Gabarito - Lista 4

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LISTA IV – MICROECONOMIA I – TEORIA DA FIRMA 
 
Monitor: Marcel Ferreira de Oliveira 
 
QUESTÃO 1 
Exercícios 9.6 e 9.8 de Nicholson e Snyder ed. 10. 
 
Respostas: 
9.6. 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Então: 
 
∴ 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
9.8. 
 Como essa função possui retornos constantes de escala, , 
 
Derivando tudo por t: 
 
 
 
 
 
 
 
Tome , então: 
 
Se , então 
 
 
 . Como 
 é negativo nessa região, nunca vale a pena produzir nesse caso. Note que 
 
 
 
 
 
, então 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto a firma nunca irá produzir quando é 
crescente. 
 
 
QUESTÃO 2 
 Exercícios 10.2, 10.5, 10.7 e 10.8 de Nicholson e Snyder ed. 10. 
 
Respostas: 
10.2. 
a. Por definição, os custos são menores quando e são produzidos pela mesma firma do 
que se cada uma fosse produzida por firmas diferentes; 
b. Seja , onde . Como, por hipótese, é decrescente em q, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo análogo, 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
Mas 
 
 
 
 
 
 , logo, 
 
 
10.5. 
a. Dados os valores do enunciado: 
 
 
 
 
 
, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
Para cada um dos valores: 
 
SC 106.25 125 200 500 
SAC 4.25 2.5 2 2.5 
SMC 1/2 1 2 4 
 
c. 
 
d. Se o custo marginal de produzir uma unidade a mais é menor do que o custo médio, então a 
introdução dessa unidade diminuirá o custo médio (i.e., a curva de custo médio deve ser 
decrescente na região em que o custo marginal é maior do que o custo médio). De modo 
análogo, se o custo marginal de produzir uma unidade a mais for maior do que o custo médio, 
então o custo médio deve estar crescendo. Portanto, a curva de curto marginal de curto prazo 
cruza a curva de custo médio de curto prazo no seu ponto de mínimo; 
e. 
 
 
; 
f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; 
g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
h. Se e , então . Logo: 
 
 
 
 e para ; 
 
 
 
 e para ; 
 
 
 
 e para . 
 
10.7. 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Substituindo essa relação na demanda por trabalho: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a função de produção que gera essas demandas é uma Cobb-Douglas. 
 
10.8. 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
, logo 
 
 
 
 
 
 . Portanto, 
 
c. Note que a função de produção CES é dada por , portanto, a função acima é 
uma CES com e . Também note que a função custo da CES é dada por: 
 . Substituindo os valores e , 
temos . 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 
 Exercícios 11.1, 11.2, 11.5 e 11.6 de Nicholson e Snyder ed. 10. 
 
Respostas: 
11.1. 
a. ; 
b. , logo ; 
c. 
 
 
11.2. 
Lucro com imposto lump-sum (T): . 
CPO: . Logo não há alteração. 
Lucro com imposto proporcional (τ): . 
CPO: . Logo não há alteração. 
Lucro por unidade (τ): . 
CPO: . Nesse caso o muda, então um 
imposto por unidade afeta a escolha ótima de produto. 
Lucro por unidade de trabalho (τ): 
CPO: . Novamente, nesse 
caso o é afetado pelo imposto. 
 
11.5. 
a. Queremos encontrar: sujeito à . Note que a quantidade de 
trabalho é unicamente determinada pela restrição, então 
 
 
. Portanto, ; 
b. Queremos encontrar: 
 
 
 
 
 
 
. Substituindo 
na função objetivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
c. Do item anterior, ; 
d. Substituindo o resultado do item anterior na demanda por trabalho do item (a): 
 
 
 
 
 
; 
e. Note que quando aumenta o salário, a demanda por trabalho diminui e, por conseguinte, a 
oferta de calculadoras também. Por sua vez, quando aumenta o preço, a demanda por trabalho 
também aumenta, dado que a expansão na oferta implica em maior produção e maior 
demanda por insumos para realizar essa produção. As funções do item (c) e (d) refletem esses 
comportamentos. 
 
11.6. 
a. Seja o preço no estado bom e o preço no estado ruim. Então o lucro esperado é dado 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, no ótimo, devemos ter . Como e , temos 
 ; 
b. No estado bom, , logo 
 
 
 ; 
No estado ruim, , logo 
 
 
 
 ; 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
c. Sim. Tome , por exemplo. Nesse caso , então: 
 
 
 
 
 
 
 
Isso acontece porque, no exercício anterior, maximizamos a riqueza esperada. Como o 
indivíduo não é neutro ao risco, maximizar a riqueza esperada é diferente de maximizar a 
utilidade esperada. O indivíduo preferiria maximizar sua utilidade esperada: 
 
 
 
 
 
 
 
Então o produtor poderia obter níveis maiores de utilidade maximizando a expressão acima
1
. 
d. Se ele pudesse prever o preço, bastaria igualar no estado bom e no 
estado ruim. Então: 
No estado bom: 
No estado ruim: 
Portanto, e , logo: 
 
 
 
 
 
Seu ganho de utilidade seria substancial. 
 
 
1
 Não é necessário resolver esse problema de maximização. O exercício apenas pergunta se é possível aumentar a 
utilidade do indivíduo e explicar o motivo. Em todo caso, a CPO é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que e . Então: 
 
 
Suponha que , então: 
 
 
 
 
Essa seria a quantidade que realmente maximiza a utilidade esperada. 
QUESTÃO 4 
 Suponha uma firma que tem a função de produção 
 
a. Encontre as funções de custo total, custo médio e custo marginal (Dica: lembre-se que a 
função custo é uma função que depende apenas de , logo estes parâmetros devem 
aparecer explícitos em sua resposta (i.e., ); 
b. A firma contrata os fatores num mercado competitivo, de modo que o salário pago a cada 
trabalhador é e o aluguel é . Encontre a solução para o problema da firma, isto é, 
 que minimiza o seu custo para um nível de produção ; 
 
Resposta: 
a. O problema desta firma é encontrar a combinação de e que minimiza o seu custo 
necessário para produzir uma quantidade . Então,o problema de minimização de custos é 
dado por: 
 
 
 
 
Montando a Lagrangeana: 
 
CPO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na função de produção, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a função de custo total será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos simplificar essa expressão: 
 
 
 
 
 
Onde . Então: 
Custo total: 
 
 
 
 
Custo médio: 
 
 
 
 
 
 
 
Custo marginal: 
 
 
 
 
 
 
 
b. Aos preços dados e utilizando as funções de demanda condicionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 5 
 Considere a função de produção: 
 
Tal que e . Responda: 
a. Mostre que e ; 
b. Por que é uma propriedade desejável para as funções de produção que usamos 
para modelar o problema da firma? 
c. Quais restrições são necessárias impor sobre α e β para que a função de produção apresente 
retornos constantes, crescentes ou decrescentes de escala? 
d. Mostre que e , onde é a elasticidade da função de produção em relação 
ao fator x; 
e. Desenhe um mapa de isoquantas para esta função de produção. 
 
Resposta: 
a. Calculando as derivadas: 
 
 
 
 
 
 
 , assumindo ; 
 
 
 
 
 
 
 , assumindo ; 
 
 , assumindo e ; 
 
 , assumindo e ; 
 
 , assumindo e . 
b. Se algum dos fatores não apresentar retornos decrescentes, a firma (competitiva) sempre terá 
incentivos a usar quantidades cada vez maiores desses fatores, portanto o problema de 
maximização não terá solução (não há ponto de máximo, ela sempre pode produzir mais). 
c. Note que: 
 
Portanto: 
 Se , então há retornos crescentes de escala; 
 Se , então há retornos constantes de escala; 
 Se , então há retornos decrescentes de escala. 
d. As elasticidades da função de produção com relação aos insumos k e l são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. 
 
 
QUESTÃO 6 
 Para cada uma das funções abaixo, verifique se há retornos decrescentes, constantes ou 
crescentes de escala: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
 
Resposta: 
 Para os itens a seguir, suponha . 
a. , logo há retornos constantes de 
escala; 
b. 
 
 , logo há 
retornos decrescentes de escala; 
c. , logo há retornos crescentes 
de escala; 
d. , logo há retornos constantes de escala; 
e. , logo há retornos decrescentes de escala; 
f. . 
Então: 
 Se , há retornos crescentes de escala; 
 Se , há retornos constantes de escala; 
 Se , há retornos decrescentes de escala; 
g. . Somando e subtraindo de ambos os lados, 
temos . Então: 
 Se , há retornos crescentes de escala; 
 Se , há retornos constantes de escala; 
 Se , há retornos decrescentes de escala; 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 7 
 Se uma firma tem função de custo de curto prazo dada por: 
 
Tal que , e . 
a. Se o enunciado não dissesse que a função de custo é de curto prazo, como você saberia, 
apenas olhando para a função, de que se trata da função custo de curto prazo, e não de longo 
prazo? 
b. Encontre as funções que representam o Custo Médio de Curto Prazo (CMeCP), Custo Variável 
Médio (CVMe) e Custo Marginal de curto Prazo (CMg
CP
); 
c. Calcule a função de oferta de curto prazo; 
 
Resposta: 
a. Como o componente fixo dessa função custo é não-nulo (i.e., ), isso significa que há 
insumos cuja quantidade é invariável, caracterizando uma função custo de curto prazo; 
b. Custo médio: 
 
 
 
 
 
 ; 
Custo variável médio: 
 
 
 ; 
Custo marginal: 
 
 
 
c. Assumindo que a firma é tomadora de preços, a condição de ótimo é: 
 
Onde é o preço e . Então: 
 
Ou, 
 
Solucionando a equação de segundo grau: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que há duas soluções, porém em uma delas 
 
 
 e em outra 
 
 
 . Pela Lei da 
Oferta, nossa solução é aquela em que 
 
 
 . Ou seja, 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 8 
 Considere uma firma com a seguinte função de lucro: 
 
 
 
 
Tal que é o preço do capital, é o preço do trabalho e é o preço do bem produzido pela firma. 
Responda: 
a. Encontre as funções de demanda por fatores e a função de oferta desta firma; 
b. Calcule as quantidades ótimas do bem final, trabalho, capital e lucro da firma quando 
 . 
 
Resposta: 
a. Pelo Lema de Hotelling: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Utilizando as funções do item anterior: e . 
 
QUESTÃO 9 
 Considere uma firma com a seguinte função de custo: 
 
Onde w é o preço do trabalho (L), v é o preço do capital (K) e é a quantidade produzida. Responda: 
a. Encontre as funções de demanda contingente dos dois insumos; 
b. Qual função de produção poderia ter gerado essa função de custo? 
c. Explique o motivo de essa função produção prover uma explicação razoável para o 
comportamento da firma apenas quando . 
d. Assuma que e que o consumidor é tomador de preço, e encontre a função de oferta, 
a função lucro e as demandas não-condicionais por K e L. 
 
Resposta: 
a. Pelo lema de Shephard: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Note que, pelas relações acima, . Como, no ótimo, a firma não empregaria 
insumos desnecessariamente, uma função que satisfaz essas condições é 
 ; 
c. implica em rendimentos decrescentes, que é uma hipótese necessária para que a 
condição de segunda ordem da função lucro seja satisfeita e consigamos resolver o problema 
de maximização da firma competitiva. 
 Para ver isso, note que, dadas as relações acima, podemos escrever a função lucro da 
firma competitiva como: 
 
 Se , então não há máximo e o lucro tende ao infinito quando a produção tende 
ao infinito. Não há solução para o problema de maximização; 
 Se , então essa função é linear e a CPO implica . Nesse caso, não 
conseguimos determinar um único K ótimo, apenas o preço que torna o lucro zero com 
produção positiva (se , então o lucro e a produção tendem ao infinito; se 
 , o lucro é sempre menor ou igual a zero e a produção ótima é zero; e se , o lucro 
é zero e qualquer quantidade produzida é ótima); 
 Se , então a CPO implica e podemos determinar os níveis 
ótimos de K e L em função dos preços de maneira única; 
d. No ótimo , então podemos resolver: 
 
 
 
CPO: 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
∴ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que podemos simplificar a função lucro para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 10 
 Considere uma empresaque produz um único bem, cuja tecnologia de produção pode ser 
representada por , onde q, k e l representam as quantidades produzidas do bem, 
do insumo capital e do insumo trabalho, respectivamente. Considerando-se que os preços desses dois 
insumos são dados por v e w, determine: 
a. A função de custo de longo prazo dessa empresa; 
b. As funções demandas condicionadas dos dois insumos; 
c. Supondo que e , qual é a quantidade ótima de capital para se produzir 10 
unidades de produto? 
d. Mantendo fixa a quantidade ótima de capital do item anterior, determine a função de custo de 
curto prazo dessa empresa; 
e. Calcule o custo de se produzir 15 unidades de produto, tanto em termos do longo prazo como 
do curto prazo (ou seja, através das funções de custo dos itens a e d). Mostre que o custo de 
curto prazo é maior do que o custo de longo prazo e explique o motivo para a diferença de 
custos. 
 
Resposta: 
a. Para encontrar a função de custo de longo prazo, devemos primeiro resolver o problema de 
minimização de custos; 
 
 
 
 
A condição de ótimo esse problema é dado por: 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo esses resultados na função objetivo, temos a função custo de longo prazo: 
 
b. 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
; 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
; 
d. Queremos resolver: 
 . Note que é possível isolar l em função 
de q e , então: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , 
 
 
 
 
Note que, aos preços e , 
 
 
 
 
Essa desigualdade vale para qualquer valor de q diferente de 10. Isso significa que a curva de 
curto prazo tangencia a curva de longo prazo em , e para qualquer diferente disso 
temos que a curva de curto prazo será maior do que a de longo prazo. Intuitivamente, isso 
significa que, no curto prazo, por não ser possível alterar a quantidade de capital empregada, 
a firma não consegue alocar este insumo de maneira eficiente, acarretando em uma elevação 
de custos fora do ponto .