Avaliação II - V

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Acadêmico:
	
	
	Disciplina:
	Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual Semipresencial 
	Prova:
	
	Nota da Prova:
	9,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
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	1.
	A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
(    ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - V - F - F.
	 b)
	F - V - V - F.
	 c)
	V - V - V - F.
	 d)
	V - F - V - F.
	2.
	A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (1,4):
	 a)
	Raiz de 5.
	 b)
	4.
	 c)
	Raiz de 17.
	 d)
	2.
	3.
	No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia. Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I e III estão corretas.
	 b)
	As opções II e III estão corretas.
	 c)
	As opções I e IV estão corretas.
	 d)
	As opções II e IV estão corretas.
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	4.
	Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) u x v = -2.
(    ) u x v = -1.
(    ) u x v = 0.
(    ) u x v = 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - F.
	 b)
	F - F - V - F.
	 c)
	V - F - F - F.
	 d)
	F - F - F - V.
	5.
	Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
	 a)
	[(1,1,0)].
	 b)
	[(0,0,1)].
	 c)
	[(0,1,1)].
	 d)
	[(1,0,1)].
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	6.
	O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I e IV estão corretas.
	 b)
	As opções II e IV estão corretas.
	 c)
	As opções I e III estão corretas.
	 d)
	As opções II e III estão corretas.
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	7.
	Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na transformação a seguir.
	
	 a)
	(-2, 7).
	 b)
	(-5, 2).
	 c)
	(7, -2).
	 d)
	(-7, 2).
	8.
	A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
	
	 a)
	Os autovalores associados são 0 e 2.
	 b)
	Os autovalores associados são 5 e 3.
	 c)
	Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
	 d)
	Os autovalores associados são 1 e -1.
	9.
	Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções II e III estão corretas.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	As opções III e IV estão corretas.
	 d)
	As opções I e II estão corretas.
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	10.
	Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
	
	 a)
	A transformação a seguir não é um operador linear.
	 b)
	O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
	 c)
	O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
	 d)
	O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
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