TRABALHO DE FÍSICA

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Elaborado por: Malaquias L. Paulo e José Bau Hatewa. 
 Opção: Ensino da Matemática 
 Regime: Pós-Laborar 
 Cadeira: Física Moderna 
 
 
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INTRODUÇÃO 
A teoria da relatividade foi uma revolução para o século XX, pois ela provocou inúmeras 
transformações em conceitos básicos como também proporcionou que fatos importantes, ainda 
não explicáveis, pudessem ser explicados. Essa teoria surgiu com o físico alemão Albert Einstein. 
 Nascido em Ulm, Einstein foi físico e pesquisador muito conhecido por ter proposto a 
teoria da relatividade, mas também foi ele quem explicou corretamente o efeito fotoelétrico, fato 
esse que possibilitou o desenvolvimento da bomba atômica, mesmo sem ele saber para quais fins 
se destinava. 
 
 A teoria da relatividade é composta de duas outras teorias: Teoria da Relatividade Restrita, 
que estuda os fenômenos em relação a referenciais inerciais, e a Teoria da Relatividade Geral, 
que aborda fenômenos do ponto de vista não inercial. 
Portanto, no estudo da Dinâmica Relativística, apresentaremos apenas a forma teórica e 
matemática da Energia Cinética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Malaquias L. Paulo e José Bau Hatewa. 
 Opção: Ensino da Matemática 
 Regime: Pós-Laborar 
 Cadeira: Física Moderna 
 
 
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DINÂMICA RELATIVÍSTA: ENERGIA CINÉTICA 
A energia cinética de um objeto é a energia extra que ele possui devido ao seu movimento. 
É definido como o trabalho necessário para acelerar um corpo de uma determinada massa do 
repouso para a velocidade atual. Tendo ganho essa energia durante sua aceleração, o corpo mantém 
essa energia cinética, a menos que sua velocidade mude. Para retornar o corpo a um estado de 
repouso a partir dessa velocidade, seria necessário um trabalho negativo da mesma magnitude. 
A energia cinética para objetos únicos é completamente dependente do quadro (relativo). 
Por exemplo, uma bala disparada por um observador não em movimento tem energia cinética no 
quadro de referência desse observador, mas a mesma bala tem energia cinética zero em um quadro 
de referência que se move com a bala. 
 A energia cinética dos sistemas de objetos, entretanto, pode às vezes não ser 
completamente removível com a simples escolha do quadro de referência. Quando este for o caso, 
uma energia cinética mínima residual permanece no sistema, como visto por todos os observadores, 
e essa energia cinética (se presente) contribui para a massa invariante do sistema, que é vista como 
o mesmo valor em todos os referenciais e por todos os observadores. 
Tratemos de considerar a noção de energia cinética. Suponhamos que uma partícula seja 
acelerada, na direção x, a partir do repouso, até uma velocidade v. Podemos, como na física 
clássica, fazer uso do fato de que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia 
cinética da partícula, ou seja: 
 
 𝑡 = ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐸𝑐 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (1.41) 
 
 
Sendo o trabalho e Ec a energia cinética. No contexto por nós delimitado, a definição 
clássica do trabalho fornece: 
 𝑡 = ∫ 𝐹. 𝑑𝑥
 𝑥 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
 𝑥 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 (1.42) 
 
Podemos escrever, partir de (1.40), que: 
 
 
 𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
 (1.43) 
 
sendo p definido como em (1.38). Dispensamos as notações vetoriais por estarmos lidando 
apenas com a direção x. 
Substituindo (1.43) em (1.42), obtemos: 
 
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𝑡 = ∫ 𝐹. 𝑑𝑥
 𝑥 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
 𝑥 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 = ∫
𝑑𝑝
𝑑𝑡
. 𝑑𝑥
 𝑥 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
 𝑥 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑥
 𝑥 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
 𝑥 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 (1.44) 
 
Utilizemos a fórmula da integração por partes 
 
 ∫ 𝑣. 𝑑𝑝 = 𝑣𝑝 −∫𝑝. 𝑑𝑣 (1.45) 
 
 
em conjunto com (1.45), e tenhamos em mente que vinicial = 0: 
 
 𝑡 =
𝑚0. 𝑣
2
√1 −
𝑣2
𝐶2
 − ∫
𝑚. 𝑣
√1 −
𝑣2
𝐶2
. 𝑑𝑣 
𝑣
0
 (1.46) 
 
Para que resolvamos a integral, é vantajoso fazer a substituição: 
 
 𝑢 = 𝑣2 𝐶2 → 𝑑𝑢 = (2𝑣 𝐶2⁄ )⁄ 𝑑𝑣 (1.47) 
 
 
Ela então se torna: 
 
 ∫
𝑚0. 𝑐
2. 𝑑𝑢
2.√1 − 𝑢
𝑣2
𝐶2
 
0
 = 𝑚0. 𝑐
2 [ −√1 − 𝑢 ]
0
𝑣2 𝐶2⁄
= 𝑚0. 𝑐
2. [ 1 − √1 −
𝑣2
𝐶2
 ] (1.48) 
 
 
Voltando a (1.46), obtemos, após algumas manipulações: 
 
𝑡 = 𝐸𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐸𝑐 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑚0. 𝑐
2.
[
 
 
 
1
√1 −
𝑣2
𝐶2
− 1
]
 
 
 
 (1.49) 
 
 
Como supusemos que a partícula foi acelerada a partir do repouso, temos 
𝐸𝑐 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 0, o que, por fim, leva-nos a: 
 
𝐸𝑐 = 𝑚0. 𝑐
2.
[
 
 
 
1
√1 −
𝑣2
𝐶2
− 1
]
 
 
 
= 𝑚0. 𝑐
2( 𝛾 − 1 )

que é a fórmula da energia cinética relativística. 
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CONCLUSÃO 
Neste trabalho, apresentamos resumidamente a vida e os feitos do físico Albert Einstein, em 
relação a relatividade da energia cinética. Relacionamos também os conceitos físicos e as 
ferramentas matemáticas utilizados em cada caso para se chegar a formúla da energia cinética 
relativística. Após a análise, concluimos que: 
 O conhecimento científico não permanece o mesmo ao longo dos anos, o que 
consideramos verdade hoje, pode não ser no futuro; 
 
 A teoria da relatividade de Einstein mudou as bases da Física alterando conceitos tão 
fundamentais como tempo e espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA 
 Romis Attux, Cristiano Cruz e Diogo Soriano Fisica Moderna, Notas de aula do curso de 
EE300 . 
 https://Fisica Relativistica, energia cinética.com 
 https://física moderna, dinâmica relativística.com 
https://física/