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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Aula 01
Características geométricas de 
superfícies planas
Prof.: Giuliano
2º Semestre/2021
1
2
3
4
5
MÊS DIA Aula Atividade
20 1
Apresentação da disciplina.
Revisão
27 2
Seção 1.1 - Características geométricas de superfícies 
planas
Ag
os
to
3 3
Seção 1.2 - Esforços externos
Prazo limite: Atividade Diagnóstica e Atividade de 
Aprendizagem 1.1, 1.2
10 4 Seção 1.3 - Diagramas dos esforços internos solicitantes
17 5 Seção 2.1 - Flexão simples e flexão pura
24 6
Seção 2.2 - Flexão composta
Prazo limite: Atividade Diagnóstica e Atividade de 
Aprendizagem 1.3, 2.1, 2.2
Prazo limite: listas de exercício a serem divulgadas.
Se
tem
br
o
6
1 AVALIAÇÃO OFICIAL DO 1º BIMESTRE
8 Não Haverá aula. Semana de palestras.
15 7
Seção 2.3 - Flexão assimétrica
Prazo limite: Atividade Diagnóstica e Atividade de 
Aprendizagem 2.3
22 8 Seção 3.1 - Estabilidade elástica
29 9 Seção 3.2 - Flambagem para barras bi-articuladas
Ou
tu
br
o
5 10 Seção 3.3 - Flambagem elástica e plástica
12 11
Seção 4.1 - Métodos de energia
Prazo limite: Atividade Diagnóstica e Atividade de 
Aprendizagem 3.1, 3.2, 3.3, 4.1
Prazo limite: listas de exercício a serem divulgadas.
19 12 Seção 4.2 - Critérios de resistência para materiais dúcteis
26 13 Seção 4.3 - Critérios de resistência para materiais frágeis
No
ve
m
br
o
3 AVALIAÇÃO OFICIAL DO 2º BIMESTRE
6 e 7 AVALIAÇÃO DE 2ª CHAMADA
9 e 10 EXAMED
ez
em
br
o
INTRODUÇÃO
7
 Características geométricas: propriedades relacionadas às 
seções que os objetos podem ter
 Relacionam-se com a resistência dos materiais: 
◦ Permitem o entendimento da distribuição dos esforços sobre 
os materiais
◦ Previsão e comportamento das consequências dos esforços 
(flexão, flambagem, ruptura, etc).
MOMENTO ESTÁTICO - Q
8
Definimos o momento estático Q
para um elemento infinitesimal como
sendo o produto da área desse
elemento (dS) pela distância dele ao
eixo de referência (x ou y).
A dimensão de Q é L³
(comprimento³).
MOMENTO ESTÁTICO
9
𝐐𝐱 = න
𝐒
𝐲 . 𝐝𝐒
𝐐𝐲 = න
𝐒
𝐱 . 𝐝𝐒
CENTROIDE – xc e yc
10
Considere o ponto C de coordenadas xc
e yc .
Ele representa o centroide de toda a
área S, ou seja, o centro geométrico da
figura.
CENTROIDE – xc e yc
11
𝐱𝐜 =
𝐐𝐲
𝐒
=
𝐒׬ 𝐱 . 𝐝𝐒
𝐒׬ 𝐝𝐒
𝐲𝐜 =
𝐐𝐱
𝐒
=
𝐒׬ 𝐲 . 𝐝𝐒
𝐒׬ 𝐝𝐒
CENTROIDE – xc e yc
12
CENTROIDE – xc e yc
13
Figura composta:
Seção “complexa” que pode ser 
subdividida em outras formas 
mais simples.
CENTROIDE – xc e yc
Temos que, para esse caso, as coordenadas do centroide, xc e yc,
são dadas por:
14
𝐱𝐜 =
σ𝐢𝐀𝐢𝐱𝐢
σ𝐢𝐀𝐢
𝐲𝐜 =
σ𝐢𝐀𝐢𝐲𝐢
σ𝐢𝐀𝐢
CENTROIDE – xc e yc
Podemos assim estabelecer um “roteiro” de como calcular essas
coordenadas:
15
CENTROIDE – xc e yc
Podemos assim estabelecer um “roteiro” de como calcular essas
coordenadas:
16
CENTROIDE – xc e yc
Exemplo 01: localizar o centroide C da área da seção transversal
da viga T mostrada na figura.
17
CENTROIDE – xc e yc
Solução:
18
CENTROIDE – xc e yc
Solução:
19
CENTROIDE – xc e yc
Solução:
20
CENTROIDE – xc e yc
Solução:
21
CENTROIDE – xc e yc
Solução:
22
MOMENTO DE INÉRCIA - I
23
Definimos o momento de inércia para um
elemento infinitesimal como sendo dIx =
y².dS, e dIy = x².dS.
Os momentos de inércia são características
geométricas importantes utilizadas no
dimensionamento de peças sujeitas à flexão.
Quanto maior for o momento de inércia da ST
em relação ao eixo perpendicular ao plano de
atuação da flexão, maior será a resistência da
peça.
A dimensão de I é L4.
MOMENTO DE INÉRCIA - I
24
𝐈𝐱 = න
𝐒
𝐲² . 𝐝𝐒
𝐈𝐲 = න
𝐒
𝐱² . 𝐝𝐒
MOMENTO DE INÉRCIA - I
25
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA - JO
É o momento de inércia em relação a um eixo.
Utilizado nos cálculos das tensões devidas à torção e representa
parte da resistência do corpo à torção (outra parcela é relativa
ao material).
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MOMENTO POLAR DE INÉRCIA - JO
É o momento de inércia em relação a um eixo.
Utilizado nos cálculos das tensões devidas à torção e representa
parte da resistência do corpo à torção (outra parcela é relativa
ao material).
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𝐉𝐎 = න
𝐒
𝛒² . 𝐝𝐒
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA - JO
É o momento de inércia em relação a um eixo.
Utilizado nos cálculos das tensões devidas à torção e representa
parte da resistência do corpo à torção (outra parcela é relativa
ao material).
28
𝐉𝐎 = 𝐈𝐗 + 𝐈𝐘
TEOREMA DO EIXO PARALELO
Suponha que já conhecemos os momentos de inércia Ix e Iy da área S
apresentada na Figura 1.6 em relação aos eixos x e y que passam pelo
centroide da área.
29
TEOREMA DO EIXO PARALELO
Para um eixo x’ paralelo ao eixo x, o momento de inércia será dado por:
Para um eixo y’ paralelo ao eixo y, o momento de inércia será dado por:
30
𝐈𝐗′ = 𝐈𝐗 + 𝐒. 𝐲𝐜
𝟐
𝐈𝐘′ = 𝐈𝐘 + 𝐒. 𝐱𝐜
𝟐
MOMENTO DE INÉRCIA
Podemos assim estabelecer um “roteiro” de como calcular essas
características geométricas:
31
MOMENTO DE INÉRCIA
Podemos assim estabelecer um “roteiro” de como calcular essas
características geométricas:
32
MOMENTO DE INÉRCIA
Podemos assim estabelecer um “roteiro” de como calcular essas
características geométricas:
33
MOMENTO DE INÉRCIA
34
MOMENTO DE INÉRCIA
Exemplo 02: determinar o momento de inércia da área da seção
transversal em torno do eixo x’ da viga T mostrada na figura.
35
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
36
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
37
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
38
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
39
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
40
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
41
MOMENTO DE INÉRCIA
Solução:
42
RAIO DE GIRAÇÃO - r
Essa é uma característica geométrica utilizada no dimensionamento de
pilares que são peças sujeitas à compressão paralela ao seu eixo
longitudinal e que provoca o efeito de flambagem, como veremos na
terceira unidade.
O raio de giração é definido como uma relação entre o momento de
inércia e a área da figura plana.Temos então:
43
𝐫𝐱 =
𝐈𝐗
𝐀
𝐫𝐲 =
𝐈𝐘
𝐀
PRATICANDO (Em casa)
Leia e faça os procedimentos apresentados em:
- Sem medo de errar (a partir da página 22)
- Avançando na prática (a partir da página 26)
Faça os exercícios da seção Faça valer a pena (páginas 28 e 29)
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