Conservação da energia mecânica e impulso

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DEFINIÇÃO
Definição e aplicação cotidiana do teorema trabalho-energia.
PROPÓSITO
Apresentar o teorema trabalho-energia e exemplificar suas principais aplicações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
 
(Fonte: supanut piyakanont / Shutterstock)
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MÓDULO 1
Identificar a energia mecânica e suas componentes
 
(Fonte: LighteniR / Shutterstock)
MÓDULO 2
Empregar o princípio da conservação da energia mecânica nos sistemas ideais
 
(Fonte: Titov Nikolai / Shutterstock)
MÓDULO 3
Aplicar o teorema do trabalho-energia
 
(Fonte: supanut piyakanont e Den Zorin / Shutterstock)
 Identificar a energia mecânica e suas componentes
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DEFINIÇÃO DE ENERGIA
Apesar de sabermos observar, qualificar, quantificar e utilizar a energia a nosso favor, não sabemos defini-la. Isso significa que energia
não possui uma definição exata, porém a mais utilizada é a de que energia é a capacidade que um corpo possui de realizar
trabalho, ou seja, de entrar em movimento.
A energia se manifesta na natureza de formas distintas, como movimento de corpos, calor, eletricidade, luz etc.
Na Mecânica, a energia se manifesta em forma de movimento de corpos, e tanto ganhar velocidade como perder velocidade demonstra
a ação de energia.
 IMPORTANTE
De acordo com o Princípio de Lavoisier, a energia não pode ser criada nem destruída, apenas transformada de um tipo de energia em
outro.
ANTOINE-LAURENT DE LAVOISIER (1743 —1794)
Nobre e químico francês fundamental para a revolução química no século XVIII. Também conhecido como o Pai da Química
moderna.
Um exemplo de transformação de energia mecânica ocorre em uma hidrelétrica, na qual a energia mecânica de uma queda-d’água gira
pás de uma turbina acoplada a um dínamo, gerando, assim, energia elétrica, esta mesma que é transmitida para a sua casa, permitindo
que você acenda lâmpadas e ligue eletrodomésticos.
TURBINA
Máquina geradora de energia mecânica rotatória a partir da energia cinética de um fluido em movimento.
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DÍNAMO
Aparelho que gera corrente contínua (CC), convertendo energia mecânica em elétrica.
USINA HIDRELÉTRICA
Utiliza a energia potencial da água represada para criar uma queda-d’água, transformando a energia potencial em energia cinética. Essa
energia cinética, por sua vez, movimenta turbinas gerando energia mecânica. A energia mecânica gerada é transformada em energia
elétrica com o uso de dínamos (geradores que transformam energia mecânica em elétrica).
 
(Fonte: aurielaki e VectorMine / Shutterstock)
A transformação de energia também pode ocorrer através de fontes de energias renováveis e não renováveis.
Uma fonte de energia renovável é dita inesgotável, pois possui capacidade de reposição, como é o caso da energia hidrelétrica e
também das energias eólica e solar.

 
Já uma fonte de energia não renovável é o tipo de fonte cuja matéria-prima para gerar a energia se esgota ‒ é o caso do petróleo.
 SAIBA MAIS
Veja exemplos de energia renovável e como ocorre a transformação de energia nesses casos.
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(Fonte: Keron art / Shutterstock)
ENERGIA SOLAR 
Energia alternativa, renovável e sustentável que utiliza como fonte a luz e o calor do Sol, que são aproveitados e utilizados por
diferentes tecnologias, como pelo aquecimento solar, a energia solar fotovoltaica e a energia heliotérmica.
 
(Fonte: Keron art / Shutterstock)
ENERGIA EÓLICA 
Transformação da energia do vento em energia útil, tal como na utilização de aerogeradores para produzir eletricidade, moinhos de
vento para produzir energia mecânica ou velas para impulsionar veleiros.
A unidade no sistema internacional de energia é o Joule (J).
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VAMOS VERIFICAR AS PRINCIPAIS FORMAS DE ENERGIA
MECÂNICA?
ENERGIA CINÉTICA
Ao querer movimentar um objeto que está parado, queremos acelerá-lo, e para acelerá-lo, temos que dar uma força a ele. Ao conseguir
arrastá-lo, fazemos esta força realizar trabalho. Se há um trabalho sendo realizado, há a transferência de energia a este objeto, e esta
energia pode ser quantificada, medindo-se a velocidade que o objeto desenvolve e a massa que ele possui.
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(Fonte: Artram / Shutterstock)
Todo corpo com velocidade diferente de zero possui energia cinética, e tal energia cinética pode ser quantificada como:
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APESAR DE NÃO ENXERGARMOS A ENERGIA NEM PODERMOS
TOCÁ-LA, ELA EXISTE E ESTÁ PRESENTE NO NOSSO DIA A DIA.
NÓS A OBSERVAMOS SEM NOS DARMOS CONTA.
Um carro em movimento, por exemplo, está desenvolvendo energia cinética, e tal energia está relacionada tanto à sua massa quanto à
sua velocidade, como mostra a equação anterior .
 
(Fonte: DRogatnev / Shutterstock)
 EXEMPLO
Vejamos uma pequena bola de algodão sendo carregada pelo vento. Uma vez que ela possui velocidade, possui energia cinética.
Considere que esta bola de algodão possui uma massa de 1mg, e se desloca na horizontal, da esquerda para a direita, de acordo com
uma velocidade de 4m/s. Podemos, então, determinar sua energia cinética através da equação 1, levando em conta os dados referentes
à bolinha de algodão. Convertendo a massa de mg para kg, temos: 1mg = 10-6kg.
Então, como a velocidade é constante, a qualquer instante a energia cinética:
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VAMOS APLICAR NOSSO CONHECIMENTO:
TEORIA NA PRÁTICA
1. Uma partícula se move de acordo com a função horária: S(t) = 0,8t² − 5t + 8. Se esta partícula possui massa de 1mg, qual seria a
energia cinética no instante de retorno da partícula?
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RESPOSTA
Independentemente de qualquer dado, a única informação importante no enunciado é o termo ponto de retorno. No instante do ponto
de retorno, a partícula para e muda o sentido do seu vetor velocidade. Assim, se a partícula parou, a sua velocidade foi a zero, logo, a
sua energia cinética é zero também:
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Outra observação da manifestação da energia cinética no cotidiano está no ato de pedalar uma bicicleta.
COMO FUNCIONA?
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Você senta na bicicleta e aplica força aos pedais, que transferem a força, por auxílio da corrente, para o eixo traseiro, que começa a
girar e, por sua vez, promove o deslocamento da bicicleta para a frente. Porém, como é somente a bicicleta que se move para a frente,
devemos considerar a sua velocidade. A massa a ser considerada para quantificação da sua energia cinética é a massa total que está
sendo movimentada com a bicicleta, ou seja, a massa da bicicleta somada à massa do ciclista.
2. Vamos considerar, então, que um ciclista de massa 70kg se desloca em uma bicicleta de 13kg, a uma velocidade de 25km/h, em linha
reta e com velocidade constante.
 
(Fonte: Studio_G / Shutterstock)
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RESPOSTA
Neste caso, a sua energia cinética pode ser facilmente determinada pela equação , todavia, não podemos esquecer de
considerar a massa total que está sendo deslocada pela bicicleta. Antes de realizar o cálculo, devemos nos lembrar de que as unidades
devem estar no S.I., assim, primeiro, devemos fazer a conversão da velocidade de km/h para m/s, dividindo os 25km/h pelo fator 3,6,
obtendo, com isto, uma velocidade de 6,94m/s. Agora que temos todos os dados nas unidades necessárias, podemos utilizar a
equação:
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Este resultado demonstra que, para poder deslocar a bicicleta a uma velocidade de 25km/h, o ciclista deve transferir para a
bicicleta uma energia de 1.999J.
SE OBSERVARMOS O CÁLCULO FEITO ANTERIORMENTE, PODEMOS
PERCEBER QUE SE A MASSA TOTAL A SER DESLOCADA FOSSE/
MENOR, PARA PODER MANTER A BICICLETA A 25 KM/H, A ENERGIA
NECESSÁRIA SERIA MENOR. VAMOS CONSTATAR?
3. Considere agora que o ciclista em cima da bicicleta possui 45kg, porém os dados da bicicleta continuam os mesmos, inclusive a
velocidade a ser desenvolvida. Vamos verificar a nova energia cinética?
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RESPOSTA
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Viram? Com a queda da massa do sistema ciclista-bicicleta, houve diminuição da energia cinética, o que significa que a força
necessária para deslocar este sistema a 25km/h é menor. Desta forma, a energia que o ciclista precisa transferir para a
bicicleta é menor.
SE NÓS DIMINUIRMOS A VELOCIDADE, VEREMOS QUE A ENERGIA
NECESSÁRIA PARA CONSEGUIR REALIZAR O DESLOCAMENTO É
AINDA MENOR, POIS A ENERGIA CINÉTICA É PROPORCIONAL AO
QUADRADO DA VELOCIDADE DESENVOLVIDA.
4. Neste caso, vamos considerar novamente o ciclista de 70kg e a bicicleta de 13kg, porém, agora, vamos levar em conta que a
velocidade de deslocamento é de 16km/h, que, dividido por 3,6, é igual a 4,44m/s:
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RESPOSTA
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Note que mantendo o primeiro ciclista e diminuindo a velocidade de 25km/h para 16km/h, temos uma redução da energia cinética
superior à metade do primeiro caso, em que o resultado foi de 1999J. Isto demonstra que para manter uma velocidade mais baixa, a
energia necessária para poder movimentar o sistema ciclista-bicicleta é bem menor.
Agora que conhecemos a teoria da energia cinética, podemos compreender alguns fenômenos que estão ao nosso redor, como o do
gasto de combustível de um automóvel e, assim, podemos compreender porque existem formas distintas do automóvel consumir
combustível, gastando mais em algumas ocasiões e menos em outras.
Tente resolver as questões a seguir e confira no botão de resposta seus resultados.
5. Vamos considerar um carro de passeio que contenha 5 lugares, sendo o do motorista e mais 4. Digamos que o motor deste carro
gere 300.000J por litro de gasolina consumido, e que este carro esteja se locomovendo a 36km/h, somente com o motorista em seu
interior, e que o carro possua 650kg e o motorista 80kg. Quanto de energia é necessário para poder manter o carro a esta velocidade?
 
(Fonte: Igogosha / Shutterstock)
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RESPOSTA
Determinando a energia cinética, temos:
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Note que no lugar da velocidade foi posto o valor 10m/s, que é o correspondente em metros por segundo de 36km/h ‒ conseguimos
esta conversão dividindo a velocidade em km/h por 3,6. O resultado demonstra que, para manter este veículo a uma velocidade de
36km/h, gasta-se uma quantidade de combustível igual a:
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Ou seja, é necessário consumir 0,12 litros de combustível para gerar uma energia de 36.500J e manter a velocidade deste veículo com
uma pessoa em seu interior contendo 80kg.
6. Agora, vamos aumentar o peso no interior do veículo, colocando mais 4 pessoas, sendo duas crianças, cada uma com 28kg, e mais
dois adultos, um com 55kg e outro com 70kg. Como será agora o comportamento da energia necessária para movimentar o carro a
36km/h e, por sua vez, o consumo do combustível?
 
(Fonte: Igogosha / Shutterstock)
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RESPOSTA
Em primeiro lugar, precisamos determinar a quantidade de energia necessária para poder manter o novo sistema à velocidade de
36km/h, e isso verificaremos determinando a energia cinética deste novo sistema:
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Sendo assim, para determinar o gasto de combustível, temos:
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Perceba que o consumo do combustível aumenta em relação ao caso anterior, no qual existia somente uma pessoa no interior do
veículo.
7. Agora, vamos verificar ambos os casos, deste carro contendo somente o motorista e, posteriormente, contendo mais pessoas e peso
no porta-malas, considerando um aumento de velocidade. Vamos imaginar que a velocidade agora seja de 50km/h.
 
(Fonte: Igogosha / Shutterstock)

 
(Fonte: Igogosha / Shutterstock)
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RESPOSTA
Então, no primeiro caso, temos o motorista de 80kg, o carro com 650kg, e a velocidade de 50 km/h que equivale a uma velocidade de
13,89m/s (para converter, basta dividir por 3,6). Desta maneira, a energia cinética expressa pelo carro é de:
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Assim, o consumo de combustível equivale a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar o caso em que o carro está completamente cheio, com o motorista de 80kg, duas crianças de 28kg, um adulto de
55kg e outro de 70kg. Como será o consumo de combustível agora, com a velocidade em 50km/h?
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Assim, o consumo de combustível equivale a:
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 ATENÇÃO
Podemos notar, a partir dos exemplos discutidos, que tanto o aumento de peso como o de velocidade ocasionaram um aumento no
consumo de combustível. Todavia, verificamos que o aumento da velocidade consome mais combustível do que o aumento de peso, isto
porque a energia cinética é diretamente proporcional à massa e diretamente proporcional ao quadrado da velocidade.
ENERGIA POTENCIAL
A energia potencial é uma forma de energia que um sistema possui e está diretamente relacionada à posição do corpo em relação a um
referencial inercial.
SUA UNIDADE NO S.I. É O JOULE (J).
Energia potencial é a energia acumulada por um corpo. Através dessa energia, um corpo desenvolve uma capacidade de movimento.
Quanto maior a energia potencial, maior é a probabilidade de um corpo entrar em movimento e, por sua vez, maior será a velocidade
que o corpo desenvolverá quando este entrar em movimento.
Existem diversos tipos de energia potencial, porém, na Mecânica, existem alguns destaques. Vamos acompanhar?
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(Fonte: Autor)
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Esta energia está associada ao estado de separação entre o corpo que está sendo observado e o seu ponto de referência. Tal energia
aparece quando o corpo observado possui alguma altitude em relação a um ponto de referência.
Exemplificando, imagine uma montanha que tenha 700m de altura. Em relação ao nível do mar, o pico da montanha tem uma energia
potencial gravitacional referente aos 700m.
Matematicamente, a energia potencial gravitacional é expressa da seguinte maneira:
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Na qual m é a massa do corpo observado, g a aceleração gravitacional e h a altura em que o corpo se encontra em relação ao seu
ponto de referencial.
O corpo tem uma Energia potencial gravitacional referente a 700m
 
(Fonte: Sentavio / Shutterstock)
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Na qual:
m é a massa do corpo observado;
g é a aceleração gravitacional;
h é a altura a qual o corpo se encontra em relação ao seu ponto de referencial.
 VOCÊ SABIA?
Uma utilização clássica da energia potencial gravitacional é o pulo de bungee jump. Vamos entender como funciona este salto. Uma
pessoa se amarra a uma corda elástica e se posiciona em um local bem alto em relação ao nível do mar (em geral, tais saltos são feitos
em pontes sobre rios ou mares). Daí, então, esta pessoa se deixa cair em uma queda livre, sob total ação da aceleração gravitacional.
Como a pessoa está sendo acelerada, ela passa a apresentar movimento, ou seja, a desenvolver velocidade,mas isso só acontece
devido à energia potencial acumulada.
 
(Fonte: Lemberg Vector studio / Shutterstock)
Podemos concluir que quanto mais alto uma pessoa ou algum objeto estiver, maior será a energia potencial a ele aplicada. Um dos
exemplos mais eficazes da utilização desta energia é a criação de energia elétrica através de hidrelétricas. Para entendermos o seu
funcionamento, vamos observar a figura abaixo:
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(Fonte: snapgalleria / Shutterstock)
 Esquema simplificado de uma usina hidrelétrica (hydropower plant).
VOCÊ SABE COMO A ENERGIA É GERADA NA USINA
HIDRELÉTRICA?
 
Para se utilizar uma usina hidrelétrica a fim de gerar energia, é necessário fazer uma represa, como aparece mais à esquerda. Ao se
abrir as comportas da represa, a água entra pelos dutos e atinge as pás da turbina geradora de energia mecânica. Essa turbina está
acoplada a um dínamo que transforma energia mecânica em energia elétrica, que então é transmitida para a sua casa através das
linhas de transmissão, que são sustentadas pelas torres de transmissão.
Tudo bem, mas o que faz a água entrar no duto e girar as pás da turbina? A energia potencial gravitacional das moléculas d’água. Note
que a comporta da usina fica abaixo da superfície da represa. Pode parecer pouca coisa na figura, mas essas profundidades passam de
10m, e uma represa contém mais de 1 milhão de toneladas de água armazenada. Desta forma, a energia potencial da água na represa
é absurdamente grande. É por isto que quando não há chuva, os níveis das represas baixam, e por causa disso, a energia potencial da
represa também diminui, o que, por sua vez, diminui a conversão da energia potencial em energia elétrica.
Não é correto afirmar que a usina hidrelétrica cria energia elétrica. O correto é dizer que a usina hidrelétrica converte energia potencial
gravitacional em energia elétrica.
 EXEMPLO
Vamos verificar outro exemplo prático, normalmente observado nas olimpíadas. Certamente, você já ouviu falar em salto ornamental.
Essa modalidade de salto ocorre quando um atleta pula de certa altura fazendo manobras e, por fim, mergulha, e os juízes analisam
tanto as manobras feitas durante a queda quanto a entrada na água. Porém, o que ninguém percebe é a habilidade do atleta, tanto de
entrar na água quanto de evitar o choque com o fundo da piscina, uma vez que essa modalidade inclui três alturas de salto, a da
plataforma de 1m, a de 3m e a de 10m.
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Neste salto, a energia potencial do atleta é convertida em energia cinética, e quanto maior for a altura que ele saltar, maior será a
velocidade que ele atingirá no instante em que entrar na água e, por sua vez, maior será a profundidade atingida pelo atleta na piscina.
SERÁ QUE VOCÊ ENTENDEU? VEJAMOS A TEORIA NA PRÁTICA:
TEORIA NA PRÁTICA
1. Considere uma ponte sobre um rio a uma altura de 30m. Um menino de 28kg decide parar no meio desta ponte para observar o rio.
Se a aceleração gravitacional local é de 10m/s², qual a energia potencial do menino em relação à superfície da água do rio?
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RESPOSTA
O menino está sobre a ponte, que está a 30m de altura da superfície da água, assim, sua energia potencial é:
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Viu? A aplicação dessa teoria não é tão complicada.
2. Observe a figura:
 
(Fonte: Pedro Vila / Shutterstock)
 Representação de uma estrutura de trampolins.
Vemos uma plataforma de trampolins de salto ornamental em piscina. As alturas dos trampolins em relação à superfície da água estão
apresentadas no desenho. Em cada trampolim existe um atleta, cada um com 50kg. Vamos verificar as corretas energias potenciais de
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cada atleta na seguinte ordem: atleta de 5m – atleta de 12m – atleta de 18m, e também a energia potencial do atleta que está mais alto
em relação ao que está mais baixo: (considere g = 10m/s²).
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RESPOSTA
Primeiro, temos que calcular as energias potenciais dos atletas nas três diferentes alturas. Vamos do maior para o menor:
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Do atleta mais alto para o atleta mais baixo há uma distância de 13m, assim, a energia potencial é:
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ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
A energia potencial elástica é a energia armazenada por um corpo que possui propriedade elástica. Por exemplo, uma mola quando é
perturbada do seu ponto de equilíbrio (estendido ou contraído).
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(Fonte: Designua / Shutterstock)
A energia potencial elástica é determinada matematicamente como:
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Onde K é a constante da mola e é a deformação da mola em metros.
 EXEMPLO
Lembra do exemplo do bungee jump? Então, voltemos a ele. Para saltar de bungee jump, uma pessoa precisa se amarrar a uma corda
elástica. Esta corda elástica, quando completamente esticada, acumula energia potencial elástica. Tudo bem, mas de onde veio esta
energia? Ela vem da energia potencial gravitacional que existia no momento do salto. Tal energia foi convertida em energia potencial
elástica, que após esticar inteira e parar a pessoa, a joga novamente para cima, fazendo-a ganhar velocidade novamente, chegando até
uma altitude máxima em que ela terá somente energia potencial gravitacional e voltará a cair, continuando neste ciclo até que toda a
energia se dissipe e o movimento finalmente pare.
TEORIA NA PRÁTICA
1. Considere uma mola de constante igual a 700N/m, pendurada na vertical, com tamanho natural de 20cm. Na outra ponta desta mola,
é pendurada uma massa de 50kg. Se do anteparo em que a mola é fixada até sua base existe uma distância de 1m, determine
(considere g = 10m/s²):
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(Fonte: Fouad A. Saad / Shutterstock)
a) A energia potencial da mola.
b) A energia potencial gravitacional do peso.
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RESPOSTA A
RESPOSTA B
A energia potencial da mola se dá através da deformação da mola. Todavia, não sabemos qual é esta deformação. Assim,
primeiramente, devemos encontrá-la:
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A força atuante na mola é a força peso aplicada pela massa de 50kg, assim:
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Assim:
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Então, a energia potencial é:
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A distância do chão ao peso pendurado na mola é de:
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Assim, a energia potencial gravitacional é:
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ENERGIA MECÂNICA
A energia mecânica atuante em um corpo é obtida através da somatória da energia cinética com a energia potencial que existe neste
corpo.
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A energia mecânica é uma grandeza escalar. Isto é, tanto a energia cinética quanto a energia potencial também são grandezas
escalares. Isto ocorre porque não se consegue definir uma direção nem um sentido da energia.
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Em sistemas conservativos, a energia mecânica sempre se conserva. Isto quer dizer que toda a energia cinética de um corpo se
transforma em potencial e vice-versa. Sem haver perdas, por emissões de som, calor, colisões etc.
Vamos aos exemplos:
TEORIA NA PRÁTICA
1. Considere uma pedra em queda livre. Esta pedra foi abandonada de uma altura de 50m em relação ao solo. Desconsiderando a
resistência do ar, qual é a velocidade da pedra ao atingir o solo? (Considere g = 10m/s²).
 
(Fonte: Autor)
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RESPOSTA
A figura resume o enunciado. Na posição 1, o corpo possui energia potencial e está parado, pois em queda livre o corpo partedo
repouso, logo, a energia mecânica neste ponto é:
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Já no ponto 2, a pedra atingiu o solo, o que significa que a sua altura em relação ao solo é zero, assim:
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Como não existem elementos dissipadores de energia, a energia mecânica se conserva desta forma:
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 ATENÇÃO
Perceba que, no exemplo anterior, houve completamente a transformação de energia potencial em energia cinética. Na verdade, o que
ocorre é que a energia potencial vai se transformando em cinética gradativamente, até se tornar completamente em cinética, porém, em
qualquer ponto em que nós avaliássemos a energia mecânica, ela seria exatamente a mesma.
E ENTÃO, VOCÊ CONHECE ALGUM EQUIPAMENTO OU FERRAMENTA
QUE UTILIZA O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
MECÂNICA PARA FUNCIONAR?
Um exemplo prático e muito bem conhecido de um equipamento que funciona com o princípio da conservação de energia é a
montanha-russa. Vamos descrever como a montanha-russa funciona:
Até chegar a um ponto mais baixo,
onde a velocidade é máxima
e começa a subir novamente,
perdendo energia cinética e 
aumentando de novo
a sua energia potencial.44
Daí a composição começa
a descer e a ganhar velocidade,
diminuindo a sua energia potencial e
aumentando a sua energia cinética.
33
Neste pon to, o motor para de atuar
e, então, a composição é solta,
deixando-a à mercê da força
gravitacional. Neste ponto alto,
a energia potencial da
composição é bem grande.
22
Primei ro, existe um motor
mecânico que leva a composição
até um ponto bem alto.
11
Isto ocorre sucessivamente até que a volta seja completada.
 Fonte: Jemastock / Shutterstock
TEOREMA TRABALHO-ENERGIA
/
Até agora, temos falado de energia e definido que a energia é a capacidade de um corpo realizar trabalho.
MAS O QUE É TRABALHO?
Trabalho (W) é a energia transferida para um objetivo ou de um objeto por meio de uma força. O que realiza trabalho é sempre uma
força. Apesar disso, o trabalho é uma grandeza escalar e corresponde à quantidade de energia necessária para que o corpo realize tal
movimento. Define-se trabalho como o produto da força atuante do corpo pelo deslocamento sofrido por este corpo durante a ação da
força. Desta forma:
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A unidade de medida do trabalho também é o Joule.
O teorema trabalho-energia nos permite observar que o trabalho de uma força é quantificado pela variação da energia cinética sofrida
por um corpo. Vamos à dedução:
DEDUÇÃO
 
Da segunda Lei de Newton, temos que , e da Cinemática sabemos que , assim:
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Rearrumando, temos:
/
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Sabemos também da Cinemática que assim:
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Note que os limites de integração foram alterados de a para e . Isso porque a variável de integração mudou de para .
Integrando, temos:
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Como a definição de energia cinética é , temos:
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A expressão do trabalho, como a variação da energia cinética, também pode ser deduzida de forma mais simplificada. Acompanhe:
Sabemos que a força resultante atuante em um corpo é dada por:
/
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Como o trabalho depende de um deslocamento , e de uma força, podemos utilizar a equação de Torricelli:
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Para relacionar a força com o deslocamento, assim, isolando em (I), temos:
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Substituindo (III) em (II), temos:
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Rearrumando, temos:
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/
Como (produto da força resultante ( ) pelo deslocamento ), podemos afirmar que:
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Note que utilizando a equação de força resultante, e a equação cinemática de Torricelli, chegamos à mesma conclusão sobre o trabalho,
que chegamos ao utilizar o cálculo Diferencial e Integral.
TEORIA NA PRÁTICA
Para exemplificar, vamos considerar um veículo se movimentando a 30m/s. O seu motorista verifica à vista um sinal amarelo e decide
acelerar o veículo até uma velocidade de 50m/s para poder passar pelo cruzamento com o sinal ainda em amarelo. Sabendo que a
massa do veículo + motorista é igual a 720kg, vamos determinar o trabalho realizado pelo motor deste carro para gerar o aumento da
velocidade:
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RESPOSTA
Sabemos pela equação que o trabalho é dado pela variação da energia cinética da seguinte maneira:
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Agora, já que sabemos o trabalho realizado pelo motor, vamos utilizar este dado para poder determinar a força que o motor
desempenhou para promover tal aumento de velocidade, considerando que o motorista acelerou o carro por 100m. Utilizando a equação
, temos:
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Como o trabalho foi calculado e tem valor de 576.000J, determinamos a força da seguinte maneira:
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IMPULSO
Verificamos que o trabalho é dado pela equação e a força aplicada depende da distância percorrida pelo corpo cuja
força é aplicada. Porém, quando há a ação de uma força, também há a ação de um fenômeno físico chamado de impulso. O impulso
depende da força aplicada ao corpo e do tempo em que essa força age sobre este corpo, como mostra a equação abaixo:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O impulso é um vetor e depende da direção e sentido da força resultante atuante no corpo. Vamos retornar ao exemplo anterior, o
exemplo do carro de 720kg que se locomove a 30m/s quando o motorista resolve acelerar o veículo. Vimos que a força aplicada pelo
motor para promover a aceleração, é de , e que a velocidade após a aceleração é de 50m/s. Fazendo a razão da força
pela massa, descobrimos a aceleração que foi aplicada pelo motor, assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, podemos utilizar a função horária da velocidade do M.R.U.V. para descobrir o tempo em que o carro se manteve acelerado.
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora que sabemos o valor da força e o valor do tempo de aceleração, podemos determinar o impulso utilizando a equação .
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A unidade do Sistema Internacional de Medidas é o Newton segundo (N.s), pois a força está em Newtons, e o tempo em segundos.
/
MÃO NA MASSA
1. UMA PARTÍCULA DE MASSA 2MG SE DESLOCA NA HORIZONTAL, DA ESQUERDA PARA A DIREITA,
DE ACORDO COM A FUNÇÃO HORÁRIA: 𝑆(𝑡) = 4𝑡 − 1, COM UNIDADES NO S.I. A SUA ENERGIA CINÉTICA
EM T = 4S É?
A) 8x10-3J
B) 8x10-6J
C) 4x10-6J
D) 2x10-3J
2. UMA PARTÍCULA SE MOVE DE ACORDO COM A FUNÇÃO HORÁRIA: 𝑆(𝑡) = 0,8𝑡² − 5𝑡 + 8. SE ESTA
PARTÍCULA POSSUI MASSA DE 1MG, A ENERGIA CINÉTICA NO INSTANTE DE RETORNO DA PARTÍCULA
É DE?
A) 0J
B) 1J
C) 2J
D) 3J
3. UM CICLISTA ESTÁ PARADO EM UM SINAL VERMELHO, ESPERANDO OS PEDESTRES
ATRAVESSAREM. QUANDO O SINAL FICA VERDE, ELE CHEGA À VELOCIDADE DE 25KM/H APÓS
PERCORRER 150M. CONSIDERANDO QUE O SISTEMACICLISTA-BICICLETA TEM 70KG, A ENERGIA
CINÉTICA EM 100M É APROXIMADAMENTE:
A) 345J
B) 316J
C) 300J
D) 350J
4. UMA PEDRA É LARGADA DE UMA ALTURA DE 70M EM UM LOCAL ONDE A ACELERAÇÃO
GRAVITACIONAL VALE 10M/S². ESTA PEDRA POSSUI UMA MASSA DE 0,5KG. ABAIXO, EXISTE UM
RIACHO. A ENERGIA CINÉTICA COM QUE A PEDRA ADENTRA NA ÁGUA É DE:
A) 345J
B) 316J
C) 300J
D) 350J
/
5. UM AUTOMÓVEL DE 1T É VISTO NO KM 14 DE UMA RODOVIA A UMA VELOCIDADE DE 100KM/H, E NO
KM 16, COM UMA VELOCIDADE DE 45KM/H. A ENERGIA CINÉTICA DE QUANDO O MÓVEL PASSA PELO
KM 14,8 É? (CONSIDERE G = 10 M/S²)
A) 2,1𝐾𝐽
B) 2,1𝑀𝐽
C) 3,0𝐾𝐽
D) 5𝑀𝐽
6. UM TREM DE 20 VAGÕES QUE POSSUI 5T EM CADA VAGÃO SE LOCOMOVE A 72KM/H. EM CERTO
MOMENTO DA VIAGEM, O MAQUINISTA AVISTA UMA ÁRVORE TOMBADA NA LINHA, A UMA DISTÂNCIA
DE 300M. O MAQUINISTA, ENTÃO, ACIONA OS FREIOS DO TREM, QUE POSSUEM CAPACIDADE DE
DISSIPAR 20000J/S. DIANTE DO CONTEXTO APRESENTADO, ASSINALE A OPÇÃO CORRETA
(CONSIDERE G = 10 M/S):
A) O trem consegue parar a uma distância de 75m da árvore.
B) O trem consegue parar a uma distância de 0m da árvore.
C) O trem não consegue parar e bate na árvore com velocidade de 19,70m/s.
D) O trem não consegue parar e bate na árvore com velocidade de 21m/s.
GABARITO
1. Uma partícula de massa 2mg se desloca na horizontal, da esquerda para a direita, de acordo com a função horária: 𝑆(𝑡) = 4𝑡
− 1, com unidades no S.I. A sua energia cinética em t = 4s é?
A alternativa "B " está correta.
 
Para determinar a energia, é necessário converter a massa de mg para kg: 1mg = 10-6kg.
Note que a função horária descreve um M.R.U. (Movimento Retilíneo Uniforme), no qual a velocidade é 4m/s. Então, como a velocidade
é constante, a qualquer instante a energia cinética será sempre a mesma. Assim:
K=MV22=10-6 · 422=8X10-6J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma partícula se move de acordo com a função horária: 𝑆(𝑡) = 0,8𝑡² − 5𝑡 + 8. Se esta partícula possui massa de 1mg, a
energia cinética no instante de retorno da partícula é de?
A alternativa "A " está correta.
 
Independente de qualquer dado, o único importante no enunciado é o termo: ponto de retorno. No instante do ponto de retorno, a
partícula para e muda o sentido do seu vetor velocidade. Então, se a partícula parou, a sua velocidade foi a zero, logo, a sua energia
cinética é zero também:
/
K=1X10-6 · 022=0J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um ciclista está parado em um sinal vermelho, esperando os pedestres atravessarem. Quando o sinal fica verde, ele chega à
velocidade de 25km/h após percorrer 150m. Considerando que o sistema ciclista-bicicleta tem 70kg, a energia cinética em
100m é aproximadamente:
A alternativa "D " está correta.
 
Primeiramente, devemos descobrir a aceleração impressa pelo ciclista, mas, para isto, é necessário transformar a velocidade de km/h
para m/s. Logo:
25KMH→DIVIDINDO POR 3,6253,6=25036=12518M/S 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para achar a aceleração, vamos utilizar a equação de Torricelli, logo:
V2=V02+2A∆S
12518=2A.150
A=0,05M/S²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora que conhecemos a aceleração, vamos escrever a função horária que descreve o movimento do ciclista. Logo:
ST=0,05T22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que descobrir o instante em que o ciclista passa pela posição 100m. Assim:
100=0,05T22∴T=63,25S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade neste instante é dada por:
/
VT=AT
VT=0,05T
V63,25=0,05.63,25=3,16M/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A energia cinética é:
K=MV22=70.3,1622≅350J
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4. Uma pedra é largada de uma altura de 70m em um local onde a aceleração gravitacional vale 10m/s². Esta pedra possui uma
massa de 0,5kg. Abaixo, existe um riacho. A energia cinética com que a pedra adentra na água é de:
A alternativa "D " está correta.
 
Para descobrir a energia cinética com a qual a pedra atinge a água, temos que determinar a velocidade com a qual a pedra chega à
água. Desta forma:
V2=V02+2A∆S
V2=2.10.70=1400
V=1400
V=37,42M/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A energia cinética é, então:
/
K=0,5 .37,4222=350J
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5. Um automóvel de 1T é visto no km 14 de uma rodovia a uma velocidade de 100km/h, e no km 16, com uma velocidade de
45km/h. A energia cinética de quando o móvel passa pelo km 14,8 é? (considere g = 10 m/s²)
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiramente, é necessário converter os dados para as unidades do SI. Assim:
S0=14000M
S=16000M
V0=27,8M/S
V=12,5M/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Diante destes dados, vamos determinar a aceleração por Torricelli. Então:
12,52=27,82+2A16000-14000
156,25=772,84+4000A
A=-0,15M/S²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora que conhecemos a aceleração, vamos utilizar Torricelli para determinar a velocidade quando o móvel passa pelo km 14,8, ou
seja, pela posição 14800m. Assim:
/
V2=27,82+2-0,1516000-14800
V2=772,84-360
V=20,32M/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A energia cinética do automóvel no km 14,8 é:
K=1000KG.10M/S².(20,32)²2=2064512J=2,1MJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Um trem de 20 vagões que possui 5T em cada vagão se locomove a 72km/h. Em certo momento da viagem, o maquinista
avista uma árvore tombada na linha, a uma distância de 300m. O maquinista, então, aciona os freios do trem, que possuem
capacidade de dissipar 20000J/s. Diante do contexto apresentado, assinale a opção correta (considere g = 10 m/s):
A alternativa "C " está correta.
 
Primeiramente, vamos determinar a massa total do trem:
M=20 · 5 × 103KG=100 × 103KG = 105KG
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a energia cinética antes de iniciar a diminuição da velocidade é:
K0=105KG.20M/S22=2X107J
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Note que a velocidade foi considerada como 20m/s, isto porque se trata da velocidade de 72km/h convertida para m/s.
Agora, precisamos saber em quantos segundos os freios conseguem dissipar toda a energia cinética do trem:
1S-----20000J
/
T------2X107J
T=1000S
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É necessário determinar a aceleração que imputa o movimento retardado ao trem. Assim:
VT=V0+AT
VT=20+AT
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O móvel tem que ter velocidade igual a zero, quando t = 1000s. temos:
0=20+A.1000
A=-201000=150MS2
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Então:
VT=20-150T
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A função horária é, portanto:
ST=20T-150·T22 
ST=20T-1100·T² 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Precisamos descobrir quantos segundos levam para o trem percorrer 300m. Assim:
300=20T-1100·T2
T²-2000T+30000=0
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Solucionando a equação do segundo grau, temos:
T1=1984,89S E T2=15,11S
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Note que existem dois intervalos de tempo em que o menor (t2) corresponde à primeira passagem pelo ponto 300m, que ocorre durante
o acionamento dos freios, e o segundo corresponderia à 2ª passagem por estemesmo ponto, caso o trem mantivesse a aceleração e
retornasse de marcha à ré.
Como é necessário um tempo de 1000s para que o trem pare, já concluímos que ele não irá parar ao fim dos 300m, colidindo com a
árvore, deste modo, precisamos calcular a velocidade da colisão. Logo:
VT=20-150T
V15,11=20-150(15,11)
V15,11=19,70M/S
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UM BLOCO SENDO ARRASTADO HORIZONTALMENTE POR UMA FORÇA CONSTANTE DE
X NEWTONS, POR 140 METROS. SE O TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA QUE ARRASTA O BLOCO É
DE 2.000J, O MÓDULO DESTA FORÇA É IGUAL A:
A) 11,38N
/
B) 12,13N
C) 14,29N
D) 15,00N
2. UMA PEDRA ESTÁ SENDO ABANDONADA DE UMA ALTURA DE H. A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL
TEM MÓDULO G E SUA MASSA É M. O MÓDULO DO TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA PESO PARA
A PEDRA ATINGIR A METADE DA ALTURA INICIAL, EM TERMOS DE H, É?
A) W=mgH
B) W=mgH2
C) W=32mgH
D) W=2mgH
GABARITO
1. Considere um bloco sendo arrastado horizontalmente por uma força constante de X Newtons, por 140 metros. Se o trabalho
realizado pela força que arrasta o bloco é de 2.000J, o módulo desta força é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
W=F.D
2.000=F.140
F=2.000140=14,29N
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2. Uma pedra está sendo abandonada de uma altura de H. A aceleração gravitacional tem módulo g e sua massa é m. O módulo
do trabalho realizado pela força peso para a pedra atingir a metade da altura inicial, em termos de H, é?
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiramente, vamos desenhar um esquema:
/
Note que, para a pedra chegar à metade da altura inicial, temos a relação de que H = 2h. Diante disto, podemos afirmar que a pedra
possui um deslocamento de H/2, então o trabalho é dado por:
W=P.D
W=MGH2
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(Fonte: LighteniR e Den Zorin / Shutterstock)
 Empregar o princípio da conservação da energia mecânica nos sistemas ideais
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA É UMA CONSTÂNCIA
NA NATUREZA. A ENERGIA NÃO SE CRIA NEM SE DESTRÓI,
SOMENTE SE TRANSFORMA DE UM TIPO EM OUTRO, E GRAÇAS A
/
ISSO, PODEMOS GERAR TRABALHO, O QUE NA MECÂNICA NOS
PERMITE IMPRIMIR FORÇA PARA ALTERAR O ESTADO DE
MOVIMENTO DE UM CORPO, PODENDO ACELERÁ-LO, RETARDÁ-LO
OU ATÉ MESMO PARÁ-LO.
Vamos verificar como a energia mecânica potencial pode se transformar em energia cinética, e para explicar este princípio de
conservação, vamos utilizar o exemplo a seguir: durante uma volta de uma montanha-russa, existe por diversas vezes a conversão da
energia cinética em potencial e vice-versa, porém o somatório destas duas energias sempre será o mesmo, isto porque a energia
mecânica se conserva.
Antes de vermos a demonstração, vamos relembrar as equações da energia cinética, energia potencial gravitacional e energia potencial
elástica já estudadas.
EQUAÇÕES DE ENERGIA CINÉTICA, POTENCIAL
GRAVITACIONAL E POTENCIAL ELÁSTICA
Todo corpo com velocidade diferente de zero possui energia cinética e esta energia cinética pode ser quantificada como:
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Matematicamente, a energia potencial gravitacional é expressa da seguinte maneira:
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A energia potencial elástica é determinada matematicamente como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
DEMONSTRAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
MECÂNICA: MONTANHA-RUSSA
TEORIA NA PRÁTICA
A montanha-russa é um exemplo de demonstração de conservação da energia mecânica. Entenda melhor assistindo ao vídeo abaixo:
Vamos agora demonstrar a conservação da energia mecânica em um sistema contendo uma mola.
DEMONSTRAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
MECÂNICA: MOLA
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma bola comprimindo uma mola que está sendo presa por um gatilho. Esta mola tem constante elástica de K = 45N/m,
comprimento inicial de 12cm e está disposta na vertical. Com a bolinha apoiada em cima, a mola fica com tamanho de 3cm. Determine a
que altura do solo a bolinha será lançada, quando o gatilho da mola for acionado. (Considere: m = 1g e g = 10m/s²)
 
(Fonte: Fouad A. Saad / Shutterstock)
/
 Demonstração de um sistema massa-mola.
 Clique no botão para ver as informações.
RESPOSTA
Primeiramente, devemos determinar a distensão da mola em metros. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, devemos determinar a energia potencial elástica da mola:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, antes do lançamento, a bola está apoiada sobre a mola, o que dá a ela uma energia potencial gravitacional de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a energia mecânica inicial é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que a bola está sendo lançada para cima e chegará à altitude máxima quando a sua velocidade for nula, a bola parar e, então,
começar a descer. No ponto mais alto da trajetória, temos somente a energia potencial gravitacional, assim, a energia mecânica final é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo princípio da conservação de energia, temos:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rearrumando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a massa em kg é 0,001kg, temos que:
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MÃO NA MASSA
1. UMA BOLA É ARREMESSADA PARA CIMA, NA VERTICAL, COM VELOCIDADE DE 30M/S. A ALTURA
QUE ESTA BOLA CONSEGUE ATINGIR É DE (CONSIDERE G = 10 M/S²):
A) 44m
B) 45m
C) 46m
D) 47m
/
2. UMA PEDRA É ABANDONADA DE UMA ALTURA DE 70M. DESCONSIDERANDO A RESISTÊNCIA DO
AR, A VELOCIDADE COM A QUAL A PEDRA CHEGA AO SOLO É IGUAL A (CONSIDERE G = 10M/S²):
A) 30,00m/s
B) 37,42m/s
C) 40,57m/s
D) 41,98m/s
3. UMA PEDRA É ABANDONADA DE UMA ALTURA DE 100M. DETERMINE A VELOCIDADE COM A QUAL
ESTA PEDRA ATINGE O CHÃO, SABENDO QUE NO CAMINHO 2% DA ENERGIA INICIAL FOI PERDIDA
DEVIDO AO ATRITO COM O AR (CONSIDERE G = 10M/S²):
A) 35,00m/s
B) 38,77m/s
C) 41,87m/s
D) 44,27m/s
4. UMA MOLA DE COMPRIMENTO INICIAL 20CM SE DISTENDE EM 4CM QUANDO UMA FORÇA DE 12N É
APLICADA SOBRE ELA. SUA ENERGIA POTENCIAL QUANDO ESTA É COMPRIMIDA EM 10CM É IGUAL A:
A) 1,0J
B) 1,5J
C) 2,0J
D) 2,5J
5. UMA BOLA É LANÇADA POR UMA MOLA E ATINGE UMA ALTURA DE 10M. SE A BOLA TEM MASSA DE
1KG E A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL É IGUAL A 10M/S², A ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA É IGUAL
A:
A) 80J
B) 90J
C) 100J
D) 110J
6. UM FOGUETE DE MASSA 1T É LANÇADO COM VELOCIDADE INICIAL DE 340M/S. AO CHEGAR A UMA
ALTURA DE 400M, LIBERA 30% DE SUA MASSA. NESSE INSTANTE, A VELOCIDADE DO FOGUETE É DE:
A) 394,87m/s
B) 396,41m/s
C) 398,70m/s
/
D) 400,58m/s
GABARITO
1. Uma bola é arremessada para cima, na vertical, com velocidade de 30m/s. A altura que esta bola consegue atingir é de
(considere g = 10 m/s²):
A alternativa "B " está correta.
 
Para determinar a altura tendo somente a informação da velocidade, temos que utilizar o conceito da conservação de energia. Como
sabemos que no ponto mais alto da trajetória a velocidade é nula, pelo princípio da conservação de energia temos:
K=UG
MV22=MGH
H=V22G=3022.10=90020=45M
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2. Uma pedra é abandonada de uma altura de 70m. Desconsiderando a resistência do ar, a velocidade com a qual a pedra
chega ao solo é igual a (considere g = 10m/s²):
A alternativa "B " está correta.
 
Temos um caso em que há a conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética. Assim:
MGH=MV22
V=2GH
V=2 .10 . 70=37,42M/S
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3. Uma pedra é abandonada de uma altura de 100m. Determine a velocidade com a qual esta pedra atinge o chão, sabendo que
no caminho 2% da energia inicial foi perdida devido ao atrito com o ar (considere g = 10m/s²):
A alternativa "D " está correta.
/
 
Primeiro, devemos determinar a energia inicial:
E0=UG
E0=MGH
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Agora, devemos determinar a energia perdida. Assim:
EPERDIDA=0,02E0
EPERDIDA=0,02MGH
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Devemos determinar a energia final, que é a energia com a qual a pedra atinge o solo:
E=MV22
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Pelo princípio de conservação de energia, temos que:
E=E0-EPERDIDA
MV22=MGH-0,02MGH
V=2 . 0,98 . GH
V=2 . 0,98 . 10 . 100=44,27M/S
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Uma mola de comprimento inicial 20cm se distende em 4cm quando uma força de 12N é aplicada sobre ela. Sua energia
potencial quando esta é comprimida em 10cm é igual a:
A alternativa "B " está correta.
 
Com as primeiras informações, iremos determinar a constante da mola:
F=-K∆X
12=K0,04
K=300N/M
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Agora que temos a constante elástica, vamos determinar a energia potencial elástica:
E=K∆X22=300.-0,122=1,5J
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5. Uma bola é lançada por uma mola e atinge uma altura de 10m. Se a bola tem massa de 1kg e a aceleração gravitacional é
igual a 10m/s², a energia potencial elástica é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
Pelo princípio da conservação de energia:
UEL=UG
UEL=MGH
UEL=1 .10 .10=100J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
6. Um foguete de massa 1T é lançado com velocidade inicial de 340m/s. Ao chegar a uma altura de 400m, libera 30% de sua
massa. Nesse instante, a velocidade do foguete é de:
A alternativa "B " está correta.
 
A energia mecânica inicial é somente a cinética. Assim:
E0=M0V022
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao atingir 400m de altitude, passa a ter energia cinética e potencial. Assim:
E=MV22+MGH
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Todavia, m é igual a:
M=M0=0,3M0=0,7M0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Deste modo, a energia final é igual a:
E=0,7M0V22+0,7M0GH
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Pelo princípio da conservação de energia:
M0V022=0,7M0V22+0,7M0GH
34022=0,7V22+0,7.10.400
V=396,41M/S
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/
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM AVIÃO ESTÁ SE LOCOMOVENDO A UMA VELOCIDADE CONSTANTE DE 100KM/H QUANDO DEIXA
CAIR EM QUEDA LIVRE UMA BOMBA DE 1T. DIANTE DESTE CONTEXTO, ASSINALE A OPÇÃO
CORRETA:
A) No momento em que a bomba é solta, ela possui somente energia potencial.
B) No momento em que a bomba é solta, ela possui energia potencial gravitacional e energia cinética.
C) No momento em que a bomba é solta, ela possui somente energia cinética.
D) No momento em que a bomba é solta, ela possui duas energias cinéticas, uma apontando para baixo, devido à queda, e a outra
apontando para o sentido de voo do avião.
2. UM PARAQUEDISTA SALTA DE UM AVIÃO TIPO HÉRCULES, DE UMA ALTURA H. O PLANO DESTE
PARAQUEDISTA É ACIONAR O PARAQUEDAS QUANDO ELE ATINGIR UMA ALTURA H/2.
CONSIDERANDO QUE O SISTEMA SEJA CONSERVATIVO, OU SEJA, QUE NÃO HAJA PERDAS DE
ENERGIA, A ENERGIA CINÉTICA DO PARAQUEDISTA NA ALTURA H/2 É?
A) K=mgH2
B) K=2mgH
C) K=mgH
D) K=32mgH
GABARITO
1. Um avião está se locomovendo a uma velocidade constante de 100km/h quando deixa cair em queda livre uma bomba de 1T.
Diante deste contexto, assinale a opção correta:
A alternativa "B " está correta.
 
Como o avião está voando a certa altura, a bomba possui energia potencial gravitacional, mas também possui energia cinética, devido a
estar na mesma velocidade de voo do avião, como prevê a Primeira Lei de Newton.
2. Um paraquedista salta de um avião tipo Hércules, de uma altura H. O plano deste paraquedista é acionar o paraquedas
quando ele atingir uma altura H/2. Considerando que o sistema seja conservativo, ou seja, que não haja perdas de energia, a
energia cinética do paraquedista na altura H/2 é?
A alternativa "A " está correta.
 
Como o sistema é conservativo, ao chegar à metade da altura, o paraquedista perdeu metade de sua energia potencial, e esta metade
foi convertida em energia cinética, logo: K=mgH2. Podemos provar isto matematicamente também:
No momento do salto:
/
E1=MGH
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No momento em que o paraquedista abre o paraquedas:
E2=MV22+MGH2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo princípio da conservação de energia:
E1=E2
MGH=MV22+MGH2
MGH=K+MGH2
K=MGH2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Titov Nikolai e Den Zorin / Shutterstock)
 Aplicar o teorema do trabalho-energia
Antes de vermos a demonstração, vamos relembrar as equações da energia cinética, energia potencial gravitacional e energia potencial
elástica já estudadas.
Altura h em relação
ao nível do mar
Ponto de referência - Nível do mar
Montanha
Energia cinética (K)
Na qual:
- m é a massa do corpo observado;
- v é a velocidade que o objeto desenvolve.
K = mv
2
2
3
Energia Mecânica (EM)
Na qual:
- Ug = m.g.h (Energia potencial gr avitacional);
- (Energia cinética)
EM = Ug+ K = m.g.h +
mv2
2
K = mv
2
2
2
Ug = m.g.h
Energia potencial gravitacional (Ug)
Na qual:
- m é a massa do corpo observado;
- g é a aceleração gravitacional;
- h é a altura a qual o corpo se encontra
em relação ao seu ponto de referencial.
1
/
 Fonte: Sentavio / Shutterstock
INTRODUÇÃO
O teorema trabalho-energia nos mostra como podemos entender o mundo ao nosso redor e quais são os potenciais existentes na
natureza para tornar um corpo capaz de realizar movimento.
Vimos que o trabalho (𝑊) pode ser calculado pelas expressões a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vimos ainda que, pela Segunda Lei de Newton,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 IMPORTANTE
Assim, conhecendo a força ou a variação da velocidade, podemos estimar o trabalho realizado e verificar a quantidade de energia que
foi convertida.
Vamos exemplificar algumas aplicações desta teoria.
TRABALHO EM UM PLANO INCLINADO
TEORIA NA PRÁTICA
Observe, no vídeo a seguir, um exemplo da aplicação de trabalho em um plano inclinado.
/
TRABALHO EM UM PLANO INCLINADO COM LANÇAMENTO
HORIZONTAL
TEORIA NA PRÁTICA
A figura abaixo mostra uma rampa apoiada em uma mesa de altura 30cm, propícia para realizar um lançamento horizontal de uma bola.
Os efeitos de atrito entre a bola e a rampa e entre a bola e o ar são desprezíveis. O ponto mais alto desta rampa possui 10cm em
relação à sua base.
Uma bola de 200g é abandonada do ponto mais alto da rampa (ponto 1), desliza e, ao chegar ao fim da rampa (ponto 2), é lançada
horizontalmente, parando exatamente no ponto onde atinge o solo (ponto 3).
 
(Fonte: fridas / Shutterstock)
 Rampa em cima de uma mesa para lançamento horizontal de uma bola.
Considerando a gravidade local como 10m/s², determine o trabalho realizado para a bola se deslocar do ponto 1 para o ponto 2 e o
trabalho realizado para a bola se deslocar do ponto 2 para o ponto 3.
 Clique no botão para ver as informações.
RESPOSTA
Primeiramente,para poder determinar as energias, devemos fazer a conversão das unidades para o S.I., assim, a massa de 200g
dividida por 1000 é igual a 0,2kg, e as distâncias de 30cm e 10cm, quando divididas por 100, são 0,3m e 0,1m respectivamente.
Como só temos as informações da massa e das alturas, a única rota para determinar o trabalho (W) é através da variação da energia
cinética (k). Deste modo:
 
/
PONTO 1
A energia mecânica no ponto 1 é referente somente à energia potencial gravitacional. Vamos usar como referência a altura inteira, do
chão ao cume da rampa. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
PONTO 2
No ponto 2, a bolinha está deslizando, e lá ela será lançada horizontalmente. Todavia, neste ponto, a bolinha ainda está a 30cm do
chão, logo, a sua energia mecânica possui parcela de energia cinética e potencial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo princípio da conservação de energia, temos:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
PONTO 3
Após o lançamento, a bolinha faz o seu trajeto até atingir o solo. Neste instante, não existe energia potencial gravitacional em relação ao
solo, pois não existe mais altura, mas há energia cinética. Então, no ponto 3, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo princípio da conservação de energia, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Então, os trabalhos entre os pontos 1 e 2 e 2 e 3 são:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. UM AUTOMÓVEL DE 600KG TRAFEGA A UMA VELOCIDADE DE 10M/S, QUANDO ACELERA E ATINGE
A VELOCIDADE DE 20M/S. O TRABALHO REALIZADO PELO MOTOR DESTE AUTOMÓVEL É IGUAL A:
A) 50.000J
B) 70.000J
C) 90.000J
D) 120.000J
2. UM OBJETO DE 2KG É ABANDONADO DE UMA ALTURA DE 12M. CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO
GRAVITACIONAL COMO 10M/S² E QUE HAJA TOTAL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA, O TRABALHO
REALIZADO POR ESTE OBJETO ATÉ ATINGIR O SOLO É DE:
A) 1000J
B) 1200J
C) 2200J
D) 2400J
3. UM OBJETO É ARRASTADO POR UMA FORÇA RESULTANTE DE 40N POR UMA DISTÂNCIA DE 98M. O
TRABALHO REALIZADO POR ESTA FORÇA É IGUAL A:
A) 3920J
B) 3780J
C) 3578J
D) 3200J
/
4. UM OBJETO DE 100G EM QUEDA LIVRE LEVA 4 SEGUNDOS PARA CHEGAR AO SOLO.
CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL COMO 9,8M/S², O TRABALHO REALIZADO PELA
FORÇA PESO É IGUAL A:
A) 79,33J
B) 76,83J
C) 75,22J
D) 73,58J
5. UM AUTOMÓVEL DE 900KG VIAJA COM VELOCIDADE DE 75KM/H, QUANDO FREIA BRUSCAMENTE
ATÉ PARAR. CONSIDERANDO QUE O SISTEMA É CONSERVATIVO, O TRABALHO REALIZADO PELO
FREIO DO AUTOMÓVEL É IGUAL A:
A) -195.312,5J
B) 195.312,5J
C) -295.312,5J
D) 295.312,5J
6. UM MOTOR CONVERTE 50% DA ENERGIA PRODUZIDA EM ENERGIA ÚTIL, O RESTANTE É PERDIDO
EM FORMA DE CALOR. SE ESTE MOTOR GASTA UMA ENERGIA DE 8000J PARA FAZER O CARRO SE
ARRASTAR POR 30M, QUAL A ACELERAÇÃO DESEMPENHADA PELO AUTOMÓVEL, SE ELE PESA
1050KG?
A) 0,13m/s²
B) 0,15m/s²
C) 0,18m/s²
D) 1,20m/s²
GABARITO
1. Um automóvel de 600kg trafega a uma velocidade de 10m/s, quando acelera e atinge a velocidade de 20m/s. O trabalho
realizado pelo motor deste automóvel é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
O trabalho é dado pela variação da energia cinética. Assim:
W=MV22-MV022=600.2022-600.1022=90.000J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto de 2kg é abandonado de uma altura de 12m. Considerando a aceleração gravitacional como 10m/s² e que haja
total conservação da energia, o trabalho realizado por este objeto até atingir o solo é de:
/
A alternativa "D " está correta.
 
Como a energia se conserva, podemos afirmar que a variação da energia cinética é igual à energia potencial, assim:
W=MGH
W=2 . 10 . 12=2400 J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um objeto é arrastado por uma força resultante de 40N por uma distância de 98m. O trabalho realizado por esta força é igual
a:
A alternativa "A " está correta.
 
O trabalho é dado por:
W=FR.∆X
W=40 .98=3920J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um objeto de 100g em queda livre leva 4 segundos para chegar ao solo. Considerando a aceleração gravitacional como
9,8m/s², o trabalho realizado pela força peso é igual a:
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiramente, devemos saber de qual altura este objeto foi abandonado, assim:
H=GT22
H=9,8 .422=78,4M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O trabalho realizado pela força peso é igual à energia potencial gravitacional, assim:
/
E=MGH
E=0,1 . 9,8 . 78,4
E=76,83 J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Um automóvel de 900kg viaja com velocidade de 75km/h, quando freia bruscamente até parar. Considerando que o sistema é
conservativo, o trabalho realizado pelo freio do automóvel é igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
O trabalho é dado pela variação da energia cinética, assim:
W=MV22-MV022=+900.022-900.753,622=-195.312,5J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Um motor converte 50% da energia produzida em energia útil, o restante é perdido em forma de calor. Se este motor gasta
uma energia de 8000J para fazer o carro se arrastar por 30m, qual a aceleração desempenhada pelo automóvel, se ele pesa
1050kg?
A alternativa "A " está correta.
 
Se 30% da energia é aproveitada, então o trabalho realizado é de:
W=50% .8000=0,5 .8000=4000J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que o automóvel se desloca somente por 30m, temos:
W=F.D
4000=F.30
/
F=133,33N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da Segunda Lei de Newton:
F=M.A
133,33 =1050.A
A=0,13M/S²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Um homem utiliza uma roldana fixa para levantar um balde de 30kg de concreto com o auxílio de uma corda. A altura até a qual o balde
deve ser levantado é de 18m. Qual o trabalho realizado pelo homem para poder içar este balde com uma velocidade constante de
1m/s?
Considere g = 10m/s².
Observe o ponto em que o balde está sendo amarrado pela corda, para podermos entender as forças atuantes no sistema:
 
(Fonte: BlueRingMedia e Yindee / Shutterstock)
 Representação de um balde sendo içado por uma corda.
Note na figura que temos a força peso apontando para baixo e a tração apontando para cima. A tração é decorrente da força que o
homem faz para puxar a corda. Para que o balde suba a uma velocidade constante, qualquer que seja ela, o somatório das forças deve
/
ser igual a zero. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O trabalho que o homem deve realizar para subir o balde por 18m é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra maneira de se resolver este exemplo é compreender que todo o trabalho realizado se converte em energia potencial gravitacional.
Assim:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O MOTOR DE UM AUTOMÓVEL CONVERTE 30% DA ENERGIA PRODUZIDA EM ENERGIA ÚTIL, O
RESTANTE É PERDIDO EM FORMA DE CALOR. SE ESTE MOTOR GASTA UMA ENERGIA DE 4000J PARA
FAZER O AUTOMÓVEL ANDAR POR 1M, QUAL A ACELERAÇÃO DESEMPENHADA PELO AUTOMÓVEL,
SE ELE PESA 1250KG?
A) 3m/s²
B) 2m/s²
C) 1m/s²
D) 0,96m/s²
2. UM LAGARTO DE 4KG SOBE UM PLANO INCLINADO, COM ÂNGULO DE 30° COM A HORIZONTAL,
COM UMA ACELERAÇÃO DE 0,15M/S².
 
(FONTE: RVECTOR / SHUTTERSTOCK)
CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL COMO 10M/S², ASSINALE A OPÇÃO QUE
REPRESENTA OS TRABALHOS REALIZADOS PELO LAGARTO AO SUBIR A RAMPA E POR SUA FORÇAPESO, EM JOULES:
A) 0,60d e 20d
B) 0,60d e 203d
C) 0,30d e 20d
/
D) 0,30d e 203d
GABARITO
1. O motor de um automóvel converte 30% da energia produzida em energia útil, o restante é perdido em forma de calor. Se
este motor gasta uma energia de 4000J para fazer o automóvel andar por 1m, qual a aceleração desempenhada pelo
automóvel, se ele pesa 1250kg?
A alternativa "D " está correta.
 
Se 30% da energia é aproveitada, então o trabalho realizado é de:
W=30% .4000=0,3 .4000=1200J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que o automóvel se desloca somente por 1m, temos:
W=F.D
1200=F.1
F=1200N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da Segunda Lei de Newton:
F=M.A
1200=1250.A
A=0,96M/S²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um lagarto de 4kg sobe um plano inclinado, com ângulo de 30° com a horizontal, com uma aceleração de 0,15m/s².
/
 
(Fonte: Rvector / Shutterstock)
Considerando a aceleração gravitacional como 10m/s², assinale a opção que representa os trabalhos realizados pelo lagarto ao
subir a rampa e por sua força peso, em Joules:
A alternativa "A " está correta.
 
Precisamos interpretar o enunciado. Ele nos dá a aceleração de subida da rampa do lagarto. Neste caso, se multiplicarmos esta
aceleração pela massa do lagarto, temos a força resultante de subida. Assim:
F=M.A=4.0,15=0,60N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tendo a força, podemos escrever o trabalho de subida como:
WF=F.D=0,60D J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o trabalho é uma grandeza escalar, não é necessário decompor o peso para poder determinar o seu trabalho. Então:
WP=P→.Y=MGDSEN30°=MGD2=4.10.D2=20D J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
/
Aprendemos neste tema que a energia e o trabalho, apesar de possuírem a mesma unidade de medida, representam grandezas físicas
distintas. Verificamos que, em um sistema mecânico conservativo, a energia mecânica se conserva, e podemos ter a conversão
completa da energia cinética em potencial e vice-versa, através do trabalho.
REFERÊNCIAS
CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. v. 1. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
MOSSMANN, V. L. F.; CATELLI, K. B.; Mello, F.; LIBARDI, H.; DAMO, I. S. Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e
Cinético Utilizando-se a Aquisição Automática de Dados. In: Revista Brasileira de Ensino de Física, FapUnifesp, [s.l.], v. 24, n. 2, p.
146-149, jun. 2002.
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado pela força de atrito cinético? In:: Revista Brasileira de
Ensino de Física, FapUnifesp, [s.l.], v. 41, n. 1, p. 1-9, 6 set. 2018.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
EXPLORE+
Todas as forças na natureza podem realizar trabalho e uma força que constantemente realiza trabalho é a força de atrito. Para saber
mais sobre força de atrito, leia:
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado pela força de atrito cinético? In:: Revista Brasileira de
Ensino de Física, FapUnifesp, [s.l.], v. 41, n. 1, p. 1-9, 6 set. 2018.
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