1705272 - TRABALHO MATEMÁTICA

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ÁLGEBRA ELEMENTAR 
 
Conjuntos numéricos 
O conjunto dos números naturais: N 
 O surgimento do conjunto dos números naturais deveu-se à necessidade de se 
contarem os objetos. 
Temos: 
N={0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ...} 
em que n representa um elemento genérico do conjunto. O conjunto N é infinito e pode 
ser representado por meio de uma reta numerada. 
 
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes: 
• Conjunto dos números naturais não nulos: 
N*= {0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ...} ou N*=N-{0} 
• Conjunto dos números naturais pares: 
Np= {0, 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...}, em que n∈N 
• Conjunto dos números naturais ímpares: 
Ni= {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n+1, ...}, em que n∈N 
• Conjunto dos números naturais primos: 
P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 
 
Conjunto dos números inteiros: Z 
 Esse conjunto é formado por todos os elementos de N e seus opostos (ou 
simétricos): 
Z= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Notamos, portanto, que N é um subconjunto de Z. 
 Para representar geometricamente o conjunto Z na reta numerada, vamos utilizar 
os elementos de N, acrescentando os pontos correspondentes a seus opostos. 
O conjunto dos inteiros também possui alguns conjuntos notáveis: 
• Conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z*= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z*= Z - {0} 
• Conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+= {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais 
Z+ = N 
• Conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+= {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
• Conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z- = {..., 5, -4, -3, -2, -1, 0} 
• Conjunto dos números inteiros negativos: 
Z- = {..., 5, -4, -3, -2, -1} 
 
O conjunto dos números racionais: Q 
 Definimos Q como o conjunto das frações 
𝑝
𝑞
. Desse modo, um número é racional 
quando pode ser escrito como uma fração 
𝑝
𝑞
, com p e q inteiros e q≠0. Então: 
Q = {
𝑝
𝑞
/ p∈z, q∈z e q≠0} , ou seja, Q = {0, ±1, ± 
1
2
, ±
1
3
, … , ±2,±
2
3
, ±
2
5
, … } 
Quando q = 1, temos 
𝑝
𝑞
=
𝑝
1
= 𝑝 ∈ Z. Isso mostra que todo número inteiro é também 
número racional, ou seja, Z é subconjunto de Q. 
 
O conjunto dos números irracionais: i 
 Assim como existem os números decimais que podem ser escritos como frações – 
com numerador e denominador inteiros – ou seja, os números racionais, há os que não 
admitem tal representação. Trata-se dos números decimais não exatos, que possuem 
representação infinita não periódica. 
 
Exemplo: 
• O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos após a vírgula 
não se repetem periodicamente. 
• O número 1,203040... também não comporta representação fracionária, pois é 
dízima periódica. 
• Os números √2= 1,4142135..., √3= 1,7320508... e π = 3,141592..., por não 
apresentarem representação infinita periódica, também não são números 
racionais. 
Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado número 
irracional, e o conjunto desses números é representado por I. 
 
O conjunto dos números reais: R 
 Este conjunto é formado por números racionais e números irracionais e é 
representado por R. Assim, temos: 
R = q ∪ i 
 Por outro lado, se um número real é racional, ele não é irracional; e se um número 
real é irracional, ele não é racional. N, Z, q e i são subconjuntos de r. 
 
Subconjuntos importantes de r: 
• Conjunto dos números reais não nulos: 
R* = {x ∈ r / x ≠ 0} 
• Conjunto dos números reais não negativos: 
R+ = {x ∈ r / x ≥ 0} 
• Conjunto dos números reais positivos: 
R*+ = {x ∈ r / x > 0} 
• Conjunto dos números reais não positivos: 
R- = {x ∈ r / x ≤ 0} 
• Conjunto dos números reais negativos: 
R*- = {x ∈ r / x < 0} 
 
Potenciação e radiciação 
Potenciação é a operação matemática utilizada para escrever de forma resumida 
números muito grandes, onde é feita a multiplicação de n fatores iguais que se repetem. 
Representação: an, onde a = fator que se repete e n = número de fatores 
 
Exemplo: 
• 2.2.2 = 23 = 8 
• (
2
4
)
2
=
2
4
×
2
4
=
4
16
 
 
Propriedades da potenciação: 
• am.an = am+n 
• (am)n = am.n 
• an.bn.cn = (a.b.c)n 
• 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛
 
 
A radiciação calcula o número que elevado à determinado expoente produz o 
resultado inverso da potenciação. 
Representação: √𝒙
𝒏
= 𝒚, onde n = índice, x = radicando e y = raiz. 
 
Exemplo: 
• √8
3
= √23
3
= 2 
• √
4
16
=
2
4
 
 
Propriedades da radiciação: 
• √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 
• √𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚.𝑝
𝑛.𝑝
 
• √𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
 
• √
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
• (√𝑎
𝑛
)
𝒎
= √𝑎𝑚
𝑛
 
• √ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑛.𝑚
 
 
Valor numérico e operações com frações algébricas 
Multiplicação de fração algébrica 
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de 
frações: multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. 
 
Exemplo: 
4𝑥𝑦 × 8𝑥𝑧 = 32𝑥2𝑦𝑧 
 
 
Divisão de fração algébrica 
Essa operação segue exatamente o mesmo princípio da divisão de frações. 
 
Exemplo: 
4𝑥𝑦
8𝑘
÷
8𝑥𝑧
2𝑥𝑘
=
4𝑥𝑦
8𝑘
×
2𝑥𝑘
8𝑥𝑧
=
8𝑥2𝑦𝑘
64𝑘𝑥𝑧
 
 
Adição e subtração de fração algébrica 
 Se os denominadores forem iguais, basta repetir o denominador no resultado e 
realizar a soma ou subtração normalmente no numerador. Caso os denominadores 
sejam diferentes os denominadores devem ser igualados utilizando para isto o mínimo 
múltiplo comum entre eles. 
 
Exemplo: 
7𝑥𝑦
𝑥
−
4𝑥𝑦
𝑥
=
7𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦
𝑥
=
3𝑥𝑦
𝑥
 
2𝑥2
3𝑦
+
4𝑥
2𝑦2
=
4𝑦𝑥2
6𝑦2
+
12𝑥
6𝑦2
=
4𝑦𝑥2 + 12𝑥
6𝑦2
 
 
Produtos notáveis e fatoração: Fator comum em evidência e fatoração de 
binômios 
Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem 
cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, 
produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. 
 
Quadrado da soma 
(𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑎 + 𝑎2 
 
Quadrado da diferença 
(𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑎 + 𝑎2 
 
Produto da soma pela diferença 
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2 
Cubo da soma 
(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3 
 
Cubo da diferença 
(𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3 
 
Fatorar quer dizer transformar a soma e a subtração de expressões algébricas ou 
de equações num produto com fatores. Pode-se entender a fatoração como a simplificação 
das sentenças matemáticas. Existem sete casos de fatoração, confira a seguir alguns deles. 
 
Fator comum em evidência 
Esse caso de fatoração é determinado pela fórmula: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) 
O termo que foi colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição do 
monômio ax e bx. 
 
Exemplo: 
6𝑥 + 6𝑦 = 6(𝑥 + 𝑦) 
 
Fatoração de binômios 
Fatorar um binômio significa encontrar termos mais simples que, quando 
multiplicados um pelo outro, produzem aquele número binômio, o que o ajuda a calculá-
lo ou simplificá-lo. 
Para fatorar um binômio, primeiro é preciso encontrar um fator comum de ambos 
os termos, em seguida é preciso dividir cada termo pelo fator comum e depois multiplicar 
o fator comum pelo resultado da expressão para terminar. 
 
Exemplo: 
• Problema prático: 3𝑡 + 6 
• Encontre o maior fator comum: 3 
• Remova o fator de ambos os termos: 
3𝑡
3
+
6
3
= 𝑡 + 2 
• Multiplique o fator pela nova expressão: 3(𝑡 + 2) 
• Resposta final fatorada: 3(𝑡 + 2) 
 
 
EQUAÇÕES 
 
Equação e inequação do 1º grau 
Equação é uma igualdade (=) envolvendo uma ou mais incógnitas. E inequação é 
uma sentença matemática expressa por uma desigualdade – através dos símbolos: ≠ 
(diferente de), < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a), ≥ (maior ou igual a) 
-, relacionando uma ou mais variáveis. Ambas são usadas para resolver problemas, são a 
tradução para a matemática de um problema em linguagem corrente. 
Tanto a equação como a inequação têm o mesmo grau do monômio de maior grau 
de sua sentença.Por exemplo, a equação x³+2x+5 é de terceiro grau porque seu monômio 
de maior grau é x³ e a inequação x²-1 < 0 é de segundo grau porque seu monômio de 
maior grau é x². 
 
Exemplo: Encontrar o valor de x, dos pesos da balança: 
 
𝑥 + 𝑥 + 500 + 100 = 𝑥 + 250 + 500 
2𝑥 + 600 = 𝑥 + 750 
2𝑥 − 𝑥 = 750 − 600 
𝒙 = 𝟏𝟓𝟎𝒈 
 
 
 
 
 
Exemplo: Encontrar o valor de x, dos pesos da balança: 
 
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 < 𝑥 + 250 
3𝑥 < 𝑥 + 250 
3𝑥 − 𝑥 < 250 
2𝑥 < 250 
𝑥 < 125 
Como x não pode ser um número negativo, já que representa a quantidade de 
gramas de determinado objeto, o intervalo que satisfaz nossa inequação sendo x um 
número real é [0, 125). 
 
Equação do 2º grau 
 
É a equação escrita sob o formado ax²+bx+c, sendo a ≠ 0. Pois se a=0, a equação 
volta a ser do primeiro grau. Para achar a solução dessa equação usa-se a fórmula de 
Bhaskara. 
 
Exemplo: 3𝑥2 − 15𝑥 + 12 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−15) ± √(−15)2 − 4 × 3 × 12
2 × 3
 
𝑥 =
+15 ± √81
6
 
𝑥 =
+15 ± 9
6
 
𝑥1 =
+15 + 9
6
 𝑒 𝑥2 =
+15 − 9
6
 
𝑥1 =
24
6
 𝑒 𝑥2 =
6
6
 
𝒙𝟏 = 𝟒 𝒆 𝒙𝟐 = 𝟏 
 
 
CONJUNTOS 
 
Conceituação 
 Um conjunto é uma coleção ou grupo de objetos. Os objetos que constituem um 
conjunto são chamados de elementos. 
 
Exemplos: 
• Conjunto das cores da bandeira brasileira (elementos: verde, amarelo, azul e 
branco) 
• Conjunto das vogais do alfabeto (a, e, i, o, u) 
• Conjunto dos nomes dos estados do nordeste do Brasil (Maranhão, Piauí, Ceará, 
Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco, Alagoas, Sergipe, Bahia) 
 
É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada. É o 
chamado diagrama de Venn. 
 
Exemplos: 
• Conjunto das cores da bandeira brasileira (elementos: verde, amarelo, azul e 
branco) 
A = {verde, amarelo, azul, branco} 
 
• Conjunto das vogais do alfabeto (a, e, i, o, u) 
B = {a, e, i, o, u} 
 ul
 marelo erde
 ranco
 
 
Notação 
Existem dois recursos para descrever um conjunto e seus elementos: 
(a) Escrevendo os elementos do conjunto entre chaves 
 
Exemplo: 
Conjunto das cores da bandeira brasileira 
A = {verde, amarelo, azul e branco} 
 
(b) Dando uma propriedade característica dos elementos do conjunto. Assim, se o 
conjunto é B e seus elementos x têm uma propriedade P, escreve-se: 
B = {x / x tem propriedade P} 
 
Exemplo: 
{x / x é estado da região sul do Brasil} é uma outra maneira de indicar o conjunto {Paraná, 
Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 
 
Subconjuntos 
 Em certa escola, as matérias estudadas no 6º ano são Matemática (m), Língua 
Portuguesa (l), Estudos Sociais (e), Ciências (c), Educação Artística (a) e Educação Física 
(f). O conjunto de matérias do 6º ano é: 
A = {m, l, e, c, a, f} 
 Nessa mesma escola, as aulas de ciências são dadas num laboratório e as de 
Educação Física são dadas no pátio. As demais matérias cujas aulas são dadas em classe 
é: 
B = {m, l, e, a} 
e
a i
o
u
 
 Qualquer elemento do conjunto B é também elemento do conjunto A. Por isso se 
diz que “B é subconjunto de A”, ou ainda, “B está contido em A”. Indica-se esse fato da 
seguinte forma: B ⊂ A. Pode-se também dizer que “A contém B” e indicar A ⊃ B. 
 
Operações com conjuntos 
União de conjuntos 
 Chama-se união de dois conjuntos A e B o conjunto A ∪ B formado por todos os 
elementos de A, todos os de B e só por eles. 
 
Exemplo: 
{a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d} 
 
Interseção de conjuntos 
 Chamamos interseção de dois conjuntos A e B o conjunto A ∩ B formado com os 
elementos que estão em A e B. 
 
Exemplo: 
{a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c} 
 
 Dois conjuntos são disjuntos quando sua interseção é o conjunto vazio, isto é, eles 
não têm nenhum elemento em comum. 
 
Diferença de conjuntos 
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença A – B o conjunto formado pelos 
elementos que estão em A e não estão em B. 
e
a m
l
f
c
 
 
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B} 
 
Exemplo: 
{a, b, c} – {b, c, d, e} = {a} 
 
FUNÇÕES 
Conceituação 
 No estudo científico de qualquer fenômeno, sempre se procura identificar 
grandezas mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes 
entre essas grandezas. 
 Se existirem dois conjuntos não vazios A e B, uma correspondência que associa 
cada elemento x∈A um único elemento y∈B é chamada de função de A em B. 
 De modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x,y) que caracteriza uma 
função de A em B, indica-se: 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 
 Se, nessa função, y∈Bé imagem de x∈A, indica-se: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Exemplo: A lei de correspondência que associa cada número racional x ao número 
racional y, sendo y o dobro de x, é uma função f definida pela fórmula 𝑦 = 2𝑥 ou 𝑓(𝑥) =
2𝑥. 
Nesta função: 
Para 𝑥 = 5, vem 𝑦 = 2 × 5 = 10. Diz-se que 𝑓(5) = 10. 
 
Domínio e imagem de uma função 
 Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função. O conjunto A é chamado domínio de f, e o conjunto B é 
chamado contradomínio de f. 
 Todo elemento x do domínio tem uma única imagem y no contradomínio, mas 
podem existir elementos do contradomínio que não são imagem de nenhum elemento do 
domínio. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D 
é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de 
correspondência 𝑦 = 𝑓(𝑥), de modo que, efetuados os cálculos, resulte um y real. 
 
Exemplo: Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 4} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2 tem domínio A e contradomínio B. 
 
Exemplo: O domínio da função definida pela lei 𝑦 = 2𝑥 − 1 é R, pois qualquer que seja o 
valor real atribuído a x, o número 2𝑥 − 1 também é real. 
 
 Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é uma função, chama-se conjunto imagem de f o subconjunto Im do 
contradomínio constituído pelos elementos y que são imagens de algum x∈A. 
 
Exemplo: Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 4} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2 tem domínio A e imagem dentro do contradomínio B. 
 
 
Operações de funções 
 Dadas duas funções numéricas f e g, com o mesmo domínio D e o mesmo conjunto 
de chegada, designa-se: 
 
(a) Soma das funções f e g à função: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐷 
 
(b) Diferença das funções f e g à função: 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐷 
 
(c) Produto das funções f e g à função: 
 3
 4
 5
 6
 1
 2
 7
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
 
 1
 2
 7
 3
 4
 5
 6
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
 
 m
 = + 2
(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐷 
 
(d) Expoente natural de uma função f: 
[𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐷 
 
Exemplo: Seja f e g duas funções de domínio 𝐷 = {1, 2, 3, 4} e conjunto de chegada Q, 
definidas como se segue: 
 
Calculando as imagens da função soma tem-se: 
(𝑓 + 𝑔)(1) = 𝑓(1) + 𝑔(1) = 5 + 2 = 7 
(𝑓 + 𝑔)(2) = 𝑓(2) + 𝑔(2) = 10 + 3 = 13 
(𝑓 + 𝑔)(3) = 𝑓(3) + 𝑔(3) = 15 + 4 = 19 
(𝑓 + 𝑔)(4) = 𝑓(4) + 𝑔(4) = 20 + 5 = 25 
𝐷𝑓+𝑔 = {1, 2, 3, 4} 𝐼𝑚𝑓+𝑔 = {7, 13, 19, 25} 
 
Calculando as imagens da função diferença tem-se: 
(𝑓 − 𝑔)(1) = 𝑓(1) − 𝑔(1) = 5 − 2 = 3 
(𝑓 − 𝑔)(2) = 𝑓(2) − 𝑔(2) = 10 − 3 = 7 
(𝑓 − 𝑔)(3) = 𝑓(3) − 𝑔(3) = 15 − 4 = 11 
(𝑓 − 𝑔)(4) = 𝑓(4) − 𝑔(4) = 20 − 5 = 15 
𝐷𝑓−𝑔 = {1, 2, 3, 4} 𝐼𝑚𝑓−𝑔 = {3, 7, 11, 15} 
 
 5
 10
 15
 20
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
f
 2
 3
 4
 5
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
g
 7
 13
 19
 25
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
f+g
 3
 7
 11
 15
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
f g
Calculando as imagens da função produto tem-se: 
(𝑓 × 𝑔)(1) = 𝑓(1) × 𝑔(1) = 5 × 2 = 10 
(𝑓 × 𝑔)(2) = 𝑓(2) × 𝑔(2) = 10 × 3 = 30 
(𝑓 × 𝑔)(3) = 𝑓(3) × 𝑔(3) = 15 × 4 = 60 
(𝑓 × 𝑔)(4) = 𝑓(4) × 𝑔(4) = 20 × 5 = 100 
𝐷𝑓×𝑔 = {1, 2, 3, 4} 𝐼𝑚𝑓×𝑔 = {10, 30, 60, 100} 
 
Calculando as imagens da função expoente tem-se: 
[𝑔(1)]2 = 𝑔2(1) = 22 = 4 
[𝑔(2)]2 = 𝑔2(2) = 32 = 9[𝑔(3)]2 = 𝑔2(3) = 42 = 16 
[𝑔(4)]2 = 𝑔2(4) = 52 = 25 
𝐷𝑔2 = {1, 2, 3, 4} 𝐼𝑚𝑔2 = {4, 9, 16, 25} 
 
 
FUNÇÕES USUAIS 
Função afim 
 Denomina-se função afim (ou função polinomial do 1º grau), qualquer função f de 
R em R dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são números reais dados 
que 𝑎 ≠ 0. 
 Na lei 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o número 𝑎 é chamado de coeficiente de 𝑥 e o número 𝑏 é 
chamado de termo constante ou independente. 
 O gráfico de uma função afim dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é uma reta 
oblíqua aos eixos 0𝑥 e 0𝑦. 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função de R em R definida por 𝑦 = 2𝑥 − 1. 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los. 
Para 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 2 × 0 − 1 = −1; portanto, um ponto é (0, -1). 
Para 𝑦 = 0, temos 0 = 2𝑥 − 1; portanto, um outro ponto é (
1
2
, 0). 
Marcando os pontos (0, -1) e (
1
2
, 0) no plano cartesiano e ligando os dois, obtém-se uma 
reta r. 
 10
 30
 60
 100
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
f ×g
 4
 9
 16
 25
1
2
3
4
 .
 .
 .
 .
 2
 
 
Função linear 
 Um caso particular de função afim é aquele em que 𝑏 = 0. Nesse caso, temos a 
função afim 𝑓 de R em R dada pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 real e 𝑎 ≠ 0, que recebe a 
denominação especial de função linear. 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função de R em R definida por 𝑦 = 6𝑥. 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los. 
Para 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 6 × 0 = 0; portanto, um ponto é (0, 0). 
Para 𝑦 = 6, temos 6 = 6𝑥; portanto, um outro ponto é (1, 6). 
Marcando os pontos (0, 0) e (1, 6) no plano cartesiano e ligando os dois, obtém-se uma 
reta r. 
 
 
Função constante 
 Já foi visto que a função afim f é uma função de R em R dada pela lei 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
com 𝑎 ≠ 0. Quando em 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 temos 𝑎 = 0, essa lei não define uma função afim, mas, 
sim, outro tipo de função denominada função constante. 
 Portanto, chama-se função constante uma função 𝑓: R→R dada pela lei 𝑦 = 0𝑥 +
𝑏, ou seja, 𝑦 = 𝑏 para todo 𝑥. 
 
 1
1
2
0
0
1
2
 1
0 
 
 
1
0 0
0 
 
6
6
Exemplo: Construir o gráfico da função 𝑦: R→R dada por 𝑦 = 3 para todo 𝑥 real. 
 
 
 
FUNÇÕES APLICAÇÕES 
 
Função demanda 
Relaciona a quantidade demandada e o preço de um bem. Sabe-se que quando o 
preço aumenta, a procura diminui e, quando o preço diminui, a procura aumenta. Esta é a 
Lei de demanda, caracterizada por uma função decrescente. 
 
Função oferta 
Relaciona o preço como função da quantidade ofertada. Ao contrário da função 
demanda, a oferta é uma função crescente, pois, no aumento dos preços, os fornecedores 
colocam uma quantidade maior do produto no mercado. 
 
Função custo 
Essa função está ligada ao gasto na produção da mercadoria, como: transporte, 
matéria prima, salário, impostos e contribuições. Toda a despesa avaliada na produção de 
uma mercadoria é representada por uma função custo, que relaciona o custo à quantidade 
de peças a serem produzidas (custo variável) e os gastos fixos (salário, energia elétrica, 
água, impostos, contribuições entre outros). 
C = CF + CV.x 
Onde, C = Custo, CF = Custo Fixo, CV = Custo Variavel e X = número de quantidade. 
 
 
 
 
 
 onto 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
0 3 32 2 1 
1
2
5
2
21
 
 
0
 3 32 2 1 
1
2
5
2
21
 3
Função receita 
A função receita traduz o dinheiro que é arrecadado com a venda do produto no 
mercado. É comum que tal função seja representada por uma expressão matemática que 
determine o preço de venda do produto, incluindo todas as despesas e a faixa percentual 
de lucro. 
R = PV.x 
Onde, R = Receita, PV = Preço de Venda, X = número de quantidade 
 
Ponto de equilíbrio 
O ponto de equilíbrio é um indicador de segurança do negócio. É ele que mostra o 
quanto é necessário vender para que as receitas se igualem aos custos; que indica em 
que momento, a partir das projeções de vendas do empreendedor, a empresa estará 
igualando suas receitas e seus custos. Geralmente, o ponto de equilíbrio é calculado sob 
a forma de percentual da receita projetada. 
𝑷𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍í𝒃𝒓𝒊𝒐 =
𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒙𝒐
𝒓𝒆𝒄𝒆𝒊𝒕𝒂 − 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍
× 𝟏𝟎𝟎 
 
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
Noção intuitiva 
Os limites possuem diversas aplicações, mas a essência consiste em analisar e 
descrever o comportamento de funções além de serem a base para a definição de 
derivadas. Uma função 𝑓 é dita contínua em um ponto 𝑎 do seu domínio se o gráfico dela 
não apresenta saltos neste ponto 𝑎. 
 
Neste caso, perceba que o gráfico da função 𝑓 é contínua no ponto 𝑎, ou seja, não 
há nenhuma interrupção ou salto. Já no caso abaixo: 
 
Notamos que a função faz um salto na sua representação gráfica, mais 
precisamente no valor em que assume a função no ponto 𝑎, logo ela não é contínua em 𝑎. 
O primeiro gráfico, onde a função é contínua em 𝑎. As setas indicam que a medida 
que 𝑥 se aproxima de 𝑎, pela direita ou pela esquerda, os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam 
de 𝑓(𝑎). Consequentemente, quanto mais próximo 𝑥 estiver de 𝑎, mais próximo 𝑓(𝑥) 
estará de 𝑓(𝑎). De uma forma intuitiva, podemos dizer que se 𝑓 é contínua em 𝑎, então o 
limite de 𝑥 tendendo a 𝑎, da função 𝑓(𝑥) é igual a 𝑓(𝑎). Na notação usual, escreve-se: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
Por outro lado, se a função 𝑓 não é contínua em 𝑎, e mesmo assim atribuíssemos 
um limite 𝐿, tal que: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Então, 𝐿 é o valor que 𝑓 deveria ter em 𝑎: 
 
Neste caso, 𝐿 ≠ 𝑓(𝑎). Então, 𝐿 é o valor que 𝑓 deveria ter em 𝑎 para ser contínua. 
 
Propriedades operatórias dos limites 
 
(a) Propriedade da unicidade do limite: 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑀, então L = M 
 
(b) Propriedade do limite de uma função constante: 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑘 para todo 𝑥 real, então para qualquer a real, então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝐾 = 𝐾 
 
(c) Propriedade da soma ou da subtração dos limites: 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, então: 
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀 
 
(d) Propriedade da multiplicação por escalar do limite: 
Para qualquer constante K e lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
lim
𝑥→𝑎
(𝐾 × 𝑓(𝑥)) = 𝐾 × lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐾 × 𝐿 
 
(e) Propriedade da multiplicação de limite: 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, então: 
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) × lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 × 𝑀 
 
(f) Propriedade da divisão de limite: 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, e 𝑀 ≠ 0, então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
 
 
(g) Propriedade da potência de limite: 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, então: 
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥))𝑛 = (lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥))
𝑛
= 𝐿𝑛 
 
 
DERIVADAS 
 
Definição 
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação 
instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por 
exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de 
crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de 
variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, 
poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a 
medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. 
Se uma função 𝑓 é definida em um intervalo aberto contendo 𝑥0, então a derivada 
de 𝑓em 𝑥0, denotada por: 
𝑓′(𝑥0) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
, 
se este limite existir. ∆𝑥 representa uma pequena variação em x, próximo de 𝑥0, ou seja, 
tomando 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 (∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0), a derivada de f em 𝑥0 pode também ser expressa 
por: 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
 
Regras de derivação 
 Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, 
valemas propriedades: 
 
i) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0. 
ii) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a. 
iii) (Regra do tombo) Se f (x) = xa, então f ' (x) = a·xa – 1. 
iv) (Derivada da soma): [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x). 
v) [af (x)]' = a·f ' (x). 
vi) (Regra do produto): [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x). 
vii) (regra do quociente): [f (x) / g (x)]' = [f ' (x) g (x) - f (x) g' (x)] / [g(x)]2.