Lista de Exercícios 2 - Álgebra Linear - Felipe Moreti Bolini

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Lista de Exercícios 2 – Álgebra Linear – Felipe Moreti Bolini
Lista 1 – Questão 6. Classifique as sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas.
(0) O plano contém os pontos , e ;
R: Verdadeiro – Uma vez que todos os três pontos pertencem à equação do plano, ou seja, que a substituição das coordenadas de cada ponto na equação leva a uma verdade, todos os três pontos pertencem ao plano.
			
			
			
(1) O plano é ortogonal ao plano ;
R: Verdadeiro – Temos vetores normais das equações: e . Se os vetores normais forem ortogonais, os planos também são:
.
Como os vetores normais de cada plano são ortogonais entre si, os planos também são.
(2) A interseção dos três planos , e é o conjunto vazio;
R: Falso – A intersecção entre três planos tem que ser um ponto, uma reta ou um plano que satisfaça as três equações dos planos. Assim,
Tendo em vista que o ponto pertence aos três planos, é falso que a intersecção entre os três planos é o conjunto vazio.
(3) O plano é tangente à bola no ponto ;
R: Falso – Determinemos o plano tangente à bola no ponto Se encontrarmos um plano diferente do enunciado, será falsa a afirmativa. 
A equação geral de um plano: , onde é a função da bola. Assim, determinemos as derivadas parciais:
Assim, o plano tangente à bola no ponto é dado por 
Como é diferente do plano enunciado, é falsa a afirmativa.
(4) A distância entre os planos e o plano é menor do que (um).
R: Verdadeiro – Tendo em vista que o ponto pertence ao plano , basta calcularmos a distância entre o ponto e o outro plano:
Seção 4.2 – Exercício 12:
	Para verificar se um vetor pertence ao espaço gerado ( pelos vetores e é necessário que o vetor solucione o sistema linear . Assim, basta escalonar a matriz expandida abaixo:
	Após realizarmos todo o processo de escalonamento, obteremos a seguinte matriz:
	Note que estamos trabalhando com um sistema com mais equações do que incógnitas, dessa forma, a última linha da matriz escalonada deve ser toda nula. Agora basta substituirmos as coordenadas de cada vetor e vermos se as regras são seguidas. Em caso positivo, significa que o vetor pode ser escrito como uma combinação dos vetores geradores e, portanto, o vetor pertence ao espaço gerado .
a) 
O vetor pertence ao espaço gerado .
b) 
O vetor pertence ao espaço gerado .
c) 
O vetor não pertence ao espaço gerado .
d) 
O vetor pertence ao espaço gerado .
Seção 4.3 – Exercício 9:
	Para que os vetores sejam linearmente dependentes, deve haver uma combinação nula entre eles. Ou seja, sendo , para que sejam linearmente dependentes, devem satisfazer:
Que é equivalente, matricialmente, a
Resolvendo:
Para que a combinação linear seja nula:
Portanto: ou 
Assim, 
Portanto, se ou , com dupla multiplicidade, os vetores serão linearmente dependentes.
Questão 6: Prove que a reunião de três subespaços vetoriais só pode ser um subespaço vetorial quando um deles contém os outros dois.
	Sejam e os três subespaços. 
	Mostremos que ou . Se essa afirmativa for falsa, então existe um vetor tal que e , e um vetor tal que e . Assim, temos que
O que é um absurdo. Portanto, ou ou . 
Questão 13: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de para matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
	Considerando o número de linhas e , o de colunas, para entre e , exceto e , temos matrizes tais que . Defina separadamente . Enfim, para , com e , defina as matrizes . Estas matrizes formam a base do espaço em questão, cuja dimensão é .
Questão 14: Seja o subespaço do definido por . Encontre uma base de .
	A base de será formada por 5 vetores tais que talque cada vedor é da ordem, tal que 
Assim, 
Dessa forma, temos que uma base para o subespaço dada por
.