4 7+ = ∉C
4. Relacione os conjuntos numerados de 1 a 8 na coluna da esquerda com a respectiva propriedade de formação da 
coluna da direita.
1) A = { }
2) B = {2}
3) C = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
4) D = {3}
5) E = {–25}
6) F = {0, 1, 2, 3}
7) G = {16, 20, 24, 28}
8) H = {17, 19, 21, 23, 25}
( 5 ) {x | x é um número inteiro e 
2
5
10 0
x
+ = }
( 4 ) {x | x é um número natural e x2 – x – 6 = 0}
( 6 ) {x | x é um número natural e – 5 ≤ x ≤ 3}
( 1 ) {x | x é um número natural e 2x + 8 = 0}
( 7 ) {x | x é um número múltiplo de 4 e 12 < x < 32}
( 2 ) { x | x é um número natural par e primo}
( 8 ) { x | x é um número ímpar e 17 ≤ x ≤ 25}
( 3 ) { x | x é divisor natural de 12}
2
5
10 0
2 50 25
x
x x
+ =
= − ⇒ = − 
x x
a b c
x
2
2
6 0
1 1 6
1 4 1 6
1 24 25
1 25
2
− − =
= = − = −
Δ = −( ) − ⋅ ⋅ −( )
Δ = + =
=
− −( )±
⋅
; ;
11
1 5
2
3
1 5
2
2
1
2
x
x
= + =
= − = −
2 8 0
2 8 4
x
x x
+ =
= − ⇒ = − 
6 Volume 1
5. Considere os conjuntos:
 A = {Números pares de dois dígitos que podem ser escritos com os algarismos 1, 2 e 4}
 B = {Múltiplos de 6 compreendidos entre 20 e 50}
 Complete as lacunas com os símbolos de ∈, ∉, ⊂ ou ⊄:
a) 21 ∉ A
b) {12, 24} ⊄ B 
c) {24, 42} ⊂ A
d) {36} ⊂ B 
e) 36 ∈ B
f) {12, 21, 24, 42} ⊄ A
g) 18 ∉ B 
h) A ⊄ B
i) {36, 42, 48, 54} ⊄ B
j) 12 ∈ A
6. Com base no diagrama a seguir, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.
a) ( V ) 1 ∈ B
b) ( V ) {5, 10} ⊂ B
c) ( V ) 8 ∈ A e 8 ∈ C
d) ( F ) {1, 7, 8} ∈ C {1, 7, 8} ⊂ C
e) ( F ) {4, 5,10} ⊂ A {4, 5} ⊂ A ou {4, 5, 10} ⊄ A 
f) ( V ) {1, 7, 10} ⊄ A 
g) ( F ) {1, 4, 5, 7, 10} ⊂ A {1, 4, 5, 7} ⊂ A 
h) ( V ) {3, 5} ⊄ C
i) ( F ) 10 ∈ A e 10 ∈ B 10 ∉ A e 10 ∈ B 
j) ( F ) {1, 7} ⊄ B {1, 7} ⊂ B 
7. (UEPB) Qual o número de conjuntos X que satisfazem a relação {a, e} ⊂ X ⊂ {a, e, i, o}?
a) 3 X b) 4 c) 6 d) 7 e) 5
Pela informação do enunciado, sabemos que {a, e} é um subconjunto de X, e este, por sua vez, é um subconjunto de {a, e, i, o, u}. 
Dessa forma, os elementos a e e pertencem a X e os elementos i e o podem ou não pertencer a X. Logo, as possibilidades de 
formação do conjunto X são: 
X = {a, e}, X = {a, e, i}, X = {a, e, o}, X = {a, e, i, o}
9
2
8 1
7
3
10
6
11
4
5
BA
C
Matemática 7
8. (UESPI) Seja o conjunto A, abaixo,
A { , { }, , { }, { , }}0 0 1 1 0 1
 É correto afirmar que 
a) 0 A 
X b) { , }0 1 A 
c) { , }0 1 A
d) os elementos de A são 0 e 1
e) o número de subconjuntos de A é 2 4
2
a) 0 A, pois 0 é um elemento de A. 
b) { , }0 1 A, pois { , }0 1 é um elemento de A. 
c) { , }0 1 A, pois { , }0 1 é um subconjunto de A. 
d) Os elementos de A são 0, {0}, 1, {1} e { , }0 1 .
e) O número de subconjuntos de A é 2 32
5
. 
Operações com conjuntos
9. Observe o diagrama abaixo e responda às questões.
36
0 6
12
30
48
18
24
42
BA
a) Quais são os elementos do conjunto A?
0, 6, 12, 30, 36, 48
b) Quais são os elementos do conjunto B?
6, 12, 18, 24, 42
c) Determine o conjunto A ∪ B e escreva uma proprie-
dade que os elementos desse conjunto apresentam.
A ∪ B = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}. Esse conjunto é 
formado pelos múltiplos naturais de 6 menores ou iguais a 48. 
10. Conforme o diagrama de Venn representado abaixo, 
determine: 
a
b
f
g
h
e
j
i
A B
C
c
d
a) Os conjuntos A, B e C
A = {a, b, c, d, f}; B = {c, d, i, j}; C = {d, e, f, g, h, j}
b) A ∩ B
A ∩ B = {c, d}
c) A ∪ C
A ∪ C = {a, b, c, d, e, f, g, h, j}
d) A ∩ B ∩ C
A ∩ B ∩ C = {d}
e) B – C
B – C = {c, i}
f) C – B
C – B = {e, f, g, h}
g) (A ∪ B) – C
A ∪ B = {a, b, c, d, f, i, j}; (A ∪ B) – C = {a, b, c, i}
h) (B – A) ∩ (C – A)
B – A = {i, j}; C – A = {e, g, h, j}; (B – A) ∩ (C – A) = {j}
i) (A ∪ C ) – B
A ∪ C = {a, b, c, d, e, f, g, h, j}; (A ∪ C) – B = {a, b, e, f, g, h} 
j) (A ∩ B) – (B ∪ C )
(A ∩ B) = {c, d}; (B ∪ C ) = {c, d, e, f, g, h, i, j}; (A ∩ B) – (B ∪ C ) = ∅
8 Volume 1
11. Considere os conjuntos
 D = {x | x é natural e 1 ≤ x ≤ 12} 
 E = {x | x é ímpar e 5 < x ≤ 9}
 F = {x | x é par e 6 ≤ x < 10} 
 Determine:
a) E – F
E – F = {7, 9} = E 
b) F – E 
F – E = {6, 8} = F 
c) E – D
E – D = ∅
d) D – E
D – E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12}
e) D – F
D – F = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12}
12. Sendo A e B dois conjuntos não vazios com A ∩ B = 
{1, 3, 5}, B – A = {7, 9} e A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, 
então é correto afirmar que:
a) A = {1, 3, 5, 7, 9}
b) B = {1, 2, 3, 4, 5}
c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
X d) A = {1, 2, 3, 4, 5} 
e) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Considerando as informações apresentadas, podemos 
afirmar que:
• como A ∩ B = {1, 3, 5}, os elementos 1, 3 e 5 perten-
cem tanto ao conjunto A como ao conjunto B;
• como B – A = {7, 9}, os elementos 7 e 9 pertencem 
exclusivamente a B e, assim, B = {1, 3, 5, 7, 9};
• como os elementos de A ∪ B são pertencentes a pelo 
menos um dos conjuntos A e B e sabendo que B = {1, 3, 
5, 7, 9}, podemos afirmar que A = {1, 2, 3, 4, 5}.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; 
E = {7, 9}; F = {6, 8}
13. Represente nos diagramas as operações entre os con-
juntos A, B e C.
a) (B ∩ C ) – A
A B
C
b) (B ∩ C ) ∪ (A ∩ C )
A B
C
c) (A ∪ B ) – C
A B
C
14. (UTFPR) A figura seguinte mostra os conjuntos “A”, “B” 
e “C”. Nela, a região hachurada corresponde a:
a) (A – B) ∩ C
b) (A ∪ B) – C
c) (A ∩ B) – C
d) (A – C) ∪ B
X e) (A – B) ∪ C
15. Considere os conjuntos: 
 A = conjunto dos números pares compreendidos entre 
20 e 40;
 B = conjunto dos múltiplos de 5 compreendidos entre 
12 e 52.
 Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for 
falsa.
A = {22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38}
B = {15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
Matemática 9
a) ( F ) A = {20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40} 
b) ( V ) A ∩ B é um conjunto unitário. A ∩ B = {30}
c) ( V ) A ∪ B = {15, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 
35, 36, 38, 40, 45, 50}
d) ( V ) B = {15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
e) ( F ) A ∩ B = {20, 30, 40}
16. Numa pesquisa realizada entre alguns moradores com 
relação a frequentarem os dois principais pontos turís-
ticos de uma cidade, verificou-se que:
 – 150 frequentam a Praça das Flores;
 – 160 frequentam o Parque das Aroeiras;
 – 70 frequentam a Praça das Flores e o Parque das 
Aroeiras;
 – 70 não frequentam nenhum dos dois locais.
 Organize as informações em um diagrama e responda 
às questões a seguir.
9080 70
Praça das Flores Parque das Aroeiras
70
a) Quantas pessoas foram entrevistadas? 
80 + 70 + 90 + 70 = 310 pessoas
b) Quantas pessoas frequentam somente a Praça das 
Flores?
80 pessoas
c) Quantas pessoas não frequentam a Praça das Flores? 
90 + 70 = 160 pessoas ou 310 – 150 = 160 pessoas
17. Em uma pesquisa com os 35 alunos de uma classe, a 
professora constatou que:
 – 20 alunos têm dificuldade em álgebra;
 – 17 alunos têm dificuldade em geometria;
 – 5 alunos têm dificuldade em outras áreas que não 
álgebra ou geometria.
 Determine quantos alunos têm dificuldade em álgebra 
e geometria.
a) Estar entre20 e 40 significa que não estamos considerando nem o 20 nem o 40. Se o conjunto estivesse definido como sendo os 
números pares de 20 a 40, a afirmação seria verdadeira.
17 – x20 – x x
A G
20 – x + x + 17 – x + 5 = 35
– x + 42 = 35
x = 7
5
18. Um chef de cozinha resolveu fazer uma pesquisa com 
500 de seus clientes para definir a montagem do novo 
cardápio de seu restaurante. Ao final da pesquisa, ele 
obteve as seguintes informações:
 – 255 clientes comem carne de peixe;
 – 285 clientes comem carne bovina;
 – 285 clientes comem carne de frango;
 – 150 comem carne de peixe e bovina;
 – 165 comem carne de peixe e de frango;
 – 175 comem carne bovina e de frango;
 – 80 comem carne bovina, de frango e de peixe;
 – alguns clientes são vegetarianos.
 Organize as informações em um diagrama e responda 
às questões a seguir.
4020
70
P B
80
85 95
25
85
F
a) Qual o número de clientes entrevistados que são 
vegetarianos?
85 clientes
b) Quantos clientes não comem carne de peixe?
500 – 255 = 245 clientes ou 40 + 95 + 25 + 85 = 245 clientes
10 Volume 1
c) Quantos clientes comem pelo menos dois tipos de 
carne?
70 + 85 + 95 + 80 = 330 clientes
d) Qual o número de clientes que não comem carne 
bovina, mas comem carne de frango?
85 + 25 = 110 clientes
19. Maria e Pedro inventaram um jogo utilizando bambolês 
e bolinhas de gude. A brincadeira era feita da seguinte 
maneira:
 I. Os bambolês eram dispostos como na figura abaixo.
73
1
6
2 4
5
Vermelho Verde
Amarelo
8
 II. Eles soltavam as bolinhas de certa altura e anota-
vam quantas tinham ficado em cada região formada 
pela disposição dos bambolês e quantas haviam 
caído para fora.
 Numa certa jogada, o resultado obtido foi:
 – 12 bolinhas ficaram dentro do bambolê vermelho;
 – 18 bolinhas ficaram dentro do bambolê verde;
 – 17 bolinhas ficaram dentro do bambolê amarelo;
 – 7 bolinhas ficaram dentro dos bambolês vermelho e 
verde;
 – 10 bolinhas ficaram dentro dos bambolês verde e 
amarelo;
 – 8 bolinhas ficaram dentro dos bambolês vermelho e 
amarelo;
 – 6 bolinhas ficaram dentro dos bambolês vermelho, 
verde e amarelo;
 – 8 bolinhas ficaram para fora dos bambolês.
 Baseando-se nas informações e nos resultados obti-
dos, responda às questões propostas.
a) Quantas bolinhas foram jogadas?
3 + 1 + 7 + 2 + 6 + 4 + 5 + 8 = 36 bolinhas 
b) Quantas bolinhas caíram dentro do espaço ocupado 
unicamente pelo bambolê verde?
7 bolinhas 
c) Quantas bolinhas não caíram dentro do espaço ocu-
pado pelo bambolê amarelo?
36 – 17 = 19 bolinhas 
20. Numa academia, com o intuito de reorganizar os ho-
rários das aulas de jump, step e spinning, foi realizada 
uma enquete com os frequentadores e obtiveram-se os 
seguintes dados:
 – 50 frequentadores fazem somente aulas de jump;
 – 40 frequentadores fazem somente aulas de step;
 – 85 frequentadores fazem aulas de spinning;
 – 30 frequentadores fazem aulas de jump e step;
 – 25 alunos frequentam as aulas de step e spinning;
 – 5 alunos frequentam somente as aulas de jump e 
spinning;
 – 20 alunos frequentam as três aulas;
 – 60 alunos frequentam somente outros tipos de aulas.
 Organize as informações em um diagrama e determine: 
4050
10
J St
20
5 5
55
Sp
60
a) o total de frequentadores da academia;
50 + 10 + 40 + 5 + 20 + 5 + 55 + 60 = 245 frequentadores
b) o número de frequentadores que fazem somente 
duas dessas modalidades;
10 + 5 + 5 = 20 frequentadores
c) o número frequentadores que não fazem aula de step.
50 + 5 + 55 + 60 = 170 frequentadores
Matemática 11
21. (IFSC) Um curso de engenharia deseja saber a atual 
situação de seus alunos que cursam unidades curricu-
lares até a terceira fase do curso. Para isso, organizou 
o diagrama da Figura 3, sendo:
• A o conjunto de alunos que cursam pelo menos uma 
unidade curricular na primeira fase; 
• B o conjunto de alunos que cursam pelo menos uma 
unidade curricular na segunda fase; 
• C o conjunto de alunos que cursam pelo menos uma 
unidade curricular na terceira fase.
2040
0
A C
2
20 12
6
B
Figura 3 – Diagrama
 Com base na situação exposta no enunciado, assinale 
[...] a soma da(s) proposição(ões) correta(s).
X (01) n[(A ∪ B) ∩ C] = 14
(02) n[(A ∩ C) ∪ B] = 100
X (04) n[(B ∩ C) ∪ A] = 74
X (08) n[(A ∩ B) ∪ (B – C)] = 28
X (16) n[(A – B) ∩ (C – A)] = 0) [( ) ( )]
Somatório: 29 (01+ 04 + 08 + 16)
(01) n A B C[( ) ]∪ ∩ = + + =0 2 12 14 
(02) n A C B[( ) ]∩ ∪ = + + + + =0 2 20 12 6 40
(04) n B C A[( ) ]∩ ∪ = + + + + =12 2 0 20 40 74
(08) n A B B C[( ) ( )]∩ ∪ − = + + =20 2 6 28
(16) n A B C A[( ) ( )]− ∩ − = 0, pois ( ) ( )A B C A− ∩ − =∅
22. (IFPE) Um dos restaurantes de um shopping center 
fez uma pesquisa entre os seus clientes com duas 
perguntas:
 (1) Você gosta de comida japonesa?
 (2) Você gosta de comida mexicana?
 Feito o levantamento das respostas observou-se que 
132 pessoas responderam “sim” à primeira pergunta; 
84 responderam “sim” à segunda pergunta; 18 res-
ponderam “sim” às duas perguntas e 50 pessoas res-
ponderam “não” às duas. Com base nesses dados, é 
correto afirmar que o número de pessoas que respon-
deram à pesquisa foi igual a:
a) 223
b) 230
X c) 248
d) 253
e) 284
Observe o diagrama:
66114 18
(1) (2)
50
Número de pessoas que responderam “sim” apenas à 
primeira pergunta: 132 – 18 = 114
Número de pessoas que responderam “sim” apenas à 
segunda pergunta: 84 – 18 = 66
Número de pessoas que responderam à pesquisa:
114 + 18 + 66 + 50 = 248
23. (UNIFOR – CE) O Teatro Celina Queiroz é um reco-
nhecido espaço de divulgação das artes cênicas no 
estado do Ceará, com capacidade para mais de 300 
pessoas, além de palco de eventos acadêmicos e 
culturais da Universidade de Fortaleza, bem como 
de manifestações artísticas da cidade de Fortaleza. 
Inaugurado em 6 de junho de 2003, sedia o Proje-
to Teatro Celina Queiroz Grandes Espetáculos, com o 
objetivo de inserir Fortaleza no circuito brasileiro das 
principais produções nacionais. Numa pesquisa reali-
zada sobre os espetáculos realizados no Teatro Celina 
Queiroz, foram entrevistadas várias pessoas acerca 
de suas preferências em relação a três espetáculos: 
Frida y Diego, Chuva Constante e Amor Perverso. Os 
resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas 
assistiram ao espetáculo Frida y Diego, 210 pes-
soas assistiram ao espetáculo Chuva Constante, 230 
pessoas assistiram ao espetáculo Amor Perverso, 60 
pessoas assistiram aos espetáculos Frida y Diego e 
Chuva Constante, 70 pessoas assistiram aos espe-
táculos Frida y Diego e Amor Perverso, 50 pessoas 
assistiram aos espetáculos Chuva Constante e Amor 
12 Volume 1
Perverso, 40 pessoas assistiram aos três espetáculos 
e 100 pessoas não assistiram a nenhum dos espetácu-
los. Com base nos dados da pesquisa, quantas pes-
soas foram entrevistadas? 
a) 500.
b) 510.
c) 550.
d) 600.
X e) 610.
Observe o diagrama:
140120
20
FD CC
40
30 10
150
AP
100
Número de pessoas que responderam à pesquisa:
120 + 140 + 150 + 20 + 10 + 30 + 40 + 100 = 610
24. (UERN) Em um vestibular para ingresso no curso de en-
genharia de uma determinada universidade, foi analisa-
do o desempenho dos 1 472 vestibulandos nas provas de 
Português, Matemática e Física, obtendo-se o seguinte 
resultado:
• 254 candidatos foram aprovados somente em 
Português;
• 296 candidatos foram aprovados somente em 
Matemática;
• 270 candidatos foram aprovados somente em Física;
• 214 candidatos foram aprovados em Português e 
Física;
• 316 candidatos foram aprovados em Matemática e 
Física;
• 220 candidatos foram aprovados em Português e 
Matemática;
• 142 candidatos foram reprovados nas três disci-
plinas.
 O número de alunos aprovados nas três disciplinas, e, 
portanto, aptos a ingressarem no curso de engenharia, 
é 
a) 98.
b) 110.
X c) 120.
d) 142.
Observe o diagrama:
296254
220 – x
P M
x
214 – x 316 – x
270
F
142
Como o total de vestibulandos é 1 472, temos:
254296 270 220 316 214
142 1472
1712 2 1472
120
+ + + − + − + − + +
+ =
− =
=
x x x x
x
x
25. (PUCPR) Em uma pesquisa feita com 120 empregados 
de uma firma, verificou-se o seguinte:
 – têm casa própria: 38
 – têm curso superior: 42
 – têm plano de saúde: 70
 – têm casa própria e plano de saúde: 34
 – têm casa própria e curso superior: 17
 – têm curso superior e plano de saúde: 24
 – têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15
 Qual a porcentagem dos empregados que não se en-
quadram em nenhuma das situações anteriores?
 (Sugestão: utilize o diagrama de VENN para facilitar os 
cálculos)
X a) 25%
b) 30%
c) 35%
d) 40% 
e) 45%
Número de empregados que não se enquadram nessas 
situações:
120 – 2 – 16 – 27 – 2 – 9 – 19 – 15 = 30
Portanto, 
30
120
0 25 25, %. 
162
2
15
19 9
27
Casa Curso superior
Plano de saúde
Matemática 13
Conjuntos numéricos
26. Amarílis achou um pedaço de papel no qual vários nú-
meros estavam escritos, como mostra a figura a seguir:
DK
O
 E
st
úd
io
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
2,333...
–7
3,2
11
5
4
7
4
9
−15
3
8
4
 Distribua esses números adequadamente dentro do 
diagrama abaixo, de acordo com os conjuntos numéri-
cos representados.
11
5
4
7
4
2,333...
3,2
–7
9
π
8
4−
15
3
27. Escreva em ordem crescente cada uma das sequências.
a) –9; –99; 999; –999; 9
–999; –99; –9; 9; 999
b) 3,1; 3,18; 3,22; 3,15; 3,21
3,1; 3,15; 3,18; 3,21; 3,22
c) –4; –3,85; –3,75; –3,9; –3,92
–4; –3,92; –3,9; –3,85; –3,75
d) − − −2 5 3 3; ; ; ;π
− − −3 5 2 3; ; ; ; π 
e) 1 2 1 2 0 3 2 3+ − −; ; ; ;
1 2 3 2 0 3 1 2− − +; ; ; ; 
28. Assinale 1 se o resultado da operação for um número 
racional ou 2 se o resultado da operação for um núme-
ro irracional.
a) ( 2 ) 1 + 2
b) ( 1 ) 1 + 9
c) ( 1 ) 
1
4
273
d) ( 1 ) 1,3 + 0,33333... 
e) ( 2 ) 2,414141... + π
f) ( 1 ) 
9
4
16
5
g) ( 1 ) 1,41232323... –3,74323232...
h) ( 2 ) 2 25
i) ( 1 ) 2 18
j) ( 1 ) 
50
2
29. Escreva a fração geratriz das seguintes dízimas 
periódicas:
a) 2,333... 
(I) x = 2,333... 
(II) 10x = 23,333...
(II) – (I):
9x = 21 ⇒ x = 21
9
7
3
= 
b) 0,444...
(I) x = 0,444... 
(II) 10x = 4,444...
(II) – (I):
9x = 4 ⇒ x = 
4
9
 
c) 1,23111...
(I) x = 1,23111... 
(II) 10x = 12,3111... 
(III) 100x = 123,111... 
(IV) 1 000x = 1 231,111...
(IV) – (III):
900x = 1 108
x = 1108
900
554
450
277
225
= = 
14 Volume 1
d) 4,412412412...
(I) x = 4,412412412... 
(II) 10x = 44,124124... 
(III) 100x =441,241241... 
(IV) 1 000x = 4 412,412412...
(IV) – (I):
999x = 4 408 ⇒ x = 
4408
999
e) 0,4312312312...
(I) x = 0,4312312312... 
(II) 10x = 4,312312312... 
(III) 100x = 43,123123... 
(IV) 1 000x = 431,231231... 
(V) 10 000x = 4 312,312312... 
(V) – (II):
9 990x = 4 308
x = 
4 308
9 990
2 154
4 995
718
1 665
= =
f) 1,7444...
(I) x = 1,7444... 
(II) 10x = 17,444... 
(III) 100x = 174,444...
(III) – (II):
90x = 157 ⇒ x = 157
90
30. (IFPE) Observando o número
 (–9,13571357135713...)2, é correto garantir que ele 
pertence ao conjunto:
a) 
b) 
X c) 
d) 
e) 
O número –9,13571357135713... é racional. O quadra-
do de um número racional é um número racional não 
negativo.
x I
x II
II
= −
= −
−
9 13571357135713
10 000 91357 1357135713
, ( )
, ( )
( ) (
…
…
II
x
x x
) :
9 999 91348
91348
9 999
91348
9 999
2
2
= −
= − ∈ ⇒ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∈	 	
31. (UFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão 
de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que 
a representação decimal de 
x
y
 é a dízima periódica 
7,363636…
 Então, o valor de x + y + z é:
a) 190
b) 193
X c) 191
d) 192
k I
k II
II I
k k
=
=
−
= ⇒ =
7 363636
100 736 363636
99 729
81
11
, ( )
, ( )
( ) ( ) : 
Assim, 
x
y
81
11
 ou qualquer fração equivalente. 
Dividindo 81 por 11, obtemos quociente 7 e resto 4.
Dividindo 162 por 22, obtemos quociente 7 e resto 8.
Portanto, x + y + z = 162 + 22 + 7 = 191.
32. (UFTM – MG) Sabe-se que há infinitos números irracionais 
entre dois números racionais quaisquer, e há infini-
tos números racionais entre dois números irracionais 
quaisquer. A figura mostra um trecho da reta numérica:
 Se M é ponto médio do segmento AB, e N é ponto mé-
dio do segmento BY, então é correto afirmar que a abs-
cissa do ponto 
a) M é uma dízima periódica simples.
b) N não possui representação fracionária.
X c) M e a abscissa do ponto N possuem representação 
decimal exata.
d) M é um número irracional.
e) M e a abscissa do ponto N são dízimas periódicas 
compostas.
A abscissa do ponto médio de um segmento é a média arit-
mética das abscissas das extremidades desse segmento.
M
N
=
+
= = =
=
+
= = =
2
5
3
4
2
23
20
2
23
40
0 575
3
4
1
2
7
4
2
7
8
0 875
,
,
 
Assim, as abscissas dos pontos M e N têm representa-
ção decimal exata.
Matemática 15
33. (ITA – SP) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 – r2 
e r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações:
 I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;
 II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional;
 III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,
 é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
X e) I, II e III.
I. Verdadeira. Como r1 – r2 é racional, se r1 é racional ou 
r2 é racional, então ambos são racionais. Como r1 + r2 + 
r3 é racional, se r1 e r2 são racionais, então r3 é racional.
II. Verdadeira. Como r1 + r2 + r3 é racional, se r3 é racio-
nal, então r1 + r2 é racional.
III. Verdadeira. Do item anterior, sabemos que r1 + r2 é 
racional. Como r1 e r2 é racional, temos:
• (r1 + r2) + (r1 – r2) = 2r1 é racional, pois a soma de 
dois números racionais é um número racional;
• (r1 + r2) – (r1 – r2) = 2r2 é racional, pois a diferença de 
dois números racionais é um número racional.
Assim, r1 e r2 são racionais.
Intervalos
34. Complete adequadamente as lacunas da tabela.
Representação 
geométrica
Representação 
algébrica
3
{x ∈ | x ≤ 3} ou ]–∞, 3]
8–4
{x ∈ | –4 < x < 8} ou ]–4, 8[ 
5–2 {x ∈ | –2 ≤ x ≤ 5} ou [–2, 5]
2
{x ∈ | x ≥ 2} ou [2, +∞[ 
82 {x ∈ | 2 ≤ x < 8} ou [2, 8[
35. Complete os espaços em branco com os símbolos de 
∈ou ∉:
a) –4 ∈ [–4, 10] 
b) 7 ∉ {x ∈ | x > 7} 
c) –8 ∉ ]–7, –2[ 
d) –9 ∈ [–9, –2[
e) 3,48 ∈ {x ∈ | 3 < x < 3,5}
f) 7 ∈ ]2, 3]
g) 9 ∉ {x ∈ | –1 < x < 3} 
h) 3,02 ∈ [3; 3,1] 
i) 1
2
 ∈ {x ∈ | 0 < x < 1} 
j) 2,77 ∈ [2; 2,8] 
36. Sejam os conjuntos P = {x ∈ | –3 ≤ x ≤ 4} e 
Q = {x ∈ | 1 < x < 5}. Determine:
a) P ∪ Q {x ∈ | –3 ≤ x < 5}
4–3
51
5–3
P
Q
P ∪ Q
b) P ∩ Q {x ∈ | 1 < x ≤ 4}
4–3
51
41
P
Q
P ∩ Q
c) P – Q {x ∈ | –3 ≤ x ≤ 1}
4–3
51
–3
P
Q
P – Q
1
16 Volume 1
d) Q – P {x ∈ | 4 < x < 5}
4–3
51
4
P
Q
Q – P
5
 
37. (UNIFICADO) Se A = {x ∈ | x < 1}, B = {x ∈ | –1 < x ≤ 3} 
e C = {x ∈ | x ≥ 0}, então o conjunto que representa 
(A ∩ B) – C é:
X a) {x ∈ | –1 < x < 0}
b) {x ∈ | –1 < x ≤ 0}
c) {x ∈ | –1 < x < 1}
d) {x ∈ | x ≤ 3}
e) {x ∈ | x > –1}
A ∩ B = {x ∈ | –1 < x < 1}
(A ∩ B) – C = {x ∈ | –1 < x < 0}
1
A
3–1
B
0
C
0–1
(A ∩ B) – C
–1
A ∩ B
1
38. (UFJF – MG) Define-se o comprimento de cada um dos 
intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a 
diferença (b – a). Dados os intervalos M = [3,10], 
N = ]6,14[, P = [5,12[, o comprimento do intervalo 
resultante de ( ) ( )M P P N∩ ∪ − é igual a:
a) 1. b) 3. X c) 5. d) 7. e) 9.
Representando os intervalos na reta real, obtemos os se-
guintes resultados:
M P
P N
M P P N
M P P N
∩ =
− =
∩ ∪ − = ∪
∩ ∪ − =
[ , ]
[ , ]
( ) ( ) [ , ] [ , ]
( ) ( ) [ ,
5 10
5 6
5 10 5 6
5 110]
 
Assim, o comprimento do intervalo resultante é 10 – 5 = 5.
39. (UEM – PR) No conjunto dos números reais não nega-
tivos +, definimos a operação x y
x y
xy
⊗ = +
+
4
1
. Com 
respeito a essa operação, assinale o que for correto.
X (01) Existex ∈ +, tal que x ⊗ y = x para todo y real 
não negativo. 
(02) (1 ⊗ 2) ⊗ 3 é um número inteiro.
(04) x ⊗ y = y ⊗ x para todos x, y ∈ +. 
(08) Em +, não existe solução para a equação 
x ⊗ x = x. 
X (16) 1 2 4
1
8
⊗ = ⊗
Somatório: 17 (01 + 16)
(01) Correto.
x y
xy
x
x y x x y x y y
y x y ou x ou x
+
+
=
+ = + ⇒ = ⇒
⇒ ⋅ − = ⇒ = = = −
4
1
4 4
4 0 0 2 2
2
2
2
( )
Observe que para x = 2 temos:
x y
x y
xy
y
y
y
y
y
y
⊗ = +
+
⊗ = +
+
= ⋅ +
+
= ≠ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
1
2
2 4
1 2
2 1 2
1 2
2
1
2
( )
(02) Incorreto. 1 2
1 4 2
1 1 2
9
3
3
1 2 3 3 3
1 2 3
3 4 3
1 3 3
15
10
⊗ = + ⋅
+ ⋅
= =
⊗ ⊗ = ⊗
⊗ ⊗ = + ⋅
+ ⋅
= ∉
( )
( )
(04) Incorreto.
Veja um exemplo: 2 3
2 4 3
1 2 3
14
7
2
3 2
3 4 2
1 3 2
11
7
⊗ = + ⋅
+ ⋅
= =
⊗ = + ⋅
+ ⋅
=
(08) Incorreto.
x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x ou x ou x
⊗ =
+
+ ⋅
= ⇒ = + ⇒ − = ⇒
⇒ ⋅ − = ⇒ = = = −
4
1
5 4 0
4 0 0 2
3 3
2( ) 22
Portanto, em +, existe a solução x = 2 para a 
equação x ⊗ x = x .
(16) Correto. 4
1
8
4 4
1
8
1 4
1
8
9
2
3
2
3 1 2⊗ =
+ ⋅
+ ⋅
= = = ⊗
Matemática 17
02
Funções
Conceito de função
Dados dois conjuntos não vazios A e B , uma função é uma regra 
que nos diz como associar cada elemento x ∈ A a um único 
elemento y ∈ B.
f: A → B (lemos “função f de A em B”)
f
A B
x y = f(x)
 • A função f transforma x ∈ A em y ∈ B, que indicamos por f(x).
=y f(x)
“y é função de x”
 • Se y é função de x, denominamos x de variável independente e 
y de variável dependente.
 
y = f(x)
variável dependente
variável independente
Domínio, contradomínio e conjunto-
-imagem de uma função
Dada uma função f: A → B, o conjunto A é denominado domínio 
da função e o conjunto B é denominado contradomínio da função.
Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B denomina-se imagem de x pela 
função f. O conjunto de todas as imagens de x pela função f é deno-
minado conjunto-imagem da função.
Por exemplo, dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9} e uma função f: A → B tal que f(x) = 
x
2
, temos:
D(f ) = {0, 2, 4, 6, 8}
CD(f ) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
f x
x
y
( )
2
f(0) = 0; f(2) = 1; f(4) = 2;
f(6) = 3; f(8) = 4
Im(f ) = {0, 1, 2, 3, 4}
A B
0
f
4
2
6
8
0
2
1
3
4
5
7
6
8
9
0
2
1
3
4
Gráfico de uma função
Plano cartesiano
Para representar o gráfico de uma função, utilizamos o plano 
cartesiano. 
eixo das ordenadas
eixo das abscissasorigem
O x
2.o quadrante 1.o quadrante
3.o quadrante 4.o quadrante
y
b
a
P (a, b)
Para localizar um ponto, é preciso conhecer suas coordenadas (a, b). 
A coordenada a, denominada abscissa do ponto, é representada no 
eixo horizontal e a coordenada b, chamada de ordenada, é represen-
tada no eixo vertical.
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B não vazios, denominamos produto 
cartesiano de A por B, que indicamos por A × B, o conjunto 
formado por todos os pares ordenados (x, y), com x ∈ A e y ∈ B.
A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B }
Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, temos:
 • A × B = {(1, 5), (1, 7), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7)}
É importante perceber que, em geral, A × B ≠ B × A. 
Características de funções
Função par e função ímpar
Uma função f: A → B é par se, para todo x → A, f(–x) = f(x). 
Uma função f: A → B é ímpar se, para todo x → A, f(–x) = –f(x).
18 Volume 1
Observação
 • Existem funções que não são pares nem ímpares. Por exemplo, a 
função f: → dada por f(x) = x3 + x2:
f(x) = x3 + x2
f(–x) = (–x)3 + (–x)2
f(–x) = –x3 + x2
x
y
5
4
3
2
1
1
–1
–1
–2
–3
–2 0 2 3
Função sobrejetora, injetora e bijetora 
Uma função f: A → B é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando todo 
elemento do conjunto B é imagem de pelo menos um elemento do 
conjunto A, ou seja, quando Im(f) = B.
Por exemplo, a função f: → +, definida por f(x) = x
2, é sobrejetora.
x
y
5
6
4
3
2
1
1–1–2–3–4–5 0 2 3 4 5 6
Im(f) = R+f(x) = x2
No gráfico dessa função, o conjunto-imagem é +, igual ao contra-
domínio. Assim, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo 
menos um elemento do domínio.
Uma função f: A → B é injetora (ou injetiva) quando elementos 
distintos do domínio têm imagens distintas no contradomínio. Assim, 
f é injetora quando:
x1 ∈ A, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Por exemplo, a função g: + → , definida por f(x) = x .
Qualquer reta horizontal que intersecta o gráfico de f o faz em um 
único ponto, ou seja, dois valores distintos de x estão associados a va-
lores distintos de y. Assim, a função é injetora.
x
y
r
5
6
4
3
2
1
1–1 0 2 3 4 5 6
f(x) = x
Uma função f: A → B é bijetora se for injetora e sobrejetora.
Função composta
Dadas duas funções f: A → B e g: B → C, denomina-se fun-
ção composta de g com f a função g f : A → C definida por 
(g f) (x) = g(f(x)), com x ∈ A. 
x
f
g ° f
g
f(x) g(f(x))
BA C
Podemos indicar a função composta de g com f por g f. 
Função inversa
Dada uma função f: A → B, bijetora, denomina-se função inversa 
de f a função f–1: B → A tal que se f(a) = b, então f–1(b) = a, para 
todo a ∈ A e b ∈ B.
f
f–1
A B
a b
f(a) = b
f–1(b) = a
Por exemplo, a função inversa de f : → definida por 
f(x) = 2x + 3 é obtida trocando x por y e y por x e isolando o y:
x = 2y + 3 ⇒ x – 3 = 2y ⇒ y x f x= − ⇒ = −−3
2
3
2
1
Matemática 19
Observações
 • Para que uma função seja invertível, ou seja, admita inversa, ela 
deve ser bijetora.
 • Não confunda a notação f–1, a função inversa de f , com o inverso 
de uma função, ou seja, f–1(x) ≠ 
1
f x( )
. 
Exemplo: f(x) = 2x + 3, f–1(x) = x 3
2
, enquanto 1 1
2 3f x x( )
=
+
.
Gráfico da função inversa
Se f é uma função, f–1 é a sua inversa e, se f(a) = b, então f–1(b) = a. 
O ponto de coordenadas (a, b) pertence ao gráfico de f e o ponto de 
coordenadas (b, a) pertence ao gráfico de f–1. Esses pontos são simé-
tricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Por exemplo, observe os gráficos da função f: → , definida por 
f(x) = 2x + 3, e da sua inversa f–1: → , definida por f–1(x) = x 3
2
.
x
y
y = x
f –1
5
6
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 0 2 3 4 5 6
f
Atividades
Conceito de função
1. Numa panificadora, o quilograma do pão custa R$ 7,00. 
a) Calcule o valor pago por 0,4 kg de pão.
0,4 · 7 = R$ 2,80
b) Quantos kg de pão comprou uma pessoa que gas-
tou R$ 6,65?
6,65 : 7 = 0,950 kg ou 950 g
c) Quanto pagará uma pessoa que comprar 12 pães, 
sabendo que cada pão pesa, em média, 50 gramas? 
12 · 50 = 600 g, que representam 0,6 kg
0,6 · 7 = R$ 4,20
d) Se chamarmos de P o preço a ser pago (em reais) e 
de m a massa (em quilogramas), qual é a expressão 
que relaciona P e m? 
P = 7m (P é o preço em reais; m é a massa em quilogramas)
2. Em Física, chamamos de movimento uniforme aquele 
em que a velocidade de um móvel é constante. 
Consequentemente, o espaço percorrido em intervalos 
de tempo iguais é sempre o mesmo. A função horária 
desse movimento é dada pela lei s t s v t( ) = + ⋅0 , na 
qual s é a posição (em metros) do móvel no instante t 
(em segundos), s 0, a posição inicial, quando t = 0, e v, 
a velocidade constante (em m/s). 
 Considerando o texto acima e que a equação horária 
de certo móvel em movimento uniforme seja dada por 
s(t) = 15 + 5t, responda às questões propostas.
a) Qual é a variável dependente dessa função?
A posição do móvel (s).
b) Qual é a variável independente dessa função?
Tempo (t)
c) Após quantos segundos o móvel estará a 48 m da 
posição inicial?p ç
48 = 15 + 5t
48 – 15 = 5t
33 = 5t
33
5
 = t ⇒ t = 6,6 s
20 Volume 1
d) Após 2,5 minutos, em qual posição se encontrará o 
móvel?
2,5 · 60 = 150 s
S(150) = 15 + 5 · 150
S(150) = 15 + 750
S(150) = 765 m 
3. Sendo os conjuntos A = {–7, –4, –3, 1} e B = {2, 3, 6, 
7, 8, 10, 12} e a função f: A → B, definida por f(x) = –x + 3, 
faça o que se pede.
a) Represente a função por meio de um diagrama.
8
–7 2
A
12
1
10
B
–4
–3
3
6
7
b) Determine o domínio da função.
D(f) = {–7, –4, –3, 1}c) Determine o contradomínio da função.
CD(f) = {2, 3, 6, 7, 8, 10, 12}
d) Determine o conjunto-imagem da função.
Im(f) = {2, 6, 7, 10}
4. Um canteiro retangular tem as dimensões, em metros, 
dadas por x + 4 e x – 3. Determine:
a) a expressão que relaciona a medida da área A do 
terreno em função de x; 
Área do retângulo = comprimento × largura
A = (x + 4) · (x – 3)
A = x2 – 3x + 4x – 12
A = x2 + x – 12
b) a área do terreno quando x = 8;
A = 82 + 8 – 12
A = 64 + 8 – 12
A = 72 – 12 ⇒ A = 60 m2
c) o valor de x para que a área seja igual a 18 m².
A = 18, portanto:
18 = x2 + x – 12
x2 + x – 12 = 18
x2 + x – 12 – 18 = 0
x2 + x – 30 = 0
a b c
b a c
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −
= + =
1 1 30
4
1 4 1 30
1 120 121
2
2
; ;
( )
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
=
− ±
⋅
=
− ±
⋅
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
Δ
2
1 121
2 1
1 11
2
10
2
5
1 11
2
12
2
6
1
2
x = –6 (não convém) 
Portanto, x = 5.
5. Determine o domínio das funções a seguir.
a) f(x) = 7x – 12
D(f) = 
b) m(x) = 3 9x
3x – 9 ≥ 0
3x ≥ 9 ⇒ x ≥ 3
D(m) = [3, +∞[
c) t(x) = 
7 2
5 8
3 x
x
5x – 8 > 0
5x > 8 ⇒ x > 8
5
O numerador é real para todo x ∈ .
D t( ) ,= +⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
8
5
∞
d) p(x) = 
2
3
4 8
x
x
−
+ −
x – 3 ≠ 0
x ≠ 3 e
4x – 8 ≥ 0
4x ≥ 8 ⇒ x ≥ 2
D(p) = [2, +∞[– {3}
Matemática 21
6. Considere a função h(x) = 
1
2
2
1x
x
x
+
+
−
 e responda às 
questões propostas.
a) Qual o valor de h(3)? 
h
h
h
h
( )
( )
( )
( )
3
1
2 3
2 3
3 1
3
1
6
5
2
3
1 15
6
3
16
6
8
3
=
⋅
+
+
= +
=
+
= =
−
b) Qual o valor de h
1
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟?
h
h
h
1
5
1
2
1
5
2
1
5
1
5
1
1
5
1
2
5
10 1
5
1 5
5
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⋅
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
–
– 
55
2
11
5
4
5
1
5
5
2
11
5
5
4
1
5
5
2
11
4
1
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ⋅
= =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
–
–
–
h
h
00 11
4
1
4
–
–=
c) Quais valores de x não podem ser atribuídos para a 
função h(x)? Justifique sua resposta.
2x ≠ 0
x ≠ 0
e
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
O denominador de uma fração não pode ser zero.
7. (UERJ) A estatura de um adulto do sexo feminino pode 
ser estimada, através das alturas de seus pais, pela 
expressão: ( )y x− +13
2
. Considere que x é a altura da 
mãe e y a do pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-
-se 8,5 cm da altura estimada, obtém-se, respectiva-
mente, as alturas máxima ou mínima que a filha adulta 
pode atingir. Segundo essa fórmula, se João tem 1,72 m 
de altura e sua esposa tem 1,64 m, sua filha medirá, 
no máximo: 
X a) 1,70 m 
b) 1,71 m
c) 1,72 m
d) 1,73 m
8. (UFAM) Seja 
 4, se é racional
f(x)
1, se é irracional
⎧
= ⎨−⎩
x
x
.
 A expressão 
f f f
f
( ) ( ) ( )
( )
0 1
3
+ − −π
 é igual a: 
a) –1
b) 4
X c) 1
d) 9
e) 7
f pois
f pois
f pois
f pois
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
0 4 0
1
1 4 1
3 1 3
= ∈
= − ∉
− = − ∈
= −
π π
∉∉
+ − − = + − −
−
=f f f
f
( ) ( ) ( )
( )
( )0 1
3
4 1 4
1
1
π
9. (UFG – GO) A porcentagem de gordura corporal pode 
ser estimada pela fórmula G = −
457
D
412 4, (fórmula 
de Brozek), sendo que D é a densidade corporal, 
medida em gramas por centímetro cúbico, e obtida 
fazendo o quociente entre a massa corporal e o volume 
corporal. Por exemplo, para uma pessoa com densidade 
corporal de 1,033 gramas por centímetro cúbico, a sua 
porcentagem de gordura é, aproximadamente, G = 30. 
161,5 cm + 8,5 cm = 170 cm = 1,70 m
172 13 164
2
159 164
2
323
2
1615
−( ) +
=
+
= =
 
,
22 Volume 1
Assim, determine o intervalo em que deve estar o volume corporal de uma pessoa de 65 kg, com porcentagem de 
gordura entre 10 e 20.
A massa da pessoa é de 65 000 gramas. Como a densidade é dada pela razão entre a massa e o volume, temos:
D
m
V
D
V
G
D
G
V
G
V
=
=
= −
= − ⇒ = −
65 000
457
412 4
457
65 000
412 4
457
65 000
412
,
, ,44
 
Vamos calcular os valores de V para G = 10 e G = 20.
G
V
V
V cm
V
= −
= − ⇒
=
457
65 000
412 4
10
457
65 000
412 4 60 079
20
457
65 000
3
,
,
−− ⇒412 4 61501 3, V cm
Portanto, o volume corporal deve estar entre 60 079 cm3 e 61 501 cm3 (valores aproximados).
10. (UEPG – PR) Considerando f( )2 1 e f a b f a f b( ) ( ) ( )⋅ = + , assinale o que for correto.
X (01) f(16) = 4 
X (02) f( )2
1
2
 
X (04) f(1) = 0 
(08) f
1
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 
(16) f(6) = 3
Somatório: 07 (01 + 02 + 04)
(01) Correto.
f f f
f
f f f
f
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
4 1 1 2
4 4 4 4
16 2 2 4
⋅ = +
= + =
⋅ = +
= + =
 
(02) Correto.
f f f
f f
f f
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
1 2 2 2
1
2
⋅ = +
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
(04) Correto.
f f f
f f f
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 2 1 1 0
⋅ = +
= ⋅ ⇒ =
 
(08) Incorreto.
f f f
f f
2
1
2
2
1
2
0 1
1
2
1
2
1
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
( )
(16) Incorreto.
f f f
f
( ) ( ) ( )
( )
2 4 2 4
8 1 2 3
⋅ = +
= + =
 
Agora, observe os valores já calculados:
f
f
f
f enunciado
f
f
f
1
2
1
1 0
2
1
2
2 1
4 2
8 3
16
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
=
=
=
=
=
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )) = 4
 
Vemos que os valores de f(x) sempre aumentam quando x 
aumenta. Assim, f(6) é um número entre 2 e 3. 
No volume 4, veremos que essa é uma função logarítmica.
Matemática 23
Gráfico de uma função
11. Entre os gráficos abaixo, quais representam uma 
função?
X a) x
y
b) 
y
x
X c) 
y
x
d) 
y
x
a e c representam funções.
12. Determine o domínio e o conjunto-imagem das seguin-
tes funções:
a) y
13
5
3
0
–5
2 4
8 12 24
x
D(f) = [0, 24] e Im(f) = [–5, 13]
b) 
0,5–0,5
–1
–2
–1–1,5–2–2,5 0 1 1,5 2 2,5 3–3
A
B
y
x
4
3
2
1
D(f) = ]–2, 2] e Im(f) = ]–1, 4] 
c) 
2
1
0,5–0,5–1–1,5–2–2,5 0 1 1,5 2 2,5 3–3
A
B
–3,5–4
D E
F
y
x
3
–2
–3
–1
D(f) = ]–4, 3[ e Im(f) = ]–3, 2]
d) y
2
0 1 2 3 x
D(f) = e Im(f) = ]–∞; 2]
e) y
0 3
–1
5
–3
4 x
D(f) = [0, 4] e Im(f) = ]–3, –1] ∪ [0, 5]
24 Volume 1
13. (UFPR) Considere a seguinte definição: “A variação 
de uma função F em um intervalo I é o módulo da 
diferença entre o maior e o menor valor de F(x), com 
x I.” Analisando os gráficos das funções f, g e h 
abaixo, é correto afirmar:
4
3
2
1
0
y
x
5
1 2 3 4 5
f
4
3
2
1
0
y
x
5
1 2 3 4 5
g
4
3
2
1
0
y
x
5
1 2 3 4 5
h
X (01) A variação da função g é maior no intervalo [0, 1] 
que no intervalo [2, 3].
X (02) No intervalo [0, 1], a variação de f é maior que a 
variação de h.
X (03) Das três funções, aquela que tem a menor varia-
ção no intervalo [4, 5] é a função f.
 (04) Das três funções, aquela que tem maior variação 
no intervalo [2, 3] é a função g. 
14. (UFF – RJ) Esboce, no sistema de eixos coordenados 
abaixo, o gráfico de uma função real cujo domínio 
é o intervalo [ , ]1 2 e cuja imagem é o conjunto 
[ , ] [ , ]− − ∪2 1 2 3 .
y
x1 2 3
2
1
0
–1
–2
3
A função h tem a maior variação no in-
tervalo [2, 3].
Para essa questão, existem infinitas possibilida-
des. Veja um exemplo de um possível gráfico.
15. (MACKENZIE – SP) Considere as sentenças abai-
xo, relativas à função y f x( ), definida no intervalo 
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
3
11
2
, e representada, graficamente, na figura.
A
B
C
D O
 I. Se x 0, então f x( ) 0
 II. f(1) + f(3) = f(4)
 III. A imagem de f é o intervalo [–4, 3]
 É correto afirmar que
a) apenas III é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas I e III são verdadeiras.
X d) apenas II e III são verdadeiras.
e) todas as sentenças são verdadeiras.
I. Falsa. Observe no gráfico que, para x entre –1 e 0, 
f x( ) 0 . 
II. Verdadeira.
f
f
f
f f f
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
3 2
4 0
1 3 4
=
= −
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⇒ + = 
III. Verdadeira. Observe no gráfico os triângulos seme-
lhantes ABO e CBD.
BO
BD
AO
CD
CD
CD
=
= ⇒ =
1
2
2
4
 
Portanto, o conjunto-imagem da função é o intervalo 
[ , ]4 3 .
Matemática 25
Características de funções
16. Classifique cada função de em em par, ímpar ou 
nem par nem ímpar: 
a)f x x( ) 3 4 
f x x x f x( ) ( ) ( )− = ⋅ − = =3 4 43
Como f(–x) = f(x), a função é par.
b) f x x x( ) = + −6 4 3 
f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − + − − = + − =6 4 63 34
Como f(–x) = f(x), a função é par.
c) f(x) = 25
f x( )− = 25
Como f(–x) = f(x), a função é par.
d) f(x) = 3x – 4
f(–x) = 3 ∙ (–x) – 4 = –3x – 4
Como f(–x) ≠ f(x) e f(–x) ≠ –f(x), a função não é par nem 
ímpar.
e) f x x x( ) = 5 4− 
f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − −− ⋅ − = + = −5 54 4
Como f(–x) = –f(x), a função é ímpar.
f) f x x( ) = −2 3
f x x x( ) ( )− = − − = −2 23 3
Como f(–x) = f(x), a função é par.
g) f x
x
x
( ) =
+
4
42
f x
x
x
x
x
f x( )
( )
( )
( )− =
⋅ −
− +
=
−
+
= −
4
4
4
42 2
 
Como f(–x) = –f(x), a função é ímpar.
17. (UNIMONTES – MG) Considere r um número real po-
sitivo. Uma função f r r: ] , [− → é par quando, para 
todo x r r∈ −] , [ , f x f x( ) ( )− = . Entre os gráficos abaixo, 
o único que tem o aspecto do gráfico de uma função 
par é
a) 
y
x
0
b) y
x
0
X c) 
y
x
0
d) y
x
0
18. (UNEB – BA) Considere as proposições
 I. Toda função é par.
 II. A soma de funções pares é sempre uma função par.
 III. O produto de funções ímpares é uma função ímpar.
 IV. A soma de uma função par com uma função ímpar 
é sempre uma função ímpar.
A partir dessas proposições, pode-se afirmar:
 (01) A proposição I é verdadeira.
X (02) A proposição II é verdadeira.
 (03) A proposição III é verdadeira.
 (04) As proposições I e IV são verdadeiras.
 (05) As proposições III e IV são verdadeiras.
A soma de duas funções pares é uma função par. Sejam 
f e g funções pares.
f x f x e g x g x
h x f x g x
h x f x g x f x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
− = − =
= +
− = − + − =
•
++ =g x h x( ) ( )
 
Assim, h é uma função par.
Analogamente, mostramos que a soma de duas funções 
ímpares é uma função ímpar e que a soma de uma fun-
ção par com uma função ímpar não é par nem ímpar.
O produto de duas funções ímpares é uma função par. 
Sejam f e g funções ímpares.
f x f x e g x g x
h x f x g x
h x f x g x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [
− = − − = −
= ⋅
− = − ⋅ − = −
•
ff x g x f x g x h x( )] [ ( )] ( ) ( ) ( )⋅ − = ⋅ =
 
Assim, h é uma função par.
Analogamente, mostramos que o produto de duas fun-
ções pares é uma função par e que o produto entre uma 
função par e uma função ímpar é uma função ímpar.
O gráfico de uma função par é simétrico em 
relação ao eixo das ordenadas.
26 Volume 1
19. Seja A = {1, 2, 3, 4}, B = {–2, –1, 0, 1, 2} e f: A B→ 
a função definida por f(x) = (x – 3) ∙ (x – 2). Assinale V 
se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.
a) ( F ) f é sobrejetora.
b) ( V ) f não é injetora.
c) ( V ) Im(f) = {0, 2}.
d) ( F ) f é bijetora.
e) ( F ) O conjunto-imagem de f tem 3 elementos.
f(1) = (1 – 3) ∙ (1 – 2) = (–2) ∙ (–1) = 2
f(2) = (2 – 3) ∙ (2 – 2) = (–1) ∙ 0 = 0 
f(3) = (3 – 3) ∙ (3 – 2) = 0 ∙ 1 = 0 
f(4) = (4 – 3) ∙ (4 – 2) = 1 ∙ 2 = 2
Im(f) = {0, 2} 
Como o conjunto-imagem da função é diferente do con-
tradomínio, a função não é sobrejetora.
Como existem elementos do domínio com a mesma 
imagem, a função não é injetora.
20. (UFRN) Considere a função f: + → definida por 
f x x( ) = −3 62 .
a) Determine o valor de f(15).
b) Determine x, no domínio de f, de modo que f(x) = 762.
c) Explique por que não é possível encontrar valores, 
no domínio de f, com x x1 2≠ , de modo que 
f x f x( ) ( )1 2 .
a) f
f
f
( )
( )
( )
15 3 15 6
15 675 6
15 669
2= ⋅ −
= −
=
 
b) f(x) = 762
3 6 762
3 768
256 16
2
2
2
x
x
x x pois x
− =
=
= ⇒ = ∈( )
 
c) f x f x
x x
x x x x ou x x
( ) ( )1 2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 2 1 2
3 6 3 6
=
− = −
= ⇒ = = −
 
Desse modo, para que f x f x( ) ( ),1 2= com x x1 2≠ , devería-
mos ter x1 e x2 opostos. Porém, isso não é possível, pois o 
domínio é restrito aos números reais não negativos. 
21. (UNIFESP) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte 
propriedade: “a valores distintos de x correspondem 
valores distintos de y”. Tais funções são chamadas 
injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos 
aparecem abaixo, é injetora?
a) y
x
1
b) 
y
x
1
c) 
y
x
1
d) y
x
1
X e) 
y
x
1
22. (UFMA) As figuras abaixo ilustram os gráficos das 
funções g1: ; g2: e g3: , 
respectivamente.
y
x
g3
y
x
g2
y
x
g1
 A partir dos gráficos acima, são feitas as seguintes afir-
mações:
 I. g1 é sobrejetora. 
 II. g2 é crescente.
 III. g3 é bijetora.
Então:
a) II e III são falsas e I é verdadeira.
b) todas são falsas.
X c) I e II são verdadeiras e III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) I e III são verdadeiras e II é falsa.
23. (UNIFOR – CE) Considere a função f de * em defi-
nida por f x x
x
( ) = +
1
 e as afirmações:
 I. f é função ímpar
 II. f
x
f x
1⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ( )
 III. f x f x
x
( ) ( )+ = +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2
, se x > 0
O único gráfico em que qualquer 
reta horizontal que o intersecta 
o faz em um único ponto é o da 
alternativa e. Portanto, a função 
correspondente é injetora. 
I. Verdadeira. g1 é sobrejetora, pois o conjun-
to-imagem é , igual ao contradomínio. 
II. Verdadeira. g2 é crescente, pois, se aumen-
tarmos o valor de x, o correspondente valor 
de y também aumenta.
III. Falsa. g3 não é injetora nem sobrejetora.
Matemática 27
 Nessas condições,
a) somente I é verdadeira.
b) somente II é verdadeira.
c) somente III é verdadeira.
d) somente I e II são verdadeiras.
X e) I, II e III são verdadeiras.
I. Verdadeira.
f x x x
x x
x
x
f x( ) ( )− = − + − −
−
= = − +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
1 1 1
Como f(–x) = –f(x), a função é ímpar.
II. Verdadeira.
f
x x
x
x
x f x
1 1 1
1
1⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = == + + ( )
III. Verdadeira.
f xx f
x
x
x
x
x
x x
x x
( ) ( )+ + + = + +
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ( ) + ⋅ ⋅ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +1 1 1 1
1
1
2
1
2
1 1
2
2
22
2
1
= + +x
x
Assim, para x > 0, f x f x
x
( ) ( )+ = +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2
.
24. (UFT – TO) Cada um dos gráficos abaixo representa uma 
função y = f(x) tal que f D Df f: → − ⊂ −[ , ]; [ , ]3 4 3 4 .
 Qual deles representa uma função bijetora no seu 
domínio?
a) 
–3
y
4
–3
4
x
 
b) 
–3
y
4
–3
4
x
2
1
1
c) 
–3
y
4
–3
4
x
d) 
–3
y
4
–3
4
x
1
1 2
Função composta
25. Sendo as funções g e h definidas de → e com 
g(x) = 3x – 4 e h(x) = –5x + 3, determine:
a) A função é injetora e não é sobrejetora.
b) A função é injetora e não é sobrejetora.
X
a) h(g(x))
h(g(x)) = –5 · (3x – 4) + 3
h(g(x)) = –15x + 20 + 3
h(g(x)) = –15x + 23 
b) g(h(x))
g(h(x)) = 3 · (–5x + 3) – 4
g(h(x)) = –15x + 9 – 4
g(h(x)) = –15x + 5
c) g(g(x))
g(g(x)) = 3 · (3x – 4) – 4
g(g(x)) = 9x – 12 – 4
g(g(x)) = 9x – 16
d) g(g(h(x)))
g(h(x)) = –15x + 5
g(g(h(x))) = 3 · (–15x + 5) – 4
g(g(h(x))) = –45x + 15 – 4
g(g(h(x))) = –45x + 11
26. Sendo m: → e n: → definidas por 
 m(x) = –4x + 3 e n(x) = 3x – 5, determine:
a) (m n)(–4)
n(–4) = 3 · (–4) – 5
n(–4) = –12 – 5
n(–4) = –17
Assim, m(n(–4)) = m(–17)
m(–17) = –4 · (–17) + 3
m(–17) = 68 + 3
m(–17) = 71
m(n(–4)) = 71
b) (n n)(3) 
n(3) = 3 · 3 – 5
n(3) = 9 – 5
n(3) = 4
Assim, n(n(3)) = n(4)
n(4) = 3 · 4 – 5
n(4) = 12 – 5
n(4) = 7
n(n(3)) = 7
c) (n m)(–1)
m(–1) = –4 · (–1) + 3
m(–1) = 4 + 3
m(–1) = 7
Assim, n(m(–1)) = n(7)
n(7) = 3 · 7 – 5
n(7) = 21 – 5
n(7) = 16
n(m(–1)) = 16
c) A função não é injetora e é so-
brejetora.
d) A função é injetora e sobreje-
tora e, portanto, bijetora.
28 Volume 1
d) O valor de x para que (m m)(x) = 0.
–4 · (–4x + 3) + 3 = 0
16x – 12 + 3 = 0
16x = 9 ⇒ x = 9
16
 
e) A solução da equação (n m)(x) = –1.
3 · (–4x + 3) – 5 = –1
–12x + 9 – 5 = –1
–12x = –5 
12x = 5 ⇒ x = 5
12
 
27. (MACKENZIE – SP) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m 
são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O 
valor de m é
a) 
9
4
b) 
5
4
X c) 
6
5
d) 
9
5
e) 
2
3
3 – 4 · (3x + m) = 3 · (3 – 4x) + m 
3 – 12x – 4m = 9 – 12x + m
–4m – m = 9 – 3
–5m = 6
5m = –6 ⇒ m = 6
5
 
28. Dadas as funçõesp(x) = x x2 5 6− + e q(x) = 4 + x, 
calcule:
a) x, de modo que p(q(x)) = 0;
(4 + x)2 – 5 · (4 + x) + 6 = 0
16 + 8x + x2 – 20 – 5x + 6 = 0
x2 + 3x + 2 = 0
x x
a b c
b a c
2
2
2
3 2 0
1 3 2
4
3 4 1 2
9 8 1
+ + =
= = =
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
= − =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
=
− ±
⋅
=
− ±
⋅
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
Δ
2
3 1
2 1
3 1
2
2
2
1
3 1
2
4
2
2
1
2
x = –1 ou x = –2 
b) o valor de x para que q(p(4)) – q(x) = p(2).
p(4) = 42 – 5 · 4 + 6 = 16 – 20 + 6 = 2
q(p(4)) = q(2)
q(2) = 4 + 2
q(2) = 6
Assim, q(p(4)) = 6.
p(2) = 22 – 5 · 2 + 6
p(2) = 4 – 10 + 6
p(2) = 0
Substituindo os valores de q(p(4)) e p(2) na expressão 
inicial, temos:
6 – (4 + x) = 0
6 – 4 – x = 0
–x = –2 ⇒ x = 2
29. (UFRR) Considere duas funções reais f(x) e g(x) tais que 
f x x( ) = −2 1 e f g x x( ( )) = +2 1. Então:
X a) g(x) = x + 1
b) g(x) = x – 1
c) g(x) = 2x
d) g(x) = 4x + 1
e) g(x) = 4x2 – 1
30. (ESPM – SP) Na função f x x
x( ) = −2 , o valor de 
f f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 é:
a) 28
b) 29
c) 30
X d) 31
e) 32
f
f
f
f
f f f
f
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 2 0 1
1 2 1 1
2 2 2 2
3 2 3 5
0 1 1
0
1
2
3
= − =
= − =
= − =
= − =
= =
f f
f f f
f f f
f f f f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
3 5 2 5 27
0 1
5
= =
= =
= = − =
+ ++ + = + + + =f f f f( ) ( )2 3 1 1 2 27 31
31. (UEL – PR) Seja h(x) [f g](x) [g f](x),= ⋅ onde
f x x x( ) ( , )( , )= + −0 5 0 5 e g x
x
( )
,
=
+
1
0 252
. Qual o 
valor de h(0,5)? 
X a) 15
b) 
15
8
c) 16
d) 
e) 
15
4
f(g(x)) = 2g(x) – 1
2x + 1 = 2g(x) – 1
2x + 2 = 2g(x) (dividindo toda a expres-
são por 2)
g(x) = x + 1
3
4
Matemática 29
h f g g f
g
g
( , ) [ ]( , ) [ ]( , )
( , )
, ,
( , )
,
0 5 0 5 0 5
0 5
1
0 5 0 25
0 5
1
0 25
2
= ⋅
=
+
=
+ 00 25
1
0 5
2
0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
0 5 1 0 0
0 5
, ,
( , ) ( , , ) ( , , )
( , )
( , )
= =
= + ⋅ −
= ⋅ =
=
f
f
h f(( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
,
( , ) , ,
(
2 0
0 5 2 0 5 2 0 5
1
0 0 25
0 5 2 5 15 4
2
⋅
= + ⋅ − ⋅
+
= ⋅ ⋅
g
h
h
h 00 5 15, ) =
32. (INSPER – SP) O conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} foi repre-
sentado duas vezes, na forma de diagrama, na figura 
abaixo.
 Para definir uma função sobrejetora f A A: , uma 
pessoa ligou cada elemento do diagrama A1 com um 
único elemento do diagrama A2, de modo que cada 
elemento do diagrama A2 também ficou ligado a um 
único elemento do diagrama A1. Sobre a função f assim 
definida, sabe-se que:
 
•
•
=
+ =
f f
f f
( ( ))
( ) ( )
3 2
2 5 9
 
 Com esses dados, pode-se concluir que f(3) vale
X a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Como f (2) + f (5) = 9, então f (2) = 4 e f (5) = 5 ou f (2) = 5 
e f (5) = 4.
Desse modo, f (3) = 1 ou f (3) = 2 ou f (3) = 3.
f f( ( ))
( ) ( ( )) ( ) ( )
( ) ( ( )) ( )
3 2
3 1 3 1 2 4 3
3 2 3 2 2
=
= ⇒ = = ⇒ =
= ⇒ = ≠
f f f f f
f f f f
ff f f f( ) ( ( )) ( )3 3 3 3 3 2= ⇒ = = ≠
 
Portanto, f(3) = 1.
33. (UECE) Se f e g são funções reais de variável real tais que 
para x ≠ 0 tem-se g x x
x
( ) = +
1
 e f g x x
x
( ( )) = +2
2
1
, 
então o valor de f
8
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é
a) 73
576
X b) 
46
9
c) 
73
24
d) 
41
12
f g x x
x
f x
x
x
x
( ( )) = +
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
2
2
2
2
1
1 1
 
Queremos calcular f
8
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . Assim: x
x
+ =
1 8
3
 
Elevamos ao quadrado os dois membros da igualdade:
x
x
x x
x x
x
x
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ ⋅ ⋅ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ + = − =
1 8
3
2
1 1 64
9
1 64
9
2
2 2
2
2
2
2
446
9
Portanto, f
8
3
46
9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = .
34. (UFTM – MG) A figura indica o gráfico da função contí-
nua f, de domínio [–12, 16] e imagem [–5, 16].
 De acordo com o gráfico, o número de soluções da 
equação f(f(x)) = 5 é
a) 3. b) 4. c) 5. X d) 6. e) 7.
Os valores de x tais que f x( ) = 5 são –12, –7, 5 e 13. 
Assim:
f f x
f x ou f x ou f x ou f x
( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
=
= − = − = =
5
12 7 5 13
Não existem valores de x tais que f x( ) = −12 ou 
f x( ) = −7. Existem 4 valores de x tais que f(x) = 5 (–12, 
–7, 5, 13) e 2 valores de x tais que f(x) = 13. Portanto, a 
equação tem 6 soluções.
30 Volume 1
Função inversa
35. Obtenha a função inversa de cada uma das funções 
bijetoras a seguir.
a) f(x) = 4x – 5.
y = 4x – 5
x = 4y – 5
x + 5 = 4y
y = 
x 5
4
 
f–1(x) = 
x 5
4
b) g(x) = –2x + 7
y = –2x + 7
x = –2y + 7
x – 7 = –2y 
–x + 7 = 2y
y = 
− +x 7
2
g–1(x) = 
− +x 7
2
c) h(x) = 
2 4
5
x
y = 
2 4
5
x
x = 
2 4
5
y
5x = 2y – 4
5x + 4 = 2y
y = 
5 4
2
x
h–1(x) = 
5 4
2
x
d) f(x) = 
3 4
8
8
x
x
x
−
+
≠ −( )
8
y = 
3 4
8
x
x
−
+
x = 3 4
8
y
y
−
+
x · (y + 8) = 3y – 4
xy + 8x = 3y – 4
xy – 3y = –8x – 4 
(Colocamos y em evidên-
cia no primeiro membro da 
equação.)
y · (x – 3) = –8x – 4
y = −
+
−
8 4
3
x
x
f–1(x) = −
+
−
8 4
3
x
x
e) f(x) = 
7 8
3 5
5
3
x
x
x
−
− +
≠⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
y = 7 8
3 5
x
x
−
− +
x = 7 8
3 5
y
y
−
− +
x · (–3y + 5) = 7y – 8
–3xy + 5x = 7y – 8
–3xy – 7y = –5x – 8 
3xy + 7y = 5x + 8 
(Colocamos y em evidên-
cia no primeiro membro 
da equação.)
y · (3x + 7) = 5x + 8
y = 
5 8
3 7
x
x
f–1(x) = 
5 8
3 7
x
x
36. (FURG – RS) O domínio da função inversa f x−1( ) de 
f x
x
x
( ) = +
−
3 1
2
 é:
a) { / }x x∈ ≠ 2
b) x x e x∈ ≠ − ≠⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
/
1
3
2
c) x x∈ ≠ −⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
/
1
3
X d) { / }x x∈ ≠ −3
e) x x e x∈ ≠ − ≠ −
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
/ 3
1
3
f x
x
x
y
x
x
x
y
y
x xy y
xy y x
y x
( )
(
= +
−
⇒ = +
−
= +
−
− = +
+ = −
⋅ +
•
3 1
2
3 1
2
3 1
2
2 3 1
3 2 1
3))
( )
= − ⇒ = −
+
= −
+
−
2 1
2 1
3
2 1
3
1
x y
x
x
f x
x
x
O domínio da função inversa de f é formado pelos valo-
res reais de x tais que x + ≠3 0, ou seja, x ≠ −3.
37. (FGV – RJ) Considere as funções f(x) e g(x), definidas 
para todos os números reais, tais que: f x x( ) = +3 1 e 
g x( ) = +2x 3 . Se h(x) é a função inversa de g(x), então 
o valor de f h x( ( ))0 para x 0 7= é igual a: 
a) 4 b) 22 X c) 7 d) 17 e) 52
g x x y x
x y y
x
h x
x
h x h
f
( )
( )
( ) ( )
(
= + ⇒ = +
= + ⇒ = −
= −
= = − =
•
2 3 2 3
2 3
3
2
3
2
7
7 3
2
20
hh x f h f( )) ( ( ) ( )0 7 2 3 2 1 7= = = ⋅ + =
38. (UFPB) Considere a função f: [ , ] [ , ]0 2 0 3→ , definida 
por:
 f x
x x
x x
( )
,
,
= ≤ ≤
− < ≤
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 0 1
2 1 1 2
 
Matemática 31
 A função inversa de f está melhor representada no gráfico: 
a) 
y
x0 1 2 3
3
2
1
b) 
y
x0 1 2 3
3
2
1
c) 
y
x0 1 2 3
3
2
1
d) 
y
x0 1 2 3
3
2
1
X e) 
y
x0 1 2 3
3
2
1
f x
x x
x x
f x x y x
x y y x
f x x
( )
,
,
( )
( )
=
≤ ≤
− < ≤
⎧
⎨
⎩
= ⇒ =
= ⇒ = ±
= − ⇒
•
2
2 2
2
0 1
2 1 1 2
2 1 yy x
x y y
x
= −
= − ⇒ = +•
2 1
2 1
1
2
Observe que, para 0 1≤ ≤x , 0 1≤ ≤f x( ) e, para 1 2< ≤x , 
1 3< ≤f x( ) . Note também que, como f: [ , ] [ , ],0 2 0 3→ 
então f
− →1 0 3 0 2: [ , ] [ , ]. Assim, como o contradomínio da 
função inversa de f é formado apenas por números não 
negativos, temos:
f x
x x
x
x
− =
≤ ≤
+ < ≤
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
0 1
1
2
1 3
( )
,
,
Como dispomos de alternativas, não é necessário construir 
o gráfico, mas apenas obter alguns pontos e conferir em 
qual deles se encontram todos os pontos. Por exemplo:
f
f
f
( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
3
3 1
2
2 3 2
= = →
= = →
= + = →
 
Esses pontos pertencem aos gráficos das alternativas b e 
e.
Esse é um momento oportuno para discutir com a classe 
o fato de que a raiz quadrada de qualquer número entre 
0 e 1 é maior que o próprio número. Desse modo, a raiz 
quadrada de 0,5 é maior que 0,5. Com esse conhecimento, 
concluímos que o gráfico que melhor representa a função 
é o da alternativa e.
39. (UEPB) Se uma função f: [ , [ [ , [0 4+ ∞ → + ∞ é tal que 
f(x) = x2 + 4, f–1(5) é:
a) zero
b) 5
c) 2
X d) 1
e) 3
Vamos mostrar duas soluções, uma delas determinando a 
função inversa de f e outra sem obtê-la.
f x x y x
x y y x y x
( ) = + ⇒ = +
= + ⇒ = − ⇒ = ± −•
2 2
2 2
4 4
4 4 4
Como f: [ , [ [ , [0 4+ ∞→ + ∞ , então f: [ , [ [ , [4 0+ ∞ → + ∞ . 
Assim, f x x
− = −1 4( ) , pois o contradomínio da inversa de 
f é formado apenas por números não negativos.
f x x
f
−
−
= −
= − =
1
1
4
5 5 4 1
( )
( )
Outra possibilidade de resolução é notar que, se f a
− =1 5( ) , 
então f a( ) = 5. Assim:
f a
a
a a
( ) =
+ =
= ⇒ =
5
4 5
1 1
2
2
 
Escolhemos a = 1, pois o domínio da função f é [ , [0 + ∞ . 
32 Volume 1
Função afim
03
Definição de função afim
Toda função f: → será uma função afim quando puder ser 
escrita na forma f(x) = ax + b, com a, b ∈ .
Com base nos valores de a e b, podemos distinguir dois tipos de 
funções afins.
• Função constante: uma função é constante quando o 
coeficiente da variável x é nulo. Nesse caso, a função 
f: → é definida por f(x) = b, com b pertencendo aos 
números reais.
Exemplos: f(x) = –8, f(x) = 0,07, f(x) = 
1
5
• Função polinomial do 1º. grau: é toda função f: → , 
definida por f(x) = ax + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0. 
Entre as funções polinomiais do 1º. grau, destacamos a função 
linear.
Uma função f: → , definida por f(x) = ax, com a ≠ 0 e b = 0, 
é denominada função linear.
Exemplos: f(x) = 3x, f(x) = –16,4x, f(x) = 10 x
Quando uma função linear apresenta a = 1, temos a função 
identidade. Esse tipo de função f: → é definido por 
f(x) = x. 
Gráfico da função afim
Construção do gráfico da função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta, portanto precisamos de 
apenas dois pontos ou dois pares ordenados pertencentes à função 
para determiná-lo.
Função crescente e função 
decrescente
O gráfico da função constante é uma reta horizontal. As outras 
funções afins têm como gráfico uma reta oblíqua. Se os valores de f(x) 
aumentam quando aumentamos os valores de x, a função é crescente. 
Se, à medida que os valores de x crescem, os de f(x) diminuem, a 
função é decrescente. 
Este gráfico é de uma função crescente: 
y
x0 x1
f(x
1
)
f(x
2
)
x
2
Este gráfico é de uma função decrescente:
y
x0 x1 x2
f(x
1
)
f(x
2
)
Zero da função afim
O zero de uma função polinomial do 1º. grau: f(x) = ax + b 
é o valor de x que anula a função e é dado por 
b
a
 
No gráfico da função, o par ordenado do ponto em que a reta inter-
secta o eixo x é sempre 
−b
a
, 0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Intersecção do gráfico com o eixo y
O ponto em que o gráfico de uma função polinomial do 1º. grau 
intersecta o eixo y é sempre (0, b). A ordenada desse ponto é o 
coeficiente b da lei de formação f(x) = ax + b da função.
Taxa de variação
A taxa de variação nos informa quantas unidades a variável y 
aumenta ou diminui quando a variável x aumenta uma unidade.
Matemática 3333Matemática
Essa taxa é constante para qualquer intervalo do domínio. 
A taxa de variação de uma função afim é sempre igual ao coeficiente a e, portanto, não depende do intervalo escolhido.
Estudo do sinal da função polinomial do 1º. grau
Estudar o sinal de uma função é determinar os valores de x que a tornam positiva, negativa ou nula e representá-los em um gráfico.
Para uma função crescente qualquer (a > 0):
 • f(x) = 0 para x = b
a
.
 • f(x) > 0 para x > b
a
.
 • f(x) < 0 para x < b
a
.
Para uma função decrescente qualquer (a < 0), temos:
 • f(x) = 0 para x = b
a
.
 • f(x) > 0 para x < b
a
.
 • f(x) < 0 para x > b
a
.
Atividades
Definição de função afim
1. Dada a função f(x) = 4x – 8, calcule:
a) f(0)
f(0) = 4 · 0 – 8
f(0) = –8 
b) f(–2)
f(–2) = 4 · (–2) – 8
f(–2) = –8 – 8
f(–2) = –16
c) f( )3 
f( 3 ) = 4 · 3 – 8
d) x tal que f(x) = –2
 
4x – 8 = –2
4x = 6
x = 
6
4
3
2
=
e) x tal que f(x) = 0
4x – 8 = 0
4x = 8
x = 2
2. Determine o valor 
f f
f
( ) ( )3 2
1
2
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 para f(x) = 
2 7
4
x −
.
2⎝ ⎠
f
f
f
( )
( )
3
2 3 7
4
6 7
4
1
4
2
2 2 7
4
4 7
4
3
4
1
2
2
1
2
7
4
= ⋅ − = − = −
= ⋅ − = − = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⋅ −
= 11 7
4
6
4
3
2
− = − = −
f
f
( ) f( )3 2
1
2
1
4
3
4
3
2
1
4
3
4
3
2
2
4
3
2
1
2
2
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
− − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
=
− +
−
=
−
=
= ⋅ −
33
1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
Assim,
34 Volume 1
3. Dada a função f(x) = 3x – 2, determine o valor de 
f f
f
1
2
2
5
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( )
.
f
1
2
3
1
2
2
3
2
2
3 4
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ − = − = − = −
f
2
5
3
2
5
2
6
5
2
6 10
5
4
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ = = =− − − −
f(–1) = 3 ∙ (–1) – 2 = –3 – 2 = –5
f f
f
1
2
2
5
1
1
2
4
5
5
5 8
10
5
13
10
5
13
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
=
− −
−
=
− −
−
=
−
−
=
= −⎛
( )
⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
5
13
50
4. Sendo a função f definida por f(x) = 7x + k, determine 
k para que f
1
4
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= .
7
1
4
1
4
7
4
1
4
1
4
7
4
3
2
6
4
⋅ + =
+ =
= −
= − = −
k
k
k
k
5. Obtenha o valor de m na função f(x) = (m + 3)x – 7 
para que f(2) = –5.
(m + 3) · 2 – 7 = –5
2m + 6 – 7 = –5
2m = –4
m = –2
6. Determine a função afim definida por f(x) = ax + b em 
cada um dos itens a seguir.
a) f(2) = 2 e f(0) = 10
Vamos determinar a função que corresponde a esses 
valores:
f(2) = 2, logo 2a + b = 2
f(0) = 10, logo b = 10
Substituindo o valor de b em 2a + b = 2:
2a + 10 = 2
2a = –8
a = –4
Portanto, a função é f(x) = –4x + 10.
b) f(2) = 4 e f(–3) = 5 
Vamos determinar a função que corresponde a esses 
valores:
f(2) = 4, logo 2a + b = 4
f(–3) = 5, logo –3a + b = 5
Para determinar os valores de a e b, basta resolver 
o sistema formado pelas duas equações obtidas 
anteriormente:
2 4
3 5
a b I
a b II
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
( )
( )
Isolando b em (I) temos b = 4 – 2a. Substituindo em (II):
–3a + (4 – 2a) = 5
–3a + 4 – 2a = 5
–5a = 1 
5a = –1 ⇒ a = 1
5
 
Substituindo o valor de a em (I):
b = 4 – 2· −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
5
b = 4 + 
2
5
b = 
20 2
5
 ⇒ b = 22
5
Portanto, a função é f x x( ) = − +
1
5
22
5
Matemática 35
c) f
1
2
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − e f(2) = 3
Vamos determinar a função que corresponde a esses 
valores:
f 1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = –1, logo –1 = 
1
2
· a + b ⇒ a
2
 + b = –1
f(2) = 3, logo 2a + b = 3
Para determinar os valores de a e b, basta resolver 
o sistema formado pelas duas equações obtidas 
anteriormente:
a
b I
a b II
2
1
2 3
+ = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 ( )
( )
Isolando b em (II), temos b = 3 – 2a. Substituindo em (I):
a
a
a a
a
a a
2
3 2 1
6 4
2
2
2
3 8
3 8
8
3
+ − = −
+ − = −
− = −
= ⇒ =
 
Substituindo o valor de a em (II):
b = 3 – 2·
8
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b = 3 – 
16
3
b = 
9 16
3
 ⇒ b = 7
3
Portanto, a função é f x x( ) = −
8
3
7
3
.
d) f(1) = 
1
10
 e f(–2) = 
7
5
 
0 5
Vamos determinar a função que corresponde a esses 
valores:
f(1) = 
1
10
, logo a + b = 
1
10
 ⇒ 10a + 10b = –1
f(–2) = 
7
5
, logo –2a + b = 
7
5
 ⇒ –10a + 5b = 7
Para determinar os valores de a e b, basta resolver o 
sistema formado pelas duas equações obtidas anterior-
mente. Para isso, podemos somar as equações.
10 10 1
10 5 7
15 6
2
5
a b
a b
b
b
+ = −
− + =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Substituindo o valor de b na primeira equação:
10a + 10 · 
2
5
 = –1
10 4 1
10 5
1
2
a
a a
+ =
= ⇒ =
−
− −
 
Portanto, a função é f x x( ) .= +−
1
2
2
5
7. Uma empresa de telefonia móvel oferece um plano no 
qual o cliente paga um valor fixo de R$ 50,00 por 
um pacote de 75 minutos mensais, mais R$ 0,75 para 
cada minuto adicional. Considerando a situação descri-
ta, determine o que se pede:
a) O valor que um usuário do plano vai pagar, sabendo 
que ele consumiu 120 minutos num mês.
120 – 75 = 45 minutos adicionais.
45 · 0,75 = R$ 33,75
Portanto, o valor a pagar será R$ 50 + R$ 33,75 = R$ 83,75
b) Se o valor da conta de um cliente desse plano for 
R$ 106,25, qual o tempo, em minutos, consumido 
por ele?
106,25 – 50,00 = 56,25
56,25 : 0,75 = 75 minutos adicionais
Portanto, o consumo desse cliente foi de 150 minutos.
c) Escreva a lei de formação que expressa o preço da 
conta telefônica em função do tempo, em minutos, 
que excede o pacote mensal.
f x x( ) ,= + ⋅50 0 75 , emque x representa os minutos 
adicionais do mês. 
Para o caso de consumos menores ou iguais a 75 minu-
tos, a pessoa vai pagar somente a taxa mínima do plano.
8. (UFPR) O ângulo de visão de um motorista diminui con-
forme aumenta a velocidade de seu veículo. Isso pode 
representar riscos para o trânsito e os pedestres, pois o 
condutor deixa de prestar atenção a veículos e pessoas 
fora desse ângulo conforme aumenta sua velocidade. 
Suponha que o ângulo de visão A relaciona-se com a 
velocidade v através da expressão A = kv + b, na qual 
k e b são constantes. Sabendo que o ângulo de visão 
a 40 km/h é de 100°, e que a 120 km/h fica reduzido 
a apenas 30°, qual o ângulo de visão do motorista à 
velocidade de 64 km/h? 
36 Volume 1
a) 86°. 
b) 83°. 
X c) 79°. 
d) 75°. 
e) 72°.
A kv b
v A
v A
k b
k b
k e
= +
= ⇒ = °
= ⇒ = °
= ⋅ +
= ⋅ +
⎧
⎨
⎩
⇒ = −
40 100
120 30
100 40
30 120
7
8
bb
A v
v A
A
=
= − ⋅ +
= ⇒ = − ⋅ +
= °
135
7
8
135
64
7
8
64 135
79
9. (UFG – GO) Para uma certa espécie de grilo, o número, 
N, que representa os cricrilados por minuto, depende da 
temperatura ambiente T. Uma boa aproximação para esta 
relação é dada pela lei de Dolbear, expressa na fórmula
N T= −7 30
 com T em graus Celsius. Um desses grilos fez sua morada 
no quarto de um vestibulando às vésperas de suas provas. 
Com o intuito de diminuir o incômodo causado pelo barulho 
do inseto, o vestibulando ligou o condicionador de ar, bai-
xando a temperatura do quarto para 15 °C, o que reduziu 
pela metade o número de cricrilados por minuto. Assim, 
a temperatura, em graus Celsius, no momento em que o 
condicionador de ar foi ligado era, aproximadamente, de: 
a) 75 b) 36 c) 30 X d) 26 e) 20) ) ) )
Seja T a temperatura no momento em que o 
ar-condicionado foi ligado.
N T
N
N
N
T T
= −
= ⋅ −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
= ⋅ − ⇒ =
= − ⇒ =
7 30
2
7 15 30
2
7 15 30 150
150 7 30 25 7,
 
Assim, a temperatura era de aproximadamente 26 °C.
10. (UEM – PR) Duas empresas de telefonia, A e B, têm os 
seguintes planos:
• Empresa A: cobra um valor fixo mensal de R$ 19,90 
e mais R$ 0,15 por minuto no valor da ligação.
• Empresa B: cobra um valor fixo mensal de R$ 29,90 
e mais R$ 0,05 por minuto no valor da ligação.
 João contratou a empresa A e Maria contratou a em-
presa B. Sobre o exposto, assinale o que for correto.
X (01) Se Maria pagou uma fatura de telefone no valor 
de R$ 79,90, então ela realizou mais de 950 mi-
nutos em ligações.
 (02) Se João realizar, em um mês, 300 minutos em 
ligações, então sua conta de telefone no final do 
mês será de R$ 44,90.
 (04) Se João fizer a mesma quantidade de ligações 
(em minutos) que Maria, então o valor da conta 
de telefone dele é sempre menor que o valor da 
conta dela.
 (08) Se Maria fizer duas vezes mais minutos em liga-
ções que João, então o valor da conta de telefo-
ne dela será sempre maior que o valor da conta 
de telefone dele.
X (16) Se uma pessoa utilizar no máximo 90 minutos 
em ligações por mês, então o plano da empresa 
A sairá mais barato que o plano da empresa B.q p p
Somatório: 17 (01 + 16)
O valor y da fatura (em reais) em função da quantidade x de 
minutos utilizados, em cada uma das empresas, é dado por:
Empresa A: y x= + ⋅19 90 0 15, , 
Empresa B: y x= + ⋅29 90 0 05, ,
(01) Correto.
79 90 29 90 0 05
0 05 50 1000 950
, , ,
,
= + ⋅
⋅ = ⇒ = >
x
x x
 
(02) Incorreto.
y
y
= + ⋅
= + =
19 90 0 15 300
19 90 45 64 90
, ,
, ,
 
(04) Incorreto. Vamos determinar a quantidade de minutos 
mensais para que os valores das faturas sejam iguais.
19 90 0 15 29 90 0 05
0 1 10 100
, , , ,
,
+ ⋅ = + ⋅
⋅ = ⇒ =
x x
x x
 
Assim, para uma quantidade de minutos superior a 100, o 
valor da conta de João é maior que o valor da conta de Maria.
(08) Incorreto. Interpretando “duas vezes mais” como “o 
dobro”, temos:
+ ⋅ = + ⋅
⋅ = ⇒ =
valor da conta valor da conta
deMariade João
19,90 0,15 x 29,90 0,05 2x
0,05 x 10 x 200
 
Assim, se João utilizar uma quantidade de minutos su-
perior a 200 minutos e Maria utilizar o dobro, o valor da 
conta de João é maior que o valor da conta de Maria.
Observação: Rigorosamente, “duas vezes mais” significa 
“o triplo”, pois x x x+ ⋅ =2 3 . Da mesma forma, “três ve-
zes mais” significa “o quádruplo” e assim sucessivamen-
te. Para quem achar isso estranho, temos uma boa per-
gunta: considerando que “três vezes mais” é o mesmo 
que “o triplo” e que “duas vezes mais” é o mesmo que 
“o dobro”, o que significa “uma vez mais”? Nesse caso, 
a resposta deveria ser “a mesma coisa”, o que é con-
traditório, pois “uma vez mais” é nitidamente “o dobro”.
(16) Correto. Para uma quantidade de minutos inferior 
a 100, o plano da empresa A é mais barato que o plano 
da empresa B. Para 100 minutos, os dois planos têm o 
mesmo valor. Para uma quantidade de minutos superior 
a 100, o plano da empresa B é mais barato que o plano 
da empresa A. 
Matemática 37
Gráfico da função afim
11. Construa o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 3x – 4
x f(x)
0 –4
1 –1
–1
1
–1–2 0 1 2 3–3
A
B
y
x
–2
–3
–4
4
3
2
4–4
b) g(x) = 2x +
1
2
 
x g(x)
0
1
2
1
5
2
–1
1
–1–2 0 1 2 3–3
A
B
y
x
–2
–3
–4
4
3
2
4–4
c) h(x) = –x + 3
x h(x)
0 3
1 2
–1
1
–1–2 0 1 2 3–3
A
B
y
x
–2
–3
–4
4
3
2
4–4
d) f(x) = –2x
x f(x)
0 0
1 –2
–1
1
–1–2 0 1 2 3–3
A
B
y
x
–2
–3
–4
4
3
2
4–4
38 Volume 1
12. Com base em cada gráfico a seguir, determine a lei de 
formação da função afim representada:
a) 
4
4
x
y
0–1
–1
Como sabemos que os pontos (–1, 4) e (4, –1) perten-
cem ao gráfico, então:
a · (–1) + b = 4 ⇒ –a + b = 4
a · 4 + b = –1 ⇒ 4a + b = –1
− + =
+ = −
⎧
⎨
⎩
a b I
a b II
4
4 1
( )
( )
Isolando b em (II), temos b = –1 – 4a. Substituindo em 
(I):
 –a – 1 – 4a = 4
–5a = 5 
5a = –5
a = –1
Substituindo o valor de a em (II):
b = –1 – 4 · (–1)
b = –1 + 4
b = 3
Portanto, a função é f(x) = –x + 3.
b) 
4
3 x
y
0
2
Como sabemos que os pontos (0, 2) e (3, 4) pertencem 
ao gráfico, então:
a · 0 + b = 2 ⇒ b = 2
a · 3 + b = 4 ⇒ 3a + b = 4
Substituindo o valor de b em 3a + b = 4:
3a + 2 = 4
3a = 2 ⇒ a = 2
3
 
Portanto, a função é f x x( ) = +
2
3
2.
c) 
–1
1
–1–2 0 1 2 3–3
A
B
x
–2
5
4
3
2
4–4
y
Como sabemos que os 
pontos (–3, 4) e (3, –1) 
pertencem ao gráfico, 
então:
a · (–3) + b = 4 ⇒ 
⇒ –3a + b = 4
a · 3 + b = –1 ⇒ 
⇒ 3a + b = –1
− + =
+ = −
⎧
⎨
⎩
3 4
3 1
a b I
a b II
( )
( )
Somando as equações:
2b = 3 ⇒ b = 3
2
 
Substituindo o valor de b 
em (II):
3
3
2
1
3
5
2
5
6
a
a
a
+ = −
= −
= −
Portanto, a função é 
f x x( ) = − +
5
6
3
2
.
d) 
–1
1
–1–2 0 1 2 3–3 x
–2
3
2
4–4
y
Como sabemos que os 
pontos (–4, –2) e (4, 2) 
pertencem ao gráfico, 
então:
a · (–4) + b = –2 ⇒ 
⇒ –4a + b = –2
a · 4 + b = 2 ⇒ 
⇒ 4a + b = 2
− + = −
+ =
⎧
⎨
⎩
4 2
4 2
a b I
a b II
( )
( )
Somando as equações:
2b = 0 ⇒ b = 0
Substituindo o valor de b 
em (II):
4 0 2
1
2
a
a
+ =
=
Portanto, a função é 
f x x( ) .= 1
2
Matemática 39
13. Considere duas caixas-d’água com capacidade de 
1000 litros cada. Uma delas tem água até a metade e 
a outra está com 160 litros. Para encher a caixa que 
está pela metade, usa-se uma mangueira que jorra 
água a uma razão de 25 litros por minuto e, ao mesmo 
tempo, para encher a que está com 160 litros de água, 
usa-se uma torneira que jorra água a uma razão de 
40 litros por minuto. Qual delas transbordará primeiro?
Vamos chamar de A a caixa-d’água que está com água até 
a metade, e de B a caixa que está com 160 litros de água.
Em A:
VA = 500 + 25t (onde VA é o volume de água, em litros, e t, 
o tempo, em minutos) 
A caixa estará totalmente cheia quando VA = 1 000, então:
1 000 = 500 + 25t
500 = 25t
t = 20 min
Ela começará a transbordar após 20 minutos.
Em B:
VB = 160 + 40t (onde VB é o volume de água, em litros, e t, 
o tempo, em minutos) 
A caixa estará totalmente cheia quando VB= 1 000, então:
1 000 = 160 + 40t
840 = 40t
t = 21 min
Ela começará a transbordar após 21 minutos.
Portanto, a caixa-d’água que vai transbordar primeiro é a 
que está com a metade de sua capacidade.
14. O gráfico abaixo representa a posição (em quilômetros) 
de dois automóveis em função do tempo (em horas).
10
0
A B
tempo
30
posição (6, 70) (8, 70)
 Responda às questões a seguir.
a) Determine a função que representa a posição de 
cada automóvel.
SA(t) = 10 + 10t e SB(t) = 30 + 5t
b) Em qual posição se encontram os automóveis no 
instante t = 3 h?
SA(3) = 10 + 10 · 3 = 10 + 30 = 40 km
SB(3) = 30 + 5 · 3 = 30 + 15 = 45 km
c) Podemos observar que os gráficos se intersectam 
em determinado ponto. O que representa esse pon-
to de intersecção? Determine suas coordenadas.
Representa o instante em que os dois automóveis se 
encontram na mesma posição.
10 + 10t = 30 + 5t
10t – 5t = 30 – 10
5t = 20 ⇒ t = 4
Em t = 4 horas, temos a posição S = 50 km, ou seja, as 
coordenadas do ponto são (4, 50).
15. Um professor utilizou um recipiente graduado com 
certa quantidade de água e nele começou a colocar 
bolinhas de gude idênticas, possibilitando aos alunos 
verificar que o nível de água (em centímetros) subia à 
medida que as bolinhas eram depositadas dentro do 
recipiente. 
 Os alunos anotaram algumas informações.
Quantidade de bolas 
de gude (q)
Nível da água (h)
8 5,96
16 6,92
24 7,88
32 8,84
 Sabendo que a altura do nível da água, quando não 
havia nenhuma bolinha dentro do recipiente, era de 5 cm, 
determine: 
a) a expressão que determina a altura (h) do nível da 
água em função da quantidade (q) de bolinhas den-
tro do recipiente;
h(q) = 5 + 0,12q
Observando a tabela, podemos verificar que, a cada 8 
bolinhas colocadas, o nível de água aumenta 0,96 cm e, 
como o enunciado afirma que as bolinhas são idênticas, 
podemos dizer que, a cada bolinha colocada, o nível de 
água sobe 
0 96
8
,
 = 0,12 cm.
40 Volume 1
b) a altura (h) quando forem colocadas 25 bolinhas no 
recipiente;
h(25) = 5 + 0,12 ∙ 25
h(25) = 8
A altura é 8 cm.
c) a quantidade de bolinhas dentro do recipiente quan-
do a altura (h) do nível da água for 9,2 cm.
h(q) = 5 + 0,12q
9,2 = 5 + 0,12q 
9,2 – 5 = 0,12q
q = 
4 2
0 12
,
,
 = 35
16. Leia atentamente a situação a seguir e responda às 
questões propostas.
 Maria e seu marido realizaram uma viagem ao Nor-
deste e, para maior comodidade, resolveram locar um 
carro. Observe duas opções que eles encontraram.
 – Locadora Quatro Rodas: Taxa fixa de R$ 140,00 mais 
R$ 1,40 por quilômetro rodado;
 – Locadora Superveloz: Taxa fixa de R$ 90,00 mais 
R$ 1,50 por quilômetro rodado;
a) O casal pretende rodar 400 km. Quanto gastará em 
cada uma das opções? Qual das locadoras oferece 
o melhor preço? 
Quatro Rodas: 140 + 1,40 · 400 = 140 + 560 = 
= R$ 700,00
Superveloz: 90 + 1,50 · 400 = 90 + 600 = R$ 690,00
A locadora que oferece o melhor preço é a Superveloz.
b) Se o casal decidir rodar 650 km, quanto gastará 
em cada uma das opções? Qual das locadoras 
oferecerá o melhor preço?
Quatro Rodas: 140 + 1,40 · 650 = 140 + 910 = 
= R$ 1.050,00
Superveloz: 90 + 1,50 · 650 = 90 + 975 = R$ 1.065,00
A locadora que oferecerá o melhor preço será a Quatro 
Rodas.
c) Inicialmente a empresa Superveloz oferece um pla-
no mais atrativo ao cliente, mas, a partir de certa 
quilometragem, o valor da empresa Quatro Rodas 
passa a ser mais barato. Determine a partir de 
quantos quilômetros passa a ser mais vantajoso lo-
car o carro na empresa Quatro Rodas.
Para determinar a partir de quantos quilômetros a em-
presa Quatro Rodas se torna mais vantajosa, devemos 
descobrir em que quilometragem o valor cobrado por ela 
passa a ser menor que o valor cobrado pela empresa 
Superveloz.
Adotando x como a quilometragem rodada, temos:
140 140 90 150
140 90 150 140
50 0 10
50
0 10
5
+ ⋅ < + ⋅
− < −
< ⋅
>
>
, ,
, ,
,
,
x x
x x
x
x
x 000
Será mais vantajoso alugar o carro na empresa Quatro 
Rodas quando a distância for superior a 500 km.
17. Um reservatório de água com capacidade de 11 000 L, 
inicialmente cheio, apresentou um vazamento na parte 
inferior. Sabe-se que a cada minuto há uma vazão de 
200 litros de água.
a) Determine a fórmula que expressa o volume de água 
V (em litros) em função do tempo t (em minutos).
V = 11 000 – 200t
b) Quantos litros de água ainda há no reservatório após 
12 min e 30 s de vazamento?
t = 12,5 min
V = 11 000 – 200 · 12,5
V = 8 500 L
c) Quando o reservatório contiver 3 500 L de água, 
quantos minutos já terão se passado?
V = 3 500 L
3 500 = 11 000 – 200t
200t = 11 000 – 3 500
200t = 7 500
t
7 500
200
t = 37,5 min ou 37 min e 30 s
Matemática 41
18. Sabe-se que o gráfico de uma função afim f passa pe-
los pontos (3, 20) e (2, 30). O valor f(28) é:
a) 230
b) 280
X c) –230 
d) 330
e) –330
Vamos determinar a função f(x) = ax + b cujo gráfico passa 
por esses pontos:
f(3) = 20, logo 3a + b = 20
f(2) = 30, logo 2a + b = 30
3 20
2 30
a b I
a b II
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
( )
( )
Subtraindo as equações:
a = –10
Substituindo o valor de a em (I):
3 ∙ (–10) + b = 20
–30 + b = 20
b = 50
Portanto, a função é f(x) = –10x + 50.
Calculando o valor de f(28):
f(28) = –10 ∙ 28 + 50 = –280 + 50 = –230
19. Uma loja de tecidos publicou no jornal o anúncio de 
emprego a seguir:
 “Loja Lona Forte contrata:
 Moças e rapazes de 20 a 40 anos para atuar como 
vendedores em uma de nossas novas filiais.
 Salário: R$ 800,00 fixos e mais R$ 1,50 por metro 
quadrado de lona vendido.
 Interessados enviar currículo para lonaforte@net.com.”
 Se um vendedor efetuar, em um mês, a venda de 200 m 
de lona com 1,60 m de largura, então o seu salário 
será de:
a) R$ 800,00
b) R$ 1.120,00
X c) R$ 1.280,00 
d) R$ 1.100,00
e) R$ 1.000,00
Para calcular o salário do vendedor, precisamos primeira-
mente calcular a área de lona vendida:
200 · 1,60 = 320 metros quadrados.
Assim, o salário do vendedor será calculado da seguinte forma:
800 + 320 · 1,50 = 800 + 480 = R$ 1.280,00. 
20. (ACAFE – SC) Dois atletas A e B fazem teste de cooper 
numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade 
constante. A distância (d) que cada um percorre é 
mostrada no gráfico abaixo. 
d(m)
500
400
300
200
100
B
A
10 20 300 t(min)
x
 Com base no gráfico, a alternativa correta é:
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600 m em 20 min.
X b) B percorre 1 km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400 m em 5 min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400 m em 30 min.
a) Incorreta. O atleta A percorre 300 metros em 20 mi-
nutos, ou seja, 15 metros por minuto. O atleta B percorre 
500 metros em 10 minutos, ou seja, 50 metros por minu-
to. Assim, B é mais veloz que A. 
b) Correta. Em 20 minutos, B percorre 20 · 50 = 1 000 
metros = 1 km.
c) Incorreta. Em 5 minutos, B percorre 5 · 50 = 250 me-
tros.
d) Incorreta. 
e) Incorreta. Em 30 minutos, A percorre 30 · 15 = 450 
metros.
21. (UFRN) Na fabricação de algumas peças, um fabricante 
contabilizou gastos totais de R$ 100,00 em matéria-prima 
e R$ 50,00 em mão de obra. O preço de venda de cada 
peça fabricada é R$ 1,50. Considerando que x denota o 
número de peças vendidas e y o lucro que o fabricante tem 
na venda dessas x peças, responda às solicitações abaixo.
a) Calcule quantas peças o fabricante tem de vender 
para que obtenha um lucro de 50% sobre o valor 
investido na confecção das peças.
O fabricante teve um gasto de R$ 100,00 + R$ 50,00 = 
= R$ 150,00
Para obter lucro de 50%, ele deve faturar R$ 225,00.
Então, fazendo 225 : 1,50 = 150, chegamos à conclusão 
de que ele precisará vender 150 peças para obter um lu-
cro de 50%.
Analise o gráfico com os alunos para orientar 
sobre as demais alternativas.
42 Volume 1
b) Expresse y em função de x, para todo x 0.
y = 1,50x –150
22. Para cada função a seguir, determine o zero, classifi-
que-a em crescente oudecrescente e faça o estudo 
dos sinais.
a) f(x) = 4x – 8( ) 8
Zero da função:
4x – 8 = 0
4x = 8 ⇒ x = 2
A função é crescente, pois a > 0.
Estudo dos sinais:
Para x < 2, f(x) < 0
Para x = 2, f(x) = 0
Para x > 2, f(x) > 0
b) f(x) = –7x + 4
Zero da função:
–7x + 4 = 0
–7x = –4 
7x = 4 ⇒ x = 4
7
 
A função é decrescente, pois a < 0.
Estudo dos sinais:
Para x < 4
7
, f(x) > 0
Para x = 4
7
, f(x) = 0
Para x > 4
7
, f(x) < 0
c) f(x) = 
3 2
5
x
 
5
Zero da função:
3 2
5
x
= 0 
3x – 2 = 0
3x = 2 ⇒ x = 2
3
A função é decrescente, pois a < 0.
Estudo dos sinais:
Para x < 
2
3
, f(x) > 0
Para x = 
2
3
, f(x) = 0
Para x > 
2
3
, f(x) < 0
23. (UNICAMP – SP) O consumo mensal de água nas 
residências de uma pequena cidade é cobrado como 
se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 
10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. 
Para um consumo superior, o preço é de 20 reais 
acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido 
acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função 
que associa o gasto mensal com o consumo de x 
metros cúbicos de água.
a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano 
para x entre 0 e 30.
10
15100 20 25 305
50
40
30
20
60
70
80
90
100
x
c
Para x de 0 a 10, a função c(x) é constante e igual a 20. Para 
x maior que 10, temos que c x x x( ) ( )= + ⋅ − = −20 4 10 4 20. 
Observe o gráfico da função c(x).
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de 
água, qual é o preço efetivamente pago por metro 
cúbico? E para um consumo mensal de 25 metros 
cúbicos? 
Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, 
o preço é 20 reais.
Preço pago por metro cúbico:
20
4
5= reais
Para um consumo de 25 metros cúbicos, o preço é 
c( )25 4 25 20 80= ⋅ − = .
Preço pago por metro cúbico:
80
25
3 20= , reais
Matemática 43
24. (UEL – PR) ViajeBem é uma empresa de aluguel de 
veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de 
R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, 
em carros de categoria A. AluCar é uma outra 
empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 
mais R$ 2,00 por quilômetro percorrido para a 
mesma categoria de carros.
a) Represente graficamente, em um mesmo plano 
cartesiano, as funções que determinam as tarifas 
diárias cobradas pelas duas empresas de carros 
da categoria A que percorrem, no máximo, 70 
quilômetros. 
O valor y da tarifa diária (em reais) em função da quan-
tidade x de quilômetros percorridos em cada uma das 
empresas é dado por:
ViajeBem: y x= + ⋅160 15, 
AluCar: y x= +146 2
Veja a representação gráfica de cada uma das funções, 
em um mesmo plano cartesiano, para x variando de 0 
a 70.
x
ViajeBem y
AluCar y
x
ViajeBem y
AluCar
= ⇒
=
=
⎧
⎨
⎩
= ⇒
=
0
160
146
70
265
:
:
:
:: y =
⎧
⎨
⎩ 286
 
y
286
265
160
146
0 70 x
b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos 
para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique 
sua resposta apresentando os cálculos realizados. 
160 15 146 2
0 5 14
28
+ ⋅ = +
− ⋅ = −
=
,
,
x x
x
x
 
Portanto, para 28 quilômetros percorridos, os valores 
cobrados pelas duas empresas são iguais.
25. (FGV – SP) Os gráficos abaixo representam as funções 
receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto 
fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade 
produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir 
e vender 1 350 unidades por mês?
R
ec
ei
ta
 e
 c
us
to
Quantidade
R(x)
C(x)
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 500 1000 1500 2000
a) 1 740
X b) 1 750
c) 1 760
d) 1 770
e) 1 780
• R x ax b
R b
R a a
R x
( )
( )
( )
( )
= +
= ⇒ =
= ⇒ ⋅ + = ⇒ =
=
0 0 0
1000 15 000 1000 0 15 000 15
115
0 5 000 5 000
1000 15 000 1000 5 000 15
x
C x cx d
C d
C c
• ( )
( )
( )
= +
= ⇒ =
= ⇒ ⋅ + = 0000 10
10 5 000
⇒ =
= +
c
C x x( )
O lucro L é a diferença entre a receita e o custo. Assim:
L x R x C x
L x x x
L x x
L
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
= −
= − +
= −
= ⋅
15 10 5 000
5 5 000
1350 5 13500 5 000
1350 1750
−
=L( )
44 Volume 1