AULA 4 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE FIGURAS PLANAS

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COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA 
DOS MATERIAIS
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE 
FIGURAS PLANAS
Profa Dra Monica M Stuermer
ESFORÇOS SIMPLES
Classificação dos Esforços Simples
• Esforço Normal (ou axial) N: Soma algébrica das
projeções sobre a normal à seção das forças exteriores
situadas de um mesmo lado da seção; é positivo
quando de tração (tendendo a distender a seção) ou
negativo quando de compressão (comprimindo a
seção)
• Esforço cortante (ou cisalhante) Q : Soma vetorial das
projeções sobre o plano da seção das forças exteriores
situadas de um mesmo lado da seção (tende a cortar a
seção, promover o seu deslizamento); é positivo
quando as projeções se orientam nos sentidos dos
eixos ou negativo, caso contrário.
Classificação dos Esforços Simples
• Momento fletor M : Soma vetorial das projeções sobre o plano da
seção dos momentos das forças, situadas de um mesmo lado da
seção, em relação ao seu centro de gravidade (tende fazer a seção
girar sobre um eixo localizado no seu próprio plano, comprimindo
uma parte e distendendo a outra); é dito positivo quando orientado no
sentido arbitrado para o eixo, ou negativo, caso contrário.
• Momento torçor T : Soma algébrica dos momentos, em relação a um
eixo perpendicular ao plano da seção e passando pelo seu centro de
gravidade, das forças exteriores situadas de um mesmo lado da
seção (tende a torcer a seção, fazendo-a girar em tomo de um eixo
que lhe é perpendicular); positivo quando "sai" da seção ou negativo,
caso contrário.
Classificação dos Esforços Simples
Momento fletor
Força normal
Força de cisalhamento
Componentes do 
Momento fletor
Força Normal
Momento torçor
Componentes da força 
de cisalhamento
Classificação dos Esforços Simples
Simbologia
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de qualquer
elemento estrutural, dependem das tensões que se distribuem ao longo das seções
transversais desse elemento.
Daí a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades das
figuras geométricas que formam essas seções transversais
As principais propriedades geométricas de figuras planas são:
Área (A)
Centro de gravidade ou geométrico (CG) 
Momento de Inércia (I)
Raio de giração (i)
Módulo de resistência (W)
Centro geométrico de figuras planas
O centroide ou centro geométrico, ou centro de
gravidade de figuras planas é um ponto utilizado
em equações matemáticas e físicas, como se
todas as propriedades do corpo estivessem
concentradas nele. Admitindo-se que os
materiais são homogêneos e uniformes ao longo
de uma seção transversal, o centroide coincide
com o eixo do centro de gravidade do corpo.
É o ponto que reflete o equilíbrio de uma
superfície a um ponto, pois pode estar até fora
da figura representativa.
Centro geométrico de figuras planas
Centro geométrico de figuras planas
As coordenadas são as médias das coordenadas dos pontos de uma figura:
Exemplo : 
Na figura, localize o CG :
Centro geométrico de figuras planas
Exemplo
.
.
Centro geométrico de figuras planas
CG - Exercícios
1) Determine as coordenadas do centróide do perfil abaixo:
CG - Exercícios
1) Solução 
CG - Exercícios
2) Determine as coordenadas do centróide do perfil abaixo:
CG -Exercícios
2) Determine as coordenadas do centróide do perfil abaixo:
CG - Exercícios
2) Determine as coordenadas do centróide do perfil abaixo (outra resolução):
Ai X X . Ai Y Y . Ai
A 2000 50 100000 190 380000
B 3200 10 32000 100 320000
C 2000 50 100000 10 20000
Somatória 7200 232000 720000
A
B
C
232000
7200
32,22 
720000
= 100 
7200
3) Calcular a posição do CG da figura abaixo, em metros, dada as dimensões em cm.
CG - Exercícios
3) Calcular a posição do CG da figura abaixo, cujas dimensões estão em cm.
CG -Exercícios
Ai X X . Ai Y Y . Ai
A 0,085 0,575 0,048875 0,75 0,06375
B 0,06 0,30 0,018 0,40 0,02400
C 0,085 0,425 0,036125 0,05 0,00425
Somatória 0,23 0,103 0,092
0,103
0,23
0,448 m
0,092
= 0,4 m 
0,23
Momento de inercia de área
O momento de inércia de área, (chamado segundo
momento de área ou segundo momento de inércia),
é uma propriedade geométrica da seção transversal
de elementos estruturais.
Está relacionado com as tensões e deformações
que aparecem por flexão em um elemento estrutural
e, portanto, junto com as propriedades do material,
determina a rigidez de um elemento estrutural sob
flexão.
Definição matemática:
Integral do produto dos elementos de área de
uma figura plana pelo quadrado de suas
distâncias a um eixo, ou seja, dividimos a área
em questão em partes pequenas e fazemos um
somatório dessas áreas multiplicadas pelo
quadrado de suas distâncias ao eixo em questão
Sempre positivos! → Unidade I = [L4]
Momento de inercia de área
Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação.
Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada
do eixo de giro. Aumentar a altura da seção da viga, devido ao expoente cúbico, resulta num aumento
bem maior de momento de inércia se comparado com aumentar o lado. Dobrar uma tábua em relação
à sua espessura é fácil, mas não em relação à sua largura.
Momento de Inércia
Exemplo 1)
Dividindo a área anterior em duas: 
Momento de Inércia
Exemplo 2)
Momento de Inércia
eixo central de inércia
– Passa pelo centroide do corpo
O momento de inércia de área da seção
transversal de uma viga, em relação a um
eixo que passe pelo seu centro de gravidade,
mede a sua rigidez, ou seja a sua resistência
à flexão em relação a esse eixo.
Momento de inercia de área
Por exemplo, para uma seção retangular, de lados b e h com o eixo passando pelo seu centro, o 
momento de inercia em relação ao eixo x será;
𝐼𝑥 =
𝑏. ℎ3
12
Momento de inercia de área
Momento de inercia de área
Momento de inércia da secção transversal de algumas peça
𝐼 =
𝑏. ℎ3
12
𝐼 =
π. 𝑑4
64
𝐼 =
𝑒.ℎ3
6
+ 
𝑒.𝑏.ℎ2
2
𝐼 =
π (𝐷4 − 𝑑4)
64
𝐼 =
𝑒.ℎ3
12
+ 
𝑒.𝑏.ℎ2
2
Maior momento de inércia: maior resistência
– Máximo I, máxima resistência à flexão
Eixos de Maior e Menor Inércia
Translação de Eixos
Momento de Inércia
(conhecido)
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙+ 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
Momento de Inércia
Momento de inercia- exercícios
1) Determinar momento de inércia, relativo ao eixo baricêntrico x do perfil representado 
na figura.
Momento de inercia- exercícios
1) Resolução:
Momento de inercia- exercícios
2) Calcule o momento de inércia da figura a seguir:
2) Resolução:
Momento de inercia- exercícios
𝐼𝑥 =
𝑏. ℎ3
12
Momento de inercia- exercícios
2) Resolução:
24mm + 3 mm 
= 27 mm
Para encontrar o momento de inércia das áreas 2 e 3 precisamos fazer a translação 
dos eixos :
Momento de inercia- exercícios
2) Resolução:
Então: 
24mm + 3 mm 
= 27 mm
Para encontrar o momento de inércia das áreas 2 e 3 precisamos fazer a translação 
dos eixos :
3) Na figura abaixo, dadas as medidas em metros, calcular o momento de 
inércia Ix
Momento de Inércia - Exercícios
Momento de Inércia - Exercícios
3) Resolução:
Raio de giração
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a
área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado
para o estudo da flambagem.
Obs. Outras nomenclaturas:
Kx, ix
Ky. iy
Raio de giração - exercícios
1) Determine o raio de giração Rx das figuras apresentadas nos exercícios de momento de inércia
Raio de giração - exercícios
1) Resolução:
A = (40 x 40) – π.202/4
A = 1286 cm2
205479,3
1286
= 12,641 cm
39 cm4 
A = A1 +A2 +A3
A = 3,84 +2,88 +1,44 cm2
A = 8,16 cm2
39
8,16
= 2,186 cm
418666 m4 
A = A1 +A2 +A3
A = 9,0 + 8,0 + 9,0 m2
A = 26 m2
418666
26
= 126,896 m
Módulo Resistente
Define-se módulo resistente (ou módulo de resistência) de uma superfície
plana, em
relação aos eixos que contém o CG, como a razão entre o momento de inércia relativo ao
eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da
seção estudada.
Onde:
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão
𝑊𝑥 =
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝑚𝑎𝑥
𝑊𝑦 =
𝐼𝐶𝐺
𝑥𝑚𝑎𝑥
Módulo Resistente
Define-se módulo resistente (ou módulo de resistência) de uma superfície plana, em
relação aos eixos que contém o CG, como a razão entre o momento de inércia relativo ao
eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da
seção estudada.
Onde:
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão
𝑊𝑥 =
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝑚𝑎𝑥
𝑊𝑦 =
𝐼𝐶𝐺
𝑥𝑚𝑎𝑥
Momento de inércia da secção transversal de algumas peça
𝐼 =
𝑏. ℎ3
12
𝐼 =
π. 𝑑4
64
𝐼 =
𝑒.ℎ3
6
+ 
𝑒.𝑏.ℎ2
2
𝐼 =
π (𝐷4 − 𝑑4)
64
𝐼 =
𝑒.ℎ3
12
+ 
𝑒.𝑏.ℎ2
2
𝑊 =
𝑒.ℎ2
3
+ e.b.h𝑊 =
𝑏. ℎ2
6
𝑊 =
π. 𝑑3
32
𝑊 =
𝑒.ℎ2
6
+ e.b.h𝐼 =
π (𝐷3 − 𝑑3)
32
Seções simétricas à Linha neutra
A maior área da seção transversal não significa maior módulo de resistência à flexão (W)
A forma da seção deve ser analisada!!
Entre duas seções de mesmo módulo resistente (W), a mais econômica será a de menor 
área
Entre duas seções de mesma área a mais eficiente será a maior módulo resistente (W)
bhA
Ahbh
w


66
2
Seções retangulares de mesma área :
maior eficiência = maior h
Seções simétricas à Linha neutra
Então, para obtermos maior eficiência,
devemos dispor a maior massa do
material (área da seção) o mais
afastado possível da linha neutra
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) Você vai projetar uma viga de concreto e adota uma peça com seção retangular de h=0,20m e
b=0,40m. Alguém levanta a hipótese que uma peça com h=0,40m e b=0,20m é mais resistente a
flexão. Prove que esta hipótese é verdadeira ou não.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) Resolução:
I xG =0,4x0,2
3 /12
I xG = 0,00027m
4
WxG =0,4x0,2
2 /6 
WxG =0,00267m
3
rxG = 0,0014m
I xG =0,2x0,4
3 /12
I xG = 0,00107m
4
WxG =0,2x0,4
2 /6
WxG =0,00533m
3
rxG = 0,0028m
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2) Para o perfil abaixo, determinar o momento de inercia, e momento resistente relativos aos eixos
baricentricos, x e y . Medidas dadas em mm.
y
x
CG
50
10
40
10
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2) Resolução:
1
2
v
u
ug
vg
CG
1,61 cm
A partir dos eixos auxiliares v e u, calculamos a posição 
do CG: 
y 2,50 cm (figura simétrica ao eixo )vg =
ug =
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2) Resolução:
1
2
v
u
ug
vg
Momento de inercia Ix :
Ix Ix1 +Ix2
Ix
Ix
Ix
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2) Resolução:
1
2
v
u
ug
vg
Momento de inercia Iy :
Iy
Iy1 +Iy2
Iy
Iy
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2) Resolução:
1
2
v
u
ug
vg
Raios de giração:
Iy
Ixrx rx
ry ry
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2) Resolução:
1
2
v
u
ug
vg
Momentos resistentes:
Ix
Iy
ymax
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
3) Para o perfil abaixo, determinar o momento de inercia, e momento resistente relativos ao baricentro
- s eixos x e y . Medidas dadas em mm.
y
x
CG
40
10
50
10
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
y
x
40
10
50
10
v
u
2
3
1
2,0 cm (figura simétrica ao eixo )
y 3,50 cm (figura simétrica ao eixo )
A partir dos eixos auxiliares v e u, calculamos a posição 
do CG: 
3) Resolução:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
3) Resolução: Momento de inercia Ix :
Momento de inercia Iy :
Iy 2 Iy1 + Iy2
Iy
Iy Iy
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
3) Resolução:
Raios de giração :
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
3) Resolução:
Momentos resistentes :
Ix
Iy